中考数学一轮复习高频考点专题07 一元二次方程及其应用（12个高频考点）（举一反三）（2份打包，原卷版+解析版）

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TOC \ "1-1" \h \u
\l "_Tc26410" 【考点1 一元二次方程的定义】 PAGEREF _Tc26410 \h 1
\l "_Tc6544" 【考点2 一元二次方程的一般形式】 PAGEREF _Tc6544 \h 3
\l "_Tc18091" 【考点3 一元二次方程的解】 PAGEREF _Tc18091 \h 4
\l "_Tc22182" 【考点4 配方法解一元二次方程】 PAGEREF _Tc22182 \h 7
\l "_Tc29756" 【考点5 公式法解一元二次方程】 PAGEREF _Tc29756 \h 9
\l "_Tc14488" 【考点6 因式分解法解一元二次方程】 PAGEREF _Tc14488 \h 12
\l "_Tc17176" 【考点7 换元法解一元二次方程】 PAGEREF _Tc17176 \h 14
\l "_Tc20496" 【考点8 根的判别式】 PAGEREF _Tc20496 \h 18
\l "_Tc18995" 【考点9 根与系数的关系】 PAGEREF _Tc18995 \h 21
\l "_Tc17751" 【考点10 配方法的应用】 PAGEREF _Tc17751 \h 23
\l "_Tc28977" 【考点11 根据实际问题抽象出一元二次方程】 PAGEREF _Tc28977 \h 26
\l "_Tc18430" 【考点12 一元二次方程的应用】 PAGEREF _Tc18430 \h 28
【要点1 一元二次方程的定义】
等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。
【考点1 一元二次方程的定义】
【例1】（2022·山西·盂县第二中学校一模）下列方程中，不是一元二次方程的是（ ）
A．x2﹣1=0B．x2 ++3=0C．x2 + 2x +1=0D．3x2 +x +1=0
【答案】B
【分析】根据一元二次方程的定义对各选项进行逐一分析即可．
【详解】解：A、C、D选项含有一个未知数，未知数的次数是2，是一元二次方程，故选项A、C、D不符合题意；
B选项分母中含有未知数，是分式方程，故本选项符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，解题关键是掌握：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程，运用定义判断．
【变式1-1】（2022·江苏·徐州东湖实验学校二模）方程是关于x的一元二次方程，则（ ）
A．m＝﹣1或3B．m＝3C．m＝﹣1D．m≠﹣1
【答案】B
【分析】根据一元二次方程的定义“只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程是一元二次放程”，再根据二次项系数不等于0，即可求解．
【详解】∵是关于x的一元二次方程，
∴，解得：m=3或m=-1，
∵m+1≠0，即m≠-1，
∴m=3，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．注意：一元二次方程二次项系数不等于0．
【变式1-2】（2022·广东汕头·二模）请写出一个符合以下所有条件的一元二次方程：（1）二次项的系数为负数；（2）一个实数根为的整数部分，另一个实数根为－4，则这个一元二次方程可以是______．（任意写一个符合条件的即可）．
【答案】(答案不唯一，满足要求即可）
【分析】先确定出的整数部分，再利用因式分解的方法写出符合条件的一元二次方程即可．
【详解】∵＜＜，
∴3＜＜4，
∴2＜-1＜3，
∴的整数部分为2，即方程的一个根为2，
∵方程的另一个根为-4，且二次项系数为负数，
∴方程可以写为，答案不唯一，
故答案为：，（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查了按条件构造一元二次方程以及确定二次根式整数部分的知识，确定方程的另一个根为2是解答本题的关键．
【变式1-3】（2022·四川宜宾·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ）
A．B．且C．且D．
【答案】B
【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式得出a≠0，Δ=22-4a×（-1）=4+4a＞0，再求出即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程ax2+2x-1=0有两个不相等的实数根，
∴a≠0，Δ=22-4a×（-1）=4+4a＞0，
解得：a＞-1且a≠0，
故选：B．
【点睛】本题考查了根的判别式，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键，注意：一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0），当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当b2-4ac＜0时，方程没有实数根．
【要点2 一元二次方程的一般形式】
一元二次方程的一般形式是。其中是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。
【考点2 一元二次方程的一般形式】
【例2】（2022·广东深圳·中考真题）一元二次方程x2－2(3x－2)+(x+1)=0的一般形式是( )
A．x2－5x+5=0B．x2+5x－5=0C．x2+5x+5=0D．x2+5=0
【答案】A
【详解】一元二次方程的一般式为：ax2+bx+c=0(a≠0)，
将原方程去括号为：x2-6x+4+x+1=0，
合并为：x2-5x+5=0，
故答案为：A.
【点睛】考点：一元二次方程的一般式.
【变式2-1】（2022·江苏·徐州东湖实验学校二模）一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．2，﹣3，﹣7B．2，﹣7，﹣3C．2，﹣7，3D．﹣2，﹣3，7
【答案】A
【分析】根据一元二次方程的概念，方程的解的概念以及配方法解一元二次方程的一般步骤对选项进行判断即可．一元二次方程的一般形式是：（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
【详解】解：一元二次方程化为一般形式为：，
∴二次项系数、一次项系数、常数项分别是，
故选A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．
【变式2-2】（2022·湖北黄冈·一模）方程化为一般形式后，的值分别是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】先通过移项把方程化成一般形式，再找二次项系数､一次项系数和常数项即可．
【详解】解：由原方程移项，得
，
所以．
故选：C．
【点睛】本题考查一元二次方程的一般形式，确定二次项系数，一次项系数，常数项，解题关键是利用移项化一元二次方程一般式．
【变式2-3】（2022·黑龙江牡丹江·模拟预测）关于x的一元二次方程化为一般形式后不含一次项，则m的值为（ ）
A．0B．±3C．3D．－3
【答案】D
【分析】把原方程化为一般形式，根据一元二次方程的定义、一次项的概念列式计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
由题意得：m－3≠0且m2－9＝0，
解得：m＝－3，
故选：D．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义，把一元二次方程化为一般形式，是解题的关键．
【考点3 一元二次方程的解】
【例3】（2022·青海·中考真题）已知关于x的方程的一个根为，则实数m的值为（ ）
A．4B．C．3D．
【答案】B
【分析】根据方程根的定义，将代入方程，解出m的值即可．
【详解】解：关于x的方程的一个根为，
所以，
解得．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握由方程的根求待定系数的方法是将根代入方程求解．
【变式3-1】（2022·四川遂宁·中考真题）已知m为方程的根，那么的值为（ ）
A．B．0C．2022D．4044
【答案】B
【分析】根据题意有，即有，据此即可作答．
【详解】∵m为的根据，
∴，且m≠0，
∴，
则有原式=，
故选：B．
【点睛】本题考查了利用未知数是一元二次方程的根求解代数式的值，由m为得到是解答本题的关键．
【变式3-2】（2022·河北·中考真题）小刚在解关于x的方程时，只抄对了a＝1，b＝4，解出其中一个根是x＝﹣1．他核对时发现所抄的c比原方程的c值小2．则原方程的根的情况是（ ）
A．不存在实数根B．有两个不相等的实数根C．有一个根是x＝﹣1D．有两个相等的实数根
【答案】A
【分析】先根据“只抄对了a＝1，b＝4，解出其中一个根是x＝﹣1”求出所抄的c，再求出原方程的c值，再用根的判别式判断根的情况即可．
【详解】解：∵小刚在解关于x的方程时，只抄对了a＝1，b＝4，解出其中一个根是x＝﹣1，
∴﹣4+c＝0，
解得：c＝3，
故原方程中c＝5，
则＝16﹣4×1×5＝﹣4＜0，
则原方程的根的情况是不存在实数根．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的根、根的判别式等知识，熟练掌握根的判别式是解题的关键．
【变式3-3】（2022·江苏南通·二模）若关于x的一元二次方程的一个根是，则一元二次方程必有一根为（ ）．
A．2020B．2021C．2022D．2023
【答案】A
【分析】对一元二次方程变形，设t＝x＋2得到，利用的一个根是可得t＝2022，从而求出x即可．
【详解】解：对于一元二次方程即，
设t＝x＋2，则可得，
而关于x的一元二次方程的一个根是，
所以有一个根为t＝2022，
所以x＋2＝2022，
解得x＝2020，
所以一元二次方程必有一根为x＝2020，
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
【要点3 配方法解一元二次方程】
将一元二次方程配成的形式，再用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为的形式；②方程两边同除以二
次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④
把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法
来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
【考点4 配方法解一元二次方程】
【例4】（2022·山东聊城·中考真题）用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】B
【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，继而得出答案．
【详解】解：∵，
∴，，
则，即，
∴，，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．
【变式4-1】（2022·四川雅安·中考真题）若关于x的一元二次方程x2+6x+c＝0配方后得到方程（x+3）2＝2c，则c的值为（ ）
A．﹣3B．0C．3D．9
【答案】C
【分析】先移项把方程化为再配方可得结合已知条件构建关于c的一元一次方程，从而可得答案．
【详解】解：x2+6x+c＝0，
移项得：
配方得： 而（x+3）2＝2c，

解得：
故选C
【点睛】本题考查的是配方法，掌握“配方法解一元二次方程的步骤”是解本题的关键．
【变式4-2】（2022·河北保定·三模）下面是小颖同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成任务．
(1)任务一：
①小颖解方程的方法是____；
②第二步变形的依据是____；
(2)任务二：请你用“公式法”解该方程．
【答案】(1)配方法，等式性质
(2)，
【分析】（1）任务一，结合配方法解一元二次方程的步骤求解即可；
（2）任务二，利用公式法求解即可．
（1）
解：小颖是将方程左边配成完全平方形式，
小颖解方程的的方法是配方法，等式变形的依据是等式性质；
（2）
解：∵，，，
∴，
则，
∴，．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力， 熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
【变式4-3】（2022·浙江绍兴·一模）将一元二次方程 ax2+bx+c=0，化为 （ x  m）2 ，则 m为____．
【答案】
【分析】利用一元二次方程的配方逐步变形可得到答案．
【详解】解：因为
移项：
因为：，把二次项系数化1：
配方：
整理：
比对：
所以：
所以：
故答案为：
【点睛】本题考查的是配方法的掌握，所以熟知配方法是关键．
【要点4 公式法解一元二次方程】
当时，方程通过配方，其实数根可写为的形式，这个
式子叫做一元二次方程的求根公式，把各项系数的值直接代入这个公式，这种解
一元二次方程的方法叫做公式法.
【考点5 公式法解一元二次方程】
【例5】（2022·四川成都·中考真题）若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程的两个实数根，则这个直角三角形斜边的长是_________．
【答案】
【分析】由题意解一元二次方程得到或，再根据勾股定理得到直角三角形斜边的长是．
【详解】解：一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程的两个实数根，
由公式法解一元二次方程可得，
根据勾股定理可得直角三角形斜边的长是，
故答案为：．
【点睛】本题考查勾股定理求线段长，根据题意解出一元二次方程的两根是解决问题的关键．
【变式5-1】（2022·北京东城·一模）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)若k为正整数，且方程的两个根均为整数，求k的值及方程的两个根．
【答案】(1)
(2)k=2，方程的两个根为，
【分析】(1)根据题意和一元二次方程根的判别式得到，解不等式即可求得；
(2)首先根据(1)可知，k的值只能是1或2，分别代入方程，解方程，再根据方程的两个根均为整数，即可解答．
（1）
解：关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根
解得
故k的取值范围为
（2）
解：且k为正整数
k的值只能是1或2
当k=1时，方程为
解得
方程的两个根均为整数
k=1不合题意，舍去
当k=2时，方程为
解得，
方程的两个根均为整数，符合题意
故k=2，方程的两个根为，
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式及解一元二次方程的方法，熟练掌握和运用一元二次方程根的判别式及解一元二次方程的方法是解决本题的关键．
【变式5-2】（2022·全国·九年级课时练习）设m为整数，且，方程有两个不相等的整数根，求m的值及方程的根．
【答案】当m=8时，x=17或9；当m=18时，x=39或27
【分析】方程有整数根，则根的判别式就为完全平方数，所以就是求使△为完全平方数且大于0的m的值，求得后再代入方程检验即可．
【详解】解：解方程
得
∵原方程有两个不相等的整数根，
∴为完全平方数，
又∵m为整数，且3∴m=8或18
∴当m=8时，x=17或9
当m=18时，x=39或27
【点睛】一元二次方程有整数根，必须满足根的判别式Δ=b2-4ac非负或为完全平方数，可根据这两个条件来限定待定系数的取值范围，从而找出解题的思路．
【变式5-3】（2022·山东·龙口市培基学校八年级期中）关于x的一元二次方程x2+（k+3）x+3k＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）选取一个合适的k值，使得方程有两个整数根，并求出这两个整数根．
【答案】（1）证明见解析；（2）为整数时，方程有两个整数根，这两个整数根分别为：，
【分析】（1）根据一元二次方程判别式的性质分析，即可得到答案；
（2）根据公式法求解一元二次方程，结合题意分析，即可得到答案．
【详解】（1）∵，
∴方程总有两个实数根；
（2）∵一元二次方程x2+（k+3）x+3k＝0．
∴，
当时，，
∴，
∴或，
∴，且为整数时，方程有两个整数根，
当时，，
∴，
∴或，
∴，且为整数时，方程有两个整数根，
∴为整数时，方程有两个整数根，这两个整数根分别为：，．
【点睛】本题考查了一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程判别式、公式法求解一元二次方程的性质，从而完成求解．
【要点5 因式分解法解一元二次方程】
当一个一元二次方程的一边是0，另一边能分解为两个一次因式的乘积时，就可以把解这样的一元二次方程
转化为解两个一元一次方程，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.
【考点6 因式分解法解一元二次方程】
【例6】（2022·内蒙古包头·中考真题）若是方程的两个实数根，则的值为（ ）
A．3或B．或9C．3或D．或6
【答案】A
【分析】结合根与系数的关系以及解出方程进行分类讨论即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
,则两根为：3或-1，
当时，，
当时，，
故选：A．
【点睛】此题考查了根与系数的关系以及解二元一次方程，正确解出方程进行分类讨论是解题的关键．
【变式6-1】（2022·山东临沂·中考真题）方程的根是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【分析】先把方程的左边分解因式化为从而可得答案．
【详解】解：，

或
解得：
故选B
【点睛】本题考查的是利用因式分解的方法解一元二次方程，掌握“十字乘法分解因式”是解本题的关键．
【变式6-2】（2022·江苏扬州·二模）已知实数a，b同时满足，则b的值是（ ）
A．2或B．2C．或6D．
【答案】B
【分析】由实数a，b同时满足，先消去a，求解b，再检验即可．
【详解】解： 实数a，b同时满足，


解得：
当时，不合题意，故舍去，
所以
故选：B
【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，非负数的性质，掌握加减消元法是解决本题的关键．
【变式6-3】（2022·山东枣庄·中考真题）已知y1和y2均是以x为自变量的函数，当x＝n时，函数值分别是N1和N2，若存在实数n，使得N1+N2＝1，则称函数y1和y2是“和谐函数”．则下列函数y1和y2不是“和谐函数”的是（ ）
A．y1＝x2+2x和y2＝﹣x+1B．y1＝和y2＝x+1
C．y1＝﹣和y2＝﹣x﹣1D．y1＝x2+2x和y2＝﹣x﹣1
【答案】B
【分析】根据题意，令y1+y2＝1，若方程有解，则称函数y1和y2是“和谐函数”，若无解，则称函数y1和y2不是“和谐函数”．
【详解】A、令y1+y2＝1，
则x2+2x﹣x+1＝1，
整理得：x2+x＝0，
解得：x1＝0，x2＝﹣1，
∴函数y1和y2是“和谐函数”，故A不符合题意；
B、令y1+y2＝1，
则+x+1＝1，
整理得：x2+1＝0，
此方程无解，
∴函数y1和y2不是“和谐函数”，故B符合题意；
C、令y1+y2＝1，
则﹣﹣x﹣1＝1，
整理得：x2+2x+1＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝﹣1，
∴函数y1和y2是“和谐函数”，故C不符合题意；
D、令y1+y2＝1，
则x2+2x﹣x﹣1＝1，
整理得：x2+x﹣2＝0，
解得：x1＝1，x2＝﹣2，
∴函数y1和y2是“和谐函数”，故D不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了解一元二次方程、分式方程，根据题意令y1+y2＝1，然后进行求解是解题的关键．
【考点7 换元法解一元二次方程】
【例7】（2022·江苏南京·二模）若关于x的方程ax2+bx+c=0的解是x1=3，x2=−5，则关于y的方程a(y+1)2+b(y+1)+c=0的解是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【分析】设t=y+1，则原方程可化为at2+bt+c=0，根据关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的解为x1=3，x2=-5，得到t1=3，t2=-5，于是得到结论．
【详解】解：设t=y+1，
则原方程可化为at2+bt+c=0，
∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的解为x1=3，x2=-5，
∴t1=3，t2=-5，
∴y+1=3或y+1=-5，
解得y1=2，y2=-6．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了换元法解一元二次方程，关键是正确找出两个方程解的关系．
【变式7-1】（2022·内蒙古包头·一模）若实数x，y满足，则的值为（ ）
A．－1B．2C．－1或2D．－2或1
【答案】C
【分析】设：，则变为，进而解含a的一元二次方程，即可求出x+y的值．
【详解】解：设：，则变为，
变形可得：，则，则，
解得：，即的值为2或﹣1，
故选：C．
【点睛】本题考查解一元二次方程，整体思想，能够将等式转化为一元二次方程是解决本题的关键．
【变式7-2】（2022·江苏无锡·模拟预测）阅读下列材料：
已知实数m，n满足（2m2＋n2＋1）（2m2＋n2－1）＝80，试求2m2＋n2的值．
解：设2m2＋n2＝t，则原方程变为（t＋1）（t－1）＝80，整理得t2－1＝80，t2＝81，
所以t＝±9，因为2m2＋n2≥0，所以2m2＋n2＝9．
上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．
根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程．
（1）已知实数x、y，满足（2x2＋2y2＋3）（2x2＋2y2－3）＝27，求x2＋y2的值；
（2）已知Rt△ACB的三边为a、b、c（c为斜边），其中a、b满足（a2＋b2）（a2＋b2－4）＝5，求Rt△ACB外接圆的半径．
【答案】（1）3；（2）
【分析】（1）设2x2＋2y2＝t，则原方程变为（t＋3）（t−3）＝27，解出一元二次方程即可；
（2）设a2＋b2＝t，则原方程变为t（t−4）＝5，整理得t2﹣4t﹣5＝0，，可求a2＋b2＝5，再由直角三角形的性质可得c＝，即可求解．
【详解】解：（1）设2x2＋2y2＝t，则原方程可变为（t＋3）（t﹣3）＝27，
解得：t＝±6，
∵2x2＋2y2≥0，∴2x2＋2y2＝6，
∴x2＋y2＝3；
（2）（a2＋b2）（a2＋b2﹣4）＝5，
设a2＋b2＝t，则原方程可变为t（t﹣4）＝5，
即t2﹣4t﹣5＝0，
解得t1＝5，t2＝﹣1，
∵a2＋b2≥0，
∴a2＋b2＝5，
∴c2＝5，
∴c＝，
∴外接圆的半径为．
【点睛】本题考查因式分解的应用，一元二次方程的解法，直角三角形的性质；能够将换元法灵活应用，结合直角三角形外接圆的特点解题是关键．
【变式7-3】（2022·湖北黄石·中考真题）阅读材料，解答问题：
材料1
为了解方程，如果我们把看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为，．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法．
材料2
已知实数m，n满足，，且，显然m，n是方程的两个不相等的实数根，由书达定理可知，．
根据上述材料，解决以下问题：
(1)直接应用：
方程的解为_______________________；
(2)间接应用：
已知实数a，b满足：，且，求的值；
(3)拓展应用：
已知实数x，y满足：，且，求的值．
【答案】(1)，，，
(2)或
(3)15
【分析】（1）利用换元法降次解决问题；
（2）模仿例题解决问题即可；
（3）令=a，-n=b，则+a-7=0， +b=0，再模仿例题解决问题．
（1）
解：令y=，则有-5y+6=0，
∴（y-2）（y-3）=0，
∴=2，=3，
∴=2或3，
∴，，，，
故答案为：，，，；
（2）
解：∵，
∴或
①当时，令，，
∴则，，
∴，是方程的两个不相等的实数根，
∴，
此时；
②当时，，
此时；
综上：或
（3）
解：令，，则，，
∵，
∴即，
∴，是方程的两个不相等的实数根，
∴，
故．
【点睛】本题考查了根与系数的关系，幂的乘方与积的乘方，换元法，解一元二次方程等知识，解题的关键是理解题意，学会模仿例题解决问题．
【要点6 一元二次方程根的判别式】
一元二次方程根的判别式：．
①当时，原方程有两个不等的实数根；
②当时，原方程有两个相等的实数根；
③当时，原方程没有实数根.
【考点8 根的判别式】
【例8】（2022·辽宁锦州·中考真题）若关于x的方程有两个不相等的实数根，且，则从满足条件的所有整数m中随机选取一个，恰好是负数的概率是____________．
【答案】##0.5
【分析】根据题意，由关于x的一元二次方程的根的判别式，可计算，再结合可知，进而推导满足条件的所有整数为-3、-2、-1、0、1、2共计6个，其中负数有3个，由简单概率的计算公式即可得出结果．
【详解】解：根据题意，关于x的方程有两个不相等的实数根，
故该一元二次方程的根的判别式，即，
解得，
又∵，
∴，
∴满足条件的所有整数为-3、-2、-1、0、1、2共计6个，其中负数有-3、-2、-1共计3个，
∴满足条件的所有整数m中随机选取一个，恰好是负数的概率是．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式、简单概率计算等知识，解题关键是读懂题意，综合运用所学知识解决问题．
【变式8-1】（2022·内蒙古内蒙古·中考真题）对于实数a，b定义运算“⊗”为，例如，则关于x的方程 的根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．无实数根D．无法确定
【答案】A
【分析】先根据新定义得到关于x的方程为，再利用一元二次方程根的判别式求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选A．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，新定义下的实数运算，正确得到关于x的方程为是解题的关键．
【变式8-2】（2022·辽宁·本溪市教师进修学院中考真题）下列一元二次方程无实数根的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用一元二次方程根的判别式判断即可；
【详解】解：A．，方程有两个不等的实数根，不符合题意；
B．，方程有两个不等的实数根，不符合题意；
C．，方程没有实数根，符合题意；
D．，方程有两个相等的实数根，不符合题意；
故选： C．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c（a≠0）根的判别式△=b2-4ac：△＞0时方程有两个不等的实数根；△=0时方程有两个相等的实数根；△＜0时方程没有实数根．
【变式8-3】（2022·四川·巴中市教育科学研究所中考真题）对于实数，定义新运算：，若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围（ ）
A．B．C．且D．且
【答案】A
【分析】根据新定义运算法则列方程，然后根据一元二次方程的概念和一元二次方程的根的判别式列不等式组求解．
【详解】解：∵，
∴，
即，
∵关于的方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题属于新定义题目，考查一元二次方程的根的判别式，熟练掌握根的判别式当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0方程没有实数根．
【要点7 一元二次方程的根与系数的关系】
如果一元二次方程的两个实数根是x1,x2，那么x1+x2=, x1x2=
注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0.
也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.
【考点9 根与系数的关系】
【例9】（2022·湖北鄂州·中考真题）若实数a、b分别满足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，且a≠b，则的值为 _____．
【答案】
【分析】先根据题意可以把a、b看做是一元二次方程的两个实数根，利用根与系数的关系得到a+b=4，ab=3，再根据进行求解即可．
【详解】解：∵a、b分别满足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，
∴可以把a、b看做是一元二次方程的两个实数根，
∴a+b=4，ab=3，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了分式的求值，一元二次方程根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
【变式9-1】（2022·四川宜宾·中考真题）已知m、n是一元二次方程的两个根，则的值为（ ）
A．0B．－10C．3D．10
【答案】A
【分析】根据一元二次方程根与系数关系得出mn=－5，把x=m代入方程得m2+2m-5=0，即m2+2m=5，代入即可求解．
【详解】解：∵m、n是一元二次方程的两个根，
∴mn=－5，m2+2m-5=0，
∴m2+2m=5，
∴=5－5=0，
故选：A．
【点睛】本题考查代数式求值，一元二次方程根与系数关系，方程解的意义，根据一元二次方程根与系数关系和方程解的意义得出mn=-5，m2+2m=5是解题的关键．
【变式9-2】（2022·贵州黔东南·中考真题）已知关于的一元二次方程的两根分别记为，，若，则的值为（ ）
A．7B．C．6D．
【答案】B
【分析】根据根与系数关系求出=3，a=3，再求代数式的值即．
【详解】解：∵一元二次方程的两根分别记为，，
∴+=2，
∵，
∴=3，
∴·=-a=-3，
∴a=3，
∴．
故选B．
【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数关系，代数式的值，掌握一元二次方程的根与系数关系，代数式的值是解题关键．
【变式9-3】（2022·湖北武汉·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，则（ ）
A．2或6B．2或8C．2D．6
【答案】A
【分析】根据一元二次方程有实数根先确定m的取值范围，再根据一元二次方程根与系数的关系得出，把变形为，再代入得方程，求出m的值即可．
【详解】解:∵关于x的一元二次方程有两个实数根,
∴,
∴
∵是方程的两个实数根,
∵，
又
∴
把代入整理得,
解得,
故选A
【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）由根与系数的关系结合，找出关于m的一元二次方程．
【考点10 配方法的应用】
【例10】（2022·四川凉山·中考真题）已知实数a、b满足a－b2＝4，则代数式a2－3b2＋a－14的最小值是________．
【答案】6
【分析】根据a－b2＝4得出，代入代数式a2－3b2＋a－14中，通过计算即可得到答案．
【详解】∵a－b2＝4
∴
将代入a2－3b2＋a－14中
得：
∵
∴
当a=4时，取得最小值为6
∴的最小值为6
∵
∴的最小值6
故答案为：6．
【点睛】本题考查了代数式的知识，解题的关键是熟练掌握代数式的性质，从而完成求解．
【变式10-1】（2022·河北保定·一模）已知：A、B是两个整式，A＝3a2﹣a+1，B＝2a2+a﹣2．
尝试当a＝0时，A＝______，B＝______．
当a＝2时，A＝______，B＝______．
猜测 嘉淇猜测：无论a为何值，A＞B始终成立．
验证 请证明嘉淇猜测的结论．
【答案】1，-2；11，9；证明见解析
【分析】把a＝0与a＝2代入代数式进行计算可得代数式的值，再利用作差的方法比较A，B的大小.
【详解】解：当a＝0时，A＝1，B＝-2．
当a＝2时，A＝
B＝．
此时都有
嘉淇猜测：无论a为何值，A＞B始终成立．理由如下：


而 则
即
【点睛】本题考查的是求解代数式的值，利用作差法比较代数式的值的大小，同时考查了配方法的应用，熟练的利用配方法判断一个代数式的值的范围是解本题的关键.
【变式10-2】（2022·山东滨州·三模）新定义：关于x的一元二次方程a1(x﹣m)2+k＝0与a2(x﹣m)2+k＝0称为“同族二次方程”．如2(x﹣3)2+4＝0与3(x﹣3)2+4＝0是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程2(x﹣1)2+1＝0与(a+2)x2+(b﹣4)x+8＝0是“同族二次方程”，那么代数式ax2+bx+2026能取的最小值是（ ）
A．2020B．2021C．2023D．2018
【答案】B
【分析】根据同族二次方程，可得出a和b的值，从而解得代数式的最小值．
【详解】解：∵2（x﹣1）2+1＝0与（a+2）x2+（b﹣4）x+8＝0是“同族二次方程”，
∴（a+2）x2+（b﹣4）x+8＝（a+2）（x﹣1）2+1，
即（a+2）x2+（b﹣4）x+8＝（a+2）x2﹣2（a+2）x+a+3，
∴，
解得：，
∴ax2+bx+2026＝5x2﹣10x+2026＝5（x﹣1）2+2021，
则代数式ax2+bx+2026能取的最小值是2021．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了配方法的应用，解二元一次方程组的方法，理解同族二次方程的规律是解答本题的关键．
【变式10-3】（2022·云南昆明·一模）我们可以用以下方法求代数式的最小值．
∵
∴
∴当时，有最小值．
请根据上述方法，解答下列问题：
(1)求代数式的最小值；
(2)求代数式的最大或最小值，并指出它取得最大值或最小值时x的值；
(3)求证：无论x和y取任何实数，代数式的值都是正数．
【答案】(1)-2
(2)当时，有最大值
(3)证明见详解
【分析】（1）根据题中所给方法进行求解即可；
（2）由题中所给方法可得，然后问题可求解；
（3）由题意可得，进而问题可求解．
(1)
解：由题意得：
，
∵
∴
∴当时，有最小值．
(2)
解：由题意得：，
∵
∴
∴当时，有最大值．
(3)
解：由题意得：
=
=；
∵
∴，
∴无论x和y取任何实数，代数式的值都是正数．
【点睛】本题主要考查配方法的应用及完全平方公式，熟练掌握配方法及完全平方公式是解题的关键．
【考点11 根据实际问题抽象出一元二次方程】
【例11】（2022·宁夏·中考真题）受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势．某地号汽油价格三月底是元/升，五月底是元/升．设该地号汽油价格这两个月平均每月的增长率为，根据题意列出方程，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】设该地号汽油价格这两个月平均每月的增长率为，根据三月底和五月底92号汽油价格，得出关于x的一元二次方程即可．
【详解】解：依题意，得．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程解决实际问题的知识，找准数量关系，正确列出一元二次方程式解题关键．
【变式11-1】（2022·山东泰安·中考真题）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】设这批椽的数量为x株，则一株椽的价钱为3（x−1）文，利用总价＝单价×数量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：∵这批椽的数量为x株，每株椽的运费是3文，少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，
∴一株椽的价钱为3（x−1）文，依题意得：3（x−1）x＝6210，
故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【变式11-2】（2022·青海·中考真题）如图，小明同学用一张长11cm，宽7cm的矩形纸板制作一个底面积为的无盖长方体纸盒，他将纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形，将四周向上折叠即可（损耗不计）．设剪去的正方形边长为xcm，则可列出关于x的方程为______．
【答案】
【分析】设剪去的正方形边长为xcm，根据题意，列出方程，即可求解．
【详解】解：设剪去的正方形边长为xcm，根据题意得：
．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
【变式11-3】（2022·山东济宁·一模）宾馆有50间房供游客居住，当每间房每天定价为180元时，宾馆会住满；当每间房每天的定价每增加10元时，就会空闲一间房，如果有游客居住，宾馆需对居住的每间房每天支出20元的费用．当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为10890元？设房价比定价180元增加x元，则有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】设房价比定价180元增加x元，根据利润=房价的净利润×入住的房间数可得．
【详解】解：设房价比定价180元增加x元，
根据题意，得．
故选：C．
【点睛】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是理解题意找到题目蕴含的相等关系．
【考点12 一元二次方程的应用】
【例12】（2022·湖北荆门·中考真题）某商场销售一种进价为30元/个的商品，当销售价格x（元/个）满足40＜x＜80时，其销售量y（万个）与x之间的关系式为y＝﹣x+9．同时销售过程中的其它开支为50万元．
(1)求出商场销售这种商品的净利润z（万元）与销售价格x函数解析式，销售价格x定为多少时净利润最大，最大净利润是多少？
(2)若净利润预期不低于17．5万元，试求出销售价格x的取值范围；若还需考虑销售量尽可能大，销售价格x应定为多少元？
【答案】(1)z＝﹣+12x﹣320，当x＝60时，z最大，最大利润为40
(2)45≤x≤75，x＝45时，销售量最大
【分析】（1）根据总利润＝单价利润×销量﹣40，可得 z 与x的函数解析式，再求出时，z最大，代入即可．
（2）当 z =17.5时，解方程得出x的值，再根据函数的增减性和开口方向得出 x的范围，结合 y 与 x的函数关系式，从而解决问题．
（1）
由题可知：
z＝y（x﹣30）﹣50
＝（﹣）（x﹣30）﹣50
＝﹣+12x﹣320，
∴当时，z最大，
∴最大利润为：﹣＝40；
（2）
当z＝17.5时，17.5＝﹣+12x﹣320，
∴x1＝45，x2＝75，
∵净利润预期不低于17.5万元，且a＜0，
∴45≤x≤75，
∵y＝﹣x+9．y随x的增大而减小，
∴x＝45时，销售量最大．
【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，二次函数的性质，一次函数的性质等知识，正确列出 z 关于x的函数的解析式是解题的关键．
【变式12-1】（2022·黑龙江·中考真题）2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？（ ）
A．8B．10C．7D．9
【答案】B
【分析】设有x支队伍，根据题意，得，解方程即可．
【详解】设有x支队伍，根据题意，得，
解方程，得x1=10，x2=-9（舍去），
故选B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
【变式12-2】（2022·辽宁丹东·中考真题）丹东是我国的边境城市，拥有丰富的旅游资源．某景区研发一款纪念品，每件成本为30元，投放景区内进行销售，规定销售单价不低于成本且不高于54元，销售一段时间调研发现，每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，部分数据如下表所示：
(1)直接写出y与x的函数关系式；
(2)若每天销售所得利润为1200元，那么销售单价应定为多少元？
(3)当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)y＝﹣2x+160
(2)销售单价应定为50元
(3)当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润1248元
【分析】（1）设每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）之间的关系式为y＝kx+b，用待定系数法可得y＝﹣2x+160；
（2）根据题意得（x﹣30）•（﹣2x+160）＝1200，解方程并由销售单价不低于成本且不高于54元，可得销售单价应定为50元；
（3）设每天获利w元，w＝（x﹣30）•（﹣2x+160）＝﹣2x2+220x﹣4800＝﹣2（x﹣55）2+1250，由二次函数性质可得当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润，1248元．
【详解】（1）解：设每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）之间的关系式为y＝kx+b，
把（35，90），（40，80）代入得：，
解得，
∴y＝﹣2x+160；
（2）根据题意得：（x﹣30）•（﹣2x+160）＝1200，
解得x1＝50，x2＝60，
∵规定销售单价不低于成本且不高于54元，
∴x＝50，
答：销售单价应定为50元；
（3）设每天获利w元，
w＝（x﹣30）•（﹣2x+160）＝﹣2x2+220x﹣4800＝﹣2（x﹣55）2+1250，
∵﹣2＜0，对称轴是直线x＝55，
而x≤54，
∴x＝54时，w取最大值，最大值是﹣2×（54﹣55）2+1250＝1248（元），
答：当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润，1248元．
【点睛】本题考查一次函数，一元二次方程和二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式和一元二次方程．
【变式12-3】（2022·重庆巴蜀中学二模）为了提升干线公路美化度，相关部门拟定派一个工程队对39000米的公路进行路面“白改黑”工程．该工程队计划使用一大一小两种型号设备交替的方式施工，原计划小型设备每小时铺设路面30米，大型设备每小时铺设路面60米．
(1)由于小型设备工作效率较低，该工程队计划使用大型设备的时间比使用小型设备的时间多，当这个工程完工时，小型设备的使用时间为多少小时？
(2)通过勘察、又新增了部分支线公路美化，结果此工程的实际施工里程比最初拟定的里程39000米多了9000米，于是在实际施工中，小型设备在铺设公路效率不变的情况下，使用时间比原计划增加了18m小时，同时，因为新增的工人操作大型设备不够熟练，使得比原计划每小时下降了m米，使用时间增加了小时，求m的值．
【答案】(1)300
(2)5
【分析】（1）设小型设备的使用时间为x小时，则大型设备的使用时间为小时，根据题意列出方程，即可求解；
（2）由（1）得：大型设备的原来使用时间为小时，根据题意可得小型设备的使用时间为小时，大型设备铺设公路每小时为米，大型设备的使用时间为小时，根据题意列出方程，即可求解．
【详解】（1）解：设小型设备的使用时间为x小时，则大型设备的使用时间为小时，根据题意得：
，
解得：，
答：小型设备的使用时间为300小时；
（2）解：由（1）得：大型设备的原来使用时间为小时，
根据题意得：小型设备的使用时间为小时，大型设备铺设公路每小时为米，大型设备的使用时间为小时，
∴，
整理得：，
解得：（舍去）．
即m的值为5．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
解：第一步
第二步
第三步
第四步
，第五步
销售单价x（元/件）
…
35
40
45
…
每天销售数量y（件）
…
90
80
70
…