江苏省南通市海安市 十三校联考2023-2024学年七年级下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题（本答题共10小题，每小题3分，共30分）
1. 如图所示，四幅汽车标志设计中，能通过平移得到的是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】根据平移的定义：“把一个图形沿着一定的方向移动一定的距离的图形变换叫做图形的平移”分析可知，A选项中的图形可通过平移得到，其余三个选项中的图形不能通过平移得到．
故选A．
2. 如图，点在的延长线上，下列条件中能判断的是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
根据平行线的判定定理分别进行分析即可．
【详解】解：A、，能判断，但不可判断，故此选项不符合题意；
B、可判断，故此选项符合题意；
C、能判断，但不可判断，故此选项不符合题意；
D、能判断，但不可判断，故此选项不符合题意；
故选：B．
3. 在－2，，，3.14， ，，这6个数中，无理数共有( )
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
【答案】C
【解析】
【详解】解：－2，， 3.14， 是有理数；
，是无理数；
故选C．
【点睛】本题考查了算术平方根，立方根，无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，无理数通常有以下三种形式，①开方开不尽的数，如 ， 等；②圆周率π；③构造的无限不循环小数，如 （0的个数一次多一个）．
4. 下列命题中，是真命题的是（ ）
A. 如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行
B. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行
C. 同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线
D. 同位角相等
【答案】C
【解析】
【分析】利用平行线判定与垂线的性质分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：A、在同一平面内，如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行，则原命题是假命题，故本选项不符合题意；
B、过一直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，则原命题是假命题，故本选项不符合题意；
C、同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线，是真命题，故本选项符合题意；
D、两直线平行，同位角相等，则原命题是假命题，故本选项不符合题意；
故选：C
【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及定理，难度不大．
5. 估计的值在（ ）
A. 和之间B. 和之间C. 和之间D. 和之间
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了无理数的估算，估算出的值即可得出答案，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴,
∴的值在和之间，
故选：C．
6. 点A(a－1，a－3)在x轴上，则点B(a－2,2a－3) 在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【详解】【分析】先推出a的值为3，再根据点的坐标符号可得出结果.
【详解】因为点A(a－1，a－3)在x轴上，所以a－3＝0.所以a＝3.所以a－2＝1,2a－3＝3.
所以点B在第一象限．所以B,C,D错误.
故正确选项为A.
【点睛】此题考查在坐标系中的坐标特点.搞清楚点坐标的符号是关键.
7. 线段是由线段平移得到的，点（-2，3）的对应点为（2，-1），则点（1，1）的对应点的坐标为（ ）
A. （-1，-3）B. （5，3）C. （5，-3）D. （0，3）
【答案】C
【解析】
【详解】∵点（-2，3）的对应点为（2，-1），
∴把点A向右移动了4个单位长度，向下移动了4个单位长度，
∴点D的坐标为（5，-3）
故选C
8. 如图是在的小正方形组成的网格中，画的一张脸的示意图，如果用和表示眼睛，那么嘴的位置可以表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据左右眼睛的坐标画出直角坐标系，然后写出嘴的位置对应的点的坐标．
【详解】解：如图，建立平面直角坐标系：
可知嘴的位置对应的点的坐标为．
故选D．
【点睛】本题考查用坐标确定位置，解题的关键是根据已知点的坐标建立平面直角坐标系．
9. 如图，点在一条直线上，是锐角，则的余角是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了余角与补角的知识，解题关键是将进行适当的变形，从而与的余角产生联系．根据题意，和互补，可得，即有，而的余角为，即可求得答案．
【详解】解：由图知，
∴，
∴．
故选：C．
10. 如图①，一张四边形纸片ABCD，，，若将其按照图②所示方式折叠后，恰好，,则的度数为( )
A. 75B. 70C. 85D. 80
【答案】D
【解析】
【分析】先根据翻折变换的性质得出∠1=∠D′MN，∠2=∠D′NM，再由平行线的性质求出∠1+∠D′MN及∠2+∠D′NM的度数，进而可得出结论．
【详解】解：如图2：
∵△MND′由△MND翻折而成，
∴∠1=∠D′MN，∠2=∠D′NM，
∵MD′∥AB，ND′∥BC，∠A=50°，∠C=150°
∴∠1+∠D′MN=∠A=50°，∠2+∠D′NM=∠C=150°，
∴∠1=∠D′MN===25°，∠2=∠D′NM===75°，
∴∠D=180°-∠1-∠2=180°-25°-75°=80°．
故选D．
【点睛】本题考查的是翻折变换的性质及平行线的性质，解答此类题目时往往隐含了三角形的内角和是180°这一知识点．
二、填空题（共8小题，11～12题每题3分，13～18题每题4分，共30分）
11. 平方根是_________
【答案】
【解析】
【分析】先确定，再根据平方根定义可得的平方根是±.
【详解】因为，6的平方根是±，所以的平方根是±.
故正确答案为±.
【点睛】此题考查了算术平方根和平方根定义.此题关键要看清符号所表示的意义.
12. 把命题“同旁内角互补”写成“如果…，那么…．”的形式为______．
【答案】如果两个角是同旁内角，那么这两个角互补
【解析】
【分析】任何一个命题都可以写成“如果那么”的形式，如果是条件，那么是结论．分清题目的条件与结论，即可解答．
【详解】解：把命题“同旁内角互补”改写为“如果那么”的形式是：如果两个角是同旁内角，那么这两个角互补；
故答案为：如果两个角是同旁内角，那么这两个角互补．
【点睛】本题考查了命题，命题由题设和结论两部分组成，命题可写成“如果那么”的形式，其中如果后面的部分是题设，那么后面的部分是结论，难度适中．
13. 已知，那么___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了算术平方根的性质，根据算术平方根的性质求解即可，掌握算术平方根的性质是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：．
14. 已知点关于y轴的对称点Q的坐标是，则的值为_______．
【答案】25
【解析】
【分析】利用关于y轴对称点的性质得出关于a，b的方程组求出a，b的值，然后代入计算．
【详解】解：∵点关于y轴的对称点Q的坐标是，
∴，
解得：，
则ab的值为：．
故答案为：25．
【点睛】本题考查了坐标平面内的轴对称变换，关于x轴对称的两点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的两点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的两点，横坐标和纵坐标都互为相反数．
15. 已知点P(a,b)到x轴的距离是2，到y轴的距离是5，且| a-b |= a-b，则P点坐标是___________.
【答案】（5,2）或（5，-2）
【解析】
【详解】试题解析：∵点P(a,b)到x轴的距离是2
∴b=±2
∵点P(a,b)到到y轴的距离是5
∴a=±5
∵| a-b |= a-b
∴a-b>0，即a>b
∴a=5，b=±2
∴P点坐标是（5,2）或（5，-2）
16. 如图，在直角三角形中．点为边上一动点，连接，则的最小值是_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据垂线段最短可得，当AP⊥BC时，AP值最小，所以根据直角三角形面积公式，即可求解．
【详解】解：当AP⊥BC时，如图，此时AP值最小，
∵，，，BC=5，AP⊥BC，
∴，
∴
∴AP=，
故答案为：．
【点睛】本题考查垂线段最短，三角形面积，掌握垂线段最短是解题的关键．
17. 在同一平面内，若与的两边分别垂直，且比的3倍少，则的度数为___．
【答案】20°或125°
【解析】
【分析】根据两个角的两边分别垂直，画出图形，可得这两个角相等或互补，可设∠B是x度，利用方程即可解决问题．
【详解】解：设∠B是x度，则是(3x﹣40)度，根据题意得，
①如图1：∵∠AEC=∠BED，∠ACB=∠ADB=90°，
∴∠B＝∠A＝x，
∴x＝3x﹣40
解得，x＝20，
故∠A＝20°，
②如图2：延长DA交BC于点E，
∵∠BED+∠EAC=90°，∠BED+∠B=90°，
∴∠EAC=∠B
∴∠B+∠DAC＝180°，
∴x+3x﹣40＝180，
解得，x＝55，
3×55°﹣40°＝125°
故答案为：20°或125°．
【点睛】此题主要考查了垂线的性质和三角形内角和，解题关键是设未知数，根据题意画出图形，分类讨论，列出方程．
18. 在平面直角坐标系xOy中，对于点，，，有如下定义：若，，且，则称点M为P，Q的“k倍和点”，如，（2，1）为点，的“倍和点”．已知点，，若点C为点A，B的“k倍和点”，且的面积等于6，则k的值等于______．
【答案】
【解析】
【分析】先由A、B点有坐标得出ABx轴，AB=6，再根据的面积等于6，求出的AB边的高为2，从而得出点C到AB的距离=2，从侕 求得点C的纵坐标，再根据“k倍和点”的定义即可求出k值．
【详解】解：∵，，
∴ABx轴，AB=6，
设的AB边的高为h，
∵S△ABC==6，即=6
∴h=2，
则点C到AB的距离=2，
∵点C为点A，B的“k倍和点”，
当点C在AB上方时，则yC=1，
∴1=k(-1-1)，
解得：k=-；
∵k>0，
∴k=-不符合题意，舍去，
当点C在AB下方时，则yC=-3，
∴-3= k(-1-1)，
解得：k=；
故答案为：．
【点睛】本题考查新定义，图形与坐标，三角形面积，理解新定义，根据三角形积求出点C纵坐标是解题的关键．
三、解答题（共8小题，共90分）
19. 计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1）；
（2）；
（3）或；
（4）．
【解析】
【分析】（）利用算术平方根、立方根的定义，绝对值的性质计算即可求解；
（）去括号，合并同类项即可；
（）利用平方根的定义解答即可；
（）利用立方根的定义解答即可；
本题考查了实数的运算，利用平方根和立方根解方程，掌握算术平方根、平方根、立方根的定义是解题的关键．
【小问1详解】
解：原式
，
；
【小问2详解】
解：原式
；
【小问3详解】
解：∵，
∴，
∴或，
∴或；
【小问4详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴．
20. （）已知和互为相反数，且的平方根是它本身，求的平方根．
（）已知是实数，且，求的值．
【答案】（）；（）．
【解析】
【分析】（）由相反数的性质可得，进而得到，求出，又根据平方根等于本身的数只有，可得到，求出的值，即可得到的平方根；
（）由可得，根据算式平方根的非负性可得，求出的值，代入代数式计算即可求解；
本题考查了相反数、立方根、平方根、算式平方根，代数式求值，掌握平方根是它本身的数是及算术平方根的非负性是解题的关键．
【详解】解：（）和互为相反数，
，
，
，
∵的平方根是它本身，平方根等于本身的数只有，
∴，
∴，
∴，
的平方根为；
（），
，
，
解得，
∴．
21. 在平面直角坐标系中，．
（1）若，则__________．
（2）若，小智同学认为长度是定值，你同意他的观点吗？若同意，求出的长；若不同意，请说明理由；
【答案】（1）；
（2）正确，见解析．
【解析】
【分析】本题考查了平面直角坐标系点的特征，解题的关键是正确理解平面直角坐标系点的特征．
（1）求出，两点坐标，可得结论；
（2）用表示出点坐标，可得结论；
【小问1详解】
当，时，
则，，
∴，
故答案为：；
小问2详解】
小智同学的观点正确，理由：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的长是定值．
22. 填写下面证明过程或推理依据：
如图在中，已知，试说明．

解：∵（___________），
（已知）
∴___________（___________）
∴___________（___________）
∴___________（___________）
∵（已知）
∴（___________）
∴（___________）
∴（___________）
【答案】平角的定义；，同角的补角相等；，内错角相等，两直线平行；，两直线平行，内错角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补
【解析】
【分析】本题考查平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定定理和性质定理是解题的关键．
【详解】解：∵（平角的定义），
（已知），
∴（同角的补角相等），
∴（内错角相等，两直线平行），
∴（两直线平行，内错角相等），
∵（已知），
∴（等量代换），
∴（同位角相等，两直线平行），
∴（两直线平行，同旁内角互补），
故答案为：平角定义；，同角的补角相等；，内错角相等，两直线平行；，两直线平行，内错角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补．
23. 在平面直角坐标系中的位置如图所示，把向右平移3个单位，向下平移2个单位，得到．

（1）在图中画出；
（2）求的面积；
（3）点M在x轴上，与的面积相等，则点M的坐标为 ．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）根据平移变换的性质找出对应点即可求解；
（2）根据割补法求解即可；
（3）根据三角形面积公式结合（2）的结果求解即可．
【小问1详解】
解：如图，即为所求；
【小问2详解】
解：的面积为
；
【小问3详解】
解：∵与的面积相等，
∴，
解得：，
∵，
∴点M的坐标为或．
【点睛】本题考查了作图——平移变换，熟练掌握平移变换的性质是解题的关键．
24. 如图，已知∠1＝∠BDE，∠2＋∠3＝180°
（1）证明：ADEF．
（2）若DA平分∠BDE，FE⊥AF于点F，∠1＝40°，求∠BAC的度数．
【答案】（1）见解析 （2）70°
【解析】
【分析】（1）根据平行线的判定得出ACDE，根据平行线的性质得出∠2=∠ADE，求出∠3+∠ADE=180°，根据平行线的判定得出即可；（2）求出∠BDE的度数，求出∠2的度数，根据平行线的性质求出∠DAB=∠F=90°，再求出答案即可．
【小问1详解】
证明：∵∠1=∠BDE，
∴ACDE，
∴∠2=∠ADE，
∵∠2+∠3=180°，
∴∠3+∠ADE=180°，
∴ADEF；
【小问2详解】
解∶ ∵∠1=∠BDE，∠1=40°，∴∠BDE=40°，∵DA平分∠BDE，
∴∠ADE=∠BDE=20°，
∴∠2=∠ADE=20°，
∵FE⊥AF，
∴∠F=90°，由（1）得，ADEF，
∴∠BAD=∠F=90°，
∴∠BAC=∠BAD-∠2=90°-20°=70°．
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，三角形的内角和定理，能灵活运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．
25. 如图1，将一副三角板中的两个直角顶点叠放在一起，其中，，．
（1）观察猜想，与的数量关系是 ；与的数量关系是 ；
（2）类比探究，若按住三角板不动，顺时针绕直角顶点转动三角形，试探究当等于多少度时，画出图形并简要说明理由；
（3）拓展应用，若，求的度数；并直接写出此时与的位置关系．
【答案】（1）；；
（2）当等于或时，；
（3），或
【解析】
【分析】（1）依据，可得；依据，即可得到；
（2）分两种情况讨论，画出图形，根据平行线的判定，即可得到当等于或时，；
（3）根据，即可求出的度数；根据平行线的判定以及垂直的定义得到此时与的位置关系．
【小问1详解】
，，
，
，
，
，
故答案为：；；
【小问2详解】
分两种情况：
①如图1，当时，，
；
②如图2，当时，，
；
综上，当等于或时，；
【小问3详解】
设，则．
由（1）可知，，
，
，即，
此时，或
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握性质定理并且能够准确识图是解题的关键．
26. 如图，平面直角坐标系xOy中，长方形ABCD的边AB在x轴上，顶点A，B，C的坐标分别为，E为AB的中点，DC交y轴于点F．动点P从点E出发，以每秒2个单位长度的速度，顺时针沿长方形ADFO的边运动一周后回到点E．设点P运动时间为t秒，连接PD，DE．
（1）点D的坐标为______，点E的坐标为______；
（2）当点P在线段AO上时，求的面积（用含有t的式子表示）；
（3）在点P运动过程中，当时，请直接写出t的值．
【答案】（1）(-8，3)，(-3，0)
（2）当点P在线段AE上时，，当点P在线段OE上时，
（3）1，，5或10
【解析】
【分析】（1）根据长方形的性质，由点A、B的坐标即可得到D、E的坐标．
（2）按点P分别在AE、OE上时，根据坐标求出线段PE的长度，进而可以表示的面积．
（3）先求出长方形OBCF的面积，再根据点P分别在AD、DF、OF、OE、AE上时，表示出的面积，再根据题意建立数量关系求出对应的t值．
【小问1详解】
∵ABCD为长方形
又∵A，C
∴D(-8，3)
又∵点E为AB的中点，B（2,0）
∴E(-3，0)
【小问2详解】
如图所示，当P在线段AE上时：
∵点P从E出发以每秒2个单位长度的速度运动
∴PE=2t
如图所示，当P在线段OE上时：
∵点P从E出发以每秒2个单位长度的速度运动
∴此时PE=长方形OADF的周长-2t
∴PE=22-2t
∴
【小问3详解】
长方形OBCF的面积
由（2）知，当P在线段AE上时，3t=3，t=1；
当P在线段OE上时，33-3t=3，t=10；
当P在线段AD上时，
当P在线段DF上时，
当P在线段OF上时，
但当P在OF时，
故舍去．
综上所述，t的值为1，，5或10．
【点睛】本题考查分类讨论思想、坐标系中的面积问题，解决本题的关键是合理分类情况，做到不重不漏．