2023年吉林省长春市绿园区九年级中考二模数学试题（原卷版+解析版）

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注意事项：
1．答题前，考生务必将白己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内．
2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效．
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1. 的绝对值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了绝对值的定义，根据负数的绝对值等于它的相反数解答即可．
【详解】解：的绝对值是，即
．
故选：A．
2. 据教育部消息，目前我国建成世界规模最大职业教育体系，共有职业学校万所，在校生超过万人．数据用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：，
故选B．
【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．
3. 如图，该几何体在我国古代数学名著《九章算术》中被称为“堑堵”．“堑堵”的俯视图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了三视图，根据俯视图是从上往下看到的图形，即可作答．
【详解】解：依题意，“堑堵”的俯视图是，
故选：C
4. 不等式的解集在数轴上表示正确的是 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先解不等式得到，根据数轴表示数的方法得到解集在的左边．
【详解】解：，
移项得：，
系数化为1，得：．
故选：A．
【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式的解集：先求出不等式的解集，然后根据数轴表示数的方法把对应的未知数的取值范围通过画区间的方法表示出来，等号时用实心，不等时用空心．
5. 某路灯示意图如图所示，它是轴对称图形．若，，与地面垂直且，则灯顶A到地面的高度为（ ）m
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】过点E作于点E，过点C作于点M，，可得四边形是矩形，即可求出，再解直角三角形，求出，计算，即可得出结论
【详解】解：如图，过点E作于点E，过点C作于点M，
所以，四边形是矩形，
∴，
∵路灯图是轴对称图形，且，
∵
在中，
又
∴，
∴
即灯顶A到地面的高度为
故选：B
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
6. 如图，，为的两条弦，连接，，为的延长线上一点，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据的度数可先求出劣弧所对应的圆周角的度数，进而可得答案．
【详解】解：如图，在优弧上取点，连接，，
∵，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查圆内接四边形的性质与圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题关键．
7. 小丽同学要找到到三角形三个顶点距离相等的点，根据下列各图中圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到此点的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了作图基本作图，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质即可得到结论．
【详解】解：可用直尺成功找到此点的是B选项，
故选：B．
8. 反比例函数第一象限内的图象如图所示，、均为直角三角形，，且，其中点A、C在反比例函数的图象上，点B、D在x轴上，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题主要考查了反比例函数综合以及相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质表示出C点坐标是解题关键．利用相似三角形的判定与性质表示出A，B点坐标，进而利用函数图象上点的坐标性质得出答案．
【详解】解：，
，
又、均为直角三角形，，
，
设两三角形相似比为，
设A点坐标为，
，
，
，
解得：，（不合题意舍去）．
故选：A．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9. 因式分解：______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查提公因式分解因式，熟练掌握因式分解的方法先提取公因式，然后利用公式因式分解是解决问题的关键．
【详解】解：，
故答案为：．
10. 已知关于的方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，掌握，方程有两个不相等的实根；，方程有两个相等的实根；，方程有无实根的知识是解题的关键．
【详解】解：关于的方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得，，
故答案为：．
11. 如图，将一块含30°角的三角尺和一把直尺叠放在一起．若，则的度数为______．
【答案】##132度
【解析】
【分析】此题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，同位角相等”是解题的关键．根据平行线的性质及三角形外角性质求解即可．
【详解】如图，
∵，，
，
，，
，
故答案为：．
12. 如图，在矩形中，，为的中点，连接，，分别以点，为圆心，的长为半径画弧，分别与，，相交，则图中阴影部分的面积为______．（结果保留）
【答案】##
【解析】
【分析】首先利用矩形的性质求出扇形的圆心角为45°，分别求出△ADE的面积和扇形面积得到阴影部分的面积．
【详解】解：在矩形ABCD中，
∵AD=2AB=4，E是BC中点，
∴AB=BE=EC=CD=2，
∴∠BAE=∠EDC=45°，
∴，
，
∴阴影部分的面积为，
故答案为．
【点睛】本题考查求不规则图形的面积，解决问题的关键是把不规则图形的面积转化为规则图形面积的和或差．
13. 我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．则竿长______尺．
【答案】15
【解析】
【分析】设绳索长x尺，则竿长（x-5）尺，根据“将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺”，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【详解】解：设绳索长x尺，则竿长（x-5）尺，
依题意，得： ．
解得：，

所以杆长15尺，
故答案为：15．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
14. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，其边长为，若点为函数的图象上的点，，则的值为______ ．

【答案】##
【解析】
【分析】根据正方形的性质，计算出点的坐标，将其代入二次函数，求出值即可．本题比较简单，通过函数图象与几何图形结合的形式，考查二次函数图象上点的坐标特征．
详解】解：连接，作轴于．

四边形是正方形，
，
又，
，
．
，将代入函数，
得，
．
故答案为：．
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15. 先化简，再求值：，其中，．
【答案】，10
【解析】
【分析】按照整式乘法、去括号、合并同类项、代数式求值逐步分析即可解答．
【详解】解：，
，
，
，
当，时，原式．
【点睛】本题主要考查了整式的化简求值，灵活运用整式的混合运算法则是解答本题的关键．
16. 一个不透明的口袋中装有四个小球，分别标记数字、、、这四个小球除数字不同外其余均相同小萱同学从口袋中随机摸出一个小球，记下数字后放回并搅匀，再从口袋中随机摸出一个小球记下数字，请用树状图或列表的方法列出所有等可能的结果，并求出小萱同学两次摸出小球上数字之和为的概率．
【答案】树状图见解析；
【解析】
【分析】本题考查了列表法与树状图法求概率，利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件A或的结果数目，然后利用概率公式求出事件A或的概率．先画树状图为展示所有种等可能的结果，再找出两次摸出小球上数字之和为的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】解：画树状图为：
∵共有种等可能的结果，其中两次摸出小球上数字之和为的结果数为，
∴小萱同学两次摸出小球上数字之和为的概率．
17. 图①、图②均是由个边长相等的小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点、、均在格点上只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．
（1）在图①中，在边上找一点，连结，使．
（2）在图②中，在边上找一点，连结，使．
【答案】（1）见详解 （2）见详解
【解析】
【分析】本题主要考查的是作图题，利用网格确定三角形的面积以及矩形的性质和三角形相似的判定以及性质．
（1）利用矩形对角线互相平分的性质，找到的中点即可；
（2）利用三角形相似，找到符合条件的点．
【小问1详解】
解：将点右侧第个格点标记为，点左侧第个格点标记为
连接、、、连接，与交于点，连接．
如下图：点为要求的点．
，且，
四边形为平行四边形．
又，
为矩形．
与是矩形的两条对角线，
与相互平分，
点为的中点，
，
．
【小问2详解】
将点右侧第个格点标记为，点左侧第个格点标记为
连接、连，与交于点，连接．
，
，，
∽，
，
点为要作的点．
18. 端午节是中华民族的传统佳节，人们素有吃粽子的习俗．某超市在节前准备购进、两种品牌的粽子进行销售，据了解，用元购买品牌粽子的数量比用元购买品牌粽子的数量多袋，且每袋品牌粽子的价格是每袋品牌粽子价格的倍，求每袋品牌粽子的价格．
【答案】每袋品牌粽子价格为元．
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
设每袋品牌粽子的价格为元，则每袋品牌粽子的价格为元，利用数量总价单价，结合用元购买品牌粽子的数量比用元购买品牌粽子的数量多袋，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出每袋品牌粽子的价格．
【详解】解：设每袋品牌粽子的价格为元，则每袋品牌粽子的价格为元，
依题意得：，
解得：．
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：每袋品牌粽子的价格为元．
19. 如图，在四边形中，，对角线，交于点O，，且平分，过点C作CE⊥AB交的延长线于点E．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据证明，由全等三角形的性质得出，由平行四边形的判定及菱形的判定可得出结论；
（2）由勾股定理求出，根据菱形的面积可求出的长，根据三角形面积公式可得出答案．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形为平行四边形，
又∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
【小问2详解】
∵四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴的面积．
【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的面积，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
20. 【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们开展“利用树叶的特征对树木进行分类”的实践活动．

【实践发现】同学们随机收集芒果树、荔枝树的树叶各片，通过测量得到这些树叶的长（单位：），宽（单位：）的数据后，分别计算长宽比，整理数据如下：
【实践探究】分析数据如下：
【问题解决】
（1） ______ ， ______ ， ______ ；
（2）同学说：“从树叶的长宽比的方差来看，我认为芒果树叶的形状差别大”
同学说：“从树叶的长宽比的平均数、中位数和众数来看，我发现荔枝树叶的长约为宽的两倍．”
以上两位同学的说法中，合理的是______ 同学；
（3）现有一片长，宽的树叶，请判断这片树叶更可能来自于芒果、荔枝中的哪种树？并给出你的理由．
【答案】（1），，
（2）B （3）可能来自荔枝，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据算术平均数、中位数和众数的定义解答即可；
（2）根据题目给出的数据判断即可；
（3）根据树叶的长宽比判断即可．
【小问1详解】
解：由题意得，，
把片芒果树叶的长宽比从小到大排列，排在中间的两个数分别为、，
故；
片荔枝树叶的长宽比中出现次数最多的是，故；
故答案为：；；；
【小问2详解】
解：∵，
∴芒果树叶的形状差别小，故A同学说法不合理；
∵荔枝树叶的长宽比的平均数，中位数是，众数是，
∴B同学说法合理．
故答案为：B；
【小问3详解】
解：这片树叶更可能来自荔枝，理由如下：
∵一片长，宽的树叶，长宽比接近，
∴这片树叶更可能来自荔枝．
【点睛】本题考查了众数，中位数，平均数和方差，掌握相关定义是解答本题关键．
21. 某学校组织春游，租用甲、乙两辆大巴车，从学校出发，去距离学校360千米的某风景区，甲车先出发，一段时间后乙车再出发，两车在同一条笔直的路上匀速行驶，乙车超过甲车后不久出现故障，停车检修．当甲车追上乙车时，乙车恰好修完，两车又立刻以各自原来的速度继续行驶，如图是甲、乙两车行驶的路程y（单位：km），与甲车行驶时间x（单位：h）之间的函数图象．
（1）a______，乙车的速度是______ km/h．
（2）求线段BC所在直线的函数解析式．
（3）直接写出乙车出现故障前甲乙两车相距时x的值．
【答案】（1）300##100
（2）线段BC所在直线的函数解析式为：
（3），，
【解析】
【分析】（1）根据图象可求解析式，从而可求，进而可求乙的速度；
（2）由（1）可求，，利用待定系数法即可求解；
（3）根据题意，建立方程，进而可求解．
【小问1详解】
解：由图象得，甲的函数图象是线段，可设，
经过，
，
解得：，
，
当时，，
乙的速度为：．
故答案为：，．
【小问2详解】
解：当时，即：，
解得：，
，
乙行驶的时间为：，
，
，
设段的函数解析式，则有
，
解得：，
段的函数解析式为：．
【小问3详解】
解：由（1）知甲车行驶的路程y（单位：km），与甲车行驶时间x（单位：h）之间的函数为：，
由（2）知乙车行驶的路程y（单位：km），与甲车行驶时间x（单位：h）之间的函数为：，
当，
解得：，
此时乙车还没走，甲乙两车相距；
当乙车开始走时，由图像知此时甲、乙两车相距，乙车开始走之后，
，
解得：；
当乙车超过甲车后，在没出故障前，
，
解得：；
乙车出现故障前甲乙两车相距时，．
【点睛】本题考查了一次函数的在行程问题中的应用，正确求出函数解析式是解题的关键．
22. 【问题呈现】如图①，点、分别在正方形的边、上，，试判断、、之间的数量关系．小聪同学延长至点，使，连接，可证，进而得到，从而得出、、之间的数量关系为______ 不需要证明．
【类比引申】如图②，四边形中，，，，点、分别在边、上，请回答当与满足什么关系时，仍有【问题呈现】中、、之间的数量关系，并给出证明．
【探究应用】如图③，在四边形中，，，，，点、分别在线段、上，且，，直接写出线段的长．
【答案】问题呈现：；类比引申：，证明见解析；探究应用：
【解析】
【分析】问题呈现：由正方形的性质得，，则，而，即可证明，得，，再由，推导出，即可证明，则；
类比引申：由【问题呈现】中与的数量关系，可知当时，，先证明，得，，可推导了，再证明，则；
探究应用：延长到点，使，由，，得，可证明是等边三角形，则，则是等边三角形，延长交于点，则，，所以，，则，所以，于是得，所以．
【详解】问题呈现：；
证明：四边形是正方形，
，，
，
，
，即，
，
，，
，
，
，
，
，
．
类比引申：，
证明：如图，延长到点，使，连接，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
．
探究应用：线段的长，
理由：如图，延长到点，使，
，
，
，，，
，，
，
是等边三角形，
，
是等边三角形，
延长交于点，则，
，
，，
，
，
，
，
，
，
线段的长．
【点睛】此题重点考查全等三角形的判定与性质、同角的补角相等、等边三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、锐角三角函数与解直角三角形、类比与转化等数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
23. 在中，，，，点是边上的一点，且动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度的速度匀速运动，连结，作点关于直线的对称点，连结、设点的运动时间为秒．
（1）线段的长为______ ．
（2）用含的代数式表示线段的长．
（3）连结，求最小值．
（4）当时，直接写出的值．
【答案】（1）1 （2）当点在线段上时，，，当点在线段上时，，；
（3）；
（4）或．
【解析】
【分析】由勾股定理求出，则可得出答案；
分两种情况，当点在线段上时，当点在线段上时，由题意可得出答案；
当点，，共线时，有最小值，由勾股定理求出的长，则可得出答案；
当点在线段上时，过点作于点，设，得出，由得出，可求出答案；当点在线段上时，如图，，由直角三角形的性质可得出答案．
【小问1详解】
解： ，，，
，
；
【小问2详解】
解：当点在线段上时，，，
当点在线段上时，，；
【小问3详解】
解：如图，当点，，共线时，有最小值，

在中，，
，
的最小值为；
【小问4详解】
解：当点在线段上时，过点作于点，

，，
，
点与点关于直线对称，
，
设，
，
，
，
，
，
，
，，
，
．
当点在线段上时，如图，同理可得，

，
，
，
，
，
综上所述，的值为或．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了解直角三角形，全等三角形的判定与性质，勾股定理，轴对称的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
24. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于点，与轴相交于点，点是该抛物线上一点，其横坐标为，过点作垂直于轴的直线，点、均在直线上，且点的横坐标为，点的横坐标为，当点、不重合时，以为边向下作正方形．
（1）求该抛物线对应的函数解析式．
（2）当点是该抛物线的顶点时，求正方形的面积．
（3）当点恰好落在正方形的边含顶点上时，求的值．
（4）当正方形的边含顶点与该抛物线恰有两个公共点时，直接写出的取值范围．
【答案】（1）；
（2）；
（3）或；
（4）或
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，正方形的性质等知识，学会用运动变化的观点思考解决问题是解题的关键．
（1）把、代入，即可求解；
（2）根据点是抛物线的顶点这一特殊情况求解即可；
（3）分类讨论，分点分别在正方形的四条边上进行求解，注意把不符合题意的舍去；
（4）解题时注意数形结合，关键是找出各种情况的临界点．
【小问1详解】
把、代入，得
解得
所以，抛物线的解析式为：．
【小问2详解】
，
抛物线的顶点坐标为：．
．
，．
．
．
【小问3详解】
当点在上时，
，
解得
，舍去．
当点在上时，
由，得舍去．
当点在上时，
，
解得
，舍去．
当点在上时，
由，得舍去．
综上所述，的值为或．
【小问4详解】
或，理由如下：
当点与点关于对称轴对称时，
，
解得
．
此时正方形与抛物线只有一个公共点．
当恰好经过抛物线的顶点时，
，
解得
，舍去．
此时正方形与抛物线恰好有三个交点．
在时，此时正方形与抛物线恰有两个公共点．
当点在抛物线上方时，
，
解得
．
此时正方形与抛物线都有两个交点．
综上所述，或时，正方形与抛物线恰有两个公共点．
芒果树叶的长宽比
荔枝树叶的长宽比
平均数
中位数
众数
方差
芒果树叶的长宽比
荔枝树叶的长宽比