中考数学复习指导：一类非常规图象信息行程问题的解法

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有关行程问题的图象信息题历来是中考考查的重点和热点．近几年来，出现了一类非常规的新型问题，这类试题要求学生能透过现象发现其内在的本质，注重考查学生收集信息和处理信息的综合应用能力，现以两道中考试题为例，剖析如下．
1．探究不同对象离各自出发地的距离与时间的关系
例1 已知甲、乙两车分别从相距300km的A，B两地同时出发相向而行，甲到B地后立即返回，图1是它们离各自出发地的距离y(km)与行驶时间x(h)之间的函数图象（图中实线表示甲的图象、线表示乙的图象）．
(1)请直接写出甲、乙两车离各自出发地的距离y(km)与行驶时间x(h)之间的函数关系式，并标明自变量x的取值范围；
(2)它们在行驶的过程中有几次相遇？并求出每次相遇的时间．
分析 第(1)问由图象所提供的点的坐标，较容易求出各自解析式，要注意甲的函数关系是一个分段函数．答案如下：
此外，要能由图象深刻理解解析式中有关的量：甲从A地到B地的速度为100 km/h，从B地返回的速度为80 km/h，而乙从B地到A地的速度为40 km/h，为第(2)问初步扫清障碍．
第(2)问不少同学误以为图中实线与虚线的交点即为甲、乙两人的相遇点，得到只相遇一次的错误答案．正确处理的方法是可借助直线型图（如图2），洞悉甲、乙两人的行驶的全过程：经过3小时甲到达B地，而在3时到时，甲由B往A行驶，乙自始至终是从B向A行驶，经过小时到达A地．故在0~3时，甲、乙两人相向而行，是相遇问题；在3～时，甲、乙两人同向而行，是追及问题．答案如下：
以上解法的实质是甲距其出发地A地的距离与乙距其出发地B地距离之和始终等于300 km．其中孝中的540－80x表示的是3小时后甲离A地的距离，而非甲行驶的路程．另外，第②种情况也可理解为3小时后甲从B地出发追赶乙，追及的路程为乙一开始3小时的行程120 km(如图2(3))，建立如下方程：
80（x－3）－40（x－3）＝120．
二、探究不同对象之间的距离与时间的关系
例2 一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为x(h)，两车之间的距离为y( km)，图3中的折线表示y与x之间的函数关系．
根据图象进行以下探究：
信息读取
(1)甲、乙两地之间的距离为_______km；
(2)请解释图中点B的实际意义；
图象理解
(3)求慢车和快车的速度；
(4)求线段BC所表示的y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
问题解决
(5)若第二列快车也从甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同．在第一列快车与慢车相遇30分钟后，第二列快车与慢车相遇．求第二列快车比第一列快车晚出发多少小时？
分析 其中第(1)、 (2)、(3)问解决的关键是正确理解点A，B，D三点的实际意义．点A(0，900)表示没有行驶时两车之间的距离，即甲、乙两地之间的距离为900km；点B(4，0)表示行驶4小时时两车之间的距离为0，即此时两车相遇；点D(12，900)表示行驶12小时时两车之间的距离又重新为900 km．在此过程中快车已停止行驶，表明慢车行完全程需
要12小时，即慢车速度为900÷12＝75(km/h)．又两车的速度之和为900÷4＝225(km/h)，故快车的速度为150 km/h．
第(4)问则要求出点C的坐标，还是应深刻理解点C的意义，由线段BC，CD的不同的倾斜程度，不难发现点C表示快车到达了乙地，用时900÷225＝6(h)．此时两车之间的距离为75×6＝450(km)，故点C坐标为(6，450)．通过待定系数法或借助直线型图(如图4)，不难得到y＝225x－900(4≤x≤6)．
而第(5)问则可以完全撇开图象，理解为直线型行程问题来加以解决．此时慢车与第一列快车之间距离为225×0.5＝112.5，等于两列快车之间的距离，故第二列快车比第一列快车晚出发112.5÷150＝0.75( h)．
通过以上两例的分析，不难发现在解决此类问题时要注意如下几点：
1．要注意此类问题与常规问题的区分．常规问题往往刻画的是不同对象（或同一对象）到同一地点的距离与时间之间的函数关系，对于常规问题，只要抓住线性规律（若行程图是直线型，表明是匀速运动；若行程图是平行线段型，说明路
程不随时间而改变）、符号规律（若y＝kx＋b中的k符号相同，则是追击问题；k符号相异，则是相遇问题）、夹角规律（线段与横轴所夹的锐角越大，则速度越快；反之，则速度越慢）、点的规律（不同行程中的两线段的交点是相遇点或追及点），则不难解决．但对本文所述的问题，以上规律基本上不再适用，要防止思维定势的束缚．
2．深刻理解纵轴所刻划的是何种量与时间的关系，以及特殊点所表示的实际意义．特别是这些点与行程的关键点（相遇点或追及点或到达目的地等）之间的对应关系．
3．深刻分析整个行驶的全过程（个体和两个对象之间），尽力将函数图象问题向直线型行程问题转化，或将两者相互结合，这样才能便于理解，也才能更简捷地解决问题．