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最新中考数学压轴大题之经典模型 专题06 截长补短模型-【压轴必刷】
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今天整理了初三中考总复习阶段在教学过程中收集的经典题目，一共有31讲，包括原卷版和解析版，供大家学习复习参考。
经典题目1：这是一道非常经典的最值问题，最值模型将军饮马和一箭穿心。
经典题目2：上面三道题是费马点经典问题，旋转转化是费马点问题的关键。
经典题目3：阿氏圆经典题目，这道题目实际包括了隐圆模型，一箭穿心模型等常见几何模型。
经典题目4：这是中考出现频率比较高的胡不归问题，也是经典最值问题。
【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案
专题6截长补短模型
解题策略
模型：截长补短
如图①，若证明线段AB、CD、EF之间存在EF＝AB＋CD，可以考虑截长补短法.
截长法：如图②，在EF上截取EG＝AB，再证明GF＝CD即可.
补短法：如图③，延长AB至H点，使BH＝CD，再证明AH＝EF即可.
模型分析
截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系. 截长，指在长线端中截取一段等于已知的线段；补短，指将一条短线端延长，延长部分等于已知线段. 该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程.
常见模型示例：如图，已知在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2 . 求证：AB＝AC＋CD .
经典例题
【例1】（2022·江苏徐州·模拟预测）（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝12∠BAD，线段EF、BE、FD之间的关系是 ；（不需要证明）
（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝12∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．
（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF＝12∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．
【例2】（2022·安徽合肥·一模）已知：如图1，△ABC中，∠CAB=120°， AC=AB，点D是BC上一点，其中∠ADC=α（30°＜α＜90°），将△ABD沿AD所在的直线折叠得到△AED，AE交CB于F，连接CE
(1)求∠CDE与∠AEC的度数（用含α的代数式表示）；
(2)如图2，当α=45°时，解决以下问题：
①已知AD=2，求CE的值；
②证明：DC-DE=2AD；
【例3】（2022·江苏·八年级专题练习）在等边三角形ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，P为△ABC外一点，且∠MPN＝60°，∠BPC＝120°，BP＝CP．探究：当点M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM，NC，MN之间的数量关系．
(1)如图①，当点M、N在边AB、AC上，且PM＝PN时，试说明MN＝BM+CN．
(2)如图②，当点M、N在边AB、AC上，且PM≠PN时，MN＝BM+CN还成立吗？
答： ．（请在空格内填“一定成立”“不一定成立”或“一定不成立”）．
(3)如图③，当点M、N分别在边AB、CA的延长线上时，请直接写出BM，NC，MN之间的数量关系．
【例4】（2022·江苏·八年级课时练习）如图，在锐角△ABC中，∠A=60°，点D，E分别是边AB，AC上一动点，连接BE交直线CD于点F．
(1)如图1，若AB>AC，且BD=CE，∠BCD=∠CBE，求∠CFE的度数；
(2)如图2，若AB=AC，且BD=AE，在平面内将线段AC绕点C顺时针方向旋转60°得到线段CM，连接MF，点N是MF的中点，连接CN．在点D，E运动过程中，猜想线段BF，CF，CN之间存在的数量关系，并证明你的猜想．
培优训练
一、解答题
1．（2022·福建三明·九年级期末）在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，点E，F分别在边AB，AD上，且AE＝DF，BF与DE交于点G．
(1)如图①，连接BD．求证：△ADE≌△DBF；
(2)如图②，连接CG．求证：BG＋DG＝CG．
2．（2022·全国·八年级专题练习）如图，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠ADC=180°，点E、F分别在直线BC、CD上，且∠EAF=12∠BAD．
(1)当点E、F分别在边BC、CD上时（如图1），请说明EF=BE+FD的理由．
(2)当点E、F分别在边BC、CD延长线上时（如图2），（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出EF、BE、FD之间的数量关系，并说明理由．
3．（2021·重庆市实验学校八年级期中）如图，已知▱ABCD，AE平分∠BAD，交DC于E，DF⊥BC于F，交AE于G，且DF＝AD．
(1)若∠C＝60°，AB＝2，求EC的长；
(2)求证：AB＝DG+FC．
4．（2022·全国·八年级课时练习）（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，∠A+∠C=180°．求证：DA=DC．
思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题．
方法1：在BC上截取BM=BA，连接DM，得到全等三角形，进而解决问题；
方法2：延长BA到点N，使得BN=BC，连接DN，得到全等三角形，进而解决问题．
结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明．
（2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接AC，当∠DAC=60°时，探究线段AB，BC，BD之间的数量关系，并说明理由；
（3）问题拓展：如图3，在四边形ABCD中，∠A+∠C=180°，DA=DC，过点D作DE⊥BC，垂足为点E，请直接写出线段AB、CE、BC之间的数量关系．
5．（2022·全国·八年级课时练习）阅读下面材料：
【原题呈现】如图1，在△ABC中，∠A＝2∠B，CD平分∠ACB，AD＝2.2，AC＝3.6，求BC的长．
【思考引导】因为CD平分∠ACB，所以可在BC边上取点E，使EC＝AC，连接DE．这样很容易得到△DEC≌△DAC，经过推理能使问题得到解决（如图2）．
【问题解答】（1）参考提示的方法，解答原题呈现中的问题；
（2）拓展提升：如图3，已知△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，BD平分∠ABC，BD＝2.3，BC＝2．求AD的长．
6．（2021·北京·清华附中九年级阶段练习）已知∠MON=α0°<α<180°，A为射线ON上一定点，B为射线OM上动点（不与点O重合）连接AB，取AB的中点C，连接OC．在射线BM上取一点D，使得BD=OA．
（1）若α=60°，
①如图1，当∠BAO=60°时，在图1中补全图形，并写出OCAD的值；
②如图2，当∠BAO<60°时，猜想OCAD的值是否为定值．若是，求出该定值；若不是，说明理由；
（2）如图3，若α=90°,OC⊥AD，直接写出OCAD的值．
7．（2022·全国·八年级课时练习）如图，△ABC为等边三角形，直线l过点C，在l上位于C点右侧的点D满足∠BDC＝60°
（1）如图1，在l上位于C点左侧取一点E，使∠AEC＝60°，求证：△AEC≌△CDB；
（2）如图2，点F、G在直线l上，连AF，在l上方作∠AFH＝120°，且AF＝HF，∠HGF＝120°，求证：HG+BD＝CF；
（3）在（2）的条件下，当A、B位于直线l两侧，其余条件不变时（如图3），线段HG、CF、BD的数量关系为 ．
8．（2022·全国·八年级课时练习）在△ABC中，BE，CD为△ABC的角平分线，BE，CD交于点F．
（1）求证：∠BFC=90°+12∠A；
（2）已知∠A=60°．
①如图1，若BD=4，BC=6.5，求CE的长；
②如图2，若BF=AC，求∠AEB的大小．
9．（2022·江苏·八年级课时练习）在△ABC中，AD为△ABC的角平分线，点E是直线BC上的动点．
（1）如图1，当点E在CB的延长线上时，连接AE，若∠E＝48°，AE＝AD＝DC，则∠ABC的度数为 ．
（2）如图2，AC＞AB，点P在线段AD延长线上，比较AC+BP与AB+CP之间的大小关系，并证明．
（3）连接AE，若∠DAE＝90°，∠BAC＝24°，且满足AB+AC＝EC，请求出∠ACB的度数（要求：画图，写思路，求出度数）．
10．（2022·全国·八年级课时练习）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分线，交BC于点D，过D作DE⊥BA于点E，点F在AC上，且BD＝DF．
（1）求证：AC＝AE；
（2）若AB＝7.4，AF＝1.4，求线段BE的长．
11．（2021·重庆一中八年级阶段练习）如图，在△ABC中，∠A=45°．
（1）如图1，若AC=62，BC=213，求△ABC的面积；
（2）如图2，D为△ABC外的一点，连接CD，BD且CD=CB，∠ABD=∠BCD．过点C作CE⊥AC交AB的延长线于点E．求证：BD+2AB=2AC．
（3）如图3，在（2）的条件下，作AP平分∠CAE交CE于点P，过E点作EM⊥AP交AP的延长线于点M．点K为直线AC上的一个动点，连接MK，过M点作MK'⊥MK，且始终满足MK'=MK，连接AK'．若AC=4，请直接写出AK'+MK'取得最小值时AK'+MK'2的值．
12．（2022·全国·八年级专题练习）在△ABC中，AE，CD为△ABC的角平分线，AE，CD交于点F．
（1）如图1，若∠B=60°．
①直接写出∠AFC的大小；
②求证：AC=AD+CE．
（2）若图2，若∠B=90°，求证：S△ACF=S△AFD+S△CEF+S△DEF．
13．（2022·全国·八年级课时练习）等边ΔABC中，点H、K分别在边BC、AC上，且AK=CH，连接AH、BK交于点F．
（1）如图1，求∠AFB的度数；
图1
（2）连接CF，若∠BFC=90°，求BFAF的值；
（3）如图2，若点G为AC边的中点，连接FG，且AF=2FG，则∠BFG的大小是___________．
图2
14．（2021·山东德州·八年级期末）数学课上，李老师提出问题：如图1，在正方形ABCD中，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．求证：AE＝EF．
经过思考，小聪展示了一种正确的解题思路．取AB的中点H，连接HE，则△BHE为等腰直角三角形，这时只需证△AHE与△ECF全等即可．
在此基础上，同学们进行了进一步的探究：
（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（不含点B，C）的任意一点”，其他条件不变，那么结论“AE＝EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程，如果不正确，请说明理由；
（2）小华提出：如图3，如果点E是边BC延长线上的任意一点，其他条件不变，那么结论“AE＝EF”是否成立？ （填“是”或“否”）；
（3）小丽提出：如图4，在平面直角坐标系xOy中，点O与点B重合，正方形的边长为1，当E为BC边上（不含点B，C）的某一点时，点F恰好落在直线y＝﹣2x+3上，请直接写出此时点E的坐标．
15．（2021·四川成都·九年级期末）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，将点C绕点B顺时针旋转105°得到点D，连接BD，过点D作DE⊥BC交CB延长线于点E，点F为线段DE上的一点，且∠DBF＝45°，作∠BFD的角平分线FG交AB于点G．
（1）求∠BFD的度数；
（2）求BF，DF，GF三条线段之间的等量关系式；
（3）如图2，设H是直线DE上的一个动点，连接HG，HC，若AB＝2，求线段HG+HC的最小值（结果保留根号）．
16．（2021·广东深圳·八年级期末）在平行四边形ABCD中，AB⊥CD于E，CF⊥AD于F，H为AD上一动点，连接CH，CH交AE于G，且AE=CD=4．
（1）如图1，若∠B=60°，求CF、AF的长；
（2）如图2，当FH=FD时，求证：CG=ED+AG；
（3）如图3，若∠B=60°，点H是直线AD上任一点，将线段CH绕C点逆时针旋转60°，得到线段CH′，请直接写出AH′的最小值_____．
17．（2022·江苏·八年级课时练习）如图1，在等边三角形ABC中，AD⊥BC于D,CE⊥AB于E,AD与CE相交于点O．
（1）求证：OA=2DO；
（2）如图2，若点G是线段AD上一点，CG平分∠BCE,∠BGF=60°,GF交CE所在直线于点F．求证：GB=GF．
（3）如图3，若点G是线段OA上一点（不与点O重合），连接BG，在BG下方作∠BGF=60°,边GF交CE所在直线于点F．猜想：OG,OF、OA三条线段之间的数量关系，并证明．
18．（2021·山东济南·七年级期末）本学期，我们学习了三角形相关知识，而四边形的学习，我们一般通过辅助线把四边形转化为三角形，通过三角形的基本性质和全等来解决一些问题．
（1）如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，连接AC．
①小明发现，此时AC平分∠BCD．他通过观察、实验，提出以下想法：延长CB到点E，使得BE=CD，连接AE，证明△ABE≌△ADC，从而利用全等和等腰三角形的性质可以证明AC平分∠BCD．请你参考小明的想法，写出完整的证明过程．
②如图2，当∠BAD=90°时，请你判断线段AC，BC，CD之间的数量关系，并证明．
（2）如图3，等腰△CDE、等腰△ABD的顶点分别为A、C，点B在线段CE上，且∠ABC+∠ADC=180°，请你判断∠DAE与∠DBE的数量关系，并证明．
19．（2021·广东茂名·九年级阶段练习）在▱ABCD中，直线MN经过点A，BE⊥MN于E，CF⊥MN于F，DG⊥MN于G．请解答下列问题：
（1）如图①，求证：BE+CF=DG；（提示：过点C作CH⊥DG于H）
（2）如图②、图③，线段BE，CF，DG之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需要证明；
（3）在（1）（2）的条件下，若CD=10，AE=6，CF=1，则DG=______．
20．（2021·四川成都·二模）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，BD平分∠ABC交⊙O于点D，过D作BC的垂线，垂足为E．
（1）求证：DE与⊙O相切；
（2）若AB＝6，tanA＝2，求BE的长；
（3）线段AB，BE，CE之间有何数量关系？写出你的结论并证明．
21．（2021·重庆八中一模）如图1，在四边形ABCD中，AC交BD于点E，△ADE为等边三角形．
（1）若点E为BD的中点，AD＝4，CD＝5，求△BCE的面积；
（2）如图2，若BC＝CD，点F为CD的中点，求证：AB＝2AF；
（3）如图3，若AB∥CD，∠BAD＝90°，点P为四边形ABCD内一点，且∠APD＝90°，连接BP，取BP的中点Q，连接CQ．当AB＝62，AD＝42，tan∠ABC＝2时，求CQ＋1010BQ的最小值．
22．（2022·全国·八年级专题练习）如图，在△ABC中，AC=BC，AD平分∠CAB．
（1）如图1，若ACB=90°，求证：AB=AC+CD；
（2）如图2，若AB=AC+BD，求∠ACB的度数；
（3）如图3，若∠ACB=100°，求证：AB=AD+CD．
23．（2022·江苏·八年级课时练习）（1）问题背景：如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC，CD上的点且∠EAF＝60°，探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系．
小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG＝BE．连结AG，先证明△ ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是______________；
（2）探索延伸：如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=12∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；
（3）实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以45海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东50°的方向以60海里/小时的速度前进，2小时后，指挥中心观测到甲、乙两地分别到达E、F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．
24．（2022·江苏·八年级课时练习）已知在四边形ABCD中，∠ABC＋∠ADC＝180°，∠BAD＋∠BCD＝180°，AB＝BC
（1）如图1，连接BD，若∠BAD＝90°，AD＝7，求DC的长度．
（2）如图2，点P、Q分别在线段AD、DC上，满足PQ＝AP＋CQ，求证：∠PBQ＝∠ABP＋∠QBC
（3）若点Q在DC的延长线上，点P在DA的延长线上，如图3所示，仍然满足PQ＝AP＋CQ，请写出∠PBQ与∠ADC的数量关系，并给出证明过程．
今天整理了初三中考总复习阶段在教学过程中收集的经典题目，一共有31讲，包括原卷版和解析版，供大家学习复习参考。
经典题目1：这是一道非常经典的最值问题，最值模型将军饮马和一箭穿心。
经典题目2：上面三道题是费马点经典问题，旋转转化是费马点问题的关键。
经典题目3：阿氏圆经典题目，这道题目实际包括了隐圆模型，一箭穿心模型等常见几何模型。
经典题目4：这是中考出现频率比较高的胡不归问题，也是经典最值问题。
【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案
专题6截长补短模型
解题策略
模型：截长补短
如图①，若证明线段AB、CD、EF之间存在EF＝AB＋CD，可以考虑截长补短法.
截长法：如图②，在EF上截取EG＝AB，再证明GF＝CD即可.
补短法：如图③，延长AB至H点，使BH＝CD，再证明AH＝EF即可.
模型分析
截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系. 截长，指在长线端中截取一段等于已知的线段；补短，指将一条短线端延长，延长部分等于已知线段. 该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程.
常见模型示例：如图，已知在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2 . 求证：AB＝AC＋CD .
经典例题
【例1】（2022·江苏徐州·模拟预测）（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝12∠BAD，线段EF、BE、FD之间的关系是 ；（不需要证明）
（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝12∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．
（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF＝12∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．
【例2】（2022·安徽合肥·一模）已知：如图1，△ABC中，∠CAB=120°， AC=AB，点D是BC上一点，其中∠ADC=α（30°＜α＜90°），将△ABD沿AD所在的直线折叠得到△AED，AE交CB于F，连接CE
(1)求∠CDE与∠AEC的度数（用含α的代数式表示）；
(2)如图2，当α=45°时，解决以下问题：
①已知AD=2，求CE的值；
②证明：DC-DE=2AD；
【例3】（2022·江苏·八年级专题练习）在等边三角形ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，P为△ABC外一点，且∠MPN＝60°，∠BPC＝120°，BP＝CP．探究：当点M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM，NC，MN之间的数量关系．
(1)如图①，当点M、N在边AB、AC上，且PM＝PN时，试说明MN＝BM+CN．
(2)如图②，当点M、N在边AB、AC上，且PM≠PN时，MN＝BM+CN还成立吗？
答： ．（请在空格内填“一定成立”“不一定成立”或“一定不成立”）．
(3)如图③，当点M、N分别在边AB、CA的延长线上时，请直接写出BM，NC，MN之间的数量关系．
【例4】（2022·江苏·八年级课时练习）如图，在锐角△ABC中，∠A=60°，点D，E分别是边AB，AC上一动点，连接BE交直线CD于点F．
(1)如图1，若AB>AC，且BD=CE，∠BCD=∠CBE，求∠CFE的度数；
(2)如图2，若AB=AC，且BD=AE，在平面内将线段AC绕点C顺时针方向旋转60°得到线段CM，连接MF，点N是MF的中点，连接CN．在点D，E运动过程中，猜想线段BF，CF，CN之间存在的数量关系，并证明你的猜想．
培优训练
一、解答题
1．（2022·福建三明·九年级期末）在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，点E，F分别在边AB，AD上，且AE＝DF，BF与DE交于点G．
(1)如图①，连接BD．求证：△ADE≌△DBF；
(2)如图②，连接CG．求证：BG＋DG＝CG．
2．（2022·全国·八年级专题练习）如图，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠ADC=180°，点E、F分别在直线BC、CD上，且∠EAF=12∠BAD．
(1)当点E、F分别在边BC、CD上时（如图1），请说明EF=BE+FD的理由．
(2)当点E、F分别在边BC、CD延长线上时（如图2），（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出EF、BE、FD之间的数量关系，并说明理由．
3．（2021·重庆市实验学校八年级期中）如图，已知▱ABCD，AE平分∠BAD，交DC于E，DF⊥BC于F，交AE于G，且DF＝AD．
(1)若∠C＝60°，AB＝2，求EC的长；
(2)求证：AB＝DG+FC．
4．（2022·全国·八年级课时练习）（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，∠A+∠C=180°．求证：DA=DC．
思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题．
方法1：在BC上截取BM=BA，连接DM，得到全等三角形，进而解决问题；
方法2：延长BA到点N，使得BN=BC，连接DN，得到全等三角形，进而解决问题．
结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明．
（2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接AC，当∠DAC=60°时，探究线段AB，BC，BD之间的数量关系，并说明理由；
（3）问题拓展：如图3，在四边形ABCD中，∠A+∠C=180°，DA=DC，过点D作DE⊥BC，垂足为点E，请直接写出线段AB、CE、BC之间的数量关系．
5．（2022·全国·八年级课时练习）阅读下面材料：
【原题呈现】如图1，在△ABC中，∠A＝2∠B，CD平分∠ACB，AD＝2.2，AC＝3.6，求BC的长．
【思考引导】因为CD平分∠ACB，所以可在BC边上取点E，使EC＝AC，连接DE．这样很容易得到△DEC≌△DAC，经过推理能使问题得到解决（如图2）．
【问题解答】（1）参考提示的方法，解答原题呈现中的问题；
（2）拓展提升：如图3，已知△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，BD平分∠ABC，BD＝2.3，BC＝2．求AD的长．
6．（2021·北京·清华附中九年级阶段练习）已知∠MON=α0°<α<180°，A为射线ON上一定点，B为射线OM上动点（不与点O重合）连接AB，取AB的中点C，连接OC．在射线BM上取一点D，使得BD=OA．
（1）若α=60°，
①如图1，当∠BAO=60°时，在图1中补全图形，并写出OCAD的值；
②如图2，当∠BAO<60°时，猜想OCAD的值是否为定值．若是，求出该定值；若不是，说明理由；
（2）如图3，若α=90°,OC⊥AD，直接写出OCAD的值．
7．（2022·全国·八年级课时练习）如图，△ABC为等边三角形，直线l过点C，在l上位于C点右侧的点D满足∠BDC＝60°
（1）如图1，在l上位于C点左侧取一点E，使∠AEC＝60°，求证：△AEC≌△CDB；
（2）如图2，点F、G在直线l上，连AF，在l上方作∠AFH＝120°，且AF＝HF，∠HGF＝120°，求证：HG+BD＝CF；
（3）在（2）的条件下，当A、B位于直线l两侧，其余条件不变时（如图3），线段HG、CF、BD的数量关系为 ．
8．（2022·全国·八年级课时练习）在△ABC中，BE，CD为△ABC的角平分线，BE，CD交于点F．
（1）求证：∠BFC=90°+12∠A；
（2）已知∠A=60°．
①如图1，若BD=4，BC=6.5，求CE的长；
②如图2，若BF=AC，求∠AEB的大小．
9．（2022·江苏·八年级课时练习）在△ABC中，AD为△ABC的角平分线，点E是直线BC上的动点．
（1）如图1，当点E在CB的延长线上时，连接AE，若∠E＝48°，AE＝AD＝DC，则∠ABC的度数为 ．
（2）如图2，AC＞AB，点P在线段AD延长线上，比较AC+BP与AB+CP之间的大小关系，并证明．
（3）连接AE，若∠DAE＝90°，∠BAC＝24°，且满足AB+AC＝EC，请求出∠ACB的度数（要求：画图，写思路，求出度数）．
10．（2022·全国·八年级课时练习）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分线，交BC于点D，过D作DE⊥BA于点E，点F在AC上，且BD＝DF．
（1）求证：AC＝AE；
（2）若AB＝7.4，AF＝1.4，求线段BE的长．
11．（2021·重庆一中八年级阶段练习）如图，在△ABC中，∠A=45°．
（1）如图1，若AC=62，BC=213，求△ABC的面积；
（2）如图2，D为△ABC外的一点，连接CD，BD且CD=CB，∠ABD=∠BCD．过点C作CE⊥AC交AB的延长线于点E．求证：BD+2AB=2AC．
（3）如图3，在（2）的条件下，作AP平分∠CAE交CE于点P，过E点作EM⊥AP交AP的延长线于点M．点K为直线AC上的一个动点，连接MK，过M点作MK'⊥MK，且始终满足MK'=MK，连接AK'．若AC=4，请直接写出AK'+MK'取得最小值时AK'+MK'2的值．
12．（2022·全国·八年级专题练习）在△ABC中，AE，CD为△ABC的角平分线，AE，CD交于点F．
（1）如图1，若∠B=60°．
①直接写出∠AFC的大小；
②求证：AC=AD+CE．
（2）若图2，若∠B=90°，求证：S△ACF=S△AFD+S△CEF+S△DEF．
13．（2022·全国·八年级课时练习）等边ΔABC中，点H、K分别在边BC、AC上，且AK=CH，连接AH、BK交于点F．
（1）如图1，求∠AFB的度数；
图1
（2）连接CF，若∠BFC=90°，求BFAF的值；
（3）如图2，若点G为AC边的中点，连接FG，且AF=2FG，则∠BFG的大小是___________．
图2
14．（2021·山东德州·八年级期末）数学课上，李老师提出问题：如图1，在正方形ABCD中，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．求证：AE＝EF．
经过思考，小聪展示了一种正确的解题思路．取AB的中点H，连接HE，则△BHE为等腰直角三角形，这时只需证△AHE与△ECF全等即可．
在此基础上，同学们进行了进一步的探究：
（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（不含点B，C）的任意一点”，其他条件不变，那么结论“AE＝EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程，如果不正确，请说明理由；
（2）小华提出：如图3，如果点E是边BC延长线上的任意一点，其他条件不变，那么结论“AE＝EF”是否成立？ （填“是”或“否”）；
（3）小丽提出：如图4，在平面直角坐标系xOy中，点O与点B重合，正方形的边长为1，当E为BC边上（不含点B，C）的某一点时，点F恰好落在直线y＝﹣2x+3上，请直接写出此时点E的坐标．
15．（2021·四川成都·九年级期末）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，将点C绕点B顺时针旋转105°得到点D，连接BD，过点D作DE⊥BC交CB延长线于点E，点F为线段DE上的一点，且∠DBF＝45°，作∠BFD的角平分线FG交AB于点G．
（1）求∠BFD的度数；
（2）求BF，DF，GF三条线段之间的等量关系式；
（3）如图2，设H是直线DE上的一个动点，连接HG，HC，若AB＝2，求线段HG+HC的最小值（结果保留根号）．
16．（2021·广东深圳·八年级期末）在平行四边形ABCD中，AB⊥CD于E，CF⊥AD于F，H为AD上一动点，连接CH，CH交AE于G，且AE=CD=4．
（1）如图1，若∠B=60°，求CF、AF的长；
（2）如图2，当FH=FD时，求证：CG=ED+AG；
（3）如图3，若∠B=60°，点H是直线AD上任一点，将线段CH绕C点逆时针旋转60°，得到线段CH′，请直接写出AH′的最小值_____．
17．（2022·江苏·八年级课时练习）如图1，在等边三角形ABC中，AD⊥BC于D,CE⊥AB于E,AD与CE相交于点O．
（1）求证：OA=2DO；
（2）如图2，若点G是线段AD上一点，CG平分∠BCE,∠BGF=60°,GF交CE所在直线于点F．求证：GB=GF．
（3）如图3，若点G是线段OA上一点（不与点O重合），连接BG，在BG下方作∠BGF=60°,边GF交CE所在直线于点F．猜想：OG,OF、OA三条线段之间的数量关系，并证明．
18．（2021·山东济南·七年级期末）本学期，我们学习了三角形相关知识，而四边形的学习，我们一般通过辅助线把四边形转化为三角形，通过三角形的基本性质和全等来解决一些问题．
（1）如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，连接AC．
①小明发现，此时AC平分∠BCD．他通过观察、实验，提出以下想法：延长CB到点E，使得BE=CD，连接AE，证明△ABE≌△ADC，从而利用全等和等腰三角形的性质可以证明AC平分∠BCD．请你参考小明的想法，写出完整的证明过程．
②如图2，当∠BAD=90°时，请你判断线段AC，BC，CD之间的数量关系，并证明．
（2）如图3，等腰△CDE、等腰△ABD的顶点分别为A、C，点B在线段CE上，且∠ABC+∠ADC=180°，请你判断∠DAE与∠DBE的数量关系，并证明．
19．（2021·广东茂名·九年级阶段练习）在▱ABCD中，直线MN经过点A，BE⊥MN于E，CF⊥MN于F，DG⊥MN于G．请解答下列问题：
（1）如图①，求证：BE+CF=DG；（提示：过点C作CH⊥DG于H）
（2）如图②、图③，线段BE，CF，DG之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需要证明；
（3）在（1）（2）的条件下，若CD=10，AE=6，CF=1，则DG=______．
20．（2021·四川成都·二模）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，BD平分∠ABC交⊙O于点D，过D作BC的垂线，垂足为E．
（1）求证：DE与⊙O相切；
（2）若AB＝6，tanA＝2，求BE的长；
（3）线段AB，BE，CE之间有何数量关系？写出你的结论并证明．
21．（2021·重庆八中一模）如图1，在四边形ABCD中，AC交BD于点E，△ADE为等边三角形．
（1）若点E为BD的中点，AD＝4，CD＝5，求△BCE的面积；
（2）如图2，若BC＝CD，点F为CD的中点，求证：AB＝2AF；
（3）如图3，若AB∥CD，∠BAD＝90°，点P为四边形ABCD内一点，且∠APD＝90°，连接BP，取BP的中点Q，连接CQ．当AB＝62，AD＝42，tan∠ABC＝2时，求CQ＋1010BQ的最小值．
22．（2022·全国·八年级专题练习）如图，在△ABC中，AC=BC，AD平分∠CAB．
（1）如图1，若ACB=90°，求证：AB=AC+CD；
（2）如图2，若AB=AC+BD，求∠ACB的度数；
（3）如图3，若∠ACB=100°，求证：AB=AD+CD．
23．（2022·江苏·八年级课时练习）（1）问题背景：如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC，CD上的点且∠EAF＝60°，探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系．
小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG＝BE．连结AG，先证明△ ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是______________；
（2）探索延伸：如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=12∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；
（3）实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以45海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东50°的方向以60海里/小时的速度前进，2小时后，指挥中心观测到甲、乙两地分别到达E、F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．
24．（2022·江苏·八年级课时练习）已知在四边形ABCD中，∠ABC＋∠ADC＝180°，∠BAD＋∠BCD＝180°，AB＝BC
（1）如图1，连接BD，若∠BAD＝90°，AD＝7，求DC的长度．
（2）如图2，点P、Q分别在线段AD、DC上，满足PQ＝AP＋CQ，求证：∠PBQ＝∠ABP＋∠QBC
（3）若点Q在DC的延长线上，点P在DA的延长线上，如图3所示，仍然满足PQ＝AP＋CQ，请写出∠PBQ与∠ADC的数量关系，并给出证明过程．
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