2024高考数学二轮复习压轴题型分类专练（新高考用）-专题03三角函数与解三角型（含解析）

这是一份2024高考数学二轮复习压轴题型分类专练（新高考用）-专题03三角函数与解三角型（含解析），共22页。

（2023•新高考Ⅰ）已知在△ABC中，A+B＝3C，2sin（A﹣C）＝sinB．
（1）求sinA；
（2）设AB＝5，求AB边上的高．
（2023•新高考Ⅱ）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC面积为3，D为BC的中点，且AD＝1．
（1）若∠ADC=π3，求tanB；
（2）若b2+c2＝8，求b，c．
（2022•新高考Ⅰ）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知csA1+sinA=sin2B1+cs2B．
（1）若C=2π3，求B；
（2）求a2+b2c2的最小值．
（2022•新高考Ⅱ）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为S1，S2，S3．已知S1﹣S2+S3=32，sinB=13．
（1）求△ABC的面积；
（2）若sinAsinC=23，求b．
（2023·北京·统考高考真题）设函数f(x)=sinωxcsφ+csωxsinφω>0,|φ|<π2．
(1)若f(0)=-32，求φ的值．
(2)已知f(x)在区间-π3,2π3上单调递增，f2π3=1，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数f(x)存在，求ω,φ的值．
条件①：fπ3=2；
条件②：f-π3=-1；
条件③：f(x)在区间-π2,-π3上单调递减．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
（2023·广东佛山·统考一模）已知函数fx=sinωx+φ在区间π6,2π3上单调，其中ω为正整数，φ<π2，且fπ3=-fπ2.
(1)求y=fx图象的一个对称中心；
(2)若fπ4=32，求φ.
（2023·浙江宁波·校考二模）已知函数f(x)=6cs2ωx+3sin2ωx-3(ω>0)的最小正周期为8．
(1)求ω的值及函数f(x)的单调减区间；
(2)若fx0=835，且x0∈-103,23，求fx0+1的值．
（2023·江苏常州·校考模拟预测）已知函数f(x)=2sin(2ωx+π6)+1．
(1)若fx1≤fx≤fx2，x1-x2min=π2，求f(x)的对称中心；
(2)已知0<ω<5，函数f(x)图象向右平移π6个单位，得到函数gx的图象，x=π3是gx的一个零点，若函数gx在[m,n]（m,n∈R且m(3)已知函数h(x)=acs(2x-π6)-2a+3(a>0)，在第（2）问条件下，若对任意x1∈[0,π4]，存在x2∈[0,π4]，使得h(x1)=g(x2)成立，求实数a的取值范围．
（2023·山东临沂·统考二模）已知函数fx=Asinωx+φA>0,ω>0,φ<π2的部分图象如图所示.
(1)求函数的解析式；
(2)若函数在区间上恰有两个零点，求的值.
（2023·湖南长沙·统考一模）在锐角△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知sinA-sinB3a-c=sinCa+b．
(1)求角B的值；
(2)若a=2，求△ABC的周长的取值范围．
（2023·湖北·模拟预测）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a21+csA=2bcsin2A．
(1)判断△ABC的形状；
(2)已知D为BC上一点，则当A=2π3，a=33，AD=3时，D为BC的几等分点？
（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cs2B+cs2C-2cs2A=2sinB-sinC2．
(1)求A；
(2)若D为边BC上的一点，AD为∠BAC的平分线，且AD=3，求b+9c的最小值．
（2023•湖北黄石•校考模拟）如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥AD，，AB＝1．
（1）若，求△ABC的面积；
（2）若，，求tan∠CAD．
（2022•浙江•统考高考真题）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知4a=5c，csC=35．
（Ⅰ）求sinA的值；
（Ⅱ）若b＝11，求△ABC的面积．
（2022•上海•统考高考真题）如图，在同一平面上，AD＝BC＝6，AB＝20，O为AB中点，曲线CD上任一点到O距离相等，角∠DAB＝∠ABC＝120°，P，Q关于OM对称，MO⊥AB；
（1）若点P与点C重合，求∠POB的大小；
（2）P在何位置，求五边形MQABP面积S的最大值．
题型训练
答案&解析
【1】
【答案】（1）31010；（2）6．
解：（1）∵A+B＝3C，A+B+C＝π，∴4C＝π，∴C=π4，
∵2sin（A﹣C）＝sinB，∴2sin（A﹣C）＝sin[π﹣（A+C）]＝sin（A+C），
∴2sinAcsC﹣2csAsinC＝sinAcsC+csAsinC，∴sinAcsC＝3csAsinC，
∴22sinA=3×22csA，∴sinA＝3csA，即csA=13sinA，
又∵sin2A+cs2A＝1，∴sin2A+19sin2A=1，解得sin2A=910，
又∵A∈（0，π），∴sinA＞0，
∴sinA=31010；
（2）由（1）可知sinA=31010，csA=13sinA=1010，
∴sinB＝sin（A+C）＝sinAcsC+csAsinC=31010×22+1010×22=255，
∴ABsinC=ACsinB=BCsinA=5sinπ4=52，
∴AC＝52sinB＝52×255=210，BC＝52×sinA=52×31010=35，
设AB边上的高为h，则12AB⋅h=12×AC×BC×sinC，
∴52h=12×210×35×22，解得h＝6，
即AB边上的高为6．
【2】
【解析】（1））D为BC中点，SΔABC=3，
则SΔACD=32，
过A作AE⊥BC，垂足为E，如图所示：
△ADE中，DE=12，AE=32，SΔACD=12⋅32CD=32，解得CD＝2，
∴BD＝2，BE=52，
故tanB=AEBE=3252=35；
（2）AD→=12(AB→+AC→)，
AD→2=14(c2+b2+2bccsA)，
AD＝1，b2+c2＝8，
则1=14(8+2bccsA)，
∴bccsA＝﹣2①，
SΔABC=12bcsinA=3，即bcsinA=23②，
由①②解得 tanA=-3，
∴A=2π3，
∴bc＝4，又b2+c2＝8，
∴b＝c＝2．
【3】
【解析】（1）∵csA1+sinA=sin2B1+cs2B，1+cs2B＝2cs2B≠0，csB≠0．
∴csA1+sinA=2sinBcsB2cs2B=sinBcsB，
化为：csAcsB＝sinAsinB+sinB，
∴cs（B+A）＝sinB，
∴﹣csC＝sinB，C=2π3，
∴sinB=12，
∵0＜B＜π3，∴B=π6．
（2）由（1）可得：﹣csC＝sinB＞0，∴csC＜0，C∈（π2，π），
∴C为钝角，B，A都为锐角，B＝C-π2．
sinA＝sin（B+C）＝sin（2C-π2）＝﹣cs2C，
a2+b2c2=sin2A+sin2Bsin2C=cs22C+cs2Csin2C=(1-2sin2C)2+(1-sin2C)sin2C=2+4sin4C-5sin2Csin2C=2sin2C+4sin2C﹣5≥22×4-5＝42-5，当且仅当sinC=142时取等号．
∴a2+b2c2的最小值为42-5．
【4】
【解析】（1）S1=12a2sin60°=34a2，
S2=12b2sin60°=34b2，
S3=12c2sin60°=34c2，
∵S1﹣S2+S3=34a2-34b2+34c2=32，
解得：a2﹣b2+c2＝2，
∵sinB=13，a2﹣b2+c2＝2＞0，即csB＞0，
∴csB=223，
∴csB=a2+c2-b22ac=223，
解得：ac=324，
S△ABC=12acsinB=28．
∴△ABC的面积为28．
（2）由正弦定理得：bsinB=asinA=csinC，
∴a=bsinAsinB，c=bsinCsinB，
由（1）得ac=324，
∴ac=bsinAsinB•bsinCsinB=324
已知，sinB=13，sinAsinC=23，
解得：b=12．
【5】
【解题思路】（1）把x=0代入f(x)的解析式求出sinφ，再由|φ|<π2即可求出φ的值；
（2）若选条件①不合题意；若选条件②，先把f(x)的解析式化简，根据f(x)在-π3,2π3上的单调性及函数的最值可求出T，从而求出ω的值；把ω的值代入f(x)的解析式，由f-π3=-1和|φ|<π2即可求出φ的值；若选条件③：由f(x)的单调性可知f(x)在x=-π3处取得最小值-1，则与条件②所给的条件一样，解法与条件②相同．
【解答过程】（1）因为f(x)=sinωxcsφ+csωxsinφ,ω>0,|φ|<π2
所以f(0)=sinω⋅0csφ+csω⋅0sinφ=sinφ=-32，
因为|φ|<π2，所以φ=-π3.
（2）因为f(x)=sinωxcsφ+csωxsinφ,ω>0,|φ|<π2，
所以f(x)=sinωx+φ,ω>0,|φ|<π2，所以f(x)的最大值为1，最小值为-1.
若选条件①：因为f(x)=sinωx+φ的最大值为1，最小值为-1，所以fπ3=2无解，故条件①不能使函数f(x)存在；
若选条件②：因为f(x)在-π3,2π3上单调递增，且f2π3=1，f-π3=-1
所以T2=2π3--π3=π,所以T=2π,ω=2πT=1,
所以f(x)=sinx+φ，
又因为f-π3=-1，所以sin-π3+φ=-1，
所以-π3+φ=-π2+2kπ,k∈Z，
所以φ=-π6+2kπ,k∈Z，因为|φ|<π2，所以φ=-π6.
所以ω=1，φ=-π6；
若选条件③：因为f(x)在-π3,2π3上单调递增，在-π2,-π3上单调递减，
所以f(x)在x=-π3处取得最小值-1，即f-π3=-1.
以下与条件②相同．
【6】
【解题思路】（1）根据单调区间，以及fπ3=-fπ2可得fπ3+π22=0，进而可得对称中心；
（2）先根据单调区间求出ω的可能取值，然后根据fπ4=32得到ω和φ的关系，根据关系以及ω的可能取值对照验证计算即可.
【解答过程】（1）因为fx在区间π6,2π3上单调，
且fπ3=-fπ2，π3∈π6,2π3，π2∈π6,2π3，
所以fπ3+π22=f5π12=0，
所以y=fx图像的一个对称中心是5π12,0；
（2）由题设，fx的最小正周期T≥2×2π3-π6=π，π2-π3=π6<π2，
故ω=2πT≤2，由ω∈N*，得ω=1,2，
由5π12,0为f(x)=sinωx+φ的一个对称中心，
所以5π12ω+φ=k1π，k1∈Z①.
因为fπ4=32，所以π4ω+φ=π3+2k2π或π4ω+φ=2π3+2k3π，k2，k3∈Z.
若π4ω+φ=π3+2k2π②，①-②得π6ω=-π3+k1-2k2π，
即ω=-2+6k1-2k2.
不存在整数k1，k2，使得ω=1,2.
若π4ω+φ=2π3+2k3π③，①-③得π6ω=-2π3+k1-2k3π，
即ω=-4+6k1-2k3，
不存在整数k1，k3，使得ω=1，当k1=2k3+1时，ω=2.
此时φ=2π3-π2+2k3π=π6+2k3π，由φ<π2，
得φ=π6.
【7】
【解题思路】(1)化简f(x)，根据最小正周期求出ω，再求f(x)单调减区间；
(2)由fx0＝835求出sin⁡πx04＋π3，在结合x0∈-103,23求出cs⁡πx04＋π3，最后利用正弦的和角公式求fx0+1﹒
【解答过程】（1）由已知可得，fx＝3cs⁡2ωx＋3sin⁡2ωx＝23sin⁡2ωx＋π3，
∵f(x)的最小正周期T＝8，∴2π2ω＝8，ω＝π8，
∴fx＝23sin⁡π4x＋π3，
由π2＋2kπ⩽π4x＋π3⩽3π2＋2kπ得23＋8k⩽x⩽143＋8k，
∴f(x)的单调递减区间为[23＋8k，143＋8k](k∈Z)；
（2）∵fx0＝835，由(1)有fx0＝23sin⁡πx04＋π3＝835，
即sin⁡πx04＋π3＝45，
由x0∈-103，23，知πx04＋π3∈-π2，π2；
∴cs⁡πx04＋π3＝1-452＝35，
故fx0＋1＝23sinπx04＋π4＋π3＝23sinπx04＋π3＋π4
＝23sin⁡πx04＋π3cs⁡π4＋cs⁡πx04＋π3sin⁡π4
＝23×45×22＋35×22＝765﹒
【8】
【解题思路】（1）由fx1≤fx≤fx2，x1-x2min=π2可求得函数fx的最小正周期，进而确定参数ω的值，再由整体代换即可求得对称中心；（2）由三角函数的平移变换求得gx的解析式，再由零点的定义确定参数ω的值，结合图象可得n-m的最小值；（3）将所给条件转化为h(x)和g(x)的值域的包含关系，即可求得参数a的取值范围．
【解答过程】（1）∵f(x)=2sin(2ωx+π6)+1的最小正周期为T=2π2ω，
又∵fx1≤fx≤fx2，x1-x2min=π2，∴fx的最小正周期是π，
故T=2π2ω=π，解得ω=±1，
当ω=1时，fx=2sin2x+π6+1，由2x+π6=kπk∈Z⇒x=-π12+kπ2k∈Z，fx的对称中心为-π12+kπ2，1k∈Z；
当ω=-1时，fx=2sin-2x+π6+1，由-2x+π6=kπk∈Z⇒x=π12-kπ2k∈Z，fx的对称中心为π12-kπ2，1k∈Z；
综上所述，fx的对称中心为-π12+kπ2,1k∈Z或π12-kπ2,1k∈Z.
（2）∵函数fx图象向右平移π6个单位，得到函数gx的图象，
∴g(x)=2sin2ωx+π6-π3ω+1.
又∵x=π3是gx的一个零点，
g(π3)=2sin2π3ω+π6-π3ω+1=0，即sinπ3ω+π6=-12，
∴π3ω+π6=7π6+2kπ或π3ω+π6=11π6+2kπ，k∈Z，
解得ω=3+6kk∈Z或ω=5+6kk∈Z，
由0<ω<5可得ω=3
∴g(x)=2sin6x-5π6+1，最小正周期T=π3.
令gx=0，则sin6x-5π6=-12
即6x-5π6=-π6+2k1π或6x-5π6=-5π6+2k2π，k∈Z，解得x=k1π3+π9或x=k2π3，k1,k2∈Z；
若函数gx在[m,n]（m,n∈R且m要使n-m最小，须m、n恰好为gx的零点，故n-mmin=4×π3+π9=13π9.
（3）由（2）知g(x)=2sin6x-5π6+1，对任意x1∈[0,π4]，存在x2∈[0,π4]，使得h(x1)=g(x2)成立，则{y|y=h(x)}⊆{y|y=g(x)}，
当x2∈[0,π4]时，6x-5π6∈-5π6,2π3,sin6x-5π6∈-1,1,gx2∈-1,3，
当x1∈[0,π4]时，2x-π6∈-π6,π3,cs2x-π6∈12,1,hx1∈-32a+3,-a+3，
由{y|y=h(x)}⊆{y|y=g(x)}可得a>0-32a+3≥-1-a+3≤3，解得a∈0,83，
故实数a的取值范围为0,83.
【9】
【详解】（1）设的最小正周期为，则，可得,
且，解得，
由图象可知：当时，取到最大值，
且，则，
可得，解得，
又因为，可得，则，
且的图象过点，则，解得，
所以.
（2）令，
由，可得，
可知的零点等价于与的图象交点横坐标，
且，
作出在内的图象，不妨设，如图所示：
由图象可知：，且关于直线对称，所以.
【10】
【解题思路】（1）根据正弦定理得到a2+c2-b2=3ac，再利用余弦定理求出B=π6；
（2）根据正弦定理得到b=1sinA,c=3sinA+csAsinA，从而得到b+c=3+1tanA+1tan2A+1，求出A∈π3,π2，得到1tanA∈0,33，b+c∈1+3,23，从而求出周长的取值范围.
【解答过程】（1）sinA-sinB3a-c=sinCa+b，由正弦定理得：a-b3a-c=ca+b，
即a2+c2-b2=3ac，
由余弦定理得：csB=a2+c2-b22ac=3ac2ac=32，
因为B∈0,π，
所以B=π6；
（2）锐角△ABC中，a=2，B=π6，
由正弦定理得：2sinA=bsinπ6=csinC，
故b=1sinA,c=2sinCsinA=2sinA+π6sinA=3sinA+csAsinA，
则b+c=3sinA+csA+1sinA=3+1+1csAtanA=3+1+1+tan2AtanA
=3+1tanA+1tan2A+1，
因为锐角△ABC中，B=π6，
则A∈0,π2，C=π-π6-A∈0,π2，
解得：A∈π3,π2，
故tanA∈3,+∞，1tanA∈0,33，
则1tan2A+1∈1,233,3+1tanA+1tan2A+1∈1+3,23，
故b+c∈1+3,23，a+b+c∈3+3,2+23
所以三角形周长的取值范围是3+3,2+23.
【11】
【解题思路】（1）利用正弦定理及三角恒等变化计算即可；
（2）结合（1）的结论可得B=C=π6，由余弦定理计算即可.
【解答过程】（1）由正弦定理得：sin2A1+csA=2sinBsinCsin2A，
因为A∈0,π，所以sinA≠0，即1+csA=2sinBsinC，
由A+B+C=π，则有1-csB+C=2sinBsinC，
整理得1=csBcsC+sinBsinC=csB-C．
所以B-C=2kπ，
而B、C∈0,π，则B=C，即△ABC为等腰三角形．
（2）由（1）可得B=C=π6．
由正弦定理可得b=sinB⋅asinA=12×3332=3，故b=c=3．
余弦定理可知：AD2=AB2+BD2-2×AB×BD×csB，即BD2-33BD+6=0，
解之得BD=3=13BC或BD=23=23BC，所以D为BC的三等分点．
【12】
【解题思路】（1）先用倍角公式化简已知等式，再用正弦定理边角互换，最后由余弦定理即可求解.
（2）由题意得，S△ABC=S△ACD+S△ABD，利用三角形面积公式即可求得c⋅b=c+b，再用基本不等式即可求得最小值.
【解答过程】（1）由倍角公式得cs2B+cs2C-2cs2A=1-2sin2B+1-2sin2C-21-2sin2A，
所以cs2B+cs2C-2cs2A=4sin2A-2sin2B-2sin2C，
又cs2B+cs2C-2cs2A=2sinB-sinC2=2sin2B+2sin2C-4sinBsinC，
所以4sin2A-2sin2B-2sin2C=2sin2B+2sin2C-4sinBsinC，
故sin2B+sin2C-sin2A=sinBsinC．
由正弦定理得b2+c2-a2=bc，
又csA=b2+c2-a22bc=12，0（2）因为AD平分∠BAC，所以∠CAD=∠BAD=π6．
设△ABC的面积为S△ABC，△ACD的面积为S△ACD，△ABD的面积为S△ABD，
所以S△ABC=S△ACD+S△ABD，
故12c⋅bsinπ3=12b⋅ADsinπ6+12c⋅ADsinπ6，
所以c⋅b=c+b，故1c+1b=1，所以b+9c=b+9c1c+1b=1+9+bc+9cb≥16，
当且仅当b=4，c=43时等号成立．所以b+9c的最小值为16．
【13】
【解答】解：（1）因为，AB＝1，，
由余弦定理得AC2＝AB2+BC2﹣2×AB×BC×cs∠ABC，
所以7＝1+BC2+BC，即BC2+BC﹣6＝0，解得BC＝2，
所以．
（2）设∠CAD＝θ，
在△ACD中，由正弦定理得，所以①，
在△ABC中，，，
则，即②
由①②得：，即，
∴，
整理得，所以．
【14】
【解析】（Ⅰ）因为csC=35＞0，所以C∈（0，π2），且sinC=1-cs2C=45，
由正弦定理可得：asinA=csinC，
即有sinA=asinCc=acsinC=54×45=55；
（Ⅱ）因为4a=5c⇒a=54c＜c，
所以A＜C，故A∈（0，π2），
又因为sinA=55，所以csA=255，
所以sinB＝sin[π﹣（A+C）]＝sin（A+C）＝sinAcsC+csAsinC=11525；
由正弦定理可得：asinA=csinC=bsinB=55，
所以a＝55sinA＝5，
所以S△ABC=12absinC=12×5×11×45=22．
【15】
【解析】（1）点P与点C重合，由题意可得OB＝10，BC＝6，∠ABC＝120°，
由余弦定理可得OP2＝OB2+BC2﹣2OB•BCcs∠ABC＝36+100﹣2×6×10×（-12）＝196，
所以OP＝14，在△OBP中，由正弦定理得OPsin120°=BPsin∠POB，
所以1432=6sin∠POB，解得sin∠POB=3314，
所以∠POB的大小为arcsin3314；
（2）如图，连结QA，PB，OQ，OP，
∵曲线CMD上任意一点到O距离相等，
∴OP＝OQ＝OM＝OC＝14，
∵P，Q关于OM对称，
∴P点在劣弧CM中点或劣弧DM的中点位置，S△QOM＝S△POM＝α，
则∠AOQ＝∠BOP＝S△BOP=π2-α，
则五边形面积S＝2（S△AOQ+S△QOM）
＝2[12⋅OQ⋅OA⋅sin(π2-α)+12⋅OQ⋅OM⋅sinα]
＝196sinα+140csα
＝2874sin（α+φ），其中tanφ=57，
当sin（α+φ）＝1时，S五边形MQABP取最大值2874，
∴五边形MQABP面积S的最大值为2874．