专题05《分式方程》-2023-2024学年数学八年级下册专题真题汇编卷（苏科版）

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考试时间：100分钟 试卷满分：100分 难度系数：0.56
一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合
题目要求的，请将正确选项前的字母代号填写在括号内）
1．（2分）（2019春•江阴市期中）若关于x的分式方程＝2﹣有增根，则m的值为（ ）
A．﹣3B．2C．3D．不存在
解：方程两边都乘（x﹣3），得
x＝2（x﹣3）+m，
方程化简，得
m＝﹣x+6
∵原方程增根为x＝3，
∴把x＝3代入整式方程，得m＝3，
故选：C．
2．（2分）（2021春•海陵区校级月考）已知x＝1是分式方程的解，则a的值为（ ）
A．﹣1B．1C．3D．﹣3
解：把x＝1代入分式方程得：＝，
去分母得：8a+12＝3a﹣3，
解得：a＝﹣3，
∵a﹣1＝﹣4≠0，
∴a的值为﹣3．
故选：D．
3．（2分）（2023春•吴江区月考）如果关于x的分式方程有增根，则m的值为（ ）
A．1B．﹣1C．2D．4
解：∵分式方程有增根，
∴x＝3，
原方程去分母可得：m+1＝2（x﹣3），
把x＝3代入可得：m+1＝0，
解得：m＝﹣1；
故选：B．
4．（2分）（2023春•宿城区期末）已知关于x的方程的解是正数，则m的取值范围为（ ）
A．m＜﹣6B．m＜﹣6且m≠﹣4
C．m＞﹣6D．m＞﹣6且m≠﹣4
解：去分母得，2x+m＝3x﹣6，
移项合并得，x＝m+6，
∵x＞0，
∴m+6＞0，
∴m＞﹣6，
∵x﹣2≠0，
∴x≠2，
∴m+6≠2，
∴m≠﹣4，
∴m的取值范围为m＞﹣6且m≠﹣4，
故选：D．
5．（2分）（2022春•江都区校级月考）若关于x的分式方程无解，则实数a的值为（ ）
A．7B．3C．3或7D．±7
解：去分母得：7﹣ax＝﹣3（x﹣1），
整理为：（a﹣3）x＝4，
当a﹣3＝0，即a＝3时，此方程无解，原分式方程也无解，
当a﹣3≠0时，
由x﹣1＝0得x＝1，代入（a﹣3）x＝4得：
（a﹣3）×1＝4，
解得：a＝7，
∴a＝3或7，
故选：C．
6．（2分）（2023春•姑苏区校级期中）若关于x的方程有增根，则m的值为（ ）
A．0B．1C．2D．3
解：方程两边都乘（x﹣3），得
x﹣1＝m，
∵原方程有增根，
∴最简公分母x﹣3＝0，即增根是x＝3，
把x＝3代入整式方程，得m＝2．
故选：C．
7．（2分）（2023春•宜兴市期末）若关于x的方程无解，则m的值为（ ）
A．1B．1或3C．1或2D．2或3
解：由题意，去分母得，
mx﹣1＝2（x﹣1），
∴（m﹣2）x＝﹣1．
①当m﹣2＝0时，即当m＝2时，0•x＝﹣1，
∴此方程无解．
∴分式方程＝2也无解，符合题意．
②当m﹣2≠0时，
∴x＝．
而此时分式方程＝2无解，
∴﹣1＝0．
∴m＝1．
检验：m＝1代入﹣1＝0符合题意．
综上，满足题意的m的值为1或2．
故选：C．
8．（2分）（2023春•兴化市月考）解分式方程，去分母后得到（ ）
A．x＝2+3B．x＝2（x﹣1）+3
C．x（x﹣1）＝2+3（x﹣1）D．x＝3（x﹣1）+2
解：去分母得：x＝2（x﹣1）+3，
故选：B．
9．（2分）（2021春•灌云县月考）用换元法解分式方程+1＝0时，如果设＝y，那么原方程可以变形为整式方程（ ）
A．y2﹣3y﹣1＝0B．y2+3y﹣1＝0C．y2﹣y﹣1＝0D．y2+y﹣1＝0
解：∵＝y，
∴原方程化为y﹣+1＝0．
整理得：y2+y﹣1＝0．
故选：D．
10．（2分）（2014春•靖江市校级月考）分式方程有增根，则m的值为（ ）
A．0和2B．1C．1和﹣2D．2
解：方程两边都乘（x﹣1）（x+1），得x（x+1）﹣（x﹣1）（x+1）＝m，
∵方程有增根，
∴最简公分母（x﹣1）（x+1）＝0，即增根是x＝1或﹣1，
把x＝1代入整式方程，得m＝2，
把x＝﹣1代入整式方程，得m＝0，方程无解，
∴m＝2．
故选：D．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请将正确答案填写在横线上）
11．（2分）（2023春•栖霞区校级月考）关于x的分式方程＝1的解是x＝ m+1（m≠0） ，若解是正数，则m的取值范围是 m＞﹣1且m≠0 ．
解：去分母得：m＝x﹣1，
解得：x＝m+1，
经检验当m≠0时，分式方程的解为x＝m+1；
由分式方程的解是正数，得到m+1＞0且m+1≠1，
解得：m＞﹣1且m≠0．
故答案为：m+1（m≠0）；m＞﹣1且m≠0．
12．（2分）（2022春•滨湖区期末）已知关于x的方程＝+m有增根，则增根x＝ 2 ．
解：＝+m，
＝﹣+m，
∵方程有增根，
∴3（x﹣2）＝0，
∴x＝2，
∴增根x＝2，
故答案为：2．
13．（2分）（2023春•江都区期中）若关于x的方程＝3无解，则m的值为 1或3 ．
解：分式方程去分母得：mx﹣1＝3x﹣3，
解得x＝，
∵该方程无解，
∴x＝是增根或m﹣3＝0，
∵x＝1是该方程的增根，
∴＝1，
∴m＝1或3．
故答案为：1或3．
14．（2分）（2019春•姑苏区期中）若关于x的分式方程+＝2有增根，则m的值为 ﹣1 ．
解：方程两边都乘（x﹣3），得
2﹣x﹣m＝2（x﹣3）
∵原方程增根为x＝3，
∴把x＝3代入整式方程，得2﹣3﹣m＝0，
解得m＝﹣1．
故答案为：﹣1．
15．（2分）（2019春•邗江区校级月考）若关于x的方程有增根，则m的值是 ﹣1
解：将方程两边都乘以x﹣2，得：1﹣x﹣m＝x﹣2，
解得：x＝，
∵x的方程有增根，
∴增根x＝＝2，
解得：m＝﹣1，
故答案为：﹣1．
16．（2分）（2023春•东台市期中）若关于x的分式方程有增根，则m＝ ﹣2 ．
解：方程两边都乘（x﹣3），
得m＝﹣2+x﹣3，
∵原方程有增根，
∴最简公分母（x﹣3）＝0，
解得x＝3，
当x＝3时，m＝﹣2，
故答案为﹣2．
17．（2分）（2022春•玄武区期末）分式方程＝a有增根，则a的值是 ﹣1 ．
解：方程两边同时乘以x+1得，x﹣a＝a（x+1），
∵方程有增根，
∴x+1＝0，解得x＝﹣1．
∴﹣1﹣a＝0，解得a＝﹣1．
故答案为：﹣1．
18．（2分）（2023春•梁溪区校级期末）当m＝ 10 时，关于x的方程会产生增根．
解：方程两边同乘以（x﹣2）得：5x+（x﹣2）＝m，
解得：x＝（m+2），
将x＝2代入上式，得m＝10，
∴当m＝10时，方程产生增根．
故答案为：10．
19．（2分）（2023春•泗洪县期末）若关于x的分式方程的根是正数，则实数m的取值范围是 m＜6且m≠2 ．
解：去分母得：m＝2x﹣2﹣4x+8，
解得：x＝，
由分式方程的根是正数，得到＞0，且≠2，
解得：m＜6且m≠2．
∴实数m的取值范围是m＜6且m≠2．
故答案为：m＜6且m≠2．
20．（2分）（2022春•泗洪县期末）若关于x的分式方程有增根时，则m的值为 2 ．
解：，
方程两边都乘（x﹣3）得x﹣5＝﹣m，
方程化简得m＝﹣x+5，
∵原方程增根为x＝3，
∴把x＝3代入整式方程得m＝2．
故答案为：2．
三、解答题（本大题共8小题，共60分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
21．（6分）（2023秋•高邮市期末）解方程：
（1）
（2）﹣＝1．
解：（1）去分母得：x﹣5＝2x﹣5，
移项合并得：x＝0，
经检验x＝0是分式方程的解；
（2）去分母得：（x+1）2﹣4＝x2﹣1，
去括号得：x2+2x+1﹣4＝x2﹣1，
解得：x＝1，
经检验x＝1是增根，分式方程无解．
22．（6分）（2023春•东台市期中）解方程：
（1）＝
（2）﹣＝1．
解：（1）去分母得：2x+1＝5x﹣5，
解得：x＝2，
经检验x＝2是分式方程的解；
（2）去分母得：x2+2x+1﹣4＝x2﹣1，
解得：x＝1，
经检验x＝1是增根，
则原方程无解．
23．（8分）（2022春•张家港市期中）已知关于x的分式方程．
（1）若分式方程有增根，求m的值；
（2）若分式方程的解是正数，求m的取值范围．
解：去分母得：2﹣x﹣m＝2x﹣4，
（1）由分式方程有增根，得到x﹣2＝0，即x＝2，
把x＝2代入整式方程得：m＝0；
（2）解得：x＝，
根据分式方程的解为正数，得到＞0，且≠2，
解得：m＜6且m≠0．
24．（8分）（2023春•姑苏区校级期中）我们定义：形如（m，n不为零），且两个解分别为x1＝m，x2＝n的方程称为“十字分式方程”．
例如为十字分式方程，可化为，∴x1＝2，x2＝3．
再如为十字分式方程，可化为．∴x1＝﹣1，x2＝﹣7．
应用上面的结论解答下列问题：
（1）若为十字分式方程，则x1＝ ﹣3 ，x2＝ ﹣4 ．
（2）若十字分式方程的两个解分别为x1＝a，x2＝b，求的值．
（3）若关于x的十字分式方程的两个解分别为x1，x2（k＞2，x1＞x2），求的值．
解：（1）∵方程是十字分式方程，可化为，
∴x1＝﹣3，x2＝﹣4，
故答案为：﹣3；﹣4；
（2）∵十字分式方程的两个解分别为x1＝a，x2＝b，
∴ab＝﹣6，a+b＝﹣5，
∵
＝
＝，
∴原式＝＝；
（3）方程是十字分式方程，
可化为，
∴，
（x1﹣1）+（x2﹣1）＝2023k﹣2023＝k+（2022k﹣2023），
∵k＞2，x1＞x2，
∴x1﹣1＝2022k﹣2023，x2﹣1＝k，
即x1＝2022k﹣2022，x2＝k+1，
代入得，，
∴的值为2022．
25．（8分）（2023春•工业园区校级期中）先阅读下面的材料，然后回答问题：
方程的解为x1＝2，；
方程的解为x1＝3，；
方程的解为x1＝4，；
…
（1）观察上述方程的解，猜想关于x的方程的解是 x1＝6，x2＝ ；
（2）根据上面的规律，猜想关于x的方程的解是 x1＝a，x2＝ ；
（3）由（2）可知，在解方程：时，可以变形转化为方程的形式求值，按要求写出你的变形求解过程．
解：（1）关于x的方程的解是：x1＝6，x2＝．
故答案为：x1＝6，x2＝；
（2）关于x的方程的解是：x1＝a，x2＝．
故答案为：x1＝a，x2＝；
（3），
，
，
，
即y+1＝2，，
解得：y1＝1，y2＝﹣，
经检验：y1＝1，y2＝﹣是方程的解．
26．（8分）（2012春•江阴市校级期中）已知关于x的方程的解为正数，求m的取值范围．
解：去分母，得3x＝x﹣2+m，
解得x＝，
依题意，得，
解得m＞2且m≠6．
27．（8分）（2022春•邗江区校级期中）阅读下面材料，解答后面的问题．解方程：﹣＝0．解：设y＝，则原方程化为：y﹣＝0，方程两边同时乘y得：y2﹣4＝0，解得：y＝±2，经检验：y＝±2都是方程y﹣＝0的解，∴当y＝2时，＝2，解得x＝﹣1，当y＝﹣2时，＝﹣2，解得：x＝，经检验：x＝﹣1或x＝都是原分式方程的解，∴原分式方程的解为x＝﹣1或x＝．上述这种解分式方程的方法称为换元法．
问题：
（1）若在方程＝0中，设y＝，则原方程可化为： ；
（2）若在方程中＝0，设y＝，则原方程可化为： ；
（3）模仿上述换元法解方程：1﹣＝0．
解：（1）将代入原方程，则原方程化为；
故答案为：；
（2）将代入方程，则原方程可化为；
故答案为：；
（3）原方程化为：，
设，则原方程化为：，
方程两边同时乘y得：y2﹣1＝0，
解得：y＝±1，
经检验：y＝±1都是方程的解．
当y＝1时，，该方程无解；
当y＝﹣1时，，解得：；
经检验：是原分式方程的解，
∴原分式方程的解为．
28．（8分）（2022春•锡山区期中）阅读下列材料：
方程的解为x＝1，
方程的解为x＝2，
方程的解为x＝3，
…
（1）请直接写出方程的解为 x＝6 ；
（2）观察上述方程与解的特征，写出一个解为﹣5的分式方程： ；
（3）观察上述方程与解的特征，写出能反映上述方程一般规律的方程，并直接写出这个方程的解： ； x＝n ．
解：（1）根据材料发现规律：方程的解是方程的最简公分母为零时x值的平均数，
∴方程的解为x＝．
故答案为：x＝6；
（2）的解是x＝﹣5，
故答案为：；
（3）的解是x＝n（本题答案不唯一），
故答案为：，x＝n（本题答案不唯一）