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2022-2023学年黑龙江省哈尔滨十三中高三（下）开学数学试卷(含解析）
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这是一份2022-2023学年黑龙江省哈尔滨十三中高三（下）开学数学试卷(含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.集合M={y|y= 4−x2,x∈Z}的真子集的个数为( )
A. 7B. 8C. 31D. 32
2.若复数z满足z(2−i)=(2+i)(3−4i)，则|z|=( )
A. 5B. 3C. 5D. 25
3.设{an}是公比为q的等比数列，则“q>1”是“{an}为单调递增数列”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4.已知函数f(x)=|ln x|.若0A. (4,+∞)B. [4,+∞)C. (5,+∞)D. [5,+∞)
5.对任意的x∈(1,4)，不等式ax2−2x+2>0都成立，则实数a的取值范围是( )
A. [1,+∞)B. (12,1)C. [12,+∞)D. (12,+∞)
6.已知sinα−csα= 2，α∈(0,π)，则tanα的值是( )
A. −1B. − 22C. 22D. 1
7.据统计，某产品的市场销售量y(万台)与广告费用投入x(万元)之间的对应数据的散点图如图所示，由图可知，y与x之间有较强的线性相关关系，其经验回归方程是y =0.3x+a .预测广告费用投入为10万元时，估计该产品的市场销售量约为( )
A. 6.1万台
B. 5.5万台
C. 5.2万台
D. 6万台
8.设函数f(x)=x2+x+a(a>0)，且f(m)<0，则( )
A. f(m+1)≥0B. f(m+1)≤0C. f(m+1)>0D. f(m+1)<0
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量a=(3,4)，b=(7,1)，则下列结论正确是( )
A. a+b=(10,5)B. |b|=10|a|
C. a//(a−b)D. a与b的夹角为45°
10.设几何体ABCD−A1B1C1D1是棱长为a的正方体，A1C与B1D相交于点O，则( )
A. A1B1⋅AC=a2B. AB⋅A1C= 2a2
C. CD⋅AB1=−a2D. AB⋅A1O=12a2
11.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2，过点F的直线与抛物线交于P，Q两点，M为线段PQ的中点，O为坐标原点，则下列结论正确的是( )
A. C的准线方程为y=−1B. 线段PQ的长度最小为4
C. M的坐标可能为(3,2)D. OP⋅OQ=−3恒成立
12.已知函数f(x)=(3x−5)ex，则下列结论中正确的是( )
A. 函数f(x)在(23,+∞)上单调递减B. 函数f(x)的极小值点为x=23
C. 函数f(x)无极大值D. 函数f(x)在[0,1]上的最大值为−5
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acsB−c−b2=0，a2=72bc，b>c，则bc= ______．
14.一个圆锥的侧面展开图是半径为2，圆心角为π2的扇形，则该圆锥的表面积为______．
15.已知圆O：x2+y2=5与圆C1：x2+y2−5x=0相交于M，N两点，点P的坐标为(3,−4)，若圆C2经过M，N，P三点，则C2的方程为______．
16.中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线C的两条渐近线与圆(x−2)2+y2=1都相切，则双曲线C的离心率是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知数列{an}是首项为正数的等差数列，数列{1an⋅an+1}的前n项和为n2n+1
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn=(an+1)⋅2an，求数列{bn}的前n项和Tn．
18.(本小题12分)
在箱子中有10个小球，其中有3个红球，3个白球，4个黑球.从这10个球中任取3个.求：
(1)取出的3个球中红球的个数X的分布列；
(2)取出的3个球中红球个数多于白球个数的概率．
19.(本小题12分)
如图正方形ABCD的边长为ABCD的边长为2 2，四边形BDEF是平行四边形，BD与AC交于点G，O为GC的中点，FO= 3，且FO⊥平面ABCD．
(Ⅰ)求证：AE//平面BCF；
(Ⅱ)求证：CF⊥平面AEF．
20.(本小题12分)
在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知asin2B=bsinA．
(1)求角B的大小；
(2)给出三个条件①b=2，②△ABC外接圆半径r=2 33，③a+c=2 3，试从中选择两个可以确定△ABC的条件，并求△ABC的面积．
21.(本小题12分)
已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)0)的离心率为 63，直线l：x=ty+1交E于A，B两点；当t=0时，|AB|=2 63．
(1)求E的方程；
(2)设A在直线x=3上的射影为D，证明：直线BD过定点，并求定点坐标．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=ex(ax+1)，曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y=bx−e．
(1)求a，b的值；
(2)若函数g(x)=f(x)−3ex−m有两个零点，求实数m的取值范围．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查集合中元素个数与真子集个数的关系，属于基础题．
先求出集合M中元素的个数，即可得真子集个数．
【解答】
解：4−x2⩾0，故−2⩽x⩽2，
而x∈Z，
令x=0，则y=2，
令x=±1，则y= 3，
令x=±2，则y=0，
则M中有三个元素，则有7个真子集．
故选：A．
2.【答案】C
【解析】解：由z(2−i)=(2+i)(3−4i)，
得z=(2+i)(3−4i)2−i=10−5i2−i，
∴|z|=|10−5i2−i|=|10−5i||2−i|=5 5 5=5．
故选：C．
利用复数代数形式的乘法运算可得z=10−5i2−i，再由商的模等于模的商求解．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用等比数列的性质，利用特殊值法是解决本题的关键，根据等比数列的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．
【解答】
解：等比数列−1，−2，−4，…，满足公比q=2>1，但{an}不是递增数列，充分性不成立，
若an=−1×(12)n−1为递增数列，但q=12>1不成立，即必要性不成立，
故“q>1”是“{an}为递增数列”的既不充分也不必要条件，
故选D．
4.【答案】C
【解析】解：∵f(x)=|lnx|，0∴−lna=lnb，
∴lna+lnb=0，
∴ab=1(0∴b=1a(0∴a+4b=a+4a，(0令g(a)=a+4a，(0当0∴g(a)在(0,1)上单调递减，
∴g(a)=a+4a>g(1)=1+4=5，
∴即a+4b>5．
故选C．
依题意可求得ab=1，(0本题考查带绝对值的函数，求得lna+lnb=0是关键，着重考查双钩函数的单调性质，属于中档题．
5.【答案】D
【解析】解：∵对任意的x∈(1,4)，都有ax2−2x+2>0恒成立，
∴a>2x−2x2对任意的x∈(1,4)恒成立．
设f(x)=2x−2x2=−2x2+2x=−2(1x−12)2+12，
∵x∈(1,4)，
∴14<1x<1，
∴当1x=12，即x=2时，f(x)max=12，
∴实数a的取值范围是(12,+∞)．
故选：D．
分离参数得a>2x−2x2对任意的x∈(1,4)恒成立，再求出(2x−2x2)max即可．
本题考查不等式的恒成立问题，考查运算求解能力，属于基础题．
6.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查同角间的三角函数的基本关系的应用，求得α=3π4是解题的关键，属于基础题．
由条件可得 1−2sinαcsα=2，求得sin2α=−1，可得2α的值，从而求得tanα 的值．
【解答】
解：∵sinα−csα= 2,α∈(0,π)，
∴两边平方得，1−2sinαcsα=2，即sin2α=−1，
∵α∈(0,π)，2α∈(0,2π)，
∴2α=3π2，
∴α=3π4，
∴tanα=−1．
故选：A．
7.【答案】B
【解析】解：由散点图可知产品的市场销售量y(万台)与广告费用投入x(万元)对应的坐标为：(2,3)，(4,4)，(5,4)，(6,4)，(8,5)，
则可得x−=2+4+5+6+85=5，y−=3+4+4+4+55=4，
又点(x−,y−)即(5,4)一定在回归直线y =0.3x+a 上，
则可得4=0.3×5+a ，解得a =2.5，
即回归直线方程为y =0.3x+2.5，
上将x=10代入可得y =0.3×10+2.5=5.5(万台)，
即预测广告费用投入为10万元时，估计该产品的市场销售量约为5.5(万台)．
故选：B．
根据散点图求出点(x−,y−)，代入回归直线y =0.3x+a ，求出a的值，再令x=10求出y的值即可．
本题主要考查了线性回归方程的求解，属于中档题．
8.【答案】C
【解析】解：∵f(m)<0，∴f(x)有两个不同的零点，
∴△=1−4a>0，解得0设f(x)的零点为x1，x2.且x1f(x)在(x2,+∞)上单调递增，
∵x1=−1− 1−4a2，x2=−1+ 1−4a2．
∴x2−x1= 1−4a，
∵0∴ 1−4a<1．
∴m+1>x2．
∴f(m+1)>f(x2)=0．
故选：C．
根据f(x)的零点个数得出a的取值范围，计算f(x)的零点间的距离，判断m+1与f(x)的最大零点的关系．
本题考查了二次函数的图象与性质，根与系数的关系，属于中档题．
9.【答案】AD
【解析】解：对于选项A，由向量a=(3,4)，b=(7,1)，则a+b=(10,5)，即选项A正确；
对于选项B，因为a=(3,4)，b=(7,1)，则|b|=5 2，|a|=5，即|b|= 2|a|，即选项B错误；
对于选项C，因为a=(3,4)，b=(7,1)，则a−b=(−4,3)，由−4×4≠3×3，即a与a−b不共线，即选项C错误；
对于选项D，因为a=(3,4)，b=(7,1)，则a⋅b=3×7+4×1=25，则cs=a⋅b|a||b|=255×5 2= 22，则a与b的夹角为45°，即选项D正确，
故选：AD．
由平面向量数量积的运算，结合平面向量数量积的坐标运算求解即可．
本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量数量积的坐标运算，属基础题．
10.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查了空间向量的数量积运算，考查了计算能力，是中档题．
建立空间直角坐标系，利用空间向量的数量积运算，逐一判断，即可得出结论．
【解答】
解：建立空间直角坐标系，如图所示；
则D(0,0,0)，A(a,0,0)，B(a,a,0)，
B1(a,a,a)，A1(a,0,a)，C1(0,a,a)，C(0,a,0)，O(a2,a2,a2)；
对于A，A1B1=(0,a,0)，AC=(−a,a,0)，所以A1B1⋅AC=a2，选项A正确．
对于B，AB=(0,a,0)，A1C=(−a,a,−a)，所以AB⋅A1C=a2，选项B错误．
对于C，CD=(0,−a,0)，AB1=(0,a,a)，所以CD⋅AB1=−a2，选项C正确．
对于D，A1O=(−12a,12a,−12a)，所以AB⋅A1O=12a2，选项D正确．
故选：ACD．
11.【答案】BCD
【解析】解：由抛物线定义可得：p=2，则抛物线方程为：y2=4x，
所以抛物线的准线方程为：x=−1，A错误，
抛物线的通径为2p=4，所以线段PQ的长度的最小值为4，B正确，
设过焦点F的直线方程为：x=my+1与抛物线方程联立可得：y2−4my−4=0，
设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，
若M的坐标为(3,2)，则x1+x2=6，y1+y2=4，
而y1+y2=4mx1+x2=4m2+2，解得m=1满足题意，所以C正确，
又OP⋅OQ=x1x2+y1y2=(my1+1)(my2+1)+y1y2=(m2+1)y1y2+m(y1+y2)+1
=−4(m2+1)+4m2+1=−3，所以D正确，
故选：BCD．
先由已知求出p的值，则抛物线方程即可求出，可求准线方程，再由抛物线的焦点弦通径最短即可求出PQ的最小值，而选项CD，需要设出过焦点F的直线方程与抛物线方程联立，利用根与系数的关系即可求解．
本题考查了抛物线定义以及简单性质，涉及到根与系数的关系，属中档题．
12.【答案】BCD
【解析】【分析】
本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于基础题．
求导，分析单调性，进而可得f(x)的最值，即可得出答案．
【解答】
解：因为f′(x)=(3x−2)ex，
所以f(x)在(−∞,23)上单调递减，在(23,+∞)上单调递增，
故f(x)的极小值点为23，无极大值，
故A错误，B正确，C正确；
f(x)在0,23上递减，在23,1上递增，f(0)=−5，f(1)=−2e，
所以最大值为−5，故D正确．
故选：BCD．
13.【答案】2
【解析】解：由acsB−c−b2=0及正弦定理可得sinAcsB−sinC−sinB2=0，
在△ABC中，因为sinC=sin(A+B)=sinAcsB+csAsinB，
所以sinB2+csAsinB=0.因为sinB≠0，所以csA=−12，
由余弦定理得a2=b2+c2−2bccsA=b2+c2+bc，a2=72bc，
所以2b2+2c2−5bc=0，
即2⋅(bc)2−5⋅bc+2=0，
解得bc=12或bc=2．
又因为b>c，
所以bc=2．
故答案为：2．
由题意及正弦定理可得sinAcsB−sinC−sinB2=0，由三角形中角之间的关系，解出csA的值，再由余弦定理可得bc的值．
本题考查正弦定理及余弦定理的应用，属于中档题．
14.【答案】5π4
【解析】解：设圆锥的底面半径为r，
则有2πr=π2×2，解得r=12，
所以圆锥的表面积为π×4×12+π×(12)2=5π4．
故答案为：5π4．
利用圆锥的底面周长即为侧面展开图的弧长，从而求出底面半径，然后利用扇形的面积公式以及圆的面积公式求解即可．
本题考查了圆锥的几何性质的应用，解题的关键是掌握圆锥的侧面展开图与圆锥之间关系，考查了逻辑推理能力、空间想象能力与化简运算能力，属于基础题．
15.【答案】(x−5)2+y2=20
【解析】解：把圆O：x2+y2=5与圆C1：x2+y2−5x=0相减，可得公共弦MN的方程为x=1，
故M、N两点的坐标为(1,2)、(1,−2)，
又点P的坐标为(3,−4)，故要求的圆的圆心C2在x轴上，设C2(m,0)，
由C2M=C2N，求得m=5，故要求的圆的圆心C2(5,0)，半径为C2M= 20，
故要求的圆C2的方程为(x−5)2+y2=20，
故答案为：(x−5)2+y2=20．
先求出MN的方程，判断要求的圆的圆心D在x轴上，设C2(m,0)，C2M=C2N，求得m的值，可得圆心和半径，从而得到C2的方程．
本题主要考查求圆的标准方程，圆和圆的位置关系应用，属于中档题．
16.【答案】2 33或2
【解析】解：如图，由圆的切线得：
求得双曲线的渐近线的方程为y= 33x，
∴焦点在x、y轴上两种情况讨论：
①当焦点在x轴上时有：ba= 33；
②当焦点在y轴上时有：ab= 33
∴求得双曲线的离心率2 33或2．
故答案为2 33或2．
根据题意，由圆的切线求得双曲线的渐近线的方程，进而求得双曲线的离心率．
解题的关键是：由圆的切线求得直线的方程，再由双曲线中渐近线的方程的关系建立等式，从而解出双曲线的离心率的值．此题易忽视两解得出错误答案．
17.【答案】解：(1)设数列{an}的公差为d，
令n=1，得1a1a2=13，所以a1a2=3．
令n=2，得1a1a2+1a2a3=25，所以a2a3=15．
解得a1=1，d=2，
∴an=2n−1，
(2)bn=(an+1)⋅2an=(2n+1−1)×2×(2n−1)=8n2−4n
∴Tn=b1+b2+…+bn，
=8(12+22+32+…+n2)−4(1+2+3+…+n)，
=8×n(n+1)(2n+1)6−4×n(n+1)2
=2n(n+1)(4n−1)3
【解析】(1)利用等差数列的通项公式即可得出．
(2)由(1)可得bn=8n2−4n，分组求和即可
本题考查求数列的通项及求和，利用分组求和是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．
18.【答案】解：(1)由题意知，随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，
且X服从参数为N=10，M=3，n=3的超几何分布，
因此 P(X=k)=C3kC73−kC103(k=0,1,2,3)；………………………………………………(1分)
所以 P(X=0)=C30C73C103=35120=724，
P(X=1)=C31C72C103=63120=2140，
P(X=2)=C32C71C103=21120=740，
P(X=3)=C33⋅C70C103=1120；……………………………………………………(4分)
所以X的分布列为：
……………………………………………………(6分)
(2)设“取出的3个球中红球个数多于白球个数”为事件A，“恰好取出1个红球和2个黑球”
为事件A1，“恰好取出2个红球”为事件A2，“恰好取出3个红球”为事件A3，……………(7分)
由于事件A1，A2，A3彼此互斥，且A=A1+A2+A3，
而P(A1)=C31C42C103=320，
P(A2)=P(X=2)=740，
P(A3)=P(X=3)=1120，…………(10分)
所以取出的3个球中红球个数多于白球个数的概率为：
P(A)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=320+740+1120=13.……………………………………………(11分)
答：取出的3个球中红球个数多于白球个数的概率为13.……………………………………(12分)
【解析】(1)由题意知随机变量X的所有可能取值，且X服从超几何分布，计算对应的概率值，写出X的分布列；
(2)设“取出的3个球中红球个数多于白球个数”为事件A，利用互斥事件的概率和计算所求的概率值．
本题考查了随机事件的概率计算问题，也考查了离散型随机变量的分布列，是中档题．
19.【答案】(Ⅰ)证明：取BC中点H，连结OH，则OH//BD，
又四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD，
∴OH⊥AC，∴以O为原点，建立如图所示的直角坐标系，
则A(3,0,0)，E(1,−2,0)，C(−1,0,0)，
D(1,−2,0)，F(0,0, 3)，
BC=(−2,−2,0)，CF=(1,0, 3)，
BF=(−1,−2, 3)，
设平面BCF的法向量为n=(x,y,z)，
则−2x−2y=0x+ 3z=0，取z=1，得n=(− 3, 3,1)，
又四边形BDEF为平行四边形，
∴DE=BF=(−1,−2, 3)，
∴AE=AD+DE=BC+DE=(−2,−2,0)+(−1,−2, 3)=(−3,−3, 3)，
∴AE⋅n=3 3−4 3+ 3=0，
∴AEn，又AE⊄平面BCF，∴AE//平面BCF．
(Ⅱ)证明：AF=(−3,0, 3)，
∴CF⋅AF=−3+3=0，CF⋅AE=−3+3=0，
∴CF⊥AF，CF⊥AE，
又AE∩AF=A，∴CF⊥平面AEF．
【解析】(Ⅰ)取BC中点H，连结OH，则OH//BD，由正方形性质得AC⊥BD，从而OH⊥AC，以O为原点，建立直角坐标系，利用向量法能证明AE//平面BCF．
(Ⅱ)求出CF⋅AF=−3+3=0，CF⋅AE=−3+3=0，可得CF⊥AF，CF⊥AE，由此能证明CF⊥平面AEF．
本题考查线面平行、线面垂直的证明，是中档题，解题时要注意向量法的合理运用．
20.【答案】解：(1)因为asin2B=bsinA，所以2asinBcsB=bsinA，
由正弦定理得2abcsB=ba，
∴csB=12，
∵0∴B=π3；
(2)显然可知当选择条件①②时，△ABC不唯一；
当选择条件①③时，△ABC唯一，此时，
由余弦定理b2=a2+c2−2accsB，
即4=a2+c2−ac=(a+c)2−3ac=12−3ac．
解得ac=83．
所以△ABC的面积S=12acsinB=12×83× 32=2 33．
当选择条件②③时，△ABC唯一，此时，
由正弦定理可知b=2r⋅sinB=2．
由余弦定理b2=a2+c2−2accsB，
即4=a2+c2−ac=(a+c)2−3ac=12−3ac．
解得ac=83．
所以△ABC的面积S=12acsinB=12×83× 32=2 33．
【解析】(1)根据正弦定理可得csB=12，即可求出；
(2)根据正弦定理余弦定理和面积公式即可求出．
本题主要考查了正弦定理余弦定理三角形的面积公式，三角恒等变换，属于中档题．
21.【答案】解：(1)解：由题意得：e2=c2a2=a2−b2a2=23，整理得：a2=3b2，
由t=0时，|AB|=2 63得：1a2+23b2=1，
因此a= 3，b=1，故E的方程为x23+y2=1；
(2)证明：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则D(3,y1)，
将x=ty+1代入x23+y2=1得：(t2+3)y2+2ty−2=0，
y1+y2=−2tt2+3，y1y2=−2t2+3，
从而ty1y2=y1+y2①，
直线BD：y=y2−y1x2−3(x−3)+y1，设直线BD与x轴的交点为(x0,0)，
则y2−y1x2−3(x0−3)+y1=0，
∴x0=y1(3−x2)y2−y1+3=y1(2−ty2)y2−y1+3=2y1−ty1y2y2−y1+3，
将①式代入上式可得：x0=2，
故直线BD过定点(2,0)．
【解析】(1)先由椭圆E的离心率为 63列出a与b的方程，再由|AB|=2 63列出a与b的方程，联立解出a，b的值，即可求得E的方程；
(2)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，将x=ty+1与x23+y2=1联立得：(t2+3)y2+2ty−2=0，求出y1与y2的关系式，然后写出直线BD的方程，进而证明直线BD过定点即可．
本题主要考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的综合及直线过定点的问题，属于中档题．
22.【答案】解：f(x)=ex(ax+1)，则f′(x)=ex(ax+1)+ex⋅a=ex(ax+1+a)，
由题意知f′(1)=e(2a+1)=bf(1)=e(a+1)=b−e，
解得a=1，b=3e，
∴a=1，b=3e．
(2)g(x)=f(x)−3ex−m=ex(x−2)−m，函数g(x)=ex(x−2)−m有两个零点，
相当于函数u(x)=ex⋅(x−2)的图像与直线y=m有两个交点，
u′(x)=ex⋅(x−2)+ex=ex(x−1)，当x∈(−∞,1)时，u′(x)<0，
∴u(x)在(−∞,1)上单调递减；当x∈(1,+∞)时，u′(x)>0，
∴u(x)在(1,+∞)上单调递增，
∴当x=1时，u(x)取得极小值u(1)=−e．
又当x→+∞时，u(x)→+∞，当x<2时，u(x)<0，
∴实数m的取值范围为{m|−e【解析】(1)由题意，对函数求导，可得切线方程的斜率，再列出方程组，即可求得a，b的值，
(2)由题意将函数转化为函数u(x)=ex⋅(x−2)的图像与直线y=m有两个交点，求得u(x)的范围，即可得m的范围．
本题考查函数的切线方程，及利用导数求函数的最值问题，考查学生的运算能力，属于中档题．X
0
1
2
3
P
724
2140
740
1120
1.集合M={y|y= 4−x2,x∈Z}的真子集的个数为( )
A. 7B. 8C. 31D. 32
2.若复数z满足z(2−i)=(2+i)(3−4i)，则|z|=( )
A. 5B. 3C. 5D. 25
3.设{an}是公比为q的等比数列，则“q>1”是“{an}为单调递增数列”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4.已知函数f(x)=|ln x|.若0
5.对任意的x∈(1,4)，不等式ax2−2x+2>0都成立，则实数a的取值范围是( )
A. [1,+∞)B. (12,1)C. [12,+∞)D. (12,+∞)
6.已知sinα−csα= 2，α∈(0,π)，则tanα的值是( )
A. −1B. − 22C. 22D. 1
7.据统计，某产品的市场销售量y(万台)与广告费用投入x(万元)之间的对应数据的散点图如图所示，由图可知，y与x之间有较强的线性相关关系，其经验回归方程是y =0.3x+a .预测广告费用投入为10万元时，估计该产品的市场销售量约为( )
A. 6.1万台
B. 5.5万台
C. 5.2万台
D. 6万台
8.设函数f(x)=x2+x+a(a>0)，且f(m)<0，则( )
A. f(m+1)≥0B. f(m+1)≤0C. f(m+1)>0D. f(m+1)<0
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量a=(3,4)，b=(7,1)，则下列结论正确是( )
A. a+b=(10,5)B. |b|=10|a|
C. a//(a−b)D. a与b的夹角为45°
10.设几何体ABCD−A1B1C1D1是棱长为a的正方体，A1C与B1D相交于点O，则( )
A. A1B1⋅AC=a2B. AB⋅A1C= 2a2
C. CD⋅AB1=−a2D. AB⋅A1O=12a2
11.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2，过点F的直线与抛物线交于P，Q两点，M为线段PQ的中点，O为坐标原点，则下列结论正确的是( )
A. C的准线方程为y=−1B. 线段PQ的长度最小为4
C. M的坐标可能为(3,2)D. OP⋅OQ=−3恒成立
12.已知函数f(x)=(3x−5)ex，则下列结论中正确的是( )
A. 函数f(x)在(23,+∞)上单调递减B. 函数f(x)的极小值点为x=23
C. 函数f(x)无极大值D. 函数f(x)在[0,1]上的最大值为−5
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acsB−c−b2=0，a2=72bc，b>c，则bc= ______．
14.一个圆锥的侧面展开图是半径为2，圆心角为π2的扇形，则该圆锥的表面积为______．
15.已知圆O：x2+y2=5与圆C1：x2+y2−5x=0相交于M，N两点，点P的坐标为(3,−4)，若圆C2经过M，N，P三点，则C2的方程为______．
16.中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线C的两条渐近线与圆(x−2)2+y2=1都相切，则双曲线C的离心率是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知数列{an}是首项为正数的等差数列，数列{1an⋅an+1}的前n项和为n2n+1
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn=(an+1)⋅2an，求数列{bn}的前n项和Tn．
18.(本小题12分)
在箱子中有10个小球，其中有3个红球，3个白球，4个黑球.从这10个球中任取3个.求：
(1)取出的3个球中红球的个数X的分布列；
(2)取出的3个球中红球个数多于白球个数的概率．
19.(本小题12分)
如图正方形ABCD的边长为ABCD的边长为2 2，四边形BDEF是平行四边形，BD与AC交于点G，O为GC的中点，FO= 3，且FO⊥平面ABCD．
(Ⅰ)求证：AE//平面BCF；
(Ⅱ)求证：CF⊥平面AEF．
20.(本小题12分)
在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知asin2B=bsinA．
(1)求角B的大小；
(2)给出三个条件①b=2，②△ABC外接圆半径r=2 33，③a+c=2 3，试从中选择两个可以确定△ABC的条件，并求△ABC的面积．
21.(本小题12分)
已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)0)的离心率为 63，直线l：x=ty+1交E于A，B两点；当t=0时，|AB|=2 63．
(1)求E的方程；
(2)设A在直线x=3上的射影为D，证明：直线BD过定点，并求定点坐标．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=ex(ax+1)，曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y=bx−e．
(1)求a，b的值；
(2)若函数g(x)=f(x)−3ex−m有两个零点，求实数m的取值范围．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查集合中元素个数与真子集个数的关系，属于基础题．
先求出集合M中元素的个数，即可得真子集个数．
【解答】
解：4−x2⩾0，故−2⩽x⩽2，
而x∈Z，
令x=0，则y=2，
令x=±1，则y= 3，
令x=±2，则y=0，
则M中有三个元素，则有7个真子集．
故选：A．
2.【答案】C
【解析】解：由z(2−i)=(2+i)(3−4i)，
得z=(2+i)(3−4i)2−i=10−5i2−i，
∴|z|=|10−5i2−i|=|10−5i||2−i|=5 5 5=5．
故选：C．
利用复数代数形式的乘法运算可得z=10−5i2−i，再由商的模等于模的商求解．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用等比数列的性质，利用特殊值法是解决本题的关键，根据等比数列的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．
【解答】
解：等比数列−1，−2，−4，…，满足公比q=2>1，但{an}不是递增数列，充分性不成立，
若an=−1×(12)n−1为递增数列，但q=12>1不成立，即必要性不成立，
故“q>1”是“{an}为递增数列”的既不充分也不必要条件，
故选D．
4.【答案】C
【解析】解：∵f(x)=|lnx|，0
∴lna+lnb=0，
∴ab=1(0
∴g(a)=a+4a>g(1)=1+4=5，
∴即a+4b>5．
故选C．
依题意可求得ab=1，(0
5.【答案】D
【解析】解：∵对任意的x∈(1,4)，都有ax2−2x+2>0恒成立，
∴a>2x−2x2对任意的x∈(1,4)恒成立．
设f(x)=2x−2x2=−2x2+2x=−2(1x−12)2+12，
∵x∈(1,4)，
∴14<1x<1，
∴当1x=12，即x=2时，f(x)max=12，
∴实数a的取值范围是(12,+∞)．
故选：D．
分离参数得a>2x−2x2对任意的x∈(1,4)恒成立，再求出(2x−2x2)max即可．
本题考查不等式的恒成立问题，考查运算求解能力，属于基础题．
6.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查同角间的三角函数的基本关系的应用，求得α=3π4是解题的关键，属于基础题．
由条件可得 1−2sinαcsα=2，求得sin2α=−1，可得2α的值，从而求得tanα 的值．
【解答】
解：∵sinα−csα= 2,α∈(0,π)，
∴两边平方得，1−2sinαcsα=2，即sin2α=−1，
∵α∈(0,π)，2α∈(0,2π)，
∴2α=3π2，
∴α=3π4，
∴tanα=−1．
故选：A．
7.【答案】B
【解析】解：由散点图可知产品的市场销售量y(万台)与广告费用投入x(万元)对应的坐标为：(2,3)，(4,4)，(5,4)，(6,4)，(8,5)，
则可得x−=2+4+5+6+85=5，y−=3+4+4+4+55=4，
又点(x−,y−)即(5,4)一定在回归直线y =0.3x+a 上，
则可得4=0.3×5+a ，解得a =2.5，
即回归直线方程为y =0.3x+2.5，
上将x=10代入可得y =0.3×10+2.5=5.5(万台)，
即预测广告费用投入为10万元时，估计该产品的市场销售量约为5.5(万台)．
故选：B．
根据散点图求出点(x−,y−)，代入回归直线y =0.3x+a ，求出a的值，再令x=10求出y的值即可．
本题主要考查了线性回归方程的求解，属于中档题．
8.【答案】C
【解析】解：∵f(m)<0，∴f(x)有两个不同的零点，
∴△=1−4a>0，解得0
∵x1=−1− 1−4a2，x2=−1+ 1−4a2．
∴x2−x1= 1−4a，
∵0
∴m+1>x2．
∴f(m+1)>f(x2)=0．
故选：C．
根据f(x)的零点个数得出a的取值范围，计算f(x)的零点间的距离，判断m+1与f(x)的最大零点的关系．
本题考查了二次函数的图象与性质，根与系数的关系，属于中档题．
9.【答案】AD
【解析】解：对于选项A，由向量a=(3,4)，b=(7,1)，则a+b=(10,5)，即选项A正确；
对于选项B，因为a=(3,4)，b=(7,1)，则|b|=5 2，|a|=5，即|b|= 2|a|，即选项B错误；
对于选项C，因为a=(3,4)，b=(7,1)，则a−b=(−4,3)，由−4×4≠3×3，即a与a−b不共线，即选项C错误；
对于选项D，因为a=(3,4)，b=(7,1)，则a⋅b=3×7+4×1=25，则cs
故选：AD．
由平面向量数量积的运算，结合平面向量数量积的坐标运算求解即可．
本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量数量积的坐标运算，属基础题．
10.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查了空间向量的数量积运算，考查了计算能力，是中档题．
建立空间直角坐标系，利用空间向量的数量积运算，逐一判断，即可得出结论．
【解答】
解：建立空间直角坐标系，如图所示；
则D(0,0,0)，A(a,0,0)，B(a,a,0)，
B1(a,a,a)，A1(a,0,a)，C1(0,a,a)，C(0,a,0)，O(a2,a2,a2)；
对于A，A1B1=(0,a,0)，AC=(−a,a,0)，所以A1B1⋅AC=a2，选项A正确．
对于B，AB=(0,a,0)，A1C=(−a,a,−a)，所以AB⋅A1C=a2，选项B错误．
对于C，CD=(0,−a,0)，AB1=(0,a,a)，所以CD⋅AB1=−a2，选项C正确．
对于D，A1O=(−12a,12a,−12a)，所以AB⋅A1O=12a2，选项D正确．
故选：ACD．
11.【答案】BCD
【解析】解：由抛物线定义可得：p=2，则抛物线方程为：y2=4x，
所以抛物线的准线方程为：x=−1，A错误，
抛物线的通径为2p=4，所以线段PQ的长度的最小值为4，B正确，
设过焦点F的直线方程为：x=my+1与抛物线方程联立可得：y2−4my−4=0，
设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，
若M的坐标为(3,2)，则x1+x2=6，y1+y2=4，
而y1+y2=4mx1+x2=4m2+2，解得m=1满足题意，所以C正确，
又OP⋅OQ=x1x2+y1y2=(my1+1)(my2+1)+y1y2=(m2+1)y1y2+m(y1+y2)+1
=−4(m2+1)+4m2+1=−3，所以D正确，
故选：BCD．
先由已知求出p的值，则抛物线方程即可求出，可求准线方程，再由抛物线的焦点弦通径最短即可求出PQ的最小值，而选项CD，需要设出过焦点F的直线方程与抛物线方程联立，利用根与系数的关系即可求解．
本题考查了抛物线定义以及简单性质，涉及到根与系数的关系，属中档题．
12.【答案】BCD
【解析】【分析】
本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于基础题．
求导，分析单调性，进而可得f(x)的最值，即可得出答案．
【解答】
解：因为f′(x)=(3x−2)ex，
所以f(x)在(−∞,23)上单调递减，在(23,+∞)上单调递增，
故f(x)的极小值点为23，无极大值，
故A错误，B正确，C正确；
f(x)在0,23上递减，在23,1上递增，f(0)=−5，f(1)=−2e，
所以最大值为−5，故D正确．
故选：BCD．
13.【答案】2
【解析】解：由acsB−c−b2=0及正弦定理可得sinAcsB−sinC−sinB2=0，
在△ABC中，因为sinC=sin(A+B)=sinAcsB+csAsinB，
所以sinB2+csAsinB=0.因为sinB≠0，所以csA=−12，
由余弦定理得a2=b2+c2−2bccsA=b2+c2+bc，a2=72bc，
所以2b2+2c2−5bc=0，
即2⋅(bc)2−5⋅bc+2=0，
解得bc=12或bc=2．
又因为b>c，
所以bc=2．
故答案为：2．
由题意及正弦定理可得sinAcsB−sinC−sinB2=0，由三角形中角之间的关系，解出csA的值，再由余弦定理可得bc的值．
本题考查正弦定理及余弦定理的应用，属于中档题．
14.【答案】5π4
【解析】解：设圆锥的底面半径为r，
则有2πr=π2×2，解得r=12，
所以圆锥的表面积为π×4×12+π×(12)2=5π4．
故答案为：5π4．
利用圆锥的底面周长即为侧面展开图的弧长，从而求出底面半径，然后利用扇形的面积公式以及圆的面积公式求解即可．
本题考查了圆锥的几何性质的应用，解题的关键是掌握圆锥的侧面展开图与圆锥之间关系，考查了逻辑推理能力、空间想象能力与化简运算能力，属于基础题．
15.【答案】(x−5)2+y2=20
【解析】解：把圆O：x2+y2=5与圆C1：x2+y2−5x=0相减，可得公共弦MN的方程为x=1，
故M、N两点的坐标为(1,2)、(1,−2)，
又点P的坐标为(3,−4)，故要求的圆的圆心C2在x轴上，设C2(m,0)，
由C2M=C2N，求得m=5，故要求的圆的圆心C2(5,0)，半径为C2M= 20，
故要求的圆C2的方程为(x−5)2+y2=20，
故答案为：(x−5)2+y2=20．
先求出MN的方程，判断要求的圆的圆心D在x轴上，设C2(m,0)，C2M=C2N，求得m的值，可得圆心和半径，从而得到C2的方程．
本题主要考查求圆的标准方程，圆和圆的位置关系应用，属于中档题．
16.【答案】2 33或2
【解析】解：如图，由圆的切线得：
求得双曲线的渐近线的方程为y= 33x，
∴焦点在x、y轴上两种情况讨论：
①当焦点在x轴上时有：ba= 33；
②当焦点在y轴上时有：ab= 33
∴求得双曲线的离心率2 33或2．
故答案为2 33或2．
根据题意，由圆的切线求得双曲线的渐近线的方程，进而求得双曲线的离心率．
解题的关键是：由圆的切线求得直线的方程，再由双曲线中渐近线的方程的关系建立等式，从而解出双曲线的离心率的值．此题易忽视两解得出错误答案．
17.【答案】解：(1)设数列{an}的公差为d，
令n=1，得1a1a2=13，所以a1a2=3．
令n=2，得1a1a2+1a2a3=25，所以a2a3=15．
解得a1=1，d=2，
∴an=2n−1，
(2)bn=(an+1)⋅2an=(2n+1−1)×2×(2n−1)=8n2−4n
∴Tn=b1+b2+…+bn，
=8(12+22+32+…+n2)−4(1+2+3+…+n)，
=8×n(n+1)(2n+1)6−4×n(n+1)2
=2n(n+1)(4n−1)3
【解析】(1)利用等差数列的通项公式即可得出．
(2)由(1)可得bn=8n2−4n，分组求和即可
本题考查求数列的通项及求和，利用分组求和是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．
18.【答案】解：(1)由题意知，随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，
且X服从参数为N=10，M=3，n=3的超几何分布，
因此 P(X=k)=C3kC73−kC103(k=0,1,2,3)；………………………………………………(1分)
所以 P(X=0)=C30C73C103=35120=724，
P(X=1)=C31C72C103=63120=2140，
P(X=2)=C32C71C103=21120=740，
P(X=3)=C33⋅C70C103=1120；……………………………………………………(4分)
所以X的分布列为：
……………………………………………………(6分)
(2)设“取出的3个球中红球个数多于白球个数”为事件A，“恰好取出1个红球和2个黑球”
为事件A1，“恰好取出2个红球”为事件A2，“恰好取出3个红球”为事件A3，……………(7分)
由于事件A1，A2，A3彼此互斥，且A=A1+A2+A3，
而P(A1)=C31C42C103=320，
P(A2)=P(X=2)=740，
P(A3)=P(X=3)=1120，…………(10分)
所以取出的3个球中红球个数多于白球个数的概率为：
P(A)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=320+740+1120=13.……………………………………………(11分)
答：取出的3个球中红球个数多于白球个数的概率为13.……………………………………(12分)
【解析】(1)由题意知随机变量X的所有可能取值，且X服从超几何分布，计算对应的概率值，写出X的分布列；
(2)设“取出的3个球中红球个数多于白球个数”为事件A，利用互斥事件的概率和计算所求的概率值．
本题考查了随机事件的概率计算问题，也考查了离散型随机变量的分布列，是中档题．
19.【答案】(Ⅰ)证明：取BC中点H，连结OH，则OH//BD，
又四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD，
∴OH⊥AC，∴以O为原点，建立如图所示的直角坐标系，
则A(3,0,0)，E(1,−2,0)，C(−1,0,0)，
D(1,−2,0)，F(0,0, 3)，
BC=(−2,−2,0)，CF=(1,0, 3)，
BF=(−1,−2, 3)，
设平面BCF的法向量为n=(x,y,z)，
则−2x−2y=0x+ 3z=0，取z=1，得n=(− 3, 3,1)，
又四边形BDEF为平行四边形，
∴DE=BF=(−1,−2, 3)，
∴AE=AD+DE=BC+DE=(−2,−2,0)+(−1,−2, 3)=(−3,−3, 3)，
∴AE⋅n=3 3−4 3+ 3=0，
∴AEn，又AE⊄平面BCF，∴AE//平面BCF．
(Ⅱ)证明：AF=(−3,0, 3)，
∴CF⋅AF=−3+3=0，CF⋅AE=−3+3=0，
∴CF⊥AF，CF⊥AE，
又AE∩AF=A，∴CF⊥平面AEF．
【解析】(Ⅰ)取BC中点H，连结OH，则OH//BD，由正方形性质得AC⊥BD，从而OH⊥AC，以O为原点，建立直角坐标系，利用向量法能证明AE//平面BCF．
(Ⅱ)求出CF⋅AF=−3+3=0，CF⋅AE=−3+3=0，可得CF⊥AF，CF⊥AE，由此能证明CF⊥平面AEF．
本题考查线面平行、线面垂直的证明，是中档题，解题时要注意向量法的合理运用．
20.【答案】解：(1)因为asin2B=bsinA，所以2asinBcsB=bsinA，
由正弦定理得2abcsB=ba，
∴csB=12，
∵0
(2)显然可知当选择条件①②时，△ABC不唯一；
当选择条件①③时，△ABC唯一，此时，
由余弦定理b2=a2+c2−2accsB，
即4=a2+c2−ac=(a+c)2−3ac=12−3ac．
解得ac=83．
所以△ABC的面积S=12acsinB=12×83× 32=2 33．
当选择条件②③时，△ABC唯一，此时，
由正弦定理可知b=2r⋅sinB=2．
由余弦定理b2=a2+c2−2accsB，
即4=a2+c2−ac=(a+c)2−3ac=12−3ac．
解得ac=83．
所以△ABC的面积S=12acsinB=12×83× 32=2 33．
【解析】(1)根据正弦定理可得csB=12，即可求出；
(2)根据正弦定理余弦定理和面积公式即可求出．
本题主要考查了正弦定理余弦定理三角形的面积公式，三角恒等变换，属于中档题．
21.【答案】解：(1)解：由题意得：e2=c2a2=a2−b2a2=23，整理得：a2=3b2，
由t=0时，|AB|=2 63得：1a2+23b2=1，
因此a= 3，b=1，故E的方程为x23+y2=1；
(2)证明：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则D(3,y1)，
将x=ty+1代入x23+y2=1得：(t2+3)y2+2ty−2=0，
y1+y2=−2tt2+3，y1y2=−2t2+3，
从而ty1y2=y1+y2①，
直线BD：y=y2−y1x2−3(x−3)+y1，设直线BD与x轴的交点为(x0,0)，
则y2−y1x2−3(x0−3)+y1=0，
∴x0=y1(3−x2)y2−y1+3=y1(2−ty2)y2−y1+3=2y1−ty1y2y2−y1+3，
将①式代入上式可得：x0=2，
故直线BD过定点(2,0)．
【解析】(1)先由椭圆E的离心率为 63列出a与b的方程，再由|AB|=2 63列出a与b的方程，联立解出a，b的值，即可求得E的方程；
(2)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，将x=ty+1与x23+y2=1联立得：(t2+3)y2+2ty−2=0，求出y1与y2的关系式，然后写出直线BD的方程，进而证明直线BD过定点即可．
本题主要考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的综合及直线过定点的问题，属于中档题．
22.【答案】解：f(x)=ex(ax+1)，则f′(x)=ex(ax+1)+ex⋅a=ex(ax+1+a)，
由题意知f′(1)=e(2a+1)=bf(1)=e(a+1)=b−e，
解得a=1，b=3e，
∴a=1，b=3e．
(2)g(x)=f(x)−3ex−m=ex(x−2)−m，函数g(x)=ex(x−2)−m有两个零点，
相当于函数u(x)=ex⋅(x−2)的图像与直线y=m有两个交点，
u′(x)=ex⋅(x−2)+ex=ex(x−1)，当x∈(−∞,1)时，u′(x)<0，
∴u(x)在(−∞,1)上单调递减；当x∈(1,+∞)时，u′(x)>0，
∴u(x)在(1,+∞)上单调递增，
∴当x=1时，u(x)取得极小值u(1)=−e．
又当x→+∞时，u(x)→+∞，当x<2时，u(x)<0，
∴实数m的取值范围为{m|−e
(2)由题意将函数转化为函数u(x)=ex⋅(x−2)的图像与直线y=m有两个交点，求得u(x)的范围，即可得m的范围．
本题考查函数的切线方程，及利用导数求函数的最值问题，考查学生的运算能力，属于中档题．X
0
1
2
3
P
724
2140
740
1120
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