浙教版七年级数学下册基础知识专项讲练 专题3.10 单项式乘以多项式（知识讲解）

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1. 会进行单项式与多项式的乘法计算；
2. 掌握整式的加、减、及单项式乘以单项式及单项式与多项式相乘的的混合运算，并能灵活地运用运算律简化运算.
【要点梳理】
单项式与多项式相乘的运算法则
单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.
即.
特别说明：
（1）单项式与多项式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题.
（2）单项式与多项式的乘积仍是一个多项式，项数与原多项式的项数相同.
（3）计算的过程中要注意符号问题，多项式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号.
（4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果.
【典型例题】
类型一、单项式乘以单项式➽➼化简✭✭求值
1．化简．
【答案】
【分析】先根据单项式乘多项式运算法则展开，再合并同类项即可．
解：
【点拨】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
举一反三：
【变式1】计算：
（1）； （2）．
【答案】（1）；（2）．
【分析】根据多项式乘单项式的运算法则计算即可．
解：（1）
（2）
【点拨】本题考查了多项式乘单项式，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【变式2】计算：
（1） （2）.
【答案】(1) ； (2) .
【分析】(1) 根据单项式乘多项式的运算法则即可求解.
根据单项式乘多项式的运算法则即可求解.
解：(1)= ;
(2)= ;
【点拨】此题主要考查整式的乘法，解题的关键是熟知单项式乘多项式的运算法则.
2．计算：
；(2) ．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）先算积的乘方和幂的乘方，再算单项式乘多项式即可；
（2）先算积的乘方，再算单项式乘多项式即可．
解：（1）
= -8a6b3⋅（3b2-4a+6）
= -24a6b5+32a7b3-48a6b3；
（2）
【点拨】本题主要考查单项式乘多项式，积的乘方和幂的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
举一反三：
【变式1】计算下列各式
（1）；（2） （2）．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）先根据单项式乘多项式的运算法则将原式展开，再单项式乘单项式运算法则化简即可解答；
（2）同理，先根据单项式乘多项式的运算法则将原式展开，再单项式乘单项式运算法则化简即可解答．
解：（1）原式
．
（2）原式
．
【点拨】本题考查整式的乘法，涉及单项式乘多项式、单项式乘单项式、同底数幂的乘法等知识，熟练掌握这些知识的运算法则是解答的关键．
【变式2】计算：．
【答案】
【分析】根据单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加计算即可．
解：（-a2bc+2ab2-ac）•（-ac）2=（-a2bc+2ab2-ac）•a2c2=-a4bc3+a3b2c2-a3c3．
【点拨】本题考查了单项式与多项式相乘，熟练掌握运算法则是解题的关键，计算时要注意符号的处理．
类型二、单项式乘以单项式➽➼化简求值✭✭求参数✭✭应用
3．先化简，再求值：，其中．
【答案】，．
【分析】先根据单项式乘以多项式的运算法则和合并同类项将原式化简，再代入数值即可求解．
解：．
当时，
原式．
【点拨】本题考查了整式的化简求值，熟练掌握单项式乘以多项式的运算法则和合并同类项是解答本题的关键．
举一反三：
【变式1】先化简，再求值： 3a2a 2  4a  3 2a 2 (3a  4) ，其中 a  2 .
【答案】-98
【分析】首先根据单项式与多项式相乘的法则去掉括号，然后合并同类项，最后代入已知的数值计算即可．
解：3a(2a2−4a+3)−2a2(3a+4)
=6a3−12a2+9a−6a3−8a2=−20a2+9a，
当a=−2时，原式=−20×4−9×2=−98.
【点拨】此题考查单项式乘多项式，解题关键在于掌握运算法则.
【变式2】阅读下列文字，并解决问题．
已知x2y＝3，求2xy(x5y2－3x3y－4x)的值．
分析：考虑到满足x2y＝3的x，y的可能值较多，则不能逐一代入求解，故考虑整体思想，将x2y＝3整体代入．
解：2xy(x5y2－3x3y－4x)＝2x6y3－6x4y2－8x2y＝2(x2y)3－6(x2y)2－8x2y＝2×33－6×32－8×3＝－24.
请你用上述方法解决问题：已知ab＝3，求(2a3b2－3a2b＋4a)·(－2b)的值．
【答案】－78
【分析】根据单项式乘多项式，可得一个多项式，根据把已知代入，可得答案．
解：(2a3b2－3a2b＋4a)·(－2b)
＝－4a3b3＋6a2b2－8ab
＝－4(ab)3＋6(ab)2－8ab
＝－4×33＋6×32－8×3
＝－108＋54－24
＝－78.
【点拨】本题考查了单项式乘多项式，整体代入是解题关键．
4．已知，求，的值．
【答案】a=2，b=1
【分析】根据整式的乘法展开，分别得到a，b的关系式，故可求解．
解：∵
∴5a=10，-3a=-6，ab=2
∴a=2，b=1．
【点拨】此题主要考查整式运算的应用，解题的关键是熟知整式乘法的运算法则．
举一反三：
【变式1】若成立，请求出a、b的值．
【答案】，
【分析】先利用单项式乘多项式法则将等式左边化简，再根据多项式定义得出a、b的值．
解：由，得
，
∴，.
∴，.
【点拨】本题考查单项式乘多项式，解题的关键是利用单项式乘多项式法则将等式左边化简.
【变式2】先化简，再求值：A＝3a2b﹣ab2，B＝ab2+3a2b，其中a＝，b＝．求5A﹣B的值．
【答案】
【分析】先把所求代入进行化简，然后把a、b的值代入求值即可.
解：原式＝5（3a2b﹣ab2）﹣（ab2+3a2b）
＝15a2b﹣5ab2﹣ab2﹣3a2b
＝12a2b﹣6ab2
当a＝，b＝时，
原式＝12××﹣6××
＝1﹣
＝ .
【点拨】多项式的化简求值是本题的考点，正确化简多项式是解题的关键.
5．若为自然数，试说明整式的值一定是3的倍数．
【答案】见分析
【分析】先把n（2n＋1）−2n（n−1）进行计算，然后合并同类项，即可得出n（2n＋1）−2n（n−1）的值一定是3的倍数．
解：∵n（2n＋1）−2n（n−1）＝2n2＋n−2n2＋2n＝3n，n为自然数，
∴3n是3的倍数，
∴n（2n＋1）−2n（n−1）的值一定是3的倍数．
【点拨】此题考查了整式乘法的应用，解题的关键是把所求的式子进行计算，然后进行整理，得到3n，n为自然数，说明一定是3的倍数．
举一反三：
【变式1】某中学扩建教学楼，测量地基时，量得地基长为宽为，试用表示地基的面积，并计算当时地基的面积．
【答案】，1300．
【分析】根据题意可直接利用长×宽进行求解面积，然后把代入求解即可．
解：根据题意得：
地基的面积是：，
当时，地基面积为：
．
【点拨】本题主要考查整式的乘除的应用，熟练掌握整式的乘法是解题的关键．
【变式2】一块长方形硬纸片，长为(5a2＋4b2)m，宽为6a4m，在它的四个角上分别剪去一个边长为a3m的小正方形然后折成一个无盖的盒子，请你求这个无盖盒子的表面积．
【答案】21a6＋24a4b2(m2)
【分析】先求得原长方形纸片的面积及减去小正方形的面积，再利用原长方形纸片的面积减去4个剪去小正方形的面积列出算式，计算即可求解
解：纸片的面积是(5a2＋4b2)·6a4＝30a6＋24a4b2(m2)，
小正方形的面积是(a3)2＝a6(m2)，
则无盖盒子的表面积是30a6＋24a4b2－4×a6＝21a6＋24a4b2(m2)
答：这个无盖盒子的表面积为（21a6＋24a4b2）m2
【点拨】本题考查了整式的运算的应用，根据题意求得长方形纸片及减去正方形的面积是解决问题的关键.