河南省开封市2024届高三下学期第二次质量检测数学试题（原卷版+解析版）

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1．答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知抛物线的标准方程是，则它的准线方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据抛物线方程与准线的关系，可得答案.
【详解】因为，所以，所以抛物线的准线方程为.
故选：A.
2. 已知集合，则下列命题正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出集合A，根据集合的运算与集合关系判断.
【详解】因为，所以，
对A：，故错误；
对B：，故正确；
对C：，故错误；
对D：，故错误；
故选：B
3. 若函数是奇函数，则实数（ ）
A. 0B. C. 1D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据奇函数的性质计算可得.
【详解】当时，则，
则，解得，
此时，
当时，所以，符合题意.
所以.
故选：C
4. 已知数列的前n项和为，则（ ）
A. 81B. 162C. 243D. 486
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，利用列式计算即得.
【详解】数列的前n项和为，所以.
故选：B
5. 若，则（ ）
A. B. 40C. 41D. 82
【答案】C
【解析】
【分析】利用赋值法求出、，从而解得.
【详解】因为，
令，可得，
令，可得，
两式相加可得.
故选：C
6. 已知函数，则函数的图象在点处的切线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程.
详解】函数，求导得，则，而，
所以所求切线方程为，即.
故选：D
7. 若直线经过点，则直线l在x轴和y轴上的截距之和取最小值时，（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，由条件可得，再结合基本不等式即可得到当取最小值的条件，即可得到结果.
【详解】因为直线经过点，则，
则，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以直线l在x轴和y轴上的截距之和取最小值为，
此时，则.
故选：D
8. 已知经过圆锥的轴的截面是正三角形，用平行于底面的截面将圆锥分成两部分，若这两部分几何体都存在内切球（与各面均相切），则上、下两部分几何体的体积之比是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】作出圆锥的轴的截面，根据题意推出上、下两部分几何体的两部分的内切球的半径之比为，从而可得上部分圆锥的体积与圆锥的体积之比为，从而可得解．
【详解】如图，作出圆锥的轴截面，
设上、下两部分几何体的两部分的内切球的球心分别为，，半径分别为，，
即，，
根据题意可知为正三角形，易知，圆锥的底面半径，
，又，
，，
上部分圆锥的底面半径为，高为，
又圆锥的底面半径为，高为，
上部分圆锥的体积与圆锥的体积之比为，
上、下两部分几何体的体积之比是．
故选：C．
【点睛】关键点点睛：本题的关键是找到上、下底面的半径的关系，从而得到两圆锥的体积之比.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知复数，（其中是虚数单位，，），若为纯虚数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根据复数代数形式的乘法运算化简，再根据复数的概念得到条件.
【详解】因为，，
所以，
又为纯虚数，所以，即且.
故选：AC
10. 为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：
根据此频率分布直方图，下面结论中正确的是（ ）
A. 该地农户家庭年收入的极差为12
B. 估计该地农户家庭年收入的75%分位数约为9
C. 估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
D. 估计该地农户家庭年收入的平均值超过6.5万元
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据给定的频率分布直方图，求出极差、75%分位数、平均数判断ABD；求出数据在内的频率判断C.
【详解】观察频率分布直方图，
对于A，该地农户家庭年收入的极差约为，A错误；
对于B，数据在的频率为，
数据在的频率为，因此75%分位数，，解得，B正确；
对于C，数据在内的频率为，C正确；
对于D，庭年收入的平均值
（万元），D正确.
故选：BCD
11. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一．用其名字命名的高斯取整函数为，表示不超过x的最大整数，例如，．下列命题中正确的有（ ）
A. ，
B. ，，
C. ，
D. ，
【答案】BD
【解析】
【分析】根据给定的定义，结合存在量词命题、全称量词命题的真假判断方法逐项分析即得.
【详解】对于A，当时，，当时，，而，
因此，A错误；
对于B，，，令，则，，
因此，B正确；
对于C，取，，则，，
显然，C错误；
对于D，，当时，，当时，，而，
因此，此时，D正确.
故选：BD
【点睛】方法点睛：判断全称量词命题为真、存在量词命题为假必须推理论证；判断全称量词命题为假、存在量词命题为真只需举例说明.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则
________；________.
【答案】 ①. 0 ②. 3
【解析】
【分析】根据坐标求出，再根据数量积的坐标运算直接计算即可.
【详解】以交点为坐标原点，建立直角坐标系如图所示：
则，
，，
.
故答案为：0；3.
13. 袋中有个红球，个黄球，个绿球．现从中任取两个球，记取出的红球数为，若取出的两个球都是红球的概率为，则______．
【答案】
【解析】
【分析】记取出的两个球都是红球为事件，则，即可求出，从而得到的可能取值为、、，求出所对应的概率，即可求出数学期望.
【详解】依题意、为非负整数，记取出的两个球都是红球为事件，则，
所以，解得或（舍去），
所以可能取值为、、，
则，，，
所以.
故答案为：
14. 已知过双曲线左焦点且倾斜角为60°的直线与C交于点A，与y轴交于点B，且A是的中点，则C的离心率为______.
【答案】##
【解析】
【分析】先利用斜率和点求出直线的方程，令得B的坐标，利用中点坐标关系求出点A的坐标，将A的坐标代入双曲线方程，结合离心率定义及范围，计算即可求解.
【详解】由题意，，所以直线的方程为，
令得，因为A是中点，所以，
将点代入得，
结合化简得，所以，
所以或，所以或，
又，所以，所以.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知椭圆的左，右焦点分别为，，上顶点为，且．
（1）求的离心率；
（2）射线与交于点，且，求的周长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由，可得，的关系，进而求出椭圆的离心率；
（2）由（1）可得与，与的关系，设直线的方程，与椭圆的方程联立，可得点的坐标，求出的表达式，由题意可得，的值，由椭圆的性质可得的周长为，即求出三角形的周长．
【小问1详解】
依题意可得上顶点，左，右焦点分别为，，
所以，，
又，
所以，即，即，
所以，所以离心率；
【小问2详解】
由（1）可得，，则椭圆方程为，
射线的方程为，
联立，整理可得，
解得或，则，即，
所以，解得，则，
所以的周长．
16. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求；
（2）若，再从条件①，条件②，条件③中选择一个条件作为已知，使其能够确定唯一的三角形，并求的面积．
条件① ：；条件② ：；条件③ ：．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】（1）；
（2）答案见解析.
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合同角公式计算即得.
（2）选择条件①，利用余弦定理及三角形面积公式计算求解；选择条件②，利用正弦定理计算判断三角形不唯一；选择条件③，利用正弦定理计算判断，再求出三角形面积.
【小问1详解】
由得：，而，
则，为锐角，又，解得，
所以且为锐角.
小问2详解】
若选条件①，由，为锐角，得，
由余弦定理得，又，则，
解得唯一确定，所以.
若选条件②，由正弦定理得，则，
由，得，因此角有两解，分别对应两个三角形，不符合题意.
若选条件③，由，为锐角，得，
又，得，，则，
因此唯一确定，
由正弦定理得，则，所以.
17. 在四棱锥中，平面底面，．
（1）是否一定成立？若是，请证明，若不是，请给出理由；
（2）若是正三角形，且是正三棱锥，，求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】（1）不一定，理由见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）过点作的垂线交于点，由面面垂直的性质得到底面，举出反例当，即点与点重合时，均可得得到.
（2）依题意可得点为的中点，再由线面垂直的性质得到，从而得到平面，设，则为的中点，作，则底面，如图建立空间直角坐标，利用空间向量法计算可得.
【小问1详解】
因为平面底面，过点作的垂线交于点，
又平面底面，平面，所以底面，
若，则点与点重合，即底面，
所以垂直平面内任意直线，即与无论何种位置关系，都有，
所以不一定成立.
【小问2详解】
因为是正三角形，则点为的中点，
由（1）底面，又底面，所以，
又，，平面，所以平面，
又平面，所以，又是正三棱锥，即为等边三角形，
设，则为的中点，作，则底面，
如图建立空间直角坐标系，则，，，，，
所以，，，，
设平面的法向量为，则，取，
设平面的法向量为，则，取，
所以，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
18. 已知函数．
（1）讨论的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值；
（2）函数；若方程在上存在实根，试比较与的大小．
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，分、两种情况讨论，分别求出函数的单调性与极值；
（2）利用导数说明的单调性，即可得到，，令，则方程在，上存在实根，结合（1）中函数的单调性，可得，即，则，令，，利用导数说明函数的单调性，即可得到，从而得解.
【小问1详解】
函数的定义域为，
又，
当时，恒成立，所以在上单调递增，无极值，
当时，令，解得，
所以当时，单调递减，
当时，单调递增，
所以当时，取到极小值，无极大值，
综上所述，当时，在上单调递增，无极值，
当时，在上单调递减，在上单调递增，极小值为，无极大值．
【小问2详解】
因为，，
则，
令，解得或（舍），
所以当时，单调递增，
所以，即，
令，，则，
若方程在上存在实根，
则方程在，上存在实根，
当时在上单调，则在上有解，
即应该在上有解，但是在上无解，不合题意，
所以在上不单调，即，
由（1）知，即，
所以，，
令，，
则，
所以在上单调递增，
所以，
所以．
【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
19. 在密码学领域，欧拉函数是非常重要的，其中最著名的应用就是在RSA加密算法中的应用．设p，q是两个正整数，若p，q的最大公约数是1，则称p，q互素．对于任意正整数n，欧拉函数是不超过n且与n互素的正整数的个数，记为．
（1）试求，，，的值；
（2）设n是一个正整数，p，q是两个不同的素数．试求，与φ（p）和φ（q）的关系；
（3）RSA算法是一种非对称加密算法，它使用了两个不同的密钥：公钥和私钥．具体而言：
①准备两个不同的、足够大的素数p，q；
②计算，欧拉函数；
③求正整数k，使得kq除以的余数是1；
④其中称为公钥，称为私钥．
已知计算机工程师在某RSA加密算法中公布的公钥是．若满足题意的正整数k从小到大排列得到一列数记为数列，数列满足，求数列的前n项和．
【答案】（1）；
（2），；
（3）.
【解析】
【分析】（1）利用欧拉函数的定义直接求值.
（2）利用欧拉函数的定义求出，进而分析计算.
（3）根据给定信息求出，再利用差角的正切公式，借助裂项求和法求解即得.
小问1详解】
由欧拉函数的定义知，不越过3且与3互素的正整数有1，2，则，
不越过9且与9互素的正整数有1，2，4，5，7，8，则，
不越过7且与7互素的正整数有1，2，3，4，5，6，则，
不越过21且与21互素的正整数有1，2，4，5，8，10，11，13，16，17，19，20，则，
所以.
【小问2详解】
在不大于的正整数中，只有3的倍数不与互素，而3的倍数有个，
因此.
由，是两个不同的素数，得，
在不超过的正整数中，的倍数有个，的倍数有个，
于是，
所以.
【小问3详解】
计算机工程师在某RSA加密算法中公布的公钥是，则，从而
由（2）得，，
即正整数满足的条件为：，
，令，则，
令，则，
取，则，于是，
因此，即，
，
.
【点睛】关键点睛：数列求和，利用差角的正切变式进行裂项是求解的关键.