广东省佛山市禅城区2024届高三统一调研测试（二）数学试题

这是一份广东省佛山市禅城区2024届高三统一调研测试（二）数学试题，共16页。试卷主要包含了请考生保持答题卷的整洁，设数列的前项之积为，满足，若函数，已知复数，均不为0，则，已知函数与，记，其中，且等内容，欢迎下载使用。

本试卷共5页，满分150分，考试时间120分钟
注意事项：
1．答卷前，考生务必填涂答题卷上的有关项目．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答穼涂在答题卷相应的位置上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效．
4．请考生保持答题卷的整洁．考试结束后，将答题卷交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，且，则的值为（ ）
A．B．C．0D．1
2．某人在“全球购”平台上购买了件商品，这些商品的价格如果按美元计算，则平均数为，标准差为，如果按人民币计算（汇率按1美元＝7元人民币），则平均数和方差分别为（ ）
A．，B．，C．，D．，
3已知与为两个不共线的单位向量，则（ ）
A．B．
C．若，则D．若，则
4．如图，是边长为2的正三角形，记位于直线（）左侧的图形的面积为．则函数的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
5．设数列的前项之积为，满足（），则（ ）
A．B．C．D．
6．若函数（）既有极大值也有极小值，则下列结论一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
7．2020年12月17日，嫦娥五号的返回器携带1731克月球样本成功返回地球，我国成为第三个实现月球采样返回的国家，中国人朝着成功登月又迈进了重要一步．下图展示了嫦娥五号采样返回器从地球表面附近运行到月球表面附近的大致过程．点表示地球中心，点表示月球中心．嫦娥五号采样返回器先沿近地球表面轨道作圆周运动，轨道半径约为地球半径．在地球表面附近的点处沿圆的切线方向加速变轨后，改为沿椭圆轨道运行，并且点为该椭圆的一个焦点．段时间后，再在近月球表面附近的点处减速变轨作圆周运动，此时轨道半径约为月球半径．已知月球中心与地球中心之间距离约为月球半径的222倍，地球半径约为月球半径的3.7倍．则椭圆轨道的离心率约为（ ）
A．0.67B．0.77C．0.87D．0.97
8．已知函数在有且仅有两个零点，且，则图象的一条对称轴是（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分．共18分．在每小题给出的选项中．有多项符合题目要求．全部选对的得6分．部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知复数，均不为0，则（ ）
A．B．C．D．
110．已知函数与，记，其中，且．下列说法正确的是（ ）
A．一定为周期函数B．若，则在上总有零点
C．可能为偶函数D．在区间上的图象过3个定点
11．对于棱长为1（单位：）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计），下列说法正确的是（ ）
A．底面半径为，高为的圆锥形罩子（无底面）能够罩住水平放置的该正方体
B．以该正方体的三条棱作为圆锥的母线，则此圆锥的母线与底面所成角的正切值为
C．该正方体内能同时整体放入两个底面半径为，高为的圆锥
D．该正方体内能整体放入一个体积为的圆锥
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．在平面直角坐标系中，已知，，，则的外接圆的标准方程为______．
13．甲、乙、丙3人在公交总站上了同一辆公交车，已知3人都将在第4站至第8站的某一公交站点下车，且在每一个公交站点最多只有两人同时下车，从同一公交站点下车的两人不区分下车的顺序，则甲、乙、丙3人下车的不同方法总数是______．
14．若函数（）有2个不同的零点，则实数的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）如图，在直三棱柱形木料中，为上底面上一点．
（1）经过点在上底面上画一条直线与垂直，应该如何画线，请说明理由；
（2）若，，，为的中点，求点到平面的距离．
16．（15分）联合国将每年的4月20日定为“联合国中文日”，以纪念“中华文字始祖”仓颉[jié]造字的贡献，促进联合国六种官方语言平等使用，为宣传“联合国中文日”，某大学面向在校留学生举办中文知识竞赛，竞赛分为“个人赛”和“对抗赛”，竞赛规则如下：
①个人赛规则：每位留学生需要从“拼音类”、“成语类”、“文化类”三类问题中随机选1道试题作答，其中“拼音类”有4道，“成语类”有6道，“文化类”有8道，若答对将获得一份奖品．
②对抗赛规则：两位留学生进行答题比赛，每轮只有1道题目，比赛时两位参赛者同时回答这一个问题，若一人答对且另一人答错，则答对者获得1分，答错者得分；若两人都答对或都答错，则两人均得0分，对抗赛共设3轮，累计得分为正者将获得一份奖品，且两位参赛者答对与否互不影响，每次答题的结果也互不影响．
（1）留学生甲参加个人赛，根据以往答题经验，留学生甲答对“拼音类”、“成语类”“文化类”的概率分别为，，，求留学生甲答对了所选试题的概率．
（2）留学生乙和留学生内参加对抗赛，根据以往答题经验，每道题留学生乙和留学生丙答对的概率分别为，，求留学生乙获得奖品的概率．
17．（15分）在中，，，分别是角，，所对的边，点在边上，且满足，．
（1）求的值；
（2）若，求．
18．（17分）已知数列满足，，且．
（1）证明为等比数列，并求数列的通项公式；
（2）设，且数列的前项和为，证明：当时，．
19．（17分）已知以下事实：反比例函数（）的图象是双曲线，两条坐标轴是其两条渐近线．
（1）（ⅰ）直接写出函数的图象的实轴长；
（ⅱ）将曲线绕原点顺时针转，得到曲线，直接写出曲线的方程．
（2）已知点是曲线的左顶点．圆：（）与直线：交于、两点，直线、分别与双曲线交于、两点．试问：点到直线的距离是否存在最大值？若存在，求出此最大值以及此时的值；若不存在，说明理由．
禅城区2024届高三统一调研测试（二）
数学参考答案
一、选择题
1—4 BDDA 5—8 CBDC
7．【解析】D．设此椭圆的半长轴为，半焦距为，月球半径为，地球半径为，月球中心与地球中心距离为，则，，所以，，所以离心率为．
8．【解析】C．依题意，则，，当时，
，因为，所以，解得．综上，，，因为，且，所以图象的一条对称轴是，由，，得，结合范围可得，，，此时图象的对称轴为，当时，，故选C．
二、选择题
9．ABD 10．ABD 11．BCD
10．【解析】ABD．对于A，，，A正确；
对于B，，，，因为，即，同号，所以，由零点存在定理知在上总有零点，故B正确；
对于C，，，由得对恒成立，则与题意不符，故C错误；
对于D，令，则 ，即，，
故所有定点坐标为，，，，
又因为，所以函数过定点，，，故D正确；故选ABD．
11．【解析】BCD．对于A，若高为的圆锥形罩子刚能覆盖水平放置的正方体，考虑圆锥的轴截面，如图，，因为，所以，所以，圆锥底面圆半径最小为，A错误；
对于B，如图，以，，三条棱作为圆锥母线，底面所在平面为平面，等价于求与平面所成角的正切值，因为，所以点到平面的距离为，正切值为，B正确；
对于C，如图，以矩形的中心为圆锥底面圆圆心，半径为0.5，分别以，的中点，为两个圆锥的顶点，每个圆锥高的最大值为，C正确；
对于D，如图，的中点作垂线，分别交，于点，，则，以正方体的体对角线作为圆锥的轴，为圆锥顶点，为圆锥底面圆的直径时，该圆锥的体积为，D正确．
事实上，以正方体的体对角线作为轴，为顶点的圆锥的体积最大值，显然底面圆心在线段上（不含点），设，当与（为的四等分点）重合时，，因此，因为，所以，则，，，圆锥体积（），，所以在上单调递增，体积的最大值为，D正确．
三、填空题
12．；13．120；14．．
14．【解析】（）．设，明显单增，且，，
所以存在唯一的，使，如，．
设，在上单增，且时，，
所以当时，存在唯一的，使，即
但若时，有，则何．
综上所述，的取值范围为．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．【解析】（1）连结，在平面上作，
因为为直三棱柱，所以平面，
因为平面，所以，
因为，，，，平面，
所以平面，
因为平面，所以．
（2）因为，所以，，两两互相垂直，以为原点，
分别以，，所在直线为，，轴建立空向直角坐标系，
，，，，
则，，．
设平面的一个法向量为，因为，，
所以，，则，取，则，
设点到平面的距离为，则
因此点到平面的距离为．
16．【解析】（1）设留学生甲选1道“拼音类”试题为事件，选1道“成语类”试题为事件，选1道“文化类”试题为事件，答对试题为事件，则，，，，，，
所以．
（2）每一轮中留学生乙得1分的概率为，
每一轮中留学生乙得0分的概率为，
每一轮中留学生乙得的概率为，
在3轮比赛后，留学生乙得3分的概率为，
在3轮比赛后，留学生乙得2分的概率为，
在3轮比赛后，留学生乙得1分的概率为，
所以乙最终获得奖品的概率为．
17．【解析】（1）方法1：如图，在中，由正弦定理知，
所以，所以，
因为，所以，则①，
由，
则，
因为，所以，则，
在中，由余弦定理知，则②，
由①②．
万法2：在中，由正弦定理知，
所以，又因为，所以，
由，则，
因为，所以，因为，所以
由，
则，
因为，所以，则，
由正弦定理知，
因为，所以，则．
（或：在6分点后，因为，由正弦定理知，所以．）
（2）方法1：因为，所以，，
在中，由余弦定理知
同理在中，，
因为，所以，
则，
由（1）知，，所以，
（注：若学生得到，则，也能得分）
在中，由余弦定理知，
所以．
方法2：因为，所以，，
所以，
又因为，所以，
因为，均为锐角，所以，
则，
所以．
方法3：因为，所以，，
所以．
所以，
由（1）知，，．
在中，由余弦定理知，
所以．
18．【解析】（1）证明：因为，，
所以，所以，
因为．
所以是等比数列，首项，公比，所以．
（2）由（1）可得，先证明左边：即证明，
当时，，
所以，
所以，
再证明右边：，
因为，
所以，
即，下面证明，
即证，即证
设，，则，设，，
因为，所以函数在上单调递增，
则，即，，
所以，所以．
综上，．
19．【解析】（1）（ⅰ）实轴长为；（ⅱ）曲线的方程为．
（2）方法一：设，，，显然直线的斜率存在，设：，
联立：得
所以，， ①
因为：，令，则，同理，，②
依题意得，③
由①②③得，，
所以即或
若，则：过点，不合题意；
若，则：．所以，恒过，
所以，．
当且仅当即时取得，此时方程为，
解得，，．
综上所述，点到直线距离的最大值为2，此时圆的半径为
方法二：设，，，，，
则：，：，
联立，得．
为此方程的一根，另外一根为，则
代入方程得，
同理可得，.
即，
所以，直线的方程为，
所以，直线过定点．
所以．
当且仅当即时取得，解得．
综上所述，点到直线距离的最大值为2，此时圆的半径为
方法三：设，，，，，
则．
依题意，直线不过点，可设：．
曲线的方程改写为，即．
联立直线的方程得．
所以．
（ⅰ）若，则，代入直线方程，无解；
（ⅱ）故，两边同时除以得．
则，得．
在直线：中，令，则．
所以，恒过．
所以，，
当且仅当即时取得，此时，符合．
且方程为，解得，，．
综上所述，点到直线距离的最大值为2，此时圆的半径为．