最高考文数考点一遍过（讲义） 考点44 随机事件的概率

这是一份最高考文数考点一遍过（讲义） 考点44 随机事件的概率，共22页。学案主要包含了随机事件及其概率，事件间的关系及运算，概率的基本性质等内容，欢迎下载使用。

课本上和老师讲解的例题，一般都具有一定的典型性和代表性。要认真研究，深刻理解，要透过“样板”，学会通过逻辑思维，灵活运用所学知识去分析问题和解决问题，特别是要学习分析问题的思路、解决问题的方法，并能总结出解题的规律。
2、精练习题
复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。
3、加强审题的规范性
每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。
4、重视错题
“错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
专题44 随机事件的概率
（1）了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别.
（2）了解两个互斥事件的概率加法公式.
一、随机事件及其概率
1．事件的分类
2．频率与概率
（1）事件的频率：在相同的条件S下重复n次试验,观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数为事件A出现的频数,称事件A出现的比例为事件A出现的频率.
（2）事件的概率：对于给定的随机事件A,由于事件A发生的频率随着试验次数的增加稳定在某个常数上，把这个常数记作，称为事件A的概率，因此可以用来估计概率.
注意：频率是事件A发生的次数与试验总次数的比值，与试验次数有关.概率是一个确定的数，是客观存在的,与试验做没做、做多少次完全无关.
二、事件间的关系及运算
注意：互斥事件与对立事件都是指两个事件的关系，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求必须有一个发生.因此，对立事件一定是互斥事件，而互斥事件未必是对立事件.
三、概率的基本性质
1．由于事件的频数总是小于或等于试验的次数,所以频率在0~1之间,从而任何事件的概率都在0~1之间,即.必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0.
2．当事件A与事件B互斥时,，该公式为概率的加法公式.当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时，要用到概率加法公式的推广，即.
3．若事件A与事件B互为对立事件,则为必然事件,.再由加法公式得.
考向一 由频率估计随机事件的概率
随机事件在一次试验中是否发生虽然不能事先确定，但是在大量重复试验的情况下，随机事件的发生呈现一定的规律性，因而，可以从统计的角度，通过计算事件发生的频率去估算事件发生的概率.
典例1 某企业生产的乒乓球被奥运会指定为乒乓球比赛专用球,目前有关部门对某批产品进行了抽样检查,检查结果如下表所示:
(1)计算表中乒乓球优等品的频率;
(2)从这批乒乓球产品中任取一个,质量检查为优等品的概率是多少?(结果保留到小数点后三位)
【解析】(1)依据公式f=,计算出表中乒乓球优等品的频率依次是0.900,0.920,0.970,0.940,0.954,0.951.
(2)由(1)知，抽取的球数n不同，计算得到的频率值不同，但随着抽取球数的增多，频率在常数0.950的附近摆动，
所以质量检查为优等品的概率约为0.950.
典例2 如图,A地到火车站共有两条路径L1和L2,现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查,调查结果如下:
(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率;
(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率;
(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站,为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站,试通过计算说明,他们应如何选择各自的路径.
【解析】(1)由题意知共调查了100人,其中40分钟内不能赶到火车站的有12+12+16+4=44(人),
∴用频率估计相应的概率约为0.44.
(2)选择L1的有60人,选择L2的有40人,由调查结果得:
(3)A1,A2分别表示甲选择L1,L2时,在40分钟内赶到火车站;B1,B2分别表示乙选择L1,L2时,在50分钟内赶到火车站.
由(2)知P(A1)=0.1+0.2+0.3=0.6,P(A2)=0.1+0.4=0.5,
∵P(A1)>P(A2),
∴甲应选择L1;
P(B1)=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8,P(B2)=0.1+0.4+0.4=0.9,
∵P(B2)>P(B1),
∴乙应选择L2.
1．我国古代数学名著《九章算术》中有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1536石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得256粒内夹谷18粒，则这批米内夹谷约为
A．108石B．169石
C．237石D．338石
考向二 事件间的关系及运算
对互斥事件要把握住不能同时发生，而对于对立事件除不能同时发生外，其并事件应为必然事件，而且事件的发生与否都是对于同一次试验而言的，不能在多次试验中判断. 具体应用时，可把所有试验结果写出来，看所求事件包含哪些试验结果，从而断定所给事件的关系．
典例3 判断下列各对事件是否为互斥事件?是否为对立事件?并说明理由.
已知某医疗诊所的急诊室有3名男医生和2名女医生,从中任选2名去参加医德培训,其中
(1)“恰有1名男医生”和“恰有2名男医生”;
(2)“至少有1名男医生”和“至少有1名女医生”;
(3)“至少有1名男医生”和“全是男医生”;
(4)“至少有1名男医生”和“全是女医生”.
【解析】(1)是互斥事件,但不是对立事件.
理由是:所选的2名医生中,“恰有1名男医生”实质选出的是“1名男医生和1名女医生”,它与“恰有2名男医生”不可能同时发生,所以是互斥事件,同时,不能保证其中必有一个发生,因为还可能选出“恰有2名女医生”,因此二者不对立.
(2)不是互斥事件,也不是对立事件.
理由是:“至少有1名男医生”包括“1名男医生和1名女医生”与“2名都是男医生”,“至少有1名女医生”包括“1名女医生和1名男医生”与“2名都是女医生”,它们共同含有“1名男医生和1名女医生”,能够同时发生,因此不互斥也不对立.
(3)不是互斥事件,也不是对立事件.
理由是:“至少有1名男医生”包括“1名男医生和1名女医生”与“2名都是男医生”,这与“全是男医生”能够同时发生,因此不互斥也不对立.
(4)是互斥事件,也是对立事件.
理由是:“至少有1名男医生”包括“1名男医生和1名女医生”与“2名都是男医生”,它与“全是女医生”不可能同时发生,但其中必有一个发生,故它们既是互斥事件,又是对立事件.
2．在一次随机试验中，已知A，B，C三个事件发生的概率分别为0.2，0.3，0.5，则下列说法一定正确的是
A．B与C是互斥事件B．A＋B与C是对立事件
C．A＋B＋C是必然事件D．
考向三 概率加法公式的应用
概率加法公式应用的前提是“各事件是互斥事件”，对于较难判断关系的，必要时可利用Venn图或列出全部的试验结果进行分析．
求复杂事件的概率通常有两种方法：
（1）将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件；
（2）若将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件时，需要分类太多，而其对立面的分类较少，可考虑利用对立事件的概率公式，即“正难则反”.它常用来求“至少……”或“至多……”型事件的概率.
典例4 某花店每天以每枝6元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝12元的价格出售.如果当天卖不完,剩下的玫瑰花做垃圾处理.
（1）若花店一天购进17枝玫瑰花,求当天的利润y(单位:元)关于当天需求量n(单位:枝,n∈N)的函数解析式.
（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得下表:
(i)假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花,求这100天的日利润(单位:元)的平均数;
(ii)若花店一天购进17枝玫瑰花,以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率,求当天的利润不少于92元的概率.
【解析】（1）当日需求量n时,利润y=6×17=102;
当日需求量时,利润y=12n-102,
所以y关于n的函数解析式为y=(n.
（2）(i)这100天中有10天的日利润为66元,20天的日利润为78元,16天的日利润为90元,54天的日利润为102元,
所以这100天的日利润的平均数为.
(ii)当天利润不少于92元即12n-102,即n,
所以所求概率P=0.16+0.15+0.13+0.1=0.54.
典例5 某地区的年降水量在下列范围内的概率如下表所示:
（1）求年降水量在[200,300]内的概率;
（2）求年降水量在[100,250)内的概率.
【解析】（1）记“年降水量在[200,250)内”为事件A,则P(A)=0.20.
记“年降水量在[250,300]内”为事件B,则P(B)=0.12.
记“年降水量在[200,300]内”为事件C,则C=A∪B,且事件A与事件B是互斥事件,
由互斥事件的概率加法公式,得P(C)=P(A)+P(B)=0.32.
即年降水量在[200,300]内的概率为0.32.
（2）记“年降水量在[100,150)内”为事件A',则P(A')=0.10.
记“年降水量在[150,200)内”为事件B',则P(B')=0.25.
记“年降水量在[200,250)内”为事件C',则P(C')= 0.20.
记“年降水量在[100,250)内”为事件D,则D=A'∪B'∪C',且事件A'、事件B'、事件C'是互斥事件,
由互斥事件的概率加法公式,得P(D)=P(A')+P(B')+P(C')=0.55.
即年降水量在[100,250)内的概率为0.55.
3．某产品共有三个等级，分别为一等品、二等品和不合格品．从一箱产品中随机抽取1件进行检测，设“抽到一等品”的概率为0.65，“抽到二等品”的概率为0.3，则“抽到不合格品”的概率为
A．0.05B．0.35
C．0.7D．0.95
4．受轿车在保修期内的维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关，某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，甲品牌车保修期为3年，乙品牌车保修期为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中分别随机抽取50辆，统计出在保修期内出现故障的车辆数据如下：
（1）从该厂生产的甲种品牌轿车中随机抽取一辆，求首次出现故障发生在保修期内的概率；
（2）从该厂生产的乙种品牌轿车中随机抽取一辆，求首次出现故障发生在保修期内的概率．（将频率视为概率）
1．从装有2个白球和2个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是
A．至少有一个黑球与都是黑球
B．至少有一个黑球与至少有一个白球
C．恰好有一个黑球与恰好有两个黑球
D．至少有一个黑球与都是白球
2．下列说法正确的是
A．某人打靶，射击10次，击中7次，那么此人中靶的概率为0.7
B．一位同学做掷硬币试验，掷6次，一定有3次“正面朝上”
C．某地发行福利彩票，回报率为47%，有人花了100元钱买彩票，一定会有47元的回报
D．概率等于1的事件不一定为必然事件
3．已知随机事件和互斥，且，，则
A．B．
C．D．
4．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为，从中取出2粒都是白子的概率是，则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是
A．B．
C．D．1
5．在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，已知事件“2张全是移动卡”的概率是,那么概率是的事件是
A．至多有一张移动卡B．恰有一张移动卡
C．都不是移动卡D．至少有一张移动卡
6．设事件A,B,已知P(A)=,P(B)=,P(A∪B)=,则A,B之间的关系一定为
A．两个任意事件B．互斥事件
C．非互斥事件D．对立事件
7．现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率.先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0、1、2表示没有击中目标，3、4、5、6、7、8、9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：
7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698
0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281
根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为
A．0.55B．0.6
C．0.65D．0.7
8．甲、乙两人下中国象棋，下成和棋的概率为，甲获胜的概率为，则甲输棋的概率是__________.
9．某公司三个分厂的职工情况为：第一分厂有男职工4000人，女职工1600人；第二分厂有男职工3000人，女职工1400人；第三分厂有男职工800人，女职工500人．如果从该公司职工中随机抽选1人，则该职工为女职工或为第三分厂职工的概率为__________.
10．如果袋中装有数量差别很大而大小相同的白球和黄球（只是颜色不同）若干个，从中任取一球，取了10次有7个白球，估计袋中数量最多的是________球．
11．口袋内装有一些大小相同的红球、黄球和蓝球，从中摸出1个球，摸出红球的概率为0.42，摸出黄球的概率是0.28.若红球有21个，则蓝球有________个．
12．在抛掷一颗骰子的试验中，事件表示“不大于4的偶数点出现”，事件表示“小于5的点数出现”，则事件发生的概率为________（表示的对立事件）．
13．经统计,在某储蓄所一个营业窗口排队等候的人数及相应概率如下:
(1)至多有2人排队等候的概率是多少?
(2)至少有3人排队等候的概率是多少?
14．在“六一”联欢会上设有一个抽奖游戏.抽奖箱中共有12张纸条，分一等奖、二等奖、三等奖、无奖四种.从中任取一张，不中奖的概率为，中二等奖或三等奖的概率是.
（1）求任取一张，中一等奖的概率；
（2）若中一等奖或二等奖的概率是，求任取一张，中三等奖的概率.
15．下面是某市2月1日至14日的空气质量指数趋势图及空气质量指数与污染程度对应表．某人随机选择2月1日至2月13日中的某一天到该市出差，第二天返回(往返共两天)．
（1）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(只写出结论，不要求证明)
（2）求此人到达当日空气质量优良的概率；
（3）求此人出差期间(两天)空气质量至少有一天为中度或重度污染的概率．
1．（2016天津文科）甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为
A．B．
C．D．
2．（2019年高考全国Ⅱ卷文数）我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为______________．
3．（2017新课标全国Ⅱ文科节选）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）, 其频率分布直方图如下：
（1）记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg”，估计A的概率.
4．(2019年高考全国Ⅰ卷文数节选)某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：
（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；
5．（2018北京文科）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：
好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.
（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；
（Ⅱ）随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；
（Ⅲ）电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化.假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？（只需写出结论）
6．（2017新课标全国Ⅲ文科）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.
（1）估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为（单位：元）.当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出的所有可能值，并估计大于零的概率．
变式拓展
1．【答案】A
【解析】粒内夹谷18粒，
米中含谷的频率为，
石中夹谷约为（石）.故选A．
【名师点睛】本题主要考查样本估计总体的应用，以及频率估计概率的应用，意在考查灵活应用所学知识解决实际问题的能力，属于基础题.求解时，根据抽取样本中米夹谷的比例，得到整体米夹谷的频率，从而可得结果.
2．【答案】D
【解析】A，B，C三个事件发生的概率分别为0.2，0.3，0.5，不能确定它们之间有任何关系，故选项A、B、C均错，
而，，D正确．
故选D．
【名师点睛】本题考查事件之间的关系，要注意事件的关系与它们的概率之间没有必然的联系，掌握互斥事件与对立事件的定义是解题基础．
3．【答案】A
【解析】根据题意，记“抽到一等品”为事件，“抽到二等品”为事件，“抽到不合格品”为事件，“抽到一等品”与“抽到二等品”是互斥事件，则.
“抽到不合格品”与“抽到一等品或二等品”是对立事件，则，
故选A．
4．【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）设A，B，C分别表示甲品牌轿车首次出现故障在第1年，第2年和第3年之内，设D表示甲品牌轿车首次出现故障在保修期内，
因为A，B，C是互斥的，其概率分别为，，，
所以，
即首次出现故障发生在保修期内的概率为．
（2）乙品牌轿车首次出现故障未发生在保修期内的概率为，
故首次出现故障发生在保修期内的概率为．
【名师点睛】本题主要考查了互斥事件以及对立事件概率计算公式，属于基础题.求解时，（1）设A，B，C分别表示甲品牌轿车首次出现故障在第1年，第2年和第3年之内，设D表示甲品牌轿车首次出现故障在保修期内，分别计算出，相加即可得结果；（2）求出乙品牌轿车首次出现故障未发生在保修期内的概率，再利用对立事件的概率计算公式可得结果.
专题冲关
1．【答案】C
【解析】对于A，事件：“至少有一个黑球”与事件：“都是黑球”可以同时发生，如：两个都是黑球，∴这两个事件不是互斥事件，∴A不正确；
对于B，事件：“至少有一个黑球”与事件：“至少有一个白球”可以同时发生，如：一个白球一个黑球，∴B不正确；
对于C，事件：“恰好有一个黑球”与事件：“恰有两个黑球”不能同时发生，但从口袋中任取两个球时还有可能是两个都是白球，∴两个事件是互斥事件但不是对立事件，∴C正确；
对于D，事件：“至少有一个黑球”与“都是白球”不能同时发生，但一定会有一个发生，
∴这两个事件是对立事件，∴D不正确.
故选C．
【名师点睛】本题考查互斥事件与对立事件．首先要求理解互斥事件和对立事件的定义，理解互斥事件与对立事件的联系与区别．同时要能够准确列举某一事件所包含的基本事件．属简单题.
2．【答案】D
【解析】A．某人打靶，射击10次，击中7次，那么此人中靶的概率为0.7，是一个随机事件，故错误；
B．是一个随机事件，一位同学做掷硬币试验，掷6次，不一定有3次“正面朝上”，故错误；
C．是一个随机事件，买这种彩票，中奖或者不中奖都有可能，但事先无法预料，故错误；
D．正确，比如说在0和5之间随机取一个实数，这个数不等于3.35264的概率是1，但不是必然事件，故正确.综上所述，故选D.
3．【答案】D
【解析】与互斥，，
，.
本题正确选项为D.
【名师点睛】本题考查概率中的互斥事件、对立事件概率公式的应用，属于基础题.求解时，根据互斥事件的概率公式可求得，利用对立事件概率公式求得结果.
4．【答案】B
【解析】记从中取出2粒都是黑子的概率为，从中取出2粒都是白子的概率是，则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是，故选B.
【名师点睛】本题考查了概率的计算，属于基础题型.直接利用概率相加得到答案.
5．【答案】A
【解析】由于=，结合对立事件的定义可知所求事件是“2张全是移动卡”的对立事件,即“至多有一张移动卡”,选A．
6．【答案】B
【解析】因为P(A)+P(B)=+==P(A∪B),所以A,B之间的关系一定为互斥事件.选择B．
7．【答案】B
【解析】由题设可知两次以上没击中的情形有0293、7140、1417、0371、2616、6011、7610、4281，共8种故该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为，应选B.
8．【答案】
【解析】设甲输棋为事件A，由题意可得：，
故.
故答案为：．
【名师点睛】本题主要考查对立事件概率公式及其应用，属于基础题.
9．【答案】
【解析】第一分厂有男职工4000人，女职工1600人；第二分厂有男职工3000人，女职工1400人；第三分厂有男职工800人，女职工500人．
记事件A为该职工为女职工或为第三分厂职工，
由等可能事件概率公式得：
，
则该职工为女职工或为第三分厂职工的概率为，
故答案为：．
【名师点睛】本题考查概率的求法，考查概率计算公式的应用，考查运算求解能力，是基础题．
10．【答案】白
【解析】取了10次有7个白球，则取出白球的频率是0.7，估计其概率是0.7，那么取出黄球的概率约是0.3，取出白球的概率大于取出黄球的概率，所以估计袋中数量最多的是白球．
故答案为：白.
【名师点睛】本题考查概率知识，考查频率估计概率，比较基础．
11．【答案】15
【解析】由题意摸出红球的概率为0.42，并且红球有21个，则总球数为个，所以蓝球的个数为个.
所以本题答案为15.
【名师点睛】本题考查概率等基础知识，考查概率的应用，考查运算求解能力，是基础题.
12．【答案】
【解析】由题意，可知抛掷一颗骰子，基本事件的个数共有6个，
则事件A表示“不大于4的偶数点出现”的概率为，
事件B表示“小于5的点数出现”的概率为，则，
∵与互斥，∴．
【名师点睛】本题主要考查了互斥事件的概率加法公式，以及对立事件的应用，其中解答中合理应用对立事件的概率，准确应用互斥事件的概率加法公式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．
13．【解析】(1)记“有0人排队等候”为事件A,“有1人排队等候”为事件B,“有2人排队等候”为事件C,“有3人排队等候”为事件D,“有4人排队等候”为事件E,“有5人及5人以上排队等候”为事件F,则易知A,B,C,D,E,F互斥.
记“至多有2人排队等候”为事件G,
则G=A∪B∪C,
所以P(G)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.1+0.16+0.3=0.56.
(2)方法一：记“至少有3人排队等候”为事件H,
则H=D∪E∪F,
所以P(H)=P(D∪E∪F)=P(D)+P(E)+P(F)=0.3+0.1+0.04=0.44.
方法二：因为G与H互为对立事件,所以P(H)=1-P(G)=1-0.56=0.44.
14．【解析】设任取一张，抽得一等奖、二等奖、三等奖、不中奖的事件分别为，，，，它们是互斥事件.
由条件可得，，
（1）由对立事件的概率公式知
，
所以任取一张，中一等奖的概率为；
（2）∵，而，
∴，
又，
∴.
所以任取一张，中三等奖的概率为.
15．【解析】（1）从2月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大．
（2）设Ai表示事件“此人于2月i日到达该市”(i＝1，2，…，13)．
根据题意，P(Ai)＝，且Ai∩Aj＝ (i≠j，j＝1，2，…，13)．
设B为事件“此人到达当日空气优良”，则B＝A1∪A2∪A3∪A7∪A12∪A13.
所以P（B）＝P(A1∪A2∪A3∪A7∪A12∪A13)＝.
（3）设“此人出差期间空气质量至少有一天为中度或重度污染”为事件A，
即“此人出差期间空气质量指数至少有一天大于150，小于300”，
由题意可知P（A）＝P(A4∪A5∪A6∪A7∪A8∪A9∪A10∪A11)＝P(A4)＋P(A5)＋P(A6)＋P(A7)＋P(A8)＋P(A9)＋P(A10)＋P(A11)＝.
【名师点睛】本题主要考查方差的性质，考查互斥事件的概率公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.求解时，（1）观察得从2月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大；（2）利用互斥事件的概率公式求此人到达当日空气质量优良的概率；（3）利用互斥事件的概率公式求此人出差期间(两天)空气质量至少有一天为中度或重度污染的概率．
直通高考
1．【答案】A
【解析】甲不输的概率为选A．
2．【答案】
【分析】本题考查通过统计数据进行概率的估计，采取估算法，利用概率思想解题．
【解析】由题意得，经停该高铁站的列车正点数约为，
其中高铁个数为，所以该站所有高铁平均正点率约为．
【名师点睛】本题考查了概率统计，渗透了数据处理和数学运算素养，侧重统计数据的概率估算，难度不大．易忽视概率的估算值不是精确值而失误，根据分类抽样的统计数据，估算出正点列车数量与列车总数的比值．
3．【解析】（1）旧养殖法的箱产量低于50 kg的频率为（0.012+0.014+0.024+0.034+0.040）×5=0.62.
因此，事件A的概率估计值为0.62.
4．【解析】（1）由调查数据，男顾客中对该商场服务满意的比率为，
因此男顾客对该商场服务满意的概率的估计值为．
女顾客中对该商场服务满意的比率为，
因此女顾客对该商场服务满意的概率的估计值为．
5．【解析】（Ⅰ）由题意知，样本中电影的总部数是140+50+300+200+800+510=2000.
第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25=50，
故所求概率为.
（Ⅱ）方法一：由题意知，样本中获得好评的电影部数是
140×0.4+50×0.2+300×0.15+200×0.25+800×0.2+510×0.1
=56+10+45+50+160+51
=372.
故所求概率估计为.
方法二：设“随机选取1部电影,这部电影没有获得好评”为事件B.
没有获得好评的电影共有140×0.6+50×0.8+300×0.85+200×0.75+800×0.8+510×0.9=1628部.
由古典概型概率公式得.
（Ⅲ）增加第五类电影的好评率, 减少第二类电影的好评率.
6．【解析】（1）这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，
由表格数据知，最高气温低于25的频率为，
所以，这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.
（2）当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，
若最高气温不低于25，则Y=6×450-4×450=900；
若最高气温位于区间 [20,25），则Y=6×300+2（450-300）-4×450=300；
若最高气温低于20，则Y=6×200+2（450-200）-4×450= -100.
所以，Y的所有可能值为900,300，-100.
Y大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为，因此Y大于零的概率的估计值为0.8.
定义
符号表示
包含关系
如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)
B⊇A(或A⊆B)
相等关系
若B⊇A且A⊇B，则事件A与事件B相等
A＝B
并事件(和事件)
若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)
A∪B(或A＋B)
交事件(积事件)
若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)
A∩B(或A·B)
互斥事件
若A∩B为不可能事件，则称事件A与事件B互斥
对立事件
若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件
且
抽取球数n
50
100
200
500
1000
2000
优等品数m
45
92
194
470
954
1902
优等品频率
所用时间(分钟)
10~20
20~30
30~40
40~50
50~60
选择L1的人数
6
12
18
12
12
选择L2的人数
0
4
16
16
4
所用时间(分钟)
10~20
20~30
30~40
40~50
50~60
L1的频率
0.1
0.2
0.3
0.2
0.2
L2的频率
0
0.1
0.4
0.4
0.1
日需求量n
14
15
16
17
18
19
20
频数
10
20
16
16
15
13
10
年降水量(mm)
[100,150)
[150,200)
[200,250)
[250,300]
概率
0.10
0.25
0.20
0.12
品牌
甲
乙
首次出现故障的时间x(年)
轿车数量(辆)
2
1
3
44
2
3
45
排队人数
0
1
2
3
4
≥5
概率
0.1
0.16
0.3
0.3
0.1
0.04
满意
不满意
男顾客
40
10
女顾客
30
20
电影类型
第一类
第二类
第三类
第四类
第五类
第六类
电影部数
140
50
300
200
800
510
好评率
0.4
0.2
0.15
0.25
0.2
0.1
最高气温
[10，15）
[15，20）
[20，25）
[25，30）
[30，35）
[35，40）
天数
2
16
36
25
7
4