最高考文数考点一遍过（讲义） 考点08 对数与对数函数

这是一份最高考文数考点一遍过（讲义） 考点08 对数与对数函数，共37页。学案主要包含了对数与对数运算，对数函数及其性质等内容，欢迎下载使用。

课本上和老师讲解的例题，一般都具有一定的典型性和代表性。要认真研究，深刻理解，要透过“样板”，学会通过逻辑思维，灵活运用所学知识去分析问题和解决问题，特别是要学习分析问题的思路、解决问题的方法，并能总结出解题的规律。
2、精练习题
复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。
3、加强审题的规范性
每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。
4、重视错题
“错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
专题08 对数与对数函数
（1）理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.
（2）理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点.
（3）知道对数函数是一类重要的函数模型.
（4）了解指数函数与对数函数互为反函数.
一、对数与对数运算
1．对数的概念
（1）对数：一般地，如果，那么数 x叫做以a为底 N的对数，记作，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.
（2）牢记两个重要对数：常用对数，以10为底的对数lgN；自然对数，以无理数e=2.71828…为底数的对数lnN.
（3）对数式与指数式的互化：.
2．对数的性质
根据对数的概念，知对数具有以下性质：
（1）负数和零没有对数，即；
（2）1的对数等于0，即；
（3）底数的对数等于1，即；
（4）对数恒等式.
3．对数的运算性质
如果，那么：
（1）；
（2）；
（3）.
4．对数的换底公式
对数的换底公式：.
换底公式将底数不同的对数转化为底数相同的对数，进而进行化简、计算或证明.换底公式应用时究竟换成什么为底，由已知条件来确定，一般换成以10为底的常用对数或以e为底的自然对数.
换底公式的变形及推广：
（1）；
（2）；
（3）(其中a，b，c均大于0且不等于1，d>0).
二、对数函数及其性质
1．对数函数的概念
一般地，我们把函数叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是.
2．对数函数的图象和性质
一般地，对数函数的图象与性质如下表所示：
在直线的右侧，当时，底数越大，图象越靠近x轴；当时，底数越小，图象越靠近x轴，即“底大图低”．
3．对数函数与指数函数的关系
指数函数且）与对数函数且）互为反函数，其图象关于直线对称.
考向一 对数式的化简与求值
对数运算的一般思路：
（1）对于指数式、对数式混合型条件的化简与求值问题，一般可利用指数与对数的关系，将所给条件统一为对数式或指数式，再根据有关运算性质求解；
（2）在对数运算中，可先利用幂的运算性质把底数或真数变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后运用对数的运算性质、换底公式，将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算.
注意：
（1）在利用对数的运算性质与进行化简与求值时，要特别注意题目的前提条件，保证转化关系的等价性．
（2）注意利用等式.
典例1 化简：
（）；
（）．
【答案】（1）5；（2）3.
【解析】（）
．
（）
．
【名师点睛】本题主要考查了对数的运算，其中熟记对数的运算法则和对数的运算性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
典例2 已知函数,若,则
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】根据题意有，解得.
故选D．
【名师点睛】该题考查的是已知函数值求自变量的问题，在求解的过程中，需要对指数式和对数式的运算性质了如指掌.首先将自变量代入函数解析式，利用指对式的运算性质，得到关于参数的等量关系式，即可求得结果.
1．若点在函数的图象上，则的零点为
A．1B．
C．2D．
2．方程的解为_________．
考向二 对数函数的图象
1．对数函数的图象过定点（1,0），所以讨论与对数函数有关的函数的图象过定点的问题，只需令真数为1，解出相应的，即可得到定点的坐标.
2．当底数时，对数函数是上的增函数，当时，底数的值越小，函数图象越“陡”，其函数值增长得越快；当底数时，对数函数是上的减函数，当时，底数的值越大，函数图象越“陡”，其函数值减小得越快.也可作直线y=1与所给图象相交,交点的横坐标即为各个底数，依据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可比较底数的大小．
3．对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解．特别地，要注意底数和的两种不同情况．有些复杂的问题，借助于函数图象来解决，就变得简单了，这是数形结合思想的重要体现．
4．一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.
典例3 若函数的图象如图所示，则下列函数图象正确的是
【答案】B
【解析】由题图可知的图象过点(3,1)，则，即.
A项，在上为减函数，错误；
B项，，符合；
C项，在上为减函数，错误；
D项，在(－∞，0)上为减函数，错误．
故选B.
典例4 已知函数，且函数有且只有一个零点，则实数a的取值范围是
A．[1，＋∞) B．(1，＋∞)
C．(－∞，1) D．(－∞，1]
【答案】B
【解析】如图所示，在同一平面直角坐标系中分别作出与的图象，其中a表示直线在y轴上的截距，
由图可知，当时，直线与只有一个交点．
故选B．
3．在同一平面直角坐标系中，函数，的图象可能是
A．B．
C．D．
考向三 对数函数性质的应用
对数函数的性质及其应用是每年高考的必考内容之一，多以选择题或填空题的形式呈现，难度易、中、难都有，且主要有以下几种命题角度：
（1）比较对数式的大小：
①若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对底数进行分类讨论；
②若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较；
③若底数与真数都不同，则常借助1,0等中间量进行比较．
（2）解对数不等式：
①形如的不等式，借助的单调性求解，如果a的取值不确定，需分与两种情况讨论；
②形如的不等式，需先将b化为以a为底的对数式的形式，再借助的单调性求解．
典例5 已知，，，则，，的大小关系是
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】∵，
，
，
又∵，
且对数函数在上单调递增，
.
故选B．
【名师点睛】本题考查对数的运算性质及对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.
典例6 求不等式的解集.
【解析】∵，
∴原不等式等价于，
当>1时，，解得0＜x＜2．
当时，，解得2＜x＜4．
∴不等式的解集为．
4．已知，，，则的大小关系为
A．B．
C．D．
考向四 对数函数的复合函数问题
与对数函数相关的复合函数问题，即定义域、值域的求解，单调性的判断和应用，与二次函数的复合问题等，解题方法同指数函数类似.研究其他相关函数的单调性、奇偶性一般根据定义求解,此外，需特别注意对数函数的定义域及底数的取值.
求形如的复合函数的单调区间，其一般步骤为：
①求定义域，即满足的x的取值集合；
②将复合函数分解成基本初等函数及；
③分别确定这两个函数的单调区间；
④若这两个函数同增或同减，则为增函数，若一增一减，则为减函数，即“同增异减”.
典例7 已知，则是
A．偶函数，且在是增函数B．奇函数，且在是增函数
C．偶函数，且在是减函数D．奇函数，且在是减函数
【答案】C
【解析】由，得，
故函数的定义域为，关于原点对称，
又，故函数为偶函数，
而，
因为函数在上单调递减，在上单调递增，
故函数在上单调递减.
故选C．
典例8 已知函数．
（1）判断的奇偶性并加以证明；
（2）判断的单调性（不需要证明）；
（3）解关于m的不等式．
【答案】（1）偶函数，证明见解析；（2）减函数；（3）.
【解析】（1）由，得，
∴函数的定义域为．
∵函数的定义域关于原点对称，且，
∴函数为偶函数．
（2）, 为增函数，在上是增函数，在上是减函数，
∴在上是增函数，在上是减函数.
（3）即，
则，得.
∴关于m的不等式的解集为.
5．若函数f(x)=lga(5−ax)（a>0，a≠1）在(1,3)上是减函数，则a的取值范围是
A．B．
C．D．
6．已知函数是对数函数.
（1）若函数，讨论的单调性；
（2）在（1）的条件下，若，不等式的解集非空，求实数的取值范围.
1．的值为
A．B．0
C．1D．2
2．函数的定义域为
A．(－，2 )B．
C．D．
3．设函数，则
A．9B．11
C．13D．15
4．已知正实数，，满足，则
A．B．
C．D．
5．已知“”，：“”，则是的
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
6．函数f(x)=lg(6x−x2)的单调递减区间为
A．(0,6)B．(0,3]
C．[3,+∞)D．[3,6)
7．若函数在上的最大值和最小值之和为，则的值为
A．B．
C．D．3
8．若函数f(x)=(m+2)xa是幂函数，且其图象过点(2,4)，则函数g(x)=lga(x+m)的单调增区间为
A．(−2,+∞) B．(1,+∞)
C．(−1,+∞) D．(2,+∞)
9．若函数f(x)=lg2(ax2+2x+a)的值域为R，则实数a的取值范围为
A．[1,+∞)B．(0,1)
C．[−1,1]D．[0,1]
10．已知函数，则使得f(2x)>f(x+3)成立的x的取值范围是
A． B．
C． D．
11．已知，，，则，，的大小关系是
A．B．
C．D．
12．奇函数满足，当时，，则
A．−2 B．
C． D．2
13．若函数fx=ax−a−xa>0且a≠1在R上为减函数，则函数y=lgax−1的图象可以是
A． B．
C． D．
14．已知定义在R上的函数在区间上单调递增，且的图象关于对称，若实数a满足，则a的取值范围是
A．B．
C．D．
15．已知函数fx=lgx−1，若1A．3+22，+∞B．3+22，+∞
C．6，+∞D．6，+∞
16．设函数满足，，且当时，，又函数，则函数零点的个数为
A．B．
C．D．
17．方程lg2(x+2)=1+lg4(6−x)的解为x=________.
18．函数的值域为________.
19．已知二次函数fx=x2−4x+1的顶点为a,b，则函数gx=lgax2−2x+b的单调递减区间为_______.
20．已知函数，设正实数满足，且，若在区间上的最大值为2，则=________．
21．已知函数f(x)=lga(−x2+ax−9)(a>0,a≠1).
（1）当a=10时，求f(x)的值域和单调减区间；
（2）若f(x)存在单调递增区间，求a的取值范围．
22．已知函数f(x)=lg2(2x+k)(k∈R)的图象过点P(0,1)．
（1）求k的值并求函数f(x)的值域；
（2）若关于x的方程f(x)=x+m,x∈[0,1]有实根，求实数m的取值范围.
23．设函数，且.
（1）求实数的值及函数的定义域；
（2）求函数在区间上的最小值.
24．已知函数的图象过点.
（1）求的值并求函数的值域；
（2）若关于的方程有实根，求实数的取值范围；
（3）若函数，则是否存在实数，使得函数的最大值为?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
1．（2019年高考全国Ⅰ卷文数）已知，则
A．B．
C．D．
2．（2019年高考天津文数）已知，则a，b，c的大小关系为
A． B．
C．D．
3．（2019年高考北京文数）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足，其中星等为的星的亮度为（k=1,2）．已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为
A．1010.1 B．10.1
C．lg10.1 D．10−10.1
4．（2019年高考浙江）在同一直角坐标系中，函数，(a>0，且a≠1)的图象可能是
5．（2019年高考全国Ⅲ卷文数）设是定义域为R的偶函数，且在单调递减，则
A．（lg3）＞（）＞（）
B．（lg3）＞（）＞（）
C．（）＞（）＞（lg3）
D．（）＞（）＞（lg3）
6．（2018年高考天津卷文科）已知，则的大小关系为
A． B．
C． D．
7．（2018年高考新课标Ⅲ卷文科）下列函数中，其图象与函数的图象关于直线对称的是
A． B．
C． D．
8．（2017年高考新课标全国Ⅱ卷文科）函数的单调递增区间是
A． B．
C． D．
9．（2016年高考新课标全国Ⅱ卷文科）下列函数中，其定义域和值域分别与函数y=10lg x的定义域和值域相同的是
A．y=xB．y=lg x
C．y=2x D．
10．（2017年高考天津卷文科）已知奇函数在上是增函数．若，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的大小关系为
A．B．
C．D．
11．（2017年高考北京卷文科）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080．则下列各数中与最接近的是
（参考数据：lg3≈0.48）
A．1033 B．1053
C．1073D．1093
12．（2016年高考新课标全国Ⅰ卷文科）若,,则
A．lgacC．accb
13．（2017年高考新课标全国Ⅰ卷文科）已知函数，则
A．在（0，2）单调递增B．在（0，2）单调递减
C．y=的图像关于直线x=1对称D．y=的图像关于点（1，0）对称
14．（2018年高考江苏卷）函数的定义域为________．
15．（2018年高考新课标I卷文科）已知函数，若，则________．
16．（2018年高考新课标Ⅲ卷文科）已知函数，，则________．
变式拓展
1．【答案】D
【解析】根据题意，点在函数的图象上，
则，变形可得：，则，
若，则，即的零点为.
故选D．
2．【答案】
【解析】 或（舍去），即，解得即答案为2.
3．【答案】D
【解析】当时，函数为增函数，且图象增长得越来越平缓，
函数为增函数，
当时，函数为增函数，且图象增长得越来越快，
函数为减函数，
综上，只有D符合.
故选D．
4．【答案】B
【解析】∵，
，
，
∵，
，
∴，
综合可得.
故选B．
5．【答案】A
【解析】，在上单调递减，
由复合函数的单调性可知：，
由定义域可知：当时，，
综上所述：.
故选A.
6．【答案】（1）见解析；（2）.
【解析】（1）由题意可知：，解得，
∴函数的解析式为.
∵，
∴，
∴，
∴，即的定义域为.
由于，
令，则由对称轴可知，在上单调递增，在上单调递减；
又因为在上单调递增，
故的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）不等式的解集非空，
所以，
由（1）知，当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为，且，
所以，
所以，，
所以实数的取值范围为.
【思路点拨】（1）由对数函数的定义，得到的值，进而得到函数的解析式，再根据复合函数的单调性，即可求解函数的单调性.
（2）不等式的解集非空，得，由（1）得到函数的单调性，求得函数的最小值，即可求得实数的取值范围.
专题冲关
1．【答案】C
【解析】.
故选C.
2．【答案】A
【解析】由题意，函数有意义，需满足，
解得，
即函数的定义域为.
故选A．
3．【答案】B
【解析】∵函数，
∴=2+9=11．
故选B．
【名师点睛】本题主要考查了对数的运算求值，根据对数的运算公式，即可求解式子的数值．其中熟记对数的运算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．
4．【答案】C
【解析】∵正实数，，满足，
∴设，
则，，，
∴．
故选C．
5．【答案】B
【解析】时，，
而时，，即不一定成立，
是的充分不必要条件.
故选B．
【名师点睛】利用对数函数的单调性，根据充要条件的定义可得结果.判断充要条件时应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.
6．【答案】D
【解析】由题可得6x−x2>0，即0又函数y=6x−x2在[3,+∞)上单调递减，
根据复合函数的单调性可知函数f(x)=lg(6x−x2)的单调递减区间为[3,6).
故选D．
【名师点睛】求出函数的定义域，利用二次函数的单调性结合对数函数的单调性求解即可.本题主要考查对数函数的性质、复合函数的单调性，属于中档题.复合函数的单调性的判断可以综合考查两个函数的单调性，因此也是命题的热点，判断复合函数单调性要注意把握两点：一是要同时考虑两个函数的的定义域；二是同时考虑两个函数的单调性，正确理解“同增异减”的含义（增增增，减减增，增减减，减增减）.
7．【答案】A
【解析】易知在上单调，
因此，在上的最值在区间端点处取得，
由其最大值与最小值之和为可得，
即，化简得，解得.
故选A.
8．【答案】B
【解析】由题意得：m+2=1，解得：m=−1，
故f(x)=xa，
将(2,4)代入函数的解析式得：2a=4，解得：a=2，
故g(x)=lga(x+m)=lg2(x−1)，
令x−1>0，解得：x>1，
故g(x)在(1,+∞)上单调递增.
故选B．
9．【答案】D
【解析】若函数f(x)=lg2(ax2+2x+a)的值域为R，则函数y＝ax2+2x+a能取遍所有的正数．
当a＝0时符合条件；
当a≠0时，应有，解得0综上，实数a的取值范围是[0,1]．
故选D．
10．【答案】D
【解析】因为，所以函数是偶函数，
又易知在上单调递减，在上单调递增，所以，解得或.
故选D．
【名师点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性的综合运用，先利用奇偶性的定义判断函数的奇偶性，再判断函数的单调性，将转化为进行求解.要注意：奇函数在对称的区间上单调性一致，偶函数在对称的区间上单调性相反.
11．【答案】D
【解析】因为是增函数，
所以，即，
又，
，
所以.
故选D.
【名师点睛】本题考查对数函数的基本性质和运算公式，可以先比较同底的对数大小，再结合中间值1,进行比较即可.比较大小的试题通常先比较同底的然后借助中间值判断不同底的即可，属于基础题.
12．【答案】A
【解析】∵，∴，∴函数的周期为4.
又，∴
．
故选A．
【名师点睛】先由题意得到函数的周期为4，确定出的范围，然后根据函数的周期性和奇偶性求解．本题考查函数的性质及指数、对数的运算，解题的关键是通过函数的周期性将求值问题转化到区间（0,1）内解决．
13．【答案】D
【解析】由函数f（x）＝ax﹣a﹣x（a＞0且a≠1）在R上为减函数，
得0＜a＜1．
函数y＝lga（|x|﹣1）是偶函数，定义域为x＞1或x＜﹣1，
函数y＝lga（|x|﹣1）的图象，x＞1时是把函数y＝lgax的图象向右平移1个单位得到的，
综上，选D．
14．【答案】C
【解析】根据题意，的图象关于对称，则函数的图象关于轴对称，即函数为偶函数，
又函数在区间上单调递增，
则，
即，解得：，即a的取值范围为.
故选C．
【名师点睛】本题主要考查不等式的求解，根据函数的奇偶性和单调性将不等式进行转化是解决本题的关键．
15．【答案】A
【解析】函数f（x）＝|lg（x﹣1）|的图象如图，
∵1＜a＜b且f（a）＝f（b），
∴b＞2，1＜a＜2，
∴，即1a−1=b−1，
可得：ab﹣a﹣b＝0．
那么：a=bb−1．
则2a+b=2bb−1+b=(2b−2)+2b−1+b−1+1=(b−1)+2b−1+3≥22+3，当且仅当b=2+1时取等号，满足b＞2.
故实数2a+b的取值范围是3+22，+∞.
故选A．
16．【答案】A
【解析】因为，所以函数是偶函数，图象关于轴对称.
因为，所以函数的图象关于直线对称.
当时，，于是可以作出函数的图象如图.
再作出的图象，结合,
可知函数与的图象有个交点，
所以函数有个零点.
故选A．
17．【答案】2
【解析】由已知得或，
经检验，当时，原方程没有意义，
则x=2是原方程的解.
故答案为2.
18．【答案】
【解析】，
且，，
∴fx的值域为：−∞,0∪0,+∞.
故答案为−∞,0∪0,+∞.
19．【答案】−∞,−1
【解析】，故顶点坐标为（2，-3），即a=2,b=-3，
则gx=lg2x2−2x−3, 设u＝x2−2x−3，
∵x2−2x−3＞0，即x＞3或x＜﹣1，
∴定义域为（﹣∞，﹣1）（3，+∞），
∵u＝x2−2x−3在（﹣∞，﹣1）上单调递减，在（3，+∞）上单调递增，
∴根据复合函数的单调性可得gx=lg2x2−2x−3的单调减区间是（﹣∞，﹣1）.
故答案为−∞,−1.
20．【答案】
【解析】根据题意可知，并且可以知道函数在上是减函数，在上是增函数，且有，
又，所以由题中的条件，可知，可以解得，
所以，
则有.
【名师点睛】该题考查的是有关指数幂的运算，但是需要先从题的条件中来确定底数和指数的大小，首先需要确定函数的图象，之后借助于绝对值的意义，可以得到两个函数值的大小相等的时候，对应真数之间的关系：互为倒数，再结合两个值的大小关系，从而确定出对应各自的范围，根据题意，进一步确定其值的大小，最后求得结果.
21．【答案】（1）−∞,lg16;[5,9)；（2）a>6.
【解析】（1）当a=10时，f(x)=lg(−x2+10x−9)=lg[−(x−5)2+16]，
设t=−x2+10x−9=−(x−5)2+16，
由−x2+10x−9>0，得x2−10x+9<0，
得1此时t=−(x−5)2+16∈(0,16]，
则y=lgt≤lg16，
即函数的值域为(−∞,lg16]，
要求f(x)的单调减区间，等价为求t=−(x−5)2+16的单调递减区间，
∵t=−(x−5)2+16的单调递减区间为[5,9)，
∴f(x)的单调递减区间为[5,9)．
（2）若f(x)存在单调递增区间，
则当a>1时，函数t=−x2+ax−9存在单调递增区间即可，则判别式Δ=a2−36>0，得a>6或a<−6（舍），
当00，得a>6或a<−6，此时a不成立，
综上，实数a的取值范围是a>6．
22．【答案】（1）0，+∞；（2）（lg23−1，1）.
【解析】（1）因为函数的图象过点，所以，解得.
则，
因为，所以，
所以函数的值域为.
（2）方程有实根，即有实根，
构造函数，
则，
因为函数在R上单调递减，而在（0，1）上单调递增，
所以复合函数是R上的单调递减函数，
所以在上的最小值为，最大值为，即，
所以当（）时，方程有实根.
23．【答案】（1），；（2）1.
【解析】（1）∵，
∴，
∴.
由得，
∴函数的定义域为.
（2）.
∴当时，是增函数；当时，是减函数，
故函数在区间上的最小值是.
【思路点拨】（1）根据题设，由，可求出参数的值，根据对数函数的定义，由且，解此不等式，从而求出函数的定义域；
（2）由（1）可确定函数的解析式，经化简整理得，再根据函数的单调性可知该函数的最小值为.
24．【答案】（1），；（2）；（3）存在使得函数的最大值为0.
【解析】（1）因为函数的图象过点，
所以，即，
所以，
所以，
因为，
所以，
所以，
所以函数的值域为.
（2）因为关于的方程有实根，即方程有实根，即函数的图象与函数的图象有交点，
令，则函数的图象与直线有交点，
又，
任取，则，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以在R上是减函数（或由复合函数判断为单调递减函数也可），
因为，
所以，
所以实数的取值范围是.
（3）由题意知，，
令，则，
当时，，所以，
当时，，所以（舍去），
综上，存在使得函数的最大值为0.
【思路点拨】（1）根据在图象上，代入计算即可求解，因为，所以，所以，可得函数的值域为；
（2）原方程等价于的图象与直线有交点，先证明的单调性，可得到的值域，从而可得实数的取值范围；
（3）根据，，转化为二次函数的最大值问题，讨论函数的最大值，求解实数即可.
直通高考
1．【答案】B
【解析】
即
则．
故选B．
【名师点睛】本题考查指数和对数大小的比较，考查了数学运算的素养．采取中间量法，根据指数函数和对数函数的单调性即可比较大小．
2．【答案】A
【解析】∵，
，
，
∴.
故选A.
【名师点睛】利用指数函数、对数函数的单调性时，要根据底数与的大小进行判断.
3．【答案】A
【解析】两颗星的星等与亮度满足，
令，
则
从而.
故选A.
【名师点睛】本题以天文学问题为背景，考查考生的数学应用意识､信息处理能力､阅读理解能力以及对数的运算.
4．【答案】D
【解析】当时，函数的图象过定点且单调递减，则函数的图象过定点且单调递增，函数的图象过定点且单调递减，D选项符合；
当时，函数的图象过定点且单调递增，则函数的图象过定点且单调递减，函数的图象过定点且单调递增，各选项均不符合.
综上，选D.
【名师点睛】易出现的错误：一是指数函数、对数函数的图象和性质掌握不熟练，导致判断失误；二是不能通过讨论的不同取值范围，认识函数的单调性.
5．【答案】C
【解析】是定义域为的偶函数，．
，
又在(0，+∞)上单调递减，
∴，
即.
故选C．
【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，先利用函数的奇偶性化为同一区间，再利用中间量比较自变量的大小，最后根据单调性得到答案．
6．【答案】D
【解析】由题意可知：，即，，即，，即，
综上可得：.
故本题选择D选项.
【名师点睛】由题意结合对数的性质，对数函数的单调性和指数的性质整理计算即可确定a,b,c的大小关系.对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．
7．【答案】B
【解析】函数过定点（1，0），（1，0）关于直线x=1对称的点还是（1，0），只有的图象过此点.故选项B正确.
【名师点睛】本题主要考查函数的对称性和函数的图象，属于中档题.求解时，确定函数过定点（1，0）及其关于直线x=1对称的点，代入选项验证即可.
8．【答案】D
【解析】要使函数有意义，则，解得或，
结合二次函数的单调性、对数函数的单调性和复合函数同增异减的原则可得函数的单调增区间为.
故选D.
【名师点睛】求函数单调区间的常用方法：（1）定义法和导数法，通过解相应不等式得单调区间；（2）图象法，由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集：二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接；（3）利用复合函数“同增异减”的原则，此时需先确定函数的单调性.
9．【答案】D
【解析】，定义域与值域均为，只有D满足.
故选D．
【名师点睛】对于基本初等函数的定义域、值域问题，应熟记图象，运用数形结合思想求解.
10．【答案】C
【解析】由题意可得，且，，所以，
结合函数的单调性可得，即，即．
故选C．
【名师点睛】比较大小是高考的常见题型，指数式、对数式的大小比较要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性、奇偶性等进行大小比较，要特别关注灵活利用函数的奇偶性和单调性，数形结合进行大小比较或解不等式．
11．【答案】D
【解析】设 ，两边取对数，，所以，即最接近.
故选D.
【名师点睛】本题考查了转化与化归能力，本题以实际问题的形式给出，但本质就是对数的运算关系，以及指数与对数运算的关系，难点是令，并想到两边同时取对数进行求解，对数运算公式包含，，.
12．【答案】B
【解析】对于选项A，，，，而，所以，但不能确定的正负，所以它们的大小不能确定;对于选项B，,，两边同乘以一个负数改变不等号方向，所以选项B正确;对于选项C，利用在第一象限内是增函数即可得到，所以C错误;对于选项D，利用在上为减函数易得，所以D错误.所以本题选B.
【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.
13．【答案】C
【解析】由题意知，，所以的图像关于直线对称，故C正确，D错误；
又（），由复合函数的单调性可知在上单调递增，在上单调递减，所以A，B错误.
故选C．
【名师点睛】如果函数，，满足，恒有，那么函数的图像有对称轴eq\f(a＋b,2)；如果函数，，满足，恒有，那么函数的图像有对称中心．
14．【答案】[2，+∞）
【解析】要使函数有意义，则需，
解得，即函数的定义域为.
【名师点睛】求给定函数的定义域往往需转化为解不等式（组）的问题.求解本题时，根据偶次根式下被开方数非负列不等式，解对数不等式得函数定义域.
15．【答案】
【解析】根据题意有，可得，所以，故答案是.
【名师点睛】该题考查的是有关已知某个自变量对应函数值的大小，来确定有关参数值的问题，在求解的过程中，需要将自变量代入函数解析式，求解即可得结果，属于基础题目.
16．【答案】
【解析】由题意得，
,则,故答案为−2.
【名师点睛】本题主要考查函数的性质，由函数解析式计算发现是关键，属于中档题.
图象
定义域
值域
性质
过定点，即时，
在上是减函数
在上是增函数
当x＞1时，y＜0；
当0＜x＜1时，y＞0
当x＞1时，y＞0；
当0＜x＜1时，y＜0