最高考文数考点一遍过（讲义） 考点02 命题及其关系、充分条件与必要条件

这是一份最高考文数考点一遍过（讲义） 考点02 命题及其关系、充分条件与必要条件，共17页。试卷主要包含了揣摩例题，精练习题，加强审题的规范性，重视错题等内容，欢迎下载使用。

课本上和老师讲解的例题，一般都具有一定的典型性和代表性。要认真研究，深刻理解，要透过“样板”，学会通过逻辑思维，灵活运用所学知识去分析问题和解决问题，特别是要学习分析问题的思路、解决问题的方法，并能总结出解题的规律。
2、精练习题
复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。
3、加强审题的规范性
每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。
4、重视错题
“错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
专题02 命题及其关系、充分条件与必要条件
（1）理解命题的概念.
（2）了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.
（3）理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.
一、命题及其关系
1．命题的概念
在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．
2．四种命题及其关系
(1)四种命题
(2)四种命题间的关系
(3)常见的否定词语
3．四种命题的真假关系
(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．
【提醒】当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时，必须保留大前提，也就是大前提不动．
二、充分条件与必要条件
1．充分条件与必要条件的概念
(1)若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；
(2)若p⇒q且qp，则p是q的充分不必要条件；
(3)若pq且q⇒p，则p是q的必要不充分条件；
(4) 若p⇔q，则p是q的充要条件；
(5) 若pq且qp，则p是q的既不充分也不必要条件.
2．必记结论
(1)等价转化法判断充分条件、必要条件
①p是q的充分不必要条件是的充分不必要条件；
②p是q的必要不充分条件是的必要不充分条件；
③p是q的充要条件是的充要条件；
④p是q的既不充分也不必要条件是的既不充分也不必要条件.
(2)集合判断法判断充分条件、必要条件
若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即p：A={x|p(x) }，q：B={x|q(x) }，则
①若，则p是q的充分条件；
②若，则p是q的必要条件；
③若，则p是q的充分不必要条件；
④若，则p是q的必要不充分条件；
⑤若，则p是q的充要条件；
⑥若且，则p是q的既不充分也不必要条件.
考向一 四种命题的关系及其真假的判断
四种命题的关系及其真假的判断是高考中的一个热点，多以选择题的形式出现，难度一般不大，往往会结合其他知识点(如函数、不等式、三角、向量、立体几何等)进行综合考查.常见的解法如下：
1．判断四种命题间关系的方法
①由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将条件与结论互换即得逆命题，将条件与结论同时否定即得否命题，将条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题．
②原命题和逆否命题、逆命题和否命题有相同的真假性，解题时注意灵活应用.
2．命题真假的判断方法
①给出一个命题，要判断它是真命题，需经过严格的推理证明；而要说明它是假命题，则只需举一反例即可．
②由于原命题与其逆否命题为等价命题，有时可以利用这种等价性间接地证明命题的真假.
典例1 设a、，原命题“若，则”，则关于其逆命题、否命题、逆否命题的结论正确的是
A．逆命题与否命题均为真命题
B．逆命题为假命题，否命题为真命题
C．逆命题为假命题，逆否命题为真命题
D．否命题为假命题，逆否命题为真命题
【答案】A
【解析】设a、，原命题“若，则”是假命题（取a=−1，b=1可进行验证），
原命题的逆否命题是假命题；
原命题的逆命题：“若，则”是真命题，
原命题的否命题是真命题．故选A．
【名师点睛】本题考查命题真假的判断，考查不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．解答本题时，判断出原命题是假命题，从而原命题的逆否命题是假命题；再判断原命题的逆命题是真命题，从而原命题的否命题是真命题．
1．能说明“设a，b为实数，若，则直线与圆相切”为假命题的一组a，b的值依次为__________．
典例2 命题“若，则”的逆否命题是
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】C
【解析】命题“若，则”的逆否命题是“若，则”，故命题“若，则”的逆否命题是若，则 ，故选C．
【方法点睛】将原命题的条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题．写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写；在判断原命题、逆命题、否命题以及逆否命题的真假时，要借助原命题与其逆否命题同真或同假，逆命题与否命题同真或同假来判定．
2．下列说法正确的是
A．命题“，使”的否定为“，都有”
B．命题“若向量与的夹角为锐角，则”及它的逆命题均为真命题
C．命题“在锐角中，”为真命题
D．命题“若，则或”的逆否命题为“若且，则”
考向二 充分、必要条件的判断
充分条件与必要条件的判断是高考命题的热点，多以选择题形式出现，作为载体，考查知识面广，常与函数、不等式、三角函数、平面向量、立体几何、解析几何等知识综合考查.常见的解法如下：
1．命题判断法
设“若p，则q”为原命题，那么：
(1)原命题为真，逆命题为假时，则p是q的充分不必要条件；
(2)原命题为假，逆命题为真时，则p是q的必要不充分条件；
(3)当原命题与逆命题都为真时，则p是q的充要条件；
(4)当原命题与逆命题都为假时，则p是q的既不充分也不必要条件．
2．集合判断法（同必记结论）
3．等价转化法（同必记结论）
典例3 设a,b是两条不同的直线，α是平面，a⊄α,b⊂α,则“a//b”是“a//α”成立的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】∵a⊄α,b⊂α，∴当a∥b时，一定有a∥α，即充分性成立.反之，当a∥α时，a，b可能平行，可能异面，即必要性不成立，故“a//b”是“a//α”成立的充分不必要条件，故选A．
【名师点睛】本题考查充要条件的判断，从定义来看，若，则是的充分条件，若，则是的必要条件，若，则是的充要条件；从集合的角度看，若，则是的充分条件，若，则是的必要条件，若，则是的充要条件，若是的真子集，则是的充分而不必要条件，若是的真子集，则是的必要而不充分条件．
3．设a，b都是不等于1的正数，则“”是“”的
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
典例4 若条件，且是的充分不必要条件，则可以是
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】若是的充分不必要条件，则区间是q的真子集，本题选B.
【名师点睛】有关探求充要条件的选择题，破题关键是：首先，判断是选项“推”题干，还是题干“推”选项；其次，利用以小推大的技巧，即可得结论．
4．已知，下列四个条件中，使成立的充分不必要条件是
A．B．
C．D．
考向三 充分、必要条件的应用
充分、必要条件的应用主要涉及根据充要条件求解参数的取值范围，具体解法如下：
1．解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式（组）求解.
2．求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象.
典例5 设，q:x2−2m+1x+m2+m≤0，若p是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围为
A．−2,1 B．−3,1
C．−2,0∪0,1 D．−2,−1∪0,1
【答案】D
【解析】p对应的集合为x|−2≤x<0或0∵p是q的必要不充分条件，∴−2≤mm+1<0或05．设命题:实数满足；命题：实数满足.若，且是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
1．“”是“或”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．已知命题“若，则”的逆命题是真命题，则m的取值范围是
A．B．
C．D．
3．设x∈R，则使lg(x+1)<1成立的必要不充分条件是
A．−1−1
C．x>1 D．14．下列关于命题的说法正确的是
A．命题“若xy=0，则x=0”的否命题是“若xy=0，则x≠0”
B．命题“若x+y=0，则x,y互为相反数”的逆命题是真命题
C．命题“∃x∈R,x2−2x+2≥0”的否定是“∀x∈R,x2−2x+2≥0”
D．命题“若csx=csy，则x=y”的逆否命题是真命题
5．已知直线，和平面，若，，则“”是“”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．若原命题为：“若为共轭复数，则”，则该命题的逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次为
A．真真真 B．真真假
C．假假真 D．假假假
7．设都是非零向量，下列四个条件，使成立的充要条件是
A． B．
C．且 D．且方向相同
8．已知，，若是的一个必要不充分条件，则的取值范围为
A．B．
C．D．
9．命题“若，则或”的逆否命题为__________．
10．命题：若，则；命题：若，则恒成立.若的逆命题、的逆否命题都是真命题，则实数的取值范围是__________．
1．（2019年高考天津文数）设，则“”是“”的
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．（2019年高考浙江）若a>0，b>0，则“a+b≤4”是 “ab≤4”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
3．（2019年高考全国Ⅱ卷文数）设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是
A．α内有无数条直线与β平行 B．α内有两条相交直线与β平行
C．α，β平行于同一条直线 D．α，β垂直于同一平面
4．（2019年高考北京文数）设函数f（x）=csx+bsinx（b为常数），则“b=0”是“f（x）为偶函数”的
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
5．（2018浙江）已知平面α，直线m，n满足mα，nα，则“m∥n”是“m∥α”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
6．（2018天津文科）设，则“”是“”的
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
7．（2018北京文科）设a,b,c,d是非零实数，则“ad=bc”是“a,b,c,d成等比数列”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
8．（2017北京文科）设m,n为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
9．（2016四川文科）设p:实数x，y满足且，q: 实数x，y满足，则p是q的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
10．（2018北京文科）能说明“若a﹥b，则”为假命题的一组a，b的值依次为_________.
变式拓展
1．【答案】1,1（答案不唯一）
【解析】设，为实数，若，则直线与圆相切，
若为真命题，可得，即为，
若为假命题，只要，
要说明“设，为实数，若，则直线与圆相切”为假命题的一组，的值依次可为1，1（答案不唯一）．
故答案为：1，1（答案不唯一）．
【名师点睛】本题考查命题真假的判定条件，解题的关键是先求出命题为真命题时等价的条件，属于基础题.解答本题时，根据条件求出命题为真命题时等价的，的关系式，由关系式可得到命题为假命题时，的一组取值.
2．【答案】D
【解析】对于A选项，利用特称命题的否定是全称命题，且只需否定结论可得，命题“，使”的否定应为“，都有”，所以A错误；
对于B选项，其逆命题为“若，则向量与的夹角为锐角”，由得：，可得，则，所以该命题错误，所以B错误；
对于C选项，，可得，所以C错误.
故选D.
【名师点睛】本题主要考查了命题的真假判断，还考查了特称命题的否定，向量的数量积等知识，属于中档题.
3．【答案】C
【解析】由“”，得，
所以或或，
即或或，
由，得，
故“”是“”的必要不充分条件，
故选C．
【名师点睛】本题考查必要条件、充分条件及充分必要条件的判断方法，考查指数、对数不等式的解法，是基础题．解答本题时，根据对数函数以及指数函数的性质求解a,b的范围，再利用充分必要条件的定义判断即可．
4．【答案】B
【解析】B选项，是的充分不必要条件；
A选项，是的必要不充分条件；
C选项，是的既不充分也不必要条件；
D选项，是的充要条件.
故选B．
【名师点睛】本题考查的知识点是充分不必要条件的定义，属于基础题．解答本题时，根据充分不必要条件的定义，逐一分析给定四个选项与a＞b的关系，可得答案．
5．【答案】.
【解析】由得，
又，
所以m＜x＜3m，
由得，即.
设，，
若是的充分不必要条件，则A是B 的真子集，
所以，
解得.
【名师点睛】本题主要考查不等式的解法和复合命题的真假的判断，考查充分必要条件的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.解答本题时，先求出和，再列出不等式组，即得m的取值范围.
专题冲关
1．【答案】A
【解析】若且，则，显然成立.
若不一定推出且.
所以 是的充分不必要条件.
根据原命题与其逆否命题真假相同可得“”是“或”的充分不必要条件.
故选A.
【名师点睛】本题考查原命题与逆否命题真假相同，充分不必要条件的概念，属于基础题.解答本题时，可以探索且是的什么条件，利用原命题与其逆否命题真假相同进行判断.
2．【答案】D
【解析】命题的逆命题为：若，则成立，
则，解得，即，
即实数m的取值范围是，
故选D．
【名师点睛】本题主要考查四种命题的关系，结合逆命题的定义求出命题的逆命题是解决本题的关键．解答本题时，求出命题的逆命题，结合不等式的关系进行求解即可．
3．【答案】B
【解析】求解对数不等式lgx+1<1可得0−1.故选B.
4．【答案】B
【解析】逐一分析所给命题的真假：
对于A，命题“若xy=0，则x=0”的否命题是“若xy≠0，则x≠0”，题中说法错误；
对于B，命题“若 x+y=0，则x,y互为相反数”是真命题，则其逆命题是真命题，题中说法正确；
对于C，命题“∃x∈R,x2−2x+2≥0”的否定是“∀x∈R,x2−2x+2<0”，题中说法错误；
对于D，命题“若csx=csy，则x=y ”是假命题，则其逆否命题是假命题，题中说法错误.
故选B.
5．【答案】B
【解析】由线面垂直的判定定理得：若，，则“”不能推出“”，
由“”，根据线面垂直的性质定理，可得“”，
即“”是“”的必要不充分条件，
故选B．
【名师点睛】本题主要考查了必要不充分条件的判定，以及线面垂直的判定定理和性质定理的应用，其中解答中熟记线面垂直的判定定理和性质定理，合理利用充分条件和必要条件的判定方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
6．【答案】C
【解析】设，则，则，所以原命题为真命题，故其逆否命题为真命题.原命题的否命题为“若不互为共轭复数，则”，因为和不互为共轭复数，但，所以否命题为假命题，故原命题的逆命题为假命题.故选C.
7．【答案】D
【解析】表示与方向相同的单位向量，因此成立的充要条件是与同向即可，故选D．
8．【答案】B
【解析】，即，
，，即，
是的一个必要不充分条件，可得，即的范围比的范围小，
故，即.
故选B项.
【名师点睛】本题考查逻辑联结词，必要不充分条件，属于简单题.解答本题时，根据是的一个必要不充分条件，可得，然后得到的取值范围.
9．【答案】“若且，则”
【解析】因为若原命题为“若，则”，那么它的逆否命题为“若，则.”
所以命题“若，则或”的逆否命题为“若且，则”.
【名师点睛】本题考查了写出原命题的逆否命题，关键是要知道原命题与逆否命题的关系.解答本题时，根据若原命题为“若，则”，那么它的逆否命题为“若，则”即可得解.
10．【答案】
【解析】命题的逆命题：若，则，该命题是真命题，则．命题的逆否命题为真命题，故原命题为真命题，则，.故实数的取值范围是.
直通高考
1．【答案】B
【解析】由可得，
易知由推不出，
由能推出，
故是的必要而不充分条件，
即“”是“”的必要而不充分条件.
故选B.
【名师点睛】本题考查充分必要条件，解题的关键是由所给的不等式得到的取值范围.
2．【答案】A
【解析】当时，，则当时，有，解得，充分性成立；
当时，满足，但此时，必要性不成立，
综上所述，“”是“”的充分不必要条件.
故选A.
【名师点睛】易出现的错误：一是基本不等式掌握不熟练，导致判断失误；二是不能灵活地应用“赋值法”，通过取的特殊值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.
3．【答案】B
【解析】由面面平行的判定定理知：内有两条相交直线都与平行是的充分条件；
由面面平行的性质定理知，若，则内任意一条直线都与平行，所以内有两条相交直线都与平行是的必要条件.
故α∥β的充要条件是α内有两条相交直线与β平行.
故选B．
【名师点睛】面面平行的判定问题要紧扣面面平行的判定定理，最容易犯的错误为定理记不住，凭主观臆断.
4．【答案】C
【解析】当时，，为偶函数；
当为偶函数时，对任意的恒成立，
由，得，
则对任意的恒成立，
从而.
故“”是“为偶函数”的充分必要条件.
故选C.
【名师点睛】本题较易，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.
5．【答案】A
【解析】因为m⊄α,n⊂α,m//n，所以根据线面平行的判定定理得m//α.由m//α不能得出m与α内任一直线平行，所以m//n是m//α的充分不必要条件，故选A.
【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法：
（1）定义法：直接判断“若p则q”、“若q则p”的真假．并注意和图示相结合，例如“p⇒q”为真，则p是q的充分条件．
（2）等价法：利用p⇒q与非q⇒非p，q⇒p与非p⇒非q，p⇔q与非q⇔非p的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．
（3）集合法：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．
6．【答案】A
【解析】求解不等式x3>8可得x>2，求解绝对值不等式x>2可得x>2或x<−2，据此可知：“x3>8”是“|x|>2” 的充分而不必要条件.故选A.
【名师点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法、充分不必要条件的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
7．【答案】B
【解析】当a=4,b=1,c=1,d=14时，a,b,c,d不成等比数列，所以不是充分条件；
当a,b,c,d成等比数列时，则ad=bc，所以是必要条件.
综上所述，“ad=bc”是“a,b,c,d成等比数列”的必要不充分条件，故选B.
【名师点睛】此题主要考查充分必要条件，实质是判断命题“p⇒q”以及“q⇒p”的真假.判断一个命题为真命题，要给出理论依据、推理证明；判断一个命题为假命题，只需举出反例即可，或者当一个命题正面很难判断真假时，可利用原命题与逆否命题同真同假的特点转化问题.
8．【答案】A
【解析】若，使，则两向量反向，夹角是，那么；若，那么两向量的夹角为，并不一定反向，即不一定存在负数，使得，所以是充分而不必要条件，故选A.
9．【答案】A
【解析】由题意，且，则，而当时不能得出，且.故是的充分不必要条件，选A.
【名师点睛】本题考查充分性与必要性的判断问题，首先是分清条件和结论，然后考察条件推结论，结论推条件是否成立.这类问题往往与函数、三角、不等式等数学知识结合起来考．有许多情况下可利用充分性、必要性和集合的包含关系得出结论．
10．【答案】1，−1（答案不唯一）
【解析】使“若a>b，则1a<1b”为假命题，则使“若a>b，则1a≥1b”为真命题即可，
只需取a=1,b=−1即可满足，所以满足条件的一组a,b的值为1,−1（答案不唯一）.
【名师点睛】此题考查不等式的运算，解决本题的关键在于对原命题与命题的否定真假关系的灵活转换，对不等式性质及其等价变形的充分理解，只要多取几组数值，解决本题并不困难.
命题
表述形式
原命题
若p，则q
逆命题
若q，则p
否命题
若，则
逆否命题
若，则
正面词语
=
>(<)
是
都是
任意(所有)的
任两个
至多有1(n)个
至少有1个
否定词
()
不是
不都是
某个
某两个
至少有2(n+1)个
1个也没有