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最新中考数学总复习真题探究与变式训练（讲义） 专题32 几何图形中的最值问题（含隐圆）
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这是一份最新中考数学总复习真题探究与变式训练（讲义） 专题32 几何图形中的最值问题（含隐圆），文件包含专题32几何图形中的最值问题含隐圆原卷版docx、专题32几何图形中的最值问题含隐圆解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共124页， 欢迎下载使用。
一、复习方法
1.以专题复习为主。 2.重视方法思维的训练。
3.拓宽思维的广度，培养多角度、多维度思考问题的习惯。
二、复习难点
1.专题的选择要准，安排时间要合理。 2.专项复习要以题带知识。
3.在复习的过程中要兼顾基础，在此基础上适当增加变式和难度，提高能力。
模块二 常见模型专练
专题32 几何图形中的最值问题（含隐圆）
最值问题一 阿氏圆问题
例1 （2020·广西·中考真题）如图，在Rt中，AB＝AC＝4，点E，F分别是AB，AC的中点，点P是扇形AEF的上任意一点，连接BP，CP，则BP+CP的最小值是_____．
例2 （2019·山东·统考中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣5x+5与x轴，y轴分别交于A，C两点，抛物线y＝x2+bx+c经过A，C两点，与x轴的另一交点为B
（1）求抛物线解析式及B点坐标；
（2）若点M为x轴下方抛物线上一动点，连接MA、MB、BC，当点M运动到某一位置时，四边形AMBC面积最大，求此时点M的坐标及四边形AMBC的面积；
（3）如图2，若P点是半径为2的⊙B上一动点，连接PC、PA，当点P运动到某一位置时，PC+PA的值最小，请求出这个最小值，并说明理由．
模型建立：已知平面上两点A、B，则所有符合＝k（k＞0且k≠1）的点P会组成一个圆．这个结论最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称阿氏圆．
阿氏圆基本解法：构造三角形相似．
模型解读：
如图1所示，⊙O 的半径为 r，点 A、B 都在⊙O 外，P 为⊙O 上的动点， 已知 r＝k·OB．连接 PA、PB，则当“PA＋k·PB”的值最小时，P 点的位置如何确定？
1：连接动点至圆心0（将系数不为1的线段两端点分别与圆心相连接），即连接OP、OB；
2：计算连接线段OP、OB长度；
3：计算两线段长度的比值；
4：在OB上截取一点C，使得构建母子型相似：
5：连接AC，与圆0交点为P，即AC线段长为PA＋K*PB的最小值．
本题的关键在于如何确定“k·PB”的大小，（如图 2）在线段 OB上截取 OC 使 OC＝k·r，则可说明△BPO 与△PCO 相似，即 k·PB＝PC．
∴本题求“PA＋k·PB”的最小值转化为求“PA＋PC”的最小值，即 A、P、C 三点共线时最小（如图 3），时AC线段长即所求最小值．
【变式1】（2022·全国·九年级专题练习）如图，已知正方形ABCD的边长为4，⊙B的半径为2，点P是⊙B上的一个动点，则PD﹣PC的最大值为_____．
【变式2】（2022·全国·九年级专题练习）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以点C为圆心，6为半径的圆上有一个动点D.连接AD、BD、CD，则2AD+3BD的最小值是________.
【变式3】（2022秋·浙江·九年级专题练习）如图所示，，半径为2的圆内切于．为圆上一动点，过点作、分别垂直于的两边，垂足为、，则的取值范围为 ___________．
【变式4】（2021·全国·九年级专题练习）如图1，在RT△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，圆C的半径为2，点P为圆上一动点，连接AP，BP，求：
①，
②，
③，
④的最小值．
最值问题二 胡不归问题
例1 （2022·内蒙古鄂尔多斯·统考中考真题）如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠CAB＝30°，AD⊥BC，垂足为D，P为线段AD上的一动点，连接PB、PC．则PA+2PB的最小值为 _____．
例2 （2022·广西梧州·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x，y轴交于点A，B，抛物线恰好经过这两点．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)若点C的坐标是，将绕着点C逆时针旋转90°得到，点A的对应点是点E．
①写出点E的坐标，并判断点E是否在此抛物线上；
②若点P是y轴上的任一点，求取最小值时，点P的坐标．
“PA＋k·PB”型的最值问题，当k＝1时通常为轴对称之最短路径问题，而当k＞0时，若以常规的轴对称的方式解决，则无法进行，因此必须转换思路．
当点P在直线上
如图，直线BM，BN交于点B，P为BM上的动点，点A在射线BM，BN同侧，已知sin∠MBN＝k．
过点A作AC⊥BN于点C，交BM于点P，此时PA＋k·PB取最小值，最小值即为AC的长．
证明 如图，在BM上任取一点Q，连结AQ，作QD⊥BN于点D．
由sin∠MBN＝k，可得QD＝ k·QB．
所以QA＋k·QB＝QA＋QD≥AC，即得证．
2． 当点P在圆上
如图，⊙O的半径为r，点A，B都在⊙O外，P为⊙O上的动点，已知r＝k·OB．
在OB上取一点C，使得OC＝ k·r，连结AC交⊙O于点P，此时PA＋k·PB取最小值，最小值即为AC的长．
证明 如图，在⊙O上任取一点Q，连结AQ，BQ，连结CQ，OQ．
则OC＝ k·OQ，OQ＝ k·OB．
而∠COQ＝∠QOB，所以△COQ∽△QOB，
所以QC＝ k·QB．
所以QA＋ k·QB ＝QA＋QC≥AC，即得证．
【变式1】（2022·湖北武汉·校联考一模）如图，在中，，，半径为的经过点，是圆的切线，且圆的直径在线段上，设点是线段上任意一点不含端点，则的最小值为______．
【变式2】（2022秋·浙江·九年级专题练习）如图，正方形ABCD的边长为4，点E为边AD上一个动点，点F在边CD上，且线段EF＝4，点G为线段EF的中点，连接BG、CG，则BG+CG的最小值为 _____．
【变式3】（2021春·全国·九年级专题练习）如图，在边长为4的正方形ABCD内有一动点P，且BP＝．连接CP，将线段PC绕点P逆时针旋转90°得到线段PQ．连接CQ、DQ，则DQ+CQ的最小值为 ___．
【变式4】（2021秋·四川达州·九年级达州市第一中学校校考期中）如图，矩形的顶点、分别在、轴的正半轴上，点的坐标为，一次函数的图象与边、、轴分别交于点、、，，并且满足，点是线段上的一个动点．
（1）求的值；
（2）连接，若的面积与四边形的面积之比为，求点的坐标；
（3）求的最小值．
最值问题三 隐圆问题
例1 （2022·山东泰安·统考中考真题）如图，四边形为矩形，，．点P是线段上一动点，点M为线段上一点．，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
例2 （2021·湖北十堰·中考真题）如图，四边形是正方形，是等边三角形，为对角线（不含点）上任意一点，将绕点逆时针旋转得到，连接、、．
（1）求证：；
（2）①当点在何处时，的值最小；
②当点在何处时，的值最小，并说明理由；
（3）当的最小值为时，求正方形的边长．
【模型一：定弦定角的“前世今生” 】
【模型二：动点到定点定长】
【模型三：直角所对的是直径】
【模型四：四点共圆】
牢记口诀：
定点定长走圆周，定线定角跑双弧。
直角必有外接圆，对角互补也共圆。
【变式1】（2022秋·江苏泰州·八年级泰州市第二中学附属初中校考期中）△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，D是BC的中点，E为AB上一动点，点B关于DE的对称点在△ABC内（不含△ABC的边上），则BE长的范围为______．
【变式2】（2022·全国·九年级专题练习）如图，点A，B的坐标分别为为坐标平面内一点，，M为线段的中点，连接，当取最大值时，点M的坐标为__________________．
【变式3】（2022秋·九年级课时练习）如图，在矩形中，，，点、分别是边、上的动点，且，点是的中点，、，则四边形面积的最小值为______．
【变式4】（2022秋·山东菏泽·九年级校考阶段练习）如图①，在等腰和等腰中，，，，为的中点，为的中点，连接，，．
(1)若，求的长度；
(2)若将绕点旋转到如图②所示的位置，请证明，；
(3)如图③，在绕点旋转的过程中，再将绕点逆时针旋转到，连接，若，请直接写出的最大值．
最值问题四 将军饮马问题
例1 （2020·江苏南通·统考中考真题）如图，在△ABC中，AB＝2，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，D是BC的中点，直线l经过点D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分别为E，F，则AE+BF的最大值为（ ）
A．B．2C．2D．3
例2 （2020·山东泰安·中考真题）如图，点A，B的坐标分别为，点C为坐标平面内一点，，点M为线段的中点，连接，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
例3 （2021·青海·统考中考真题）如图，正方形ABCD的边长为8，点M在DC上且DM＝2，N是AC上的一动点，则DN＋MN的最小值是______．
模型1：当两定点A、B在直线l异侧时，在直线l上找一点P，使PA＋PB最小．
连接AB交直线l于点P，点P即为所求作的点．PA＋PB的最小值为AB.
模型2：当两定点A、B在直线l同侧时，在直线l上找一点P，使得PA＋PB最小．
作点B关于直线l的对称点B'，连接AB'交直线l于点P，点P即为所求作的点．PA＋PB的最小值为AB'
模型3：当两定点A、B在直线l同侧时，在直线l上找一点P，使得最大．
连接AB并延长交直线l于点P，点P即为所求作的点，的最大值为AB
模型4：当两定点A、B在直线l异侧时，在直线l上找一点P，使得最大．
作点B关于直线I的对称点B'，连接AB'并延长交直线l于点P，点P即为所求作的点．的最大值为AB'
模型5：当两定点A、B在直线l同侧时，在直线l上找一点P，使得最小．
连接AB，作AB的垂直平分线交直线l于点P，点P即为所求作的点．的最小值为0
模型6：点P在∠AOB内部，在OB边上找点D，OA边上找点C，使得△PCD周长最小．
分别作点P关于OA、OB的对称点P′、P″，连接P′P″，交OA、OB于点C、D，点C、D即为所求．△PCD周长的最小值为P′P″
模型7：点P在∠AOB内部，在OB边上找点D，OA边上找点C，使得PD＋CD最小．
作点P关于OB的对称点P′，过P′作P′C⊥OA交OB，PD＋CD的最小值为P′C
【变式1】（2022秋·黑龙江佳木斯·九年级抚远市第三中学校考期末）如图，抛物线与x轴分别交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，在其对称轴上有一动点，连接，则周长的最小值是______．
【变式2】（2022秋·安徽滁州·八年级校联考期中）如图，直线与轴，轴分别交于和，点、分别为线段、的中点，为上一动点，当的值最小时，点的坐标为 ___________．
【变式3】（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，点是内任意一点，，点和点分别是射线和射线上的动点，，则周长的最小值是______．
【变式4】（2023秋·内蒙古通辽·九年级校考期中）如图，抛物线与x轴交于两点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)观察函数图象，直接写出当x取何值时，？
(3)设（1）题中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
最值问题五 费马点问题
例1 （2019·湖北武汉·统考中考真题）问题背景：如图，将绕点逆时针旋转60°得到，与交于点，可推出结论：
问题解决：如图，在中，，，．点是内一点，则点到三个顶点的距离和的最小值是___________
模型解读：
△APC≌△AQE，且△APQ为等边三角形，
∴PC=QE，AP=PQ
∴AP+BP+CP=BP+PQ+QE
当B、P、Q、E共线时，AP+BP+CP和最小
【变式1】（2021秋·四川成都·九年级成都实外校考阶段练习）如图，在中，，P是内一点，求的最小值为______．
【变式2】（2022·广东广州·一模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点P是AB边上一动点，作PD⊥BC于点D，线段AD上存在一点Q，当QA+QB+QC的值取得最小值，且AQ=2时，则PD=________．
【变式3】（2022秋·全国·九年级专题练习）如图，已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA＋MD＋ME的最小值为______．
【变式4】（2022春·全国·九年级专题练习）如图，正方形的边长为4，点是正方形内部一点，求的最小值．
【培优练习】
1．（2022秋·重庆沙坪坝·八年级重庆市凤鸣山中学校联考期末）如图，为正方形边上一点，，，为对角线上一个动点，则的最小值为（ ）
A．5B．C．D．10
2．（2022秋·浙江·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于A、C两点，与x轴交于点，若P是x轴上一动点，点D的坐标为，连接PD，则的最小值是（ ）
A．4B．C．D．
3．（2022·河南·校联考三模）如图1，正方形中，点是的中点，点是对角线上的一个动点，设，，当点从向点运动时，与的函数关系如图2所示，其中点是函数图象的最低点，则点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
4．（2022秋·河北邢台·九年级统考期末）如图，的半径是，P是上一动点，A是内部一点，且，则下列说法正确的是（ ）
①PA的最小值为；②PA的最大值为；③当时，△PAO是等腰直角三角形；④△PAO面积最大为．
A．①③④B．①②④C．①②③D．②③④
5．（2022春·九年级单元测试）如图，在Rt和Rt中，，，AB=AE=5．连接BD，CE，将△绕点A旋转一周，在旋转的过程中当最大时，△ACE的面积为（ ）．
A．6B．C．9D．
6．（2022·福建厦门·福建省厦门集美中学校考一模）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴相交于点A、B，点E、F分别是正方形OACD的边OD、AC上的动点，且，过原点O作，垂足为H，连接HA、HB，则面积的最大值为（ ）
A．B．12C．D．
7．（2022·山东济南·统考一模）正方形ABCD中，AB=4，点E、F分别是CD、BC边上的动点，且始终满足DE=CF，DF、AE相交于点G.以AG为斜边在AG下方作等腰直角△AHG使得∠AHG=90°，连接BH．则BH的最小值为（ ）
A．B．C．D．
8．（2022·安徽蚌埠·统考一模）如图，中，，，，P是内部的一个动点，满足，则线段CP长的最小值为（ ）
A．B．2C．D．
9．（2022秋·浙江·九年级专题练习）如图，在中，点A、点在上，，，点在上，且，点是的中点，点是劣弧上的动点，则的最小值为 ___________．
10．（2022秋·浙江·九年级专题练习）如图所示的平面直角坐标系中，，，是第一象限内一动点，，连接、，则的最小值是 ___________．
11．（2022秋·浙江·九年级专题练习）如图，▱中，，，为边上一点，则的最小值为______．
12．（2022秋·九年级课时练习）在现实生活中，我们经常会看到许多“标准”的矩形，如我们的课本封面、A4的打印纸等，其实这些矩形的长与宽之比都为，我们不妨就把这样的矩形称为“标准矩形”，在“标准矩形”中，如图所示，点在上，且，若为边上一动点，当的周长最小时，则的值为______．
13．（2022·广东汕头·统考一模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，D是AC上一点，且CD＝3，E是BC边上一点，将△DCE沿DE折叠，使点C落在点F处，连接BF，则BF的最小值为_______．
14．（2022春·山东枣庄·九年级校考阶段练习）如图，菱形ABCD 的边长为6，∠ABC＝120°，M是BC边的一个三等分点，P是对角线AC上的动点，当 PB＋PM 的值最小时，PM的长是________．
15．（2022秋·新疆乌鲁木齐·九年级乌鲁木齐市第九中学校考期中）如图，在△ACE中，CA＝CE，∠CAE＝30°，半径为5的⊙O经过点C，CE是圆O的切线，且圆的直径AB在线段AE上，设点D是线段AC上任意一点（不含端点），则ODCD的最小值为 _____．
16．（2022·全国·九年级专题练习）如图，已知，外心为，，，分别以，为腰向形外作等腰直角三角形与，连接，交于点，则的最小值是______．
17．（2022秋·江西上饶·八年级统考阶段练习）在棋盘中建立如图所示的平面直角坐标系，其中处各有一颗棋子．
(1)如图1，依次连接A，B，C，A，得到一个等腰三角形（BC为底边），请在图中画出该图形的对称轴．
(2)如图2，现x轴上有两颗棋子P，Q，且（P在Q的左边），依次连接A，P，Q，B，使得 的长度最短，请在图2中标出棋子P，Q的位置，并写出P，Q的坐标．
18．（2022·四川成都·四川省成都市七中育才学校校考模拟预测）抛物线分别交x轴于点，，交y轴于点C，抛物线的对称轴与x轴相交于点D，点M为线段OC上的动点，点N为线段AC上的动点，且．
(1)求抛物线的表达式；
(2)线段MN，NC在数量上有何关系，请写出你的理由；
(3)在M，N移动的过程中，DM＋MC是否有最小值，如果有，请写出理由．
19．（2022秋·辽宁营口·九年级校联考期中）如图1，与都是等边三角形，边长分别为4和，连接为高，连接，N为的中点．
(1)求证：；
(2)将绕点A旋转，当点E在上时，如图2，与交于点G，连接，求线段的长；
(3)连接，在绕点A旋转过程中，求的最大值．
20．（2022春·吉林松原·八年级统考期中）教材呈现：下图是华师版八年级下册数学教材第111页的部分内容．
(1)问题解决：请结合图①，写出例1的完整解答过程．
(2)问题探究：在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB＝4，∠BAD＝2∠ABC．过点D作DE//AC交BC的延长线于点E．如图②，连结OE，则OE的长为____．
(3)如图③，若点P是对角线BD上的一个动点，连结PC、PE，则PC＋PE的最小值为_____．
＝45°，∠ECH＝90°，连接AE．
(1)如图1，若点E在CB延长线上，连接AH，且AH＝6，求AE的长；
(2)如图2，若点E在AC上，F为AE的中点，连接BF、BH，当BH＝2BF，∠EHB+∠HBF＝45°时，求证：AE＝CE；
(3)如图3，若点E在线段AC上运动，取AE的中点F，作FH'∥BC交AB于H，连接BE并延长到D，使得BE＝DE，连接AD、CD；在线段BC上取一点G，使得CG＝AF，并连接EG；若点E在线段AC上运动的过程中，当ACD的周长取得最小值时，△AED的面积为25，请直接写出GE+BH′的值．
22．（2022春·重庆开州·八年级统考期末）如图，直线经过、两点，直线与直线交于点C，与x轴交于点D．
(1)求点C的坐标；
(2)点P是y轴上一点，当四边形PDCB的周长最小时，求四边形PDCB的面积；
(3)把直线沿y轴向上平移9个单位长度，得到新直线与直线交于点E，试探究在x轴上是否存在点Q，在平面内存在点F使得以点D，Q，E，F为顶点的四边形是菱形（含正方形）？若存在，直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，说明理由．
23．（2022春·重庆·八年级统考期末）已知，在正方形ABCD中，点E，F分别为AD上的两点，连接BE、CF，并延长交于点G，连接DG，H为CF上一点，连接BH、DH，
(1)如图1，若H为CF的中点，且，，求线段AB的长；
(2)如图2，若，过点B作于点I，求证：；
(3)如图2，在（1）的条件下，P为线段AD（包含端点A、D）上一动点，连接CP，过点B作于点Q，将沿BC翻折得，N为直线AB上一动点，连接MN，当面积最大时，直接写出的最小值．
24．（2022秋·九年级单元测试）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8，BC＝20，AD＝18，点Q为BC中点，动点P在线段AD边上以每秒2个单位的速度由点A向点D运动，设动点P的运动时间为t秒．
(1)当t为何值时，四边形PBQD是平行四边形，请说明理由?
(2)在AD边上是否存在一点R，使得B、Q、R、P四点为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出t的值：若不存在，请说明理由．
(3)在线段PD上有一点M，且PM＝10，当点P从点A向右运动_________秒时，四边形BCMP的周长最小，其最小值为_________．
一、复习方法
1.以专题复习为主。 2.重视方法思维的训练。
3.拓宽思维的广度，培养多角度、多维度思考问题的习惯。
二、复习难点
1.专题的选择要准，安排时间要合理。 2.专项复习要以题带知识。
3.在复习的过程中要兼顾基础，在此基础上适当增加变式和难度，提高能力。
模块二 常见模型专练
专题32 几何图形中的最值问题（含隐圆）
最值问题一 阿氏圆问题
例1 （2020·广西·中考真题）如图，在Rt中，AB＝AC＝4，点E，F分别是AB，AC的中点，点P是扇形AEF的上任意一点，连接BP，CP，则BP+CP的最小值是_____．
例2 （2019·山东·统考中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣5x+5与x轴，y轴分别交于A，C两点，抛物线y＝x2+bx+c经过A，C两点，与x轴的另一交点为B
（1）求抛物线解析式及B点坐标；
（2）若点M为x轴下方抛物线上一动点，连接MA、MB、BC，当点M运动到某一位置时，四边形AMBC面积最大，求此时点M的坐标及四边形AMBC的面积；
（3）如图2，若P点是半径为2的⊙B上一动点，连接PC、PA，当点P运动到某一位置时，PC+PA的值最小，请求出这个最小值，并说明理由．
模型建立：已知平面上两点A、B，则所有符合＝k（k＞0且k≠1）的点P会组成一个圆．这个结论最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称阿氏圆．
阿氏圆基本解法：构造三角形相似．
模型解读：
如图1所示，⊙O 的半径为 r，点 A、B 都在⊙O 外，P 为⊙O 上的动点， 已知 r＝k·OB．连接 PA、PB，则当“PA＋k·PB”的值最小时，P 点的位置如何确定？
1：连接动点至圆心0（将系数不为1的线段两端点分别与圆心相连接），即连接OP、OB；
2：计算连接线段OP、OB长度；
3：计算两线段长度的比值；
4：在OB上截取一点C，使得构建母子型相似：
5：连接AC，与圆0交点为P，即AC线段长为PA＋K*PB的最小值．
本题的关键在于如何确定“k·PB”的大小，（如图 2）在线段 OB上截取 OC 使 OC＝k·r，则可说明△BPO 与△PCO 相似，即 k·PB＝PC．
∴本题求“PA＋k·PB”的最小值转化为求“PA＋PC”的最小值，即 A、P、C 三点共线时最小（如图 3），时AC线段长即所求最小值．
【变式1】（2022·全国·九年级专题练习）如图，已知正方形ABCD的边长为4，⊙B的半径为2，点P是⊙B上的一个动点，则PD﹣PC的最大值为_____．
【变式2】（2022·全国·九年级专题练习）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以点C为圆心，6为半径的圆上有一个动点D.连接AD、BD、CD，则2AD+3BD的最小值是________.
【变式3】（2022秋·浙江·九年级专题练习）如图所示，，半径为2的圆内切于．为圆上一动点，过点作、分别垂直于的两边，垂足为、，则的取值范围为 ___________．
【变式4】（2021·全国·九年级专题练习）如图1，在RT△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，圆C的半径为2，点P为圆上一动点，连接AP，BP，求：
①，
②，
③，
④的最小值．
最值问题二 胡不归问题
例1 （2022·内蒙古鄂尔多斯·统考中考真题）如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠CAB＝30°，AD⊥BC，垂足为D，P为线段AD上的一动点，连接PB、PC．则PA+2PB的最小值为 _____．
例2 （2022·广西梧州·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x，y轴交于点A，B，抛物线恰好经过这两点．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)若点C的坐标是，将绕着点C逆时针旋转90°得到，点A的对应点是点E．
①写出点E的坐标，并判断点E是否在此抛物线上；
②若点P是y轴上的任一点，求取最小值时，点P的坐标．
“PA＋k·PB”型的最值问题，当k＝1时通常为轴对称之最短路径问题，而当k＞0时，若以常规的轴对称的方式解决，则无法进行，因此必须转换思路．
当点P在直线上
如图，直线BM，BN交于点B，P为BM上的动点，点A在射线BM，BN同侧，已知sin∠MBN＝k．
过点A作AC⊥BN于点C，交BM于点P，此时PA＋k·PB取最小值，最小值即为AC的长．
证明 如图，在BM上任取一点Q，连结AQ，作QD⊥BN于点D．
由sin∠MBN＝k，可得QD＝ k·QB．
所以QA＋k·QB＝QA＋QD≥AC，即得证．
2． 当点P在圆上
如图，⊙O的半径为r，点A，B都在⊙O外，P为⊙O上的动点，已知r＝k·OB．
在OB上取一点C，使得OC＝ k·r，连结AC交⊙O于点P，此时PA＋k·PB取最小值，最小值即为AC的长．
证明 如图，在⊙O上任取一点Q，连结AQ，BQ，连结CQ，OQ．
则OC＝ k·OQ，OQ＝ k·OB．
而∠COQ＝∠QOB，所以△COQ∽△QOB，
所以QC＝ k·QB．
所以QA＋ k·QB ＝QA＋QC≥AC，即得证．
【变式1】（2022·湖北武汉·校联考一模）如图，在中，，，半径为的经过点，是圆的切线，且圆的直径在线段上，设点是线段上任意一点不含端点，则的最小值为______．
【变式2】（2022秋·浙江·九年级专题练习）如图，正方形ABCD的边长为4，点E为边AD上一个动点，点F在边CD上，且线段EF＝4，点G为线段EF的中点，连接BG、CG，则BG+CG的最小值为 _____．
【变式3】（2021春·全国·九年级专题练习）如图，在边长为4的正方形ABCD内有一动点P，且BP＝．连接CP，将线段PC绕点P逆时针旋转90°得到线段PQ．连接CQ、DQ，则DQ+CQ的最小值为 ___．
【变式4】（2021秋·四川达州·九年级达州市第一中学校校考期中）如图，矩形的顶点、分别在、轴的正半轴上，点的坐标为，一次函数的图象与边、、轴分别交于点、、，，并且满足，点是线段上的一个动点．
（1）求的值；
（2）连接，若的面积与四边形的面积之比为，求点的坐标；
（3）求的最小值．
最值问题三 隐圆问题
例1 （2022·山东泰安·统考中考真题）如图，四边形为矩形，，．点P是线段上一动点，点M为线段上一点．，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
例2 （2021·湖北十堰·中考真题）如图，四边形是正方形，是等边三角形，为对角线（不含点）上任意一点，将绕点逆时针旋转得到，连接、、．
（1）求证：；
（2）①当点在何处时，的值最小；
②当点在何处时，的值最小，并说明理由；
（3）当的最小值为时，求正方形的边长．
【模型一：定弦定角的“前世今生” 】
【模型二：动点到定点定长】
【模型三：直角所对的是直径】
【模型四：四点共圆】
牢记口诀：
定点定长走圆周，定线定角跑双弧。
直角必有外接圆，对角互补也共圆。
【变式1】（2022秋·江苏泰州·八年级泰州市第二中学附属初中校考期中）△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，D是BC的中点，E为AB上一动点，点B关于DE的对称点在△ABC内（不含△ABC的边上），则BE长的范围为______．
【变式2】（2022·全国·九年级专题练习）如图，点A，B的坐标分别为为坐标平面内一点，，M为线段的中点，连接，当取最大值时，点M的坐标为__________________．
【变式3】（2022秋·九年级课时练习）如图，在矩形中，，，点、分别是边、上的动点，且，点是的中点，、，则四边形面积的最小值为______．
【变式4】（2022秋·山东菏泽·九年级校考阶段练习）如图①，在等腰和等腰中，，，，为的中点，为的中点，连接，，．
(1)若，求的长度；
(2)若将绕点旋转到如图②所示的位置，请证明，；
(3)如图③，在绕点旋转的过程中，再将绕点逆时针旋转到，连接，若，请直接写出的最大值．
最值问题四 将军饮马问题
例1 （2020·江苏南通·统考中考真题）如图，在△ABC中，AB＝2，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，D是BC的中点，直线l经过点D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分别为E，F，则AE+BF的最大值为（ ）
A．B．2C．2D．3
例2 （2020·山东泰安·中考真题）如图，点A，B的坐标分别为，点C为坐标平面内一点，，点M为线段的中点，连接，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
例3 （2021·青海·统考中考真题）如图，正方形ABCD的边长为8，点M在DC上且DM＝2，N是AC上的一动点，则DN＋MN的最小值是______．
模型1：当两定点A、B在直线l异侧时，在直线l上找一点P，使PA＋PB最小．
连接AB交直线l于点P，点P即为所求作的点．PA＋PB的最小值为AB.
模型2：当两定点A、B在直线l同侧时，在直线l上找一点P，使得PA＋PB最小．
作点B关于直线l的对称点B'，连接AB'交直线l于点P，点P即为所求作的点．PA＋PB的最小值为AB'
模型3：当两定点A、B在直线l同侧时，在直线l上找一点P，使得最大．
连接AB并延长交直线l于点P，点P即为所求作的点，的最大值为AB
模型4：当两定点A、B在直线l异侧时，在直线l上找一点P，使得最大．
作点B关于直线I的对称点B'，连接AB'并延长交直线l于点P，点P即为所求作的点．的最大值为AB'
模型5：当两定点A、B在直线l同侧时，在直线l上找一点P，使得最小．
连接AB，作AB的垂直平分线交直线l于点P，点P即为所求作的点．的最小值为0
模型6：点P在∠AOB内部，在OB边上找点D，OA边上找点C，使得△PCD周长最小．
分别作点P关于OA、OB的对称点P′、P″，连接P′P″，交OA、OB于点C、D，点C、D即为所求．△PCD周长的最小值为P′P″
模型7：点P在∠AOB内部，在OB边上找点D，OA边上找点C，使得PD＋CD最小．
作点P关于OB的对称点P′，过P′作P′C⊥OA交OB，PD＋CD的最小值为P′C
【变式1】（2022秋·黑龙江佳木斯·九年级抚远市第三中学校考期末）如图，抛物线与x轴分别交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，在其对称轴上有一动点，连接，则周长的最小值是______．
【变式2】（2022秋·安徽滁州·八年级校联考期中）如图，直线与轴，轴分别交于和，点、分别为线段、的中点，为上一动点，当的值最小时，点的坐标为 ___________．
【变式3】（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，点是内任意一点，，点和点分别是射线和射线上的动点，，则周长的最小值是______．
【变式4】（2023秋·内蒙古通辽·九年级校考期中）如图，抛物线与x轴交于两点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)观察函数图象，直接写出当x取何值时，？
(3)设（1）题中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
最值问题五 费马点问题
例1 （2019·湖北武汉·统考中考真题）问题背景：如图，将绕点逆时针旋转60°得到，与交于点，可推出结论：
问题解决：如图，在中，，，．点是内一点，则点到三个顶点的距离和的最小值是___________
模型解读：
△APC≌△AQE，且△APQ为等边三角形，
∴PC=QE，AP=PQ
∴AP+BP+CP=BP+PQ+QE
当B、P、Q、E共线时，AP+BP+CP和最小
【变式1】（2021秋·四川成都·九年级成都实外校考阶段练习）如图，在中，，P是内一点，求的最小值为______．
【变式2】（2022·广东广州·一模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点P是AB边上一动点，作PD⊥BC于点D，线段AD上存在一点Q，当QA+QB+QC的值取得最小值，且AQ=2时，则PD=________．
【变式3】（2022秋·全国·九年级专题练习）如图，已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA＋MD＋ME的最小值为______．
【变式4】（2022春·全国·九年级专题练习）如图，正方形的边长为4，点是正方形内部一点，求的最小值．
【培优练习】
1．（2022秋·重庆沙坪坝·八年级重庆市凤鸣山中学校联考期末）如图，为正方形边上一点，，，为对角线上一个动点，则的最小值为（ ）
A．5B．C．D．10
2．（2022秋·浙江·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于A、C两点，与x轴交于点，若P是x轴上一动点，点D的坐标为，连接PD，则的最小值是（ ）
A．4B．C．D．
3．（2022·河南·校联考三模）如图1，正方形中，点是的中点，点是对角线上的一个动点，设，，当点从向点运动时，与的函数关系如图2所示，其中点是函数图象的最低点，则点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
4．（2022秋·河北邢台·九年级统考期末）如图，的半径是，P是上一动点，A是内部一点，且，则下列说法正确的是（ ）
①PA的最小值为；②PA的最大值为；③当时，△PAO是等腰直角三角形；④△PAO面积最大为．
A．①③④B．①②④C．①②③D．②③④
5．（2022春·九年级单元测试）如图，在Rt和Rt中，，，AB=AE=5．连接BD，CE，将△绕点A旋转一周，在旋转的过程中当最大时，△ACE的面积为（ ）．
A．6B．C．9D．
6．（2022·福建厦门·福建省厦门集美中学校考一模）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴相交于点A、B，点E、F分别是正方形OACD的边OD、AC上的动点，且，过原点O作，垂足为H，连接HA、HB，则面积的最大值为（ ）
A．B．12C．D．
7．（2022·山东济南·统考一模）正方形ABCD中，AB=4，点E、F分别是CD、BC边上的动点，且始终满足DE=CF，DF、AE相交于点G.以AG为斜边在AG下方作等腰直角△AHG使得∠AHG=90°，连接BH．则BH的最小值为（ ）
A．B．C．D．
8．（2022·安徽蚌埠·统考一模）如图，中，，，，P是内部的一个动点，满足，则线段CP长的最小值为（ ）
A．B．2C．D．
9．（2022秋·浙江·九年级专题练习）如图，在中，点A、点在上，，，点在上，且，点是的中点，点是劣弧上的动点，则的最小值为 ___________．
10．（2022秋·浙江·九年级专题练习）如图所示的平面直角坐标系中，，，是第一象限内一动点，，连接、，则的最小值是 ___________．
11．（2022秋·浙江·九年级专题练习）如图，▱中，，，为边上一点，则的最小值为______．
12．（2022秋·九年级课时练习）在现实生活中，我们经常会看到许多“标准”的矩形，如我们的课本封面、A4的打印纸等，其实这些矩形的长与宽之比都为，我们不妨就把这样的矩形称为“标准矩形”，在“标准矩形”中，如图所示，点在上，且，若为边上一动点，当的周长最小时，则的值为______．
13．（2022·广东汕头·统考一模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，D是AC上一点，且CD＝3，E是BC边上一点，将△DCE沿DE折叠，使点C落在点F处，连接BF，则BF的最小值为_______．
14．（2022春·山东枣庄·九年级校考阶段练习）如图，菱形ABCD 的边长为6，∠ABC＝120°，M是BC边的一个三等分点，P是对角线AC上的动点，当 PB＋PM 的值最小时，PM的长是________．
15．（2022秋·新疆乌鲁木齐·九年级乌鲁木齐市第九中学校考期中）如图，在△ACE中，CA＝CE，∠CAE＝30°，半径为5的⊙O经过点C，CE是圆O的切线，且圆的直径AB在线段AE上，设点D是线段AC上任意一点（不含端点），则ODCD的最小值为 _____．
16．（2022·全国·九年级专题练习）如图，已知，外心为，，，分别以，为腰向形外作等腰直角三角形与，连接，交于点，则的最小值是______．
17．（2022秋·江西上饶·八年级统考阶段练习）在棋盘中建立如图所示的平面直角坐标系，其中处各有一颗棋子．
(1)如图1，依次连接A，B，C，A，得到一个等腰三角形（BC为底边），请在图中画出该图形的对称轴．
(2)如图2，现x轴上有两颗棋子P，Q，且（P在Q的左边），依次连接A，P，Q，B，使得 的长度最短，请在图2中标出棋子P，Q的位置，并写出P，Q的坐标．
18．（2022·四川成都·四川省成都市七中育才学校校考模拟预测）抛物线分别交x轴于点，，交y轴于点C，抛物线的对称轴与x轴相交于点D，点M为线段OC上的动点，点N为线段AC上的动点，且．
(1)求抛物线的表达式；
(2)线段MN，NC在数量上有何关系，请写出你的理由；
(3)在M，N移动的过程中，DM＋MC是否有最小值，如果有，请写出理由．
19．（2022秋·辽宁营口·九年级校联考期中）如图1，与都是等边三角形，边长分别为4和，连接为高，连接，N为的中点．
(1)求证：；
(2)将绕点A旋转，当点E在上时，如图2，与交于点G，连接，求线段的长；
(3)连接，在绕点A旋转过程中，求的最大值．
20．（2022春·吉林松原·八年级统考期中）教材呈现：下图是华师版八年级下册数学教材第111页的部分内容．
(1)问题解决：请结合图①，写出例1的完整解答过程．
(2)问题探究：在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB＝4，∠BAD＝2∠ABC．过点D作DE//AC交BC的延长线于点E．如图②，连结OE，则OE的长为____．
(3)如图③，若点P是对角线BD上的一个动点，连结PC、PE，则PC＋PE的最小值为_____．
＝45°，∠ECH＝90°，连接AE．
(1)如图1，若点E在CB延长线上，连接AH，且AH＝6，求AE的长；
(2)如图2，若点E在AC上，F为AE的中点，连接BF、BH，当BH＝2BF，∠EHB+∠HBF＝45°时，求证：AE＝CE；
(3)如图3，若点E在线段AC上运动，取AE的中点F，作FH'∥BC交AB于H，连接BE并延长到D，使得BE＝DE，连接AD、CD；在线段BC上取一点G，使得CG＝AF，并连接EG；若点E在线段AC上运动的过程中，当ACD的周长取得最小值时，△AED的面积为25，请直接写出GE+BH′的值．
22．（2022春·重庆开州·八年级统考期末）如图，直线经过、两点，直线与直线交于点C，与x轴交于点D．
(1)求点C的坐标；
(2)点P是y轴上一点，当四边形PDCB的周长最小时，求四边形PDCB的面积；
(3)把直线沿y轴向上平移9个单位长度，得到新直线与直线交于点E，试探究在x轴上是否存在点Q，在平面内存在点F使得以点D，Q，E，F为顶点的四边形是菱形（含正方形）？若存在，直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，说明理由．
23．（2022春·重庆·八年级统考期末）已知，在正方形ABCD中，点E，F分别为AD上的两点，连接BE、CF，并延长交于点G，连接DG，H为CF上一点，连接BH、DH，
(1)如图1，若H为CF的中点，且，，求线段AB的长；
(2)如图2，若，过点B作于点I，求证：；
(3)如图2，在（1）的条件下，P为线段AD（包含端点A、D）上一动点，连接CP，过点B作于点Q，将沿BC翻折得，N为直线AB上一动点，连接MN，当面积最大时，直接写出的最小值．
24．（2022秋·九年级单元测试）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8，BC＝20，AD＝18，点Q为BC中点，动点P在线段AD边上以每秒2个单位的速度由点A向点D运动，设动点P的运动时间为t秒．
(1)当t为何值时，四边形PBQD是平行四边形，请说明理由?
(2)在AD边上是否存在一点R，使得B、Q、R、P四点为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出t的值：若不存在，请说明理由．
(3)在线段PD上有一点M，且PM＝10，当点P从点A向右运动_________秒时，四边形BCMP的周长最小，其最小值为_________．
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