2023-2024学年山东省菏泽市东明一中高二（下）开学数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年山东省菏泽市东明一中高二（下）开学数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知函数f(x)=x3+2x，x∈R，则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为( )
A. 5x−y+2=0B. 5x−y−2=0C. x−5y+2=0D. x−5y−2=0
2.已知函数f(x)的导数为f′(x)，若f(x)=x3+3f′(1)x2+2x，则f′(2)=( )
A. 26B. 12C. 8D. 2
3.若向量a=(1,−1,2)，b=(2,1,−3)则|2a+b|=( )
A. 7B. 3C. 10D. 3 2
4.已知过定点直线kx−y+4−k=0在两坐标轴上的截距都是正值，且截距之和最小，则直线的方程为( )
A. x−2y−7=0B. x−2y+7=0C. 2x+y−6=0D. x+2y−6=0
5.班级物理社团在做光学实验时，发现了一个有趣的现象：从椭圆的一个焦点发出的光线经椭圆形的反射面反射后将汇聚到另一个焦点处.根据椭圆的光学性质解决下面问题：已知椭圆C的方程为x216+y212=1，其左、右焦点分别是F1，F2，直线l与椭圆C切于点P，且PF1=5，过点P且与直线l垂直的直线m与椭圆长轴交于点Q，则F1QF2Q=( )
A. 52B. 153C. 54D. 53
6.在等比数列{an}中，a4、a12是方程x2+3x+1=0的两根，则a8=( )
A. 1B. −1C. ±1D. ±3
7.已知正项等差数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，若a82−a7−a9=3，则S15−a8的值为( )
A. 3B. 14C. 28D. 42
8.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦点为F1，F2，P是椭圆上一点，且2PF1⋅PF2=|PF1|⋅|PF2|，若△F1PF2的内切圆的半径r满足|PF1|=3rsin∠F1F2P，则椭圆的离心率为( )
A. 47B. 23C. 13D. 37
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若直线y=12x+b是函数f(x)图象的一条切线，则函数f(x)可以是( )
A. f(x)=1xB. f(x)=x4C. f(x)=sinxD. f(x)=ex
10.下列运算不正确的有( )
A. (csπ6)′=−12B. [ln(3x+1)]′=13x+1
C. (13x)′=−133x4D. (e−x)′=e−x
11.若数列{Fn}满足F1=1，F2=1，Fn=Fn−1+Fn−2(n≥3,n∈N*)，则称{Fn}为斐波那契数列.记数列{Fn}的前n项和为Sn，则( )
A. F62=F5F7+1B. S6=F8−1
C. F1+F3+F5+…+F9=F10D. F12+F22+F32+…+F62=F7F8
12.已知曲线C：x2csα+y2=1，其中α∈[0,π]，则下列结论正确的是( )
A. 方程表示的曲线是椭圆或双曲线
B. 若α=π3，则曲线的焦点坐标为(−1,0)和(1,0)
C. 若α∈[π6,π3]，则曲线的离心率e∈[ 3−12, 22]
D. 若方程表示的曲线是双曲线，则其焦距的最小值为2 2
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.函数f(x)=excs2x的导函数f′(x)= ．
14.若an=(−1)n⋅(2n−1)，则数列{an}的前21项和S21= ．
15.如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E为AB的中点，则点B到平面D1EC的距离为 ．
16.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，过点F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A、B两点，AF2、BF2分别交y轴于P、Q两点，△PQF2的周长为6.过F2作∠F2AF1外角平分线的垂线与直线BA交于点N，若|ON|= 37，则椭圆C的方程为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
(1)求导：y=3csx+2x3−4x+3lnx；
(2)求函数y=xlnx在x=1处的导数．
18.(本小题12分)
已知等比数列{an}中，a2=4，a5=256．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令bn=lg2an，求数列{bn}的前n项和Sn．
19.(本小题12分)
如图，在五面体ABEDC中，AC⊥平面BCDE，BC⊥CD，BE/​/CD，AC=BC=BE=1，且四面体DACE的体积为13．
(1)求CD的长度；
(2)求平面ABC与平面ADE所成角的余弦值．
20.(本小题12分)
已知点M(4,4)，圆(x−2)2+(y−1)2=4．
(1)求过点M的圆的切线方程；
(2)若直线x−ay−4=0与圆相交于A，B两点，且弦AB的长为2 3，求a的值．
21.(本小题12分)
已知椭圆C1：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点是F1，F2，且C1的离心率为 32，抛物线C2：y2=2px(P>0)的焦点为F2，过OF2的中点Q垂直于x轴的直线截C2所得的弦长为2 6．
(1)求椭圆C1的标准方程；
(2)设椭圆C1上一动点T满足：OT=λOA+2μOB，其中A，B是椭圆C1上的点，且直线OA，OB的斜率之积为−14，若N(λ,μ)为一动点，点P满足PQ=12F1F2，试探究|NP|+|NQ|是否为定值，如果是，请求出该定值：如果不是，请说明理由．
22.(本小题12分)
已知Sn为数列{an}的前n项和，且an+2Sn=1．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn=2lg3an⋅lg3an+2，求数列{bn}的前n项和Mn．
(3)设Tn=a1+3a2+5a3+⋅⋅⋅+(2n−1)an，若不等式(−1)nλ答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∵点(1,f(1))位于函数f(x)=x3+2x上，
∴将x=1代入原函数得到f(1)=3，切线过点(1,3)，
∵f′(x)=3x2+2，∴切线斜率k=f′(1)=5，
∴切线方程为y−3=5(x−1)，即5x−y−2=0，
故选：B．
首先将点代入函数求得切点(1,3)，根据导数性质可得切线斜率k=5，利用直线方程点斜式可求得切线方程．
本题考查利用导数求函数的切线，属基础题．
2.【答案】D
【解析】解：因为f′(x)=3x2+6f′(1)x+2，所以f′(1)=3×12+6f′(1)×1+2，解得：f′(1)=−1，所以f′(2)=3×22+6×(−1)×2+2=2．
故选：D．
根据导数运算性质计算即可．
本题考查导数运算性质，考查数学运算能力，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：若向量a=(1,−1,2)，b=(2,1,−3)，
则2a+b=(4,−1,1)，
于是|2a+b|= 42+(−1)2+12= 18=3 2，
故选：D．
根据坐标写出向量2a+b，再根据向量模的计算公式求解．
本题考查空间向量基本运算，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查直线过定点问题，考查基本不等式，属于基础题．
先求出直线的定点P(1,4)，再分别求出两坐标轴上的截距，再结合基本不等式即可求解．
【解答】
解：直线kx−y+4−k=0可变为k(x−1)−y+4=0，
则过定点P(1,4)，
∵直线kx−y+4−k=0在两坐标轴上的截距都是正值，则k<0，
令x=0，得y=4−k，
∴直线与y轴的交点为A(0,4−k)，
令y=0，得x=1−4k，
∴直线与x轴的交点为B(1−4k,0)，
∴4−k+1−4k=5+(−k)+(−4k)≥5+2 (−k)⋅(−4k)=5+4=9，
当且仅当−k=−4k，即k=−2时，等号成立，
故直线方程为2x+y−6=0．
故选C．
5.【答案】D
【解析】解：已知椭圆C的方程为x216+y212=1，其左、右焦点分别是F1，F2，
则PF1+PF2=8，
又PF1=5，
则PF2=3，
又∠F1PQ=∠F2PQ，
由内角平分线定理可得：F1QF2Q=PF1PF2=53．
故选：D．
由椭圆的定义，结合内角平分线定理求解即可．
本题考查了椭圆的定义，重点考查了内角平分线定理，属基础题．
6.【答案】B
【解析】解：设等比数列{an}的公比为q，
∵a4，a12是方程x2+3x+1=0的两根，
∴a4⋅a12=1，a4+a12=−3，∴a82=a4⋅a12=1，a4<0，a12<0．
∴a8=±1，又在等比数列中偶数项同号，
∴a8=−1，
故选：B．
a4，a12是方程x2+3x+1=0的两根可得a4⋅a12=1，在等比数列中a82=a4⋅a12求出a8，要注意在等比数列中偶数项同号．
本题考查了等比数列的性质和根与系数的关系，根据等比数列的性质是解决本题的关键，属基础题．
7.【答案】D
【解析】解：正项等差数列{an}，则an>0，
若a82−a7−a9=3，则a82=a7+a9+3=2a8+3，解得a8=3或a8=−1(舍)，
则S15−a8=(a1+a15)×152−a8=2a8×152−a8=14a8=42．
故选：D．
根据等差数列的性质得a7+a9=2a8，则可由已知等式求a8的值，从而利用求和公式和等差数列性质求S15−a8的值．
本题主要考查等差数列的前n项和，等差数列的性质，考查运算求解能力，属于基础题．
8.【答案】D
【解析】解：由题意，2PF1⋅PF2=2|PF1||PF2|cs=|PF1||PF2|，
所以cs=12，即∠F1PF2=π3，
在三角形PF1F2中，csπ3=12=|PF1|2+|PF2|2−|F1F2|22|PF1||PF2|
=(|PF1|+|PF2|)2−4c22|PF1||PF2|−1=4a2−4c22|PF1||PF2|−1，
解得|PF1||PF2|=43b2，则S△PF1F2=12|PF1||PF2|sinπ3= 33b2，
又由三角形PF1F2的内切圆半径为r，
由等面积法可得12(2a+2c)⋅r= 33b2，则r= 33b2a+c，
由已知|PF1|=3rsin∠F1F2P可得|PF1sin∠F1F2P=2csinπ3=4c 3，
所以 3b2a+c=4c 3，整理可得7e2+4e−3=0，解得e=37或−1(舍去)，
所以椭圆的离心率e=37，
故选：D．
先由已知求出∠F1PF2=π3，然后在三角形PF1F2中利用余弦定理可得|PF1||PF2|=43b2，再由等面积法求出内切圆半径r的值，利用正弦定理建立等式关系，化简即可求解．
本题考查了椭圆的几何性质以及定义，涉及到正弦定理和余弦定理，考查了运算能力，属于中档题．
9.【答案】BCD
【解析】【分析】
本题考查导数的几何意义，正确求导是解题的关键，考查运算能力，属于基础题．
求得已知直线的斜率k，对选项中的函数分别求导，可令导数为k，解方程即可判断结论．
【解答】
解：直线y=12x+b的斜率为k=12，
由f(x)=1x的导数为f′(x)=−1x2，即所有切线的斜率小于0，故A不能选；
由f(x)=x4的导数为f′(x)=4x3，而4x3=12，解得x=12，故B可以选；
由f(x)=sinx的导数为f′(x)=csx，而csx=12有解，故C可以选；
由f(x)=ex的导数为f′(x)=ex，而ex=12，解得x=−ln2，故D可以选．
故选：BCD．
10.【答案】ABD
【解析】解：A：因为(csπ6)′=0，所以本选项不正确；
B：因为[ln(3x+1)]′=13x+1×3=33x+1，所以本选项不正确；
C：因为(13x)′=(x−13)′=−13x−43=−133x4，所以本选项正确；
D：因为(e−x)′=e−x⋅(−1)=−e−x，所以本选项不正确，
故选：ABD．
根据复合函数的导数运算性质，结合常见函数的导数公式逐一判断即可．
本题考查了基本初等函数和复合函数的求导公式，是基础题．
11.【答案】BC
【解析】解：由F1=1，F2=1，Fn=Fn−1+Fn−2(n≥3,n∈N*)，
F3=2，F4=3，F5=5，F6=8，F7=13，F8=21，F9=34，F10=55，
可得F62−F5F7=64−65=−1，故A错误；
S6=F1+F2+...+F6=20，F8−1=20，故B正确；
F1+F3+F5+...+F9=F2+F3+F5+...+F9=F4+F5+F7+F9=F6+F7+F9=，故C正确；
由F12+F22+F32+...+F62=F1F2+F22+F32+...+F62=F2F3+F32+...+F62=，故D错误．
故选：BC．
可计算斐波那契数列的前几项，计算可判断A、B；由F1=F2，结合累加法和斐波那契数列的定义，计算可判断C、D．
本题考查斐波那契数列的定义和应用，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
12.【答案】BCD
【解析】解：当α=π2时，曲线C：y2=1，表示直线y=1或y=−1，故选项A错误；
当α=π3时，曲线方程为x22+y2=1，可知曲线C为焦点为(−1,0)和(1,0)的椭圆，故选项B正确；
当α∈[π6,π3]时，曲线方程为x21csα+y2=1，
因为csα∈[12, 32]，可得曲线C为焦点在x轴上的椭圆，
a2=1csα，b2=1，则c2=1csα−1，
所以离心率e=ca= 1−csα，因为csα∈[12, 32]，
所以e∈[ 1− 32, 12]=[ 3−12, 22]，
故选项C正确；
若方程表示的曲线是双曲线，因为曲线方程为x21csα+y2=1，
所以1csα<0，即csα<0，故α∈(π2,π],
所以b2=−1csα，a2=1，所以c2=−1csα+1，
因为−1≤csα<0，所以−1csα∈[1,+∞),
所以c2=−1csα+1∈[2,+∞)，故c2≥2，所以c≥ 2，
故焦距2c≥2 2，所以其焦距的最小值为2 2，故选项D正确．
故选：BCD．
通过α的范围，判断曲线的形状，利用特例判断A，求出焦点的坐标，判断B，求出离心率的范围判断C，求出焦距判断D．
本题主要考查双曲线的性质，考查转化能力，属于中档题．
13.【答案】excs2x−2exsin2x
【解析】【分析】
本题考查导数的计算，属于基础题
根据导数运算公式运算即可．
【解答】
解：函数f(x)=excs2x的导函数f′(x)=(ex)′cs2x+ex(cs2x)′=excs2x−2exsin2x．
故答案为：excs2x−2exsin2x．
14.【答案】−21
【解析】【分析】
本题考查的知识要点：数列的通项公式，分组求和法的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题．
直接利用数列的通项公式和分组求和法即可求出结果．
【解答】
解：由于an=(−1)n⋅(2n−1)，
则S21=(−1+3)+(−5+7)+(−9+11)+…+(−41)
=2×10−41=−21．
故答案为：−21．
15.【答案】 66
【解析】【分析】
以D为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点B到平面D1EC的距离．
本题考查点到平面的距离的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
【解答】
解：∵在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，
点E为AB的中点，
以D为原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
∴B(1,2,0)，C(0,2,0)，E(1,1,0)，
D1(0,0,1)，
EB=(0,1,0)，EC=(−1,1,0)，
ED1=(−1,−1,1)，
设平面D1EC的法向量n=(x,y,z)，
则n⋅EC=−x+y=0n⋅ED1=−x−y+z=0,
取y=1，得n=(1,1,2)，
∴点B到平面D1EC的距离：
d=|EB⋅n||n|=1 6= 66．
故答案为： 66．
16.【答案】x29+y28=1
【解析】解：因为过点F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A、B两点，
在△ABF2中，|AF1|+|AF2|=2a，BF1|+|BF2|=2a，所以|AB|+|AF2|+|BF2|=4a，
因为O为F1F2的中点，所以P，Q分别为AF2，BF2的中点，
所以△PQF2的周长等于12△ABF2的周长，所以2a=6，解得：a=3，
因为过F2作∠F2AF1外角平分线的垂线与直线BA交于点N，
所以|AF2|=|AN|，则|AF1|+|AN|=|AF1|+|AF2|=2a=6，
则|ON|= |NF1|2+|OF1|2= 4a2+c2= 37，
则4a2+c2=36+c2=37，故c=1，b2=a2−1=8，
所求方程为x29+y28=1．
故答案为：x29+y28=1．
由题意可得以△PQF2的周长等于12△ABF2的周长，所以2a=6，求出a，又因为|AF1|+|AN|=|AF1|+|AF2|=2a=6，所以|ON|= 4a2+c2= 37，即可求出c，再由b2=a2−c2，即可求出椭圆C的方程．
本题考查椭圆方程的求法，考查运算求解能力，属中档题．
17.【答案】解：(1)y′=−3sinx+6x2−2ln2⋅4x+3x；
(2)y′=lnx+1，∴函数y=xlnx在x=1处的导数为1．
【解析】(1)根据基本初等函数的求导公式求导即可；
(2)根据基本初等函数和积的导数的求导公式求导即可．
本题考查了基本初等函数和积的导数的求导公式，是基础题．
18.【答案】解：(1)由题意，设等比数列{an}的公比为q，则
a1q=4a1q4=256，解得a1=1q=4，
∴an=1⋅4n−1=4n−1，n∈N*，
(2)由(1)，可得
bn=lg2an=lg24n−1=lg222(n−1)=2(n−1)，
∴Sn=b1+b2+…+bn
=2×0+2×1+…+2×(n−1)
=2×[1+2+…+(n−1)]
=2×(n−1)⋅(1+n−1)2
=n2−n．
【解析】本题主要考查等比数列的基本量的运算，以及等差数列求和．属基础题．
(1)先设等比数列{an}的公比为q，然后根据等比数列的通项公式列出关于首项a1与公比q的方程组，解出a1与q的值，即可计算出数列{an}的通项公式；
(2)先根据第(1)题的结果及对数的运算计算出数列{bn}的通项公式，然后依据等差数列的求和公式即可计算出数列{bn}的前n项和Sn．
19.【答案】解：(1)作EF⊥CD于点F，
所以四边形BCDE是一个梯形，且BC=BE=1，
所以S△DCE=12EF⋅CD，
因为EF⊥CD，BC⊥CD，EB/​/CD，
所以EF/​/BC且EF=BC，且EF=1，
又因为AC=1，
所以VD−ACE=13AC⋅S△DCE=13⋅1⋅12⋅1⋅CD=16CD=13，
所以CD=2．
(2)分别以CA，CB，CD为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
因为AC=BC=BE=1，CD=2，
所以C(0,0,0)，A(1,0,0)，B(0,1,0)，D(0,0,2)，E(0,1,1)，
由题可知平面ABC的法向量为n=(0,0,1)，
AD=(−1,0,2)，AE=(−1,1,1)，
设平面ADE的一个法向量为m=(x,y,z)，
所以m⋅AD=0m⋅AE=0，即−x+2z=0−x+y+z=0，
令z=1，则x=2，y=1，
所以m=(2,1,1)，
cs=m⋅n|m||n|=1 6⋅1= 66．
所以平面ABC与平面ADE所成角的余弦值为 66．
【解析】(1)作EF⊥CD于点F，则四边形BCDE是一个梯形，且BC=BE=1，S△DCE=12EF⋅CD，计算EF，CD，进而可得VD−ACE=13AC⋅S△DCE，即可得出答案．
(2)分别以CA，CB，CD为x，y，z轴建立空间直角坐标系，由题可知平面ABC的法向量为n=(0,0,1)，设平面ADE的一个法向量为m=(x,y,z)，则m⋅AD=0m⋅AE=0，解得m的坐标，再计算cs，即可得出答案．
本题考查三棱锥的体积，二面角的计算，解题中需要理清思路，属于中档题．
20.【答案】解：(1)由圆的方程得到圆心(2,1)，半径r=2，
当直线斜率不存在时，方程为x=4，圆心(2,1)到直线x=4的距离为2，此时直线与圆相切；
当直线斜率存在时，设方程为y−4=k(x−4)，即kx−y−4k+4=0，
由题意得：|2k−1−4k+4| k2+1=2，解得k=512，
∴方程为5x−12y+28=0，
则过点M(4,4)的切线方程为x=4或5x−12y+28=0．
(2)∵圆心到直线x−ay−4=0的距离为|2−a−4| a2+1=|a+2| a2+1，
又弦AB的长为2 3，
∴(|a+2| a2+1)2+( 3)2=4，解得：a=−34．
故a的值为−34．
【解析】(1)由圆的标准方程得到圆心和半径，再分别讨论直线斜率存在与不存在的情况，不存在时由圆心到直线的距离公式等于半径特殊情况判断；存在时代入点到直线的距离公式求出斜率；
(2)由点到直线的距离公式和弦长公式计算即可．
本题考查直线与圆的综合运用，考查运算求解能力，属于基础题．
21.【答案】解：(1)∵抛物线C2：y2=2px(P>0)的焦点为F2(p2,0)，
∴Q(p4,0)，
∵过Q垂直于x轴的直线截C2所得的弦长为2 6，
∴( 6)2=2p×p4，
得p=2 3，
∴F2( 3,0)，
又e=ca= 32，
∴a=2，b=1，
∴椭圆C1的方程为：x24+y2=1；
(2)设T(x,y)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，
则由OT=λOA+2μOB，
得x=λx1+2μx2，y=λy1+2μy2，
∵点T，A，B在椭圆C1上，
∴x2+4y2=4，
x12+4y12=4，
x22+4y22=4，
∴x2+4y2=(λx1+2μx2)2+4(λy1+2μy2)2
=λ2(x12+4y12)+4μ2(x22+4y22)+4λμ(x1x2+4y1y2)
=4，
由直线OA，OB的斜率之积为−14可得，
y1y2x1x2=−14，
即x1x2+4y1y2=0，
∴λ2+4μ2=1，
故N(λ,μ)在椭圆λ2+μ214=1上，
由Q( 32,0)，PQ=12F1F2，
可得P(− 32,0)，
∴P，Q为椭圆x2+y214=1的左右焦点，
由椭圆定义可知|NP|+|NQ|=2为定值．
【解析】此题考查了椭圆，抛物线方程，直线与椭圆的综合，难度较大．
(1)利用弦长可解p的值，进而得c，再结合离心率可得a.b，得方程；
(2)利用点T，A，B在椭圆上和OA，OB斜率之积为−14可得λ，μ的关系式，恰为新的椭圆方程，并求得P，Q为其焦点，由椭圆定义得出定值．
22.【答案】解：(1)数列{an}的前n项和，且an+2Sn=1，①，
当n=1时，a1=13；
当n≥2时，an−1+2Sn−1=1，②，
①−②得：an−an−1+2an=0，整理得an=13an−1；
所以数列{an}是以13为首项，13为公比的等比数列；
所以an=13n，(首项符合通项)，
故an=13n．
(2)由(1)得：bn=2lg3an⋅lg3an+2=2n(n+2)=1n−1n+2；
所以Mn=1−13+12−14+...+1n−1−1n+1+1n−1n+2=32−1n+1−1n+2，
整理得Mn=3n2+5n2(n+1)(n+2)．
(3)由(1)得：cn=(2n−1)⋅13n；
所以Tn=1×13+3×132+...+(2n−1)⋅13n，①，
13Tn=1×132+3×133+...+(2n−1)⋅13n+1，②，
①−②得：23Tn=2×(13+132+...+13n)−13−2n−13n+1，
整理得：Tn=1−n+13n．
不等式(−1)nλ故当n=1时，−λ<13+13，整理得λ>−23，
当n=2时，λ<79．
故−23<λ<79．
【解析】本题考查数列的递推关系式，数列的通项公式的求法，数列的求和，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，考查运算能力和数学思维能力，属于中档题．
(1)直接利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式；
(2)利用裂项相消法在数列求和中的应用求出数列的和．
(3)利用乘公比错位相减法在数列求和中的应用求出数列的和，进一步利用分类讨论思想的应用求出参数的取值范围．