浙江省杭州第二中学钱江学校2023-2024学年高二上学期期末数学试卷（Word版附解析）

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本试卷共150分，考试时间120分钟
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用绝对值不等式的解法及子集的定义，结合交集和并集的定义即可求解.
【详解】由，得，
所以，
由,得集合不是集合的子集，故A错误；
由,得集合不是集合的子集，故B错误；
,故C正确；
，故D错误.
故选：C.
2. 若复数是纯虚数，则的虚部为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据纯虚数的概念可知即可求，进而计算可得结果.
【详解】由题意知：,可得，
所以,根据虚部的概念，可得的虚部为.
故选：A
3. 已知平面，直线，若且，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据线线垂直、线面垂直和面面垂直的相互转化和必要不充分条件的定义可得答案.
【详解】如下图且，，则l//a，此时，，所以，充分性不成立；

若，因为，所以，必要性成立，

故 “”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
4. 己知数列的前k项和是3，则k等于（ ）
A. 3B. 4C. 15D. 16
【答案】C
【解析】
【分析】利用裂项相消法可得出关于的等式，即可解得的值.
【详解】设数列的前项和为，因为，
所以，
解得.
故选：C
5. 如图，已知二面角平面角的大小为，其棱上有、两点，、分别在这个二面角的两个半平面内，且都与垂直.已知，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】以、为邻边作平行四边形，连接，计算出、的长，证明出，利用勾股定理可求得的长.
【详解】如下图所示，以、邻边作平行四边形，连接，
因为，，则，
又因为，，，故二面角的平面角为，
因为四边形为平行四边形，则，，
因为，故为等边三角形，则，
，则，，，故平面，
因为平面，则，故.
故选：C.
6. 《史记》中讲述了田忌与齐王赛马的故事：“田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马.”若双方各自拥有上等马、中等马、下等马各1匹，从中随机选1匹进行1场比赛，则齐王的马获胜的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】赛马的基本事件总数是种，用列举法列举出齐王可以获胜的情况，根据古典概型的计算公式求解即可.
【详解】记田忌的上等马、中等马、下等马分别为a，b，c，齐王的上等马、中等马、下等马分别为A，B，C，由题意可知，所有的基本事件有aA，bA，cA，aB，bB，cB，aC，bC，cC，共9种，其中齐王可以获胜的事件有aA，bA，cA，bB，cB，cC，共种，根据古典概型的计算公式，齐王的马获胜的概率.
故选：A.
7. 已知圆是以点和点为直径的圆，点为圆上的动点，若点，点，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题设可知圆：，在坐标系中找到，应用三角线相似将转化到，再利用三角形的三边关系确定目标式的最大值即可.
【详解】由题设，知：且，即圆的半径为4，
∴圆：，

如上图，坐标系中则，
∴，即△△，故，
∴，在△中，
∴要使最大，共线且最大值为的长度.
∴.
故选：A
【点睛】关键点点睛：首先求出圆方程，找到定点使，进而将转化到其它线段，结合三角形三边关系求目标式最值.
8. 如图，分别为双曲线的左、右焦点，过点作直线，使直线与圆相切于点P,设直线交双曲线的左右两支分别于A、B两点（A、B位于线段 上），若,则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】连接，，设则，由题意可知，，即，即， 则，求解离心率即可.
【详解】连接，，设则，即，，
根据双曲线定义可知，
即
即
直线与圆相切于点P
在中①
在中②
在中③
②③联立得，即
①②联立得即④
将代入④，即，
整理得即
故选：B
【点睛】本题考查双曲的离心率，解决本题的关键是根据双曲线的定义表示出与，本题属于中档题.
二、多选题：本题共4小题，共20分．每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
9. 从某年级的500名学生中抽取60名学生进行体重的统计分析，下列说法正确的是（ ）
A. 500名学生的体重是总体
B. 每个学生是个体
C. 抽取的60名学生的体重是一个样本
D. 抽取的60名学生的体重是样本容量
【答案】AC
【解析】
【分析】根据抽样的基本概念，逐项判定，即可求解.
【详解】由题意可知在此抽样调查中，总体是500名学生的体重，所以A正确；
个体是每个学生的体重，所以B错误；
样本是抽取的60名学生的体重，所以C正确；
其中样本容量为60，所以D错误.
故选：AC.
10. 设是等差数列的前n项和，且，则（ ）
A. B. 公差
C. D. 数列的前n项和为
【答案】BCD
【解析】
【分析】
根据已知条件求出等差数列的通项公式和前项和公式，即可判断选项、、，
再利用裂项求和即可判断选项D.
【详解】因为数列是等差数列，则，解得：，故选项B正确；
所以，
对于选项A：，故选项A不正确；
对于选项C：，所以故选项C正确；
对于选项D：，
所以前n项和为
，故选项D正确，
故选：BCD.
【点睛】方法点睛：数列求和的方法
（1）倒序相加法：如果一个数列的前项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可以用倒序相加法
（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前项和即可以用错位相减法来求；
（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和；
（4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；
（5）并项求和法：一个数列的前项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如类型，可采用两项合并求解.
11. 已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，M为OA的中点，P为双曲线C右支上一点且，且，则( )
A. C的离心率为2B. C的渐近线方程为
C. PM平分D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】在直角三角形中，利用列出关于a、b、c的齐次式求出离心率，从而判断A；根据离心率求出渐近线方程，从而判断B；根据是否相等即可判断PM是否平分，从而判断C；根据、的比例关系，利用平面向量的线性运算即可表示用表示，从而判断D.
【详解】由可知，
由得，，
即，即，即，∴，故A正确；
由，∴双曲线渐近线为，故B错误；
由，﹒
则，，
∴；
∵，，∴，
∴，∴根据角平分线的性质可知PM平分，故C正确；
，，
，故D正确；
故选：ACD．
【点睛】本题主要考查与双曲线的焦半径和焦点三角形有关的性质，考察构造关于a、b、c的齐次式求离心率的方法，考察利用角平分线的性质，考察了向量的线性运算，解题时需数形结合，合理运用图形的几何关系.
12. 如图，矩形所在平面与正方形所在平面互相垂直，，，点是线段上的动点，则下列命题中正确的是（ ）

A. 不存在点，使得直线平面
B. 直线与所成角余弦值的取值范围是
C. 直线与平面所成角的取值范围是
D. 三棱锥的外接球被平面所截得的截面面积是
【答案】BCD
【解析】
【分析】当点P是线段EF中点时判断A，利用向量法求出异面直线夹角余弦的范围判断B，利用线面角的定义转化为正弦值计算判断C，求出外接圆面积判断D.
【详解】取EF中点G，连DG，令，连FO，如图，

在正方形ABCD中，O为BD中点，而BDEF是矩形，
则且，即四边形DGFO是平行四边形，
即有，而平面ACF，平面，
于是得平面ACF，当点P与G重合时，直线平面ACF，故A错误；
因平面平面ABCD，平面平面，，平面，
所以平面，因为，所以平面，
因为平面，所，
因为，，所以，
又，所以直线与所成角为（或其补角），
因为
，
而， ，所以，
当时，，
当时，，
综上，，故B正确；
设到平面的距离为，因为，，
所以，又，
由等体积法，，即，解得，
设直线与平面所成角为，
当与重合时，直线平面ACF，直线与平面所成角，
当点由向运动时，变大，当运动到时，因为，
所以，由知，，
当运动到时，，
综上知，，故C正确；
在中，，显然有，，
由正弦定理得外接圆直径，，
以为长宽高作长方体，如图，

则三棱锥的外接球即为长方体的外接球，
三棱锥的外接球被平面ACF所截得的截面是的外接圆，其面积为，故D正确.
故选：BCD.
【点睛】关键点点睛：线面角的范围为，求点到平面的距离可以利用等体积法，当两条直线平行时，直线与同一平面所成角相等，当直线与平面不平行线时，直线上一点到平面的距离与斜线长的比为线面角的正弦值.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知函数，则____________.
【答案】
【解析】
【分析】求导，代入数据得到答案.
【详解】
故答案为
【点睛】本题考查了导数的计算，意在考查学生的计算能力.
14. 已知空间三点A(1,1,1)，B(－1,0,4)，C(2，－2,3)，则与的夹角θ的大小是________．
【答案】120°
【解析】
【分析】根据向量的坐标运算，求得与的坐标，再利用向量的夹角公式，准确运算，即可求解，得到答案.
【详解】由题意，空间三点A(1,1,1)，B(－1,0,4)，C(2，－2,3)，
则，
所以,
又因为，所以.
故答案为：
【点睛】本题主要考查了空间向量的坐标运算，以及向量的夹角公式的应用，其中解答中熟记空间向量的坐标运算，以及向量的夹角公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
15. 设等差数列前n项和为，若，则公差d的取值范围为__________．
【答案】或
【解析】
【分析】由题设得，即，由此推导的，即可求解.
【详解】设等差数列的首项为，公差为，因为，
则，即，
则，，
故公差d的取值范围为或.
故答案为：或
16. 已知双曲线的左焦点为F，过原点的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点，则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】设，，则，构造函数，，用导数求在上的取值范围即可.
【详解】设，则.
设双曲线的右焦点为，由对称性可知，则，
所以.令，，
则，令得，
当时，，单调递减；当时，，单调递增.
所以，又当时，所以.
故的取值范围是.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题的关键点是：构造函数，，用导数求在上的取值范围.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 某校对名高一学生的某次数学测试成绩进行统计，分成，，，，五组，得到如图所示频率分布直方图．
（1）求图中的值；
（2）估计该校学生数学成绩的平均数；
（3）估计该校学生数学成绩的第百分位数．
【答案】（1）；（2）分；（3）分．
【解析】
【分析】（1）利用各组频率和为1，列方程可求出的值；
（2）直接计算平均数即可；
（3）由于50到80的频率和为，50到90的频率和为，从而可知第百分位数在80到90之间，从而可计算得到
【详解】解：（1）由于组距为10，所以有，
从而．
（2）平均数分．
（3）因为50到80的频率和为，50到90的频率和为，
所以第75百分位数为
分．
18. 已知圆C方程为．
（1）求实数m的取值范围；
（2）若直线与圆C相切，求实数m的值；
（3）若圆C与圆相切，求实数m的值．
【答案】（1）
（2）
（3）或.
【解析】
【分析】（1）将化为标准方程，再列不等式求解；
（2）由圆心到直线的距离等于半径列方程求解即可；
（3）根据两圆相切，得到两圆心之间的距离要么等于两半径和，要么等于两半径差，得出相应的等量关系式，从而求得相应的结果.
小问1详解】
，
可化为，
所以；
【小问2详解】
由（1）知，圆心C(12)，半径，
因为圆和直线相切，
所以有，
所以.
【小问3详解】
因为与圆C相切，
所以或，
解得或，
故实数m的值是或.
19. 设正项数列的前项和为，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据推出，再由等差数列的通项公式可求出结果；
（2）根据错位相减法可求出结果.
【小问1详解】
当时，，得，
当时，，
则，
化简得，
又，所以，．
所以数列是首项为1，公差为2的等差数列，
所以；
【小问2详解】
因为，，
所以，
所以，
，
所以，
所以，
整理得.
20. 如图所示，正方形所在平面与梯形所在平面垂直，，，，．

（1）证明：平面；
（2）在线段（不含端点）上是否存在一点E，使得二面角的余弦值为，若存在求出的值，若不存在请说明理由．
【答案】（1）证明见解析
（2）存在，
【解析】
【分析】（1）先由面面垂直的性质证得平面，从而求得，进而利用勾股定理证得，由此利用线面垂直的性质即可得证；
（2）结合（1）中条件，建议空间直角坐标系，分别求得平面与平面的法向量，从而得到关于的方程，解之即可得解.
【小问1详解】
正方形中，，
∵平面平面，平面平面，平面，
∴平面，
又平面，∴，，
又，，∴，
又∵，∴，∴，
又，∴，
又，平面，∴平面.
【小问2详解】
假设存在点，满足题意，
由（1）知，平面，，
故以B为坐标原点，BA，BM，BC所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

则，，，，，，
设点，，∴，
∴，∴，∴，，
设平面的法向量为，∴，
令，∴，，∴，
由（1）知平面的法向量为，
∴，即，
即，即，解得或（舍去），
所以存在一点，使得，即．
21. 已知数列的前项和为，满足，数列满足，．
（1）求数列、的通项公式；
（2），求数列的前项和；
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）利用可得，从而可得为等比数列，故可得其通项公式，利用累加法可求的通项公式；
（2）利用分组求和法可求，注意就的奇偶性分类讨论.
【小问1详解】
在数列中，当时，解得；
当时，由，则，即，
因为，故，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列即.
在数列中，，即，
则当时，，，，，
由累加法得，
所以，
当时，也符合上式，所以.
【小问2详解】
由（1）可得，
当为偶数时，
=
；
当为奇数时，
=
，
综上可得.
22. 已知抛物线T：（）和椭圆C：，过抛物线T的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，线段的中垂线交椭圆C于M，N两点.
（1）若F恰是椭圆C的焦点，求p的值；
（2）若恰好被平分，求面积的最大值
【答案】（1）4 （2）．
【解析】
【分析】（1）求出椭圆焦点，得抛物线焦点，从而得的值；
（2）设直线方程为，代入抛物线方程，结合韦达定理得中点坐标，根据椭圆的弦中点性质得出一个参数值，由中点在椭圆内部得出另一个参数的范围，然后求出三角形面积，得出最大值．
【小问1详解】
在椭圆中，， 所以，；
【小问2详解】
设直线方程为，代入抛物线方程得，
设，中点为，则，，
，，
设，则，两式相减得，
所以，，，
所以，解得，
点在椭圆内部，所以，得，
因为，所以或，
，
时，，时，，
所以面积的最大值为．
【点睛】本题考查求抛物线的方程，考查直线与椭圆、抛物线相交问题，考查圆锥曲线中的面积问题．解题方法采用设而不求的思想方法，即设交点坐标，设直线方程，代入曲线方程后应用韦达定理，求得弦中点坐标，弦长等，把这个结论代入其他条件可求得参数关系，参数值，参数范围等．即设参数，利用韦达定理把目标用参数表示，进而求最值，证明一些结论．本题考查学生的逻辑推理能力，运算求解能力，对学生的要求较高，属于难题．