新高考数学一轮复习微专题专练54二项分布、超几何分布与正态分布（含详解）

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一、选择题
1．随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，若P(ξ<2)＝0.2，P(2<ξ<6)＝0.6，则μ＝( )
A.6 B．5
C.4 D．3
2．已知X＋Y＝8，若X～B(10，0.6)，则E(Y)和D(Y)分别是( )
A.6和2.4 B．2和2.4
C.2和5.6 D．6和5.6
3．设随机变量X～N(2，4)，若P(X>a＋2)＝P(X<2a－3)，则实数a的值为( )
A.1 B． eq \f(5,3)
C.5 D．9
4．[2023·山东威海模拟]设随机变量ξ～B(n，p)，且E(ξ)＝1.6，D(ξ)＝1.28，则p＝( )
A. eq \f(1,5) B． eq \f(1,4)
C. eq \f(1,3) D． eq \f(2,5)
5．一个袋子中有4个红球，3个黑球，小明从袋中随机取球，设取到一个红球得2分，取得一个黑球得1分，从袋中任取4个球，则小明得分大于6分的概率是( )
A. eq \f(13,35) B． eq \f(14,35)
C. eq \f(18,35) D． eq \f(22,35)
6．甲、乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛．若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为 eq \f(1,3) ，乙获胜的概率为 eq \f(2,3) ，各局比赛结果相互独立．则甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率为( )
A. eq \f(17,81) B． eq \f(56,81)
C. eq \f(64,81) D． eq \f(25,81)
7．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立．设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，D(X)＝2.4，P(X＝4)＜P(X＝6)，则p＝( )
A.0.7 B．0.6
C.0.4 D．0.3
8．设X～N(μ1，σ eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) )，Y～N(μ2，σ eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) )，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是( )
A.P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)
B.P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)
C.对任意正数t，P(X≤t)≥P(Y≤t)
D.对任意正数t，P(X≥t)≥P(Y≥t)
9．(多选)某市有A，B，C，D四个景点，一位游客来该市游览，已知该游客游览A的概率为 eq \f(2,3) ，游览B，C和D的概率都是 eq \f(1,2) ，且该游客是否游览这四个景点相互独立，用随机变量X表示该游客游览的景点的个数，下列正确的是( )
A.游客至多游览一个景点的概率 eq \f(1,4)
B.P(X＝2)＝ eq \f(3,8)
C.P(X＝4)＝ eq \f(1,24)
D.E(X)＝ eq \f(13,6)
二、填空题
10．已知随机变量X～B(n，p)，若E(X)＝30，D(X)＝20，则p＝________．
11．随机变量X～N(3，σ2)，且P(06)＝________．
12．在我校高三高考调研中，数学成绩X～N(90，σ2)(σ>0)，统计结果显示P(60≤X≤120)＝0.8，假设我校参加此次考试的有780人，那么估计此次考试中，我校成绩高于120分的有________人．
[能力提升]
13．(多选)“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广，发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献．某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高X(单位：cm)服从正态分布，其密度函数为f(x)＝ eq \f(1,10\r(2π)) ·e－ eq \f(（x－100）2,200) ，x∈(－∞，＋∞)，则下列说法正确的是( )
A.该地水稻的平均株高为100 cm
B.该地水稻株高的方差为10
C.随机测量一株水稻，其株高在120 cm以上的概率比株高在70 cm以下的概率大
D.随机测量一株水稻，其株高在(80，90)和在(100，110)之间的概率一样大
14．(多选)某学校共有6个学生餐厅，甲、乙、丙、丁四位同学每人随机地选择一家餐厅就餐(选择每个餐厅的概率相同)，则下列结论正确的是( )
A.四人去了四个不同餐厅就餐的概率为 eq \f(5,18)
B.四人去了同一餐厅就餐的概率为 eq \f(1,1 296)
C.四人中恰有两人去了第一餐厅就餐的概率为 eq \f(25,216)
D.四人中去第一餐厅就餐的人数的均值为 eq \f(2,3)
15．2012年国家开始实行法定节假日高速公路免费通行政策，某收费站在统计了2023年清明节前后车辆通行数量，发现该站近几天每天通行车辆的数量ξ服从正态分布ξ～N(1 000，σ2)，若P(ξ>1 200)＝a，P(800<ξ<1 000)＝b，则 eq \f(1,a) ＋ eq \f(9,b) 的最小值为________．
16．一个口袋里装有大小相同的5个小球，其中红色有2个，其余3个颜色各不相同．现从中任意取出3个小球，其中恰有2个小球颜色相同的概率是________；若变量X为取出的三个小球中红球的个数，则X的数学期望E(X)＝________．
专练54 二项分布、超几何分布与正态分布
1．C 由正态分布的特点可知，P(ξ>6)＝1－P(ξ<2)－P(2<ξ<6)＝0.2，∴μ＝ eq \f(2＋6,2) ＝4.
2．B ∵X～B(10，0.6)，∴E(X)＝10×0.6＝6，D(X)＝10×0.6×(1－0.6)＝2.4，
又X＋Y＝8，∴Y＝8－X，
∴E(Y)＝8－E(X)＝8－6＝2，
D(Y)＝(－1)2D(X)＝2.4.
3．B ∵P(X>a＋2)＝P(X<2a－3)，
∴ eq \f(a＋2＋2a－3,2) ＝2，得a＝ eq \f(5,3) .
4．A ∵随机变量ξ～B(n，p)，且E(ξ)＝1.6，D(ξ)＝1.28，
5．A 记得分为X，则X＝5，6，7，8.
P(X＝7)＝ eq \f(C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(4)) C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(3)) ,C eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(7)) ) ＝ eq \f(12,35) ；P(X＝8)＝ eq \f(C eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(4)) C eq \\al(\s\up1(0),\s\d1(3)) ,C eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(7)) ) ＝ eq \f(1,35) .
所以P(X>6)＝P(X＝7)＋P(X＝8)＝ eq \f(12,35) ＋ eq \f(1,35) ＝ eq \f(13,35) .故选A.
6．A 由题意，甲在4局内(含4局)赢得比赛包含3种情况：
①甲胜第1、2局，概率为p1＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3))) eq \s\up12(2) ；
②乙胜第1局，甲胜2、3局，概率为p2＝ eq \f(2,3) × eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3))) eq \s\up12(2) ；
③甲胜第1局，乙胜第2局，甲胜第3、4局，概率为p3＝ eq \f(1,3) × eq \f(2,3) × eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3))) eq \s\up12(2) ，
所以甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率为
p＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3))) eq \s\up12(2) ＋ eq \f(2,3) × eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3))) eq \s\up12(2) ＋ eq \f(1,3) × eq \f(2,3) × eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3))) eq \s\up12(2) ＝ eq \f(17,81) .故选A.
7．B 由题意得X～B(10，p)，则D(X)＝10×p×(1－p)＝2.4，
得p＝0.4或p＝0.6，又P(X＝4)∴C eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(10)) p4(1－p)6∴(1－p)20.5，
∴p＝0.6.
8．C 由图可知，μ1<0<μ2，σ1<σ2，
∴P(Y≥μ2)P(X≤σ2)>P(X≤σ1)，故B不正确；
当t为任意正数时，由图可知P(X≤t)≥P(Y≤t)，
而P(X≤t)＝1－P(X≥t)，P(Y≤t)＝1－P(Y≥t)，
∴P(X≥t)≤P(Y≥t)，故C正确，D不正确．
9．ABD 记该游客游览i个景点为事件Ai，i＝0，1，
则P(A0)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,3))) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2))) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2))) (1－ eq \f(1,2) )＝ eq \f(1,24) ，
P(A1)＝ eq \f(2,3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2))) eq \s\up12(3) ＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,3))) C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(3)) · eq \f(1,2) · eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2))) eq \s\up12(2) ＝ eq \f(5,24) ，
所以游客至多游览一个景点的概率为
P(A0)＋P(A1)＝ eq \f(1,24) ＋ eq \f(5,24) ＝ eq \f(1,4) ，故A正确；
随机变量X的可能取值为0，1，2，3，4；
P(X＝0)＝P(A0)＝ eq \f(1,24) ，
P(X＝1)＝P(A1)＝ eq \f(5,24) ，
P(X＝2)＝ eq \f(2,3) ×C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(3)) × eq \f(1,2) × eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2))) eq \s\up12(2) ＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,3))) ×C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) × eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(2) × eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2))) ＝ eq \f(3,8) ，故B正确；
P(X＝3)＝ eq \f(2,3) ×C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) × eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(2) × eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2))) ＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,3))) ×C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(3)) × eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(3) ＝ eq \f(7,24) ，
P(X＝4)＝ eq \f(2,3) × eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(3) ＝ eq \f(1,12) ，故C错误；
数学期望为：E(X)＝0× eq \f(1,24) ＋1× eq \f(5,24) ＋2× eq \f(9,24) ＋3× eq \f(7,24) ＋4× eq \f(2,24) ＝ eq \f(13,6) ，故D正确，故选ABD.
10. eq \f(1,3)
11．0.15
解析：∵X～N(3，σ2)，
∴P(X<3)＝0.5.
又P(0∴P(X<0)＝0.5－0.35＝0.15，
∴P(X>6)＝P(X<0)＝0.15.
12．78
解析：∵X～N(90，σ2)，∴正态曲线关于直线x＝90对称，又P(60≤X≤120)＝0.8，∴P(X>120)＝ eq \f(1－0.8,2) ＝0.1，
∴估计高于120分的有780×0.1＝78人．
13．AC 正态分布密度函数为f(x)＝ eq \f(1,\r(2π)σ) ·e－ eq \f(（x－μ）2,2σ2) ，x∈(－∞，＋∞)，由题意知μ＝100，σ2＝100，所以该地水稻的平均株高为100 cm，方差为100，故A正确；B错误；因为正态分布密度曲线关于直线x＝100对称，所以P(X>120)＝P(X<80)>P(X<70)，故C正确；P(100P(8014．ACD 四人去餐厅就餐的情况共有64种，其中四人去了四个不同餐厅就餐的情况有A eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(6)) 种，则四人去了四个不同餐厅就餐的概率为 eq \f(A eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(6)) ,64) ＝ eq \f(5,18) ，故A正确；
同理，四人去了同一餐厅就餐的概率为 eq \f(6,64) ＝ eq \f(1,216) ，故B错误；
四人中恰有两人去了第一餐厅就餐的概率为 eq \f(C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(4)) ×52,64) ＝ eq \f(25,216) ，故C正确；
设四人中去第一餐厅就餐的人数为ξ，
因为四人去第一餐厅就餐的概率都为 eq \f(1,6) ，则ξ～B eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4，\f(1,6)))
所以E(ξ)＝4× eq \f(1,6) ＝ eq \f(2,3) ，故D正确．
故选ACD.
15．32
解析：由ξ～N(1 000，σ2)，P(ξ>1 200)＝a，P(800<ξ<1 000)＝b得a＝0.5－b，所以a＋b＝ eq \f(1,2) ，则 eq \f(1,a) ＋ eq \f(9,b) ＝2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(9,b))) (a＋b)＝2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(10＋\f(b,a)＋\f(9a,b))) ≥2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(10＋2\r(\f(b,a)·\f(9a,b)))) ＝32，当且仅当时取等号，所以 eq \f(1,a) ＋ eq \f(9,b) 的最小值为32.
16. eq \f(3,10) eq \f(6,5)
解析：现从5个小球中任意取出3个小球，基本事件总数n＝C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(5)) ＝10，其中恰有2个小球颜色相同包含的基本事件个数m＝C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(3)) ＝3，恰有2个小球颜色相同的概率是p＝ eq \f(m,n) ＝ eq \f(3,10) .X的所有可能取值为0，1，2.P(X＝0)＝ eq \f(C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(3)) ,C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(5)) ) ＝ eq \f(1,10) ，P(X＝1)＝ eq \f(C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(2)) C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) ,C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(5)) ) ＝ eq \f(6,10) ，P(X＝2)＝ eq \f(C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(3)) ,C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(5)) ) ＝ eq \f(3,10) ，所以E(X)＝0× eq \f(1,10) ＋1× eq \f(6,10) ＋2× eq \f(3,10) ＝ eq \f(6,5) .