新高考数学一轮复习微专题专练20同角三角函数的基本关系及诱导公式（含详解）

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一、选择题
1．sin eq \f(25,6) π＝( )
A．－ eq \f(\r(3),2) B．－ eq \f(1,2)
C． eq \f(1,2) D． eq \f(\r(3),2)
2．cs eq \f(π,5) ＋cs eq \f(2,5) π＋cs eq \f(3,5) π＋cs eq \f(4,5) π的值为( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
3．若α∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,2))) ，tan (α－7π)＝ eq \f(3,4) ，则sin α＋cs α＝( )
A．± eq \f(1,5) B．－ eq \f(1,5)
C． eq \f(1,5) D．－ eq \f(7,5)
4．已知2sin α－cs α＝0，则sin2α－2sinαcs α的值为( )
A．－ eq \f(3,5) B．－ eq \f(12,5)
C． eq \f(3,5) D． eq \f(12,5)
5．已知α是第二象限角，P(x， eq \r(5) )为其终边上一点，且cs α＝ eq \f(\r(2),4) x，则tan α＝( )
A． eq \f(\r(15),3) B．－ eq \f(\r(15),3)
C． eq \f(\r(5),3) D．－ eq \f(\r(5),3)
6．已知sin α－cs α＝ eq \f(4,3) ，则sin 2α＝( )
A．－ eq \f(7,9) B．－ eq \f(2,9)
C． eq \f(2,9) D． eq \f(7,9)
7．在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边经过点P(3，4)，则sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(2017π,2))) ＝( )
A．－ eq \f(4,5) B．－ eq \f(3,5)
C． eq \f(3,5) D． eq \f(4,5)
8．已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边在直线3x－y＝0上，则 eq \f(sin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋θ))＋2cs （π－θ）,sin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－θ))－sin （π－θ）) 等于( )
A．－ eq \f(3,2) B． eq \f(3,2)
C．0 D． eq \f(2,3)
9．已知α为第二象限角，则cs α eq \r(\f(1－sin α,1＋sin α)) ＋sin α· eq \r(\f(1－cs α,1＋cs α)) ＝( )
A．sin α－cs α
B．sin α＋cs α
C．cs α－sin α
D．－(sin α＋cs α)
二、填空题
10．已知α∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0)) ，sin α＝－ eq \f(3,5) ，则cs α＝________，tan (π＋α)＝________．
11．若cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)－θ)) ＝ eq \f(1,3) ，则sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,12)π＋θ)) ＝________．
12．已知1－cs (π－α)＝2sin α，那么tan α的值为________．
[能力提升]
13．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1，a)，B(2，b)，且cs 2α＝ eq \f(2,3) ，则|a－b|＝( )
A． eq \f(1,5) B． eq \f(\r(5),5)
C． eq \f(2\r(5),5) D．1
14．(多选)若θ是△ABC的一个内角，且cs θ<－ eq \f(1,3) ，则下列结论正确的是( )
A．sin θ< eq \f(2\r(2),3)
B．tan θ>－2 eq \r(2)
C．cs 2θ>－ eq \f(7,9)
D．sin 2θ<－ eq \f(4\r(2),9)
15．已知α为锐角，且2tan (π－α)－3cs ( eq \f(π,2) ＋β)＋5＝0，tan (π＋α)＋6sin (π＋β)＝1，则sin β的值为________．
16．设A，B，C为△ABC的三个内角，则下列关系式中恒成立的是________(填写序号).
①cs (A＋B)＝cs C；
②cs eq \f(B＋C,2) ＝sin eq \f(A,2) ；
③sin (2A＋B＋C)＝－sin A．
专练20 同角三角函数的基本关系及诱导公式
1．C sin eq \f(25,6) π＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4π＋\f(π,6))) ＝sin eq \f(π,6) ＝ eq \f(1,2) .
2．B cs eq \f(π,5) ＋cs eq \f(2,5) π＋cs eq \f(3,5) π＋cs eq \f(4,5) π
＝cs eq \f(π,5) ＋cs eq \f(2,5) π＋cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π－\f(2,5)π)) ＋cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π－\f(π,5)))
＝cs eq \f(π,5) ＋cs eq \f(2,5) π－cs eq \f(2,5) π－cs eq \f(π,5)
＝0.
3．D tan (α－7π)＝tan α＝ eq \f(3,4) >0，又α∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3,2)π)) ，∴α∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π，\f(3,2)π)) ，∴sin α＝－ eq \f(3,5) ，cs α＝－ eq \f(4,5) ，∴sin α＋cs α＝－ eq \f(7,5) .
4．A 2sin α－cs α＝0，∴tan α＝ eq \f(1,2) ，∴sin2α－2sinαcs α＝ eq \f(sin2α－2sinαcs α,sin2α＋cs2α) ＝ eq \f(tan2α－2tanα,1＋tan2α) ＝ eq \f(\f(1,4)－1,1＋\f(1,4)) ＝－ eq \f(3,5) .
5．B 由三角函数的定义得csα＝ eq \f(\r(2)x,4) ＝ eq \f(x,\r(x2＋5)) ，解得x＝± eq \r(3) 或x＝0.因为点P(x， eq \r(5) )在第二象限内，所以x＝－ eq \r(3) ，故tan α＝ eq \f(\r(5),x) ＝ eq \f(\r(5),－\r(3)) ＝－ eq \f(\r(15),3) .故选B.
6．A 由sin α－cs α＝ eq \f(4,3) ，得1－2sin αcs α＝ eq \f(16,9) ，
∴2sin αcs α＝1－ eq \f(16,9) ＝－ eq \f(7,9) ，即：sin 2α＝－ eq \f(7,9) .
7．B 由三角函数的定义可知tan α＝ eq \f(4,3) ，由题可知α为第一象限角，∴cs α＝ eq \f(3,5) ，sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(2017,2)π)) ＝sin (α－ eq \f(π,2) )＝－cs α＝－ eq \f(3,5) .
8．B 由三角函数的定义可知tan θ＝3，
∴ eq \f(sin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)π＋θ))＋2cs （π－θ）,sin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－θ))－sin （π－θ）) ＝ eq \f(－cs θ－2cs θ,cs θ－sin θ) ＝ eq \f(－3,1－tan θ) ＝ eq \f(3,2) .
9．A eq \r(\f(1－sin α,1＋sin α)) ＝ eq \r(\f(（1－sin α）2,（1＋sin α）（1－sin α）)) ＝ eq \r(\f(（1－sin α）2,cs2α)) ＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1－sinα,cs α))) ， eq \r(\f(1－cs α,1＋cs α)) ＝ eq \r(\f(（1－cs α）2,（1＋cs α）（1－cs α）)) ＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1－cs α,sin α))) ，
根据三角函数性质知1－sin α>0，1－cs α>0，再根据α为第二象限角知cs α<0，sin α>0，所以原式＝cs α× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1－sin α,cs α))) ＋sin α× eq \f(1－cs α,sin α) ＝sin α－cs α.
10. eq \f(4,5) － eq \f(3,4)
解析：由α∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0)) ，sin α＝－ eq \f(3,5) ，得cs α＝ eq \r(1－sin2α) ＝ eq \f(4,5) ，tan(π＋α)＝tan α＝ eq \f(sin α,cs α) ＝－ eq \f(3,4) .
11. eq \f(1,3)
解析：∵ eq \f(π,12) －θ＋ eq \f(5,12) π＋θ＝ eq \f(π,2) ，
∴sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,12)π＋θ)) ＝cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)－θ)) ＝ eq \f(1,3) .
12. eq \f(4,3) 或0
解析：1－cs (π－α)＝2sin α可化为1＋cs α＝2sin α，等式两边同时平方，得1＋2cs α＋cs2α＝4sin2α，即5cs2α＋2csα－3＝0，则cs α＝ eq \f(3,5) 或cs α＝－1.当cs α＝ eq \f(3,5) 时，sin α＝ eq \f(4,5) ，tan α＝ eq \f(4,3) ；当cs α＝－1时，sin α＝0，tan α＝0.
13．B 由题意得tan α＝ eq \f(b－a,2－1) ＝b－a，
又cs 2α＝cs2α－sin2α＝ eq \f(cs2α－sin2α,cs2α＋sin2α) ＝ eq \f(1－（b－a）2,1＋（b－a）2) ＝ eq \f(2,3) ，得|b－a|＝ eq \f(\r(5),5) .
14．ABC 因为θ是△ABC的一个内角，且csθ<－ eq \f(1,3) ，所以 eq \f(π,2) <θ<π.设cs φ＝－ eq \f(1,3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)<φ<π)) ，则sin φ＝ eq \f(2\r(2),3) ，tan φ＝ eq \f(sin φ,cs φ) ＝－2 eq \r(2) .因为函数y＝cs x在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π)) 上单调递减，所以由cs θ<－ eq \f(1,3) ＝cs φ，得 eq \f(π,2) <φ<θ<π.对于A，因为函数y＝sin x在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π)) 上单调递减，所以sin θtan φ，即tan θ>－2 eq \r(2) ，故B正确；对于C，因为cs θ<－ eq \f(1,3) ，所以cs2θ> eq \f(1,9) ，所以cs2θ＝2cs2θ－1>2× eq \f(1,9) －1＝－ eq \f(7,9) ，故C正确；对于D，sin2θ＝2sin θcs θ，当cs θ＝－ eq \f(2\r(2),3) 时，sin θ＝ eq \f(1,3) ，sin 2θ＝2× eq \f(1,3) × eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2\r(2),3))) ＝－ eq \f(4\r(2),9) ，故D不正确．综上，选ABC.
15. eq \f(1,3)
解析：2tan (π－α)－3cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋β)) ＋5＝0化为－2tan α＋3sin β＋5＝0，tan (π＋α)＋6sin (π＋β)＝1化为tan α－6sin β＝1，因而sin β＝ eq \f(1,3) .
16．②③
解析：由题意得A＋B＋C＝π，∴A＋B＝π－C，
∴cs (A＋B)＝cs (π－C)＝－cs C，故①不正确；
由于 eq \f(B＋C,2) ＝ eq \f(π,2) － eq \f(A,2) ，∴cs eq \f(B＋C,2) ＝cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\f(A,2))) ＝sin eq \f(A,2) ，故②正确；由于A＋B＋C＝π，∴2A＋B＋C＝π＋A，∴sin (2A＋B＋C)＝sin (π＋A)＝－sin A，故③正确．