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2023-2024学年河南省许昌高级中学高一（下）开学数学试卷（含解析）
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这是一份2023-2024学年河南省许昌高级中学高一（下）开学数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知函数，则f(2x)的定义域为( )
A. [−4,1)B. [−4,1]
C. D. [−8,2)
2.若α：M={2,4}，β：{2}⊂M⊆{2,4,5}，则α是β的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3.已知a=2lg43,b=lg48,c=30.6，则( )
A. a4.已知a>b>0>c，则以下不等式不正确的是( )
A. ac2>bc2B. c+aa>c+bbC. a2>ab>b2D. ba>ab
5.“哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一，其内容是：一个大于2的偶数都可以写成两个素数(质数)之和，也就是我们所谓的“1+1”问题．它是1742年由数学家哥德巴赫提出的，我国数学家潘承洞、王元、陈景润等在哥德巴赫猜想的证明中都取得了相当好的成绩．若将14拆成两个正整数的和，则拆成的和式中，加数全部为素数的概率为( )
A. 313B. 513C. 27D. 37
6.已知命题“∀x∈R，4x2+(a−2)x+14>0”是假命题，则实数a的取值范围为( )
A. (−∞,0]∪[4,+∞)B. [0,4]
C. [4,+∞)D. (0,4)
7.函数的零点所在区间是( )
A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)
8.已知f(x)=|ln(−x)|,x<0x2−4x+5,x≥1，若方程f(x)=m(m∈R)有四个不同的实数根x1，x2，x3，x4，则x1⋅x2⋅x3⋅x4的最小值是( )
A. 2B. 3C. 4D. −3
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题是真命题的是( )
A. 若aB. 若非零实数a，b，c满足a0，则acC. 若lg2a>lg2b，则a2>b2
D. 若1≤a−b≤2，2≤a+b≤4，则5≤4a−2b≤10
10.下列各对事件中，M、N是相互独立事件的有( )
A. 掷1枚质地均匀的骰子一次，事件M=“出现的点数为奇数”，事件N=“出现的点数为偶数”
B. 袋中有5个红球，5个黄球，除颜色外完全相同，依次不放回地摸两次，事件M=“第1次摸到红球”，事件N=“第2次摸到红球”
C. 分别抛掷2枚相同的硬币，事件M=“第1枚为正面”，事件N=“两枚结果相同”
D. 一枚硬币掷两次，事件M=“第一次为正面”，事件N=“第二次为反面”
11.已知函数f(x)=ln(x2−2x+e2+1)，则( )
A. f(x)的最小值为2
B. ∃x∈R，f(e)+f(x)=4
C.
D.
三、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
12.某学校为了调查学生在一周生活方面的支出情况，抽出了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50,60)元的学生有60人，则下列说法正确的是______．
A.样本中支出在[50,60)元的频率为0.03
B.样本中支出不少于40元的人数有132
C.n的值为200
D.若该校有2000名学生，则定有600人支出在[50,60)元
13.若函数f(x)与g(x)=3x互为反函数，则f(1−x2)的单调递减区间是______．
14.若函数f(x)满足f(x+2)=x+3x+2，则f(x)在[1,+∞)上的值域为______．
15.已知x>0，y>0，且x+y=2，则的最小值为______．
16.已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
设集合A={x|a+1≤x≤3a}，B={x|5≤x<10}．
(1)若a=2，求A∪B，∁R(A∪B)；
(2)若A∩B=⌀，求实数a的取值范围．
18.(本小题12分)
2022年新冠肺炎仍在世界好多国家肆虐，尽管我国抗疫取得了很大的成绩，疫情也得到了很好的遏制，但由于整个国际环境的影响，时而也会出现一些散发病例，故而抗疫形势依然艰巨．我市某小区为了防止疫情在小区出现，严防外来人员进入小区，切实保障居民正常生活，设置“特殊值班岗”.现有包含甲、乙在内的4名志愿者参与该工作，每人安排一天，每4天一轮．在一轮的“特殊值班岗”安排中，求：
(Ⅰ)甲、乙两人相邻值班的概率；
(Ⅱ)甲或乙被安排在前2天值班的概率．
19.(本小题12分)
已知y=x2−(a+1)x+a．
(1)若y≤0的解集A是集合{x|−4≤x≤2}的真子集，求实数a的取值范围；
(2)若对∀x>2，均有y≥3x−7恒成立，求实数a的取值范围．
20.(本小题12分)
设Sn为数列{an}的前n项和，已知为等比数列，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)已知a1=1，设，记Tn为数列{bn}的前n项和，证明：．
21.(本小题12分)
文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩(满分100分，成绩均为不低于40分的整数)分成六段：[40,50)，[50,60)，…，[90,100]，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中a的值；
(2)求样本成绩的第75百分位数；
(3)已知落在[50,60)的平均成绩是54，方差是7，落在[60,70)的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩的总平均数z−和总方差s2．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=2x−12x+1．
(1)判断函数f(x)的奇偶性；
(2)判断并用定义证明函数f(x)在其定义域上的单调性．
(3)若对任意的t≥1，不等式f(k⋅3t)+f(3t−9t+2)<0恒成立，求k的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：函数中，，解得−4≤x<1，即函数f(x)的定义域为[−4,1)，
因此在f(2x)中，−4≤2x<1，解得，
所以f(2x)的定义域为．
故选：C．
求出函数f(x)的定义域，再求出复合函数定义域即得．
本题主要考查了函数定义域的求解，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：对于β：因为{2}⊂M⊆{2,4,5}，所以集合M中一定含有元素2，且元素4、5至少有一个，
因此，集合M可能为{2,4}，{2,5}，{2,4,5}三种情况．
若α成立，则β必然成立，反之，若β成立，α不一定成立，
因此，条件α是条件β的充分不必要条件．
故选：A．
根据子集与真子集的定义，结合充分必要条件的定义算出答案．
本题主要考查集合的包含关系、充要条件的判断等知识，考查了逻辑推理能力，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：a=2lg43= 3,b=lg48=32,c=30.6>30.5= 3，故c>a>b．
故选：D．
对a、b化简后可得具体的值，对c有c=30.6>30.5= 3．
本题考查对数值比较大小的问题，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：对于A，若a>b>0>c，则c2>0，在a>b的两边都乘以c2，得ac2>bc2，故A正确；
对于B，因为c+aa−c+bb=c(b−a)ab>0，所以c+aa>c+bb，故B正确；
对于C，由a>b>0，得a2>ab，且ab>b2，所以a2>ab>b2成立，故C正确；
对于D，ba−ab=(b−a)(b+a)ab<0，所以ba故选：D．
根据不等式的基本性质，判断出A、C两项的正误；利用作差法比较大小，判断出B、D两项的正误，可得答案．
本题主要考查不等式的基本性质、作差法比较大小等知识，考查了计算能力，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
将14拆成两个正整数的和，利用列举法求出基本事件有13个，拆成的和式中，加数全部为素数的基本事件有3个，由此能求出拆成的和式中，加数全部为素数的概率．
【解答】
解：将14拆成两个正整数的和，基本事件有：
1+13，2+12，3+11，4+10，5+9，6+8，7+7，8+6，9+5，10+4，11+3，12+2，13+1，共13个，
拆成的和式中，加数全部为素数的基本事件有：
3+11，7+7，11+3，共3个，
则拆成的和式中，加数全部为素数的概率为P=313．
故选：A．
6.【答案】A
【解析】解：根据题意，命题∀x∈R，4x2+(a−2)x+14>0是假命题，
则有Δ=(a−2)2−4×4×14=(a−2)2−4≥0，
解可得：(−∞,0]∪[4,+∞)，即a的取值范围为(−∞,0]∪[4,+∞)．
故选：A．
根据题意，分析可得命题∀x∈R，4x2+(a−2)x+14>0是假命题，由二次函数的性质可得Δ=(a−2)2−4×4×
=(a−2)2−4<0，解可得a的取值范围，即可得答案．
本题考查命题真假的判断以及应用，涉及二次函数的性质，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】解：因为的定义域为[0,+∞)，
而在[0,+∞)上单调递增，在[0,+∞)上单调递减，
所以在[0,+∞)上单调递增，
又，，
所以f(x)的零点所在区间是(2,3)．
故选：C．
利用指数函数、幂函数的单调性判断f(x)的单调性，再应用零点存在性定理判断零点所在区间即可得解．
本题考查了函数的单调性，考查了函数的零点问题，是一道基础题．
8.【答案】B
【解析】解：不妨设x1因为方程f(x)=m(m∈R)的根的个数即为y=f(x)与y=m的交点个数，
由图象可得：若方程f(x)=m(m∈R)有四个不同的实数根，则1又因为|ln(−x1)|=|ln(−x2)|，且x1≠x2，
则ln(−x1)+ln(−x2)=ln(x1⋅x2)=0，可得x1⋅x2=1，
又因为x3+x4=4，x3∈[1,2)，即x4=4−x3，
可得x1⋅x2⋅x3⋅x4=x3(4−x3)=−(x3−2)2+4，
所以当x3=1时，x1⋅x2⋅x3⋅x4取到最小值3．
故选：B．
结合图像可知1本题主要考查函数的零点与方程根的关系，考查数形结合思想与运算求解能力，属于中档题．
9.【答案】BCD
【解析】解：A选项：当a<0，b>0时，显然，A错误；
B选项：若非零实数a，b，c满足a0，则有c>0，所以acC选项：若lg2a>lg2b，则a>b>0，所以a2>b2，C正确；
D选项：设4a−2b=x(a−b)+y(a+b)，则，解得$∖ left∖ {∖ begin{array}{l}x=3∖ ∖ y=1∖ end{array}∖ right.$,
因为1≤a−b≤2，所以3≤3(a−b)≤6，
又2≤a+b≤4，所以5≤3(a−b)+(a+b)≤10，即5≤4a−2b≤10，D正确．
故选：BCD．
举反例可否定A；根据条件先判断c的符号，然后可判断B；根据对数函数单调性和真数范围，结合不等式性质可判断C；利用4a−2b=3(a−b)+(a+b)关系，由不等式性质可判断D．
本题主要考查命题的真假判断以及不等式的性质，属于中档题也是易错题．
10.【答案】CD
【解析】解：对于A，掷1枚质地均匀的骰子一次，事件M=“出现的点数为奇数”，
事件N=“出现的点数为偶数”，则事件MN=“出现的点数为奇数且为偶数”，
所以P(MN)=0，又因为P(M)=P(N)=12，所以，P(MN)≠P(M)⋅P(N)，
所以M、N不相互独立，A不满足；
对于B，袋中有5个红球，5个黄球，除颜色外完全相同，依次不放回地摸两次，
事件M=“第1次摸到红球”，事件N=“第2次摸到红球”，
由题意可知，事件M的发生影响事件N的发生，故M、N不相互独立，B不满足；
对于C，分别抛掷2枚相同的硬币，事件M=“第1枚为正面”，事件N=“两枚结果相同”，
则事件MN=“两枚硬币都正面向上”，则P(MN)=14，
又因为P(M)=12，P(N)=24=12，则P(MN)=P(M)⋅P(N)，
所以M、N相互独立，C满足；
对于D，一枚硬币掷两次，事件M=“第一次为正面”，事件N=“第二次为反面”，
第一次为正面对第二次的结果不影响，因此M、N相互独立，D满足．
故选：CD．
利用独立事件的定义可判断AC选项；利用事件的关系可判断BD选项．
本题主要考查相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式，考查随机事件，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于中档题．
11.【答案】AC
【解析】解：∵y=x2−2x+e2+1=(x−1)2+e2≥e2，可知该函数在(−∞,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，
故f(x)=ln(x2−2x+e2+1)在(−∞,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，
∴f(x)min=f(1)=2，且函数关于x=1对称，
对于A、f(x)的最小值为f(1)=2，故A正确；
对于B、有f(e)+f(x)>2f(1)=4，故B错误；
对于C、∵25<102，，可得，故C正确；
对于D、，，故D错误．
故选：AC．
确定f(x)在(−∞,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，函数关于x=1对称，计算最值得到A正确，由f(e)+f(x)>4，可得B错误，由，得C正确，由，可知D错误．
本题考查复合函数的单调性，考查分析问题与解决问题的能力，是中档题．
12.【答案】BC
【解析】解：由频率分布直方图得：
在A中，样本中支出在[50,60)元的频率为：1−(0.01+0.024+0.036)×10=0.3，故A错误；
在B中，样本中支出不少于40元的人数有：×60+60=132，故B正确；
在C中，n=600.03=200，故n的值为200，故C正确；
D.若该校有2000名学生，则可能有600人支出在[50,60)元，故D错误．
故答案为：BC．
在A中，样本中支出在[50,60)元的频率为0.3；在B中，样本中支出不少于40元的人数有：×60+60=132；在C中，n=600.03=200；D.若该校有2000名学生，则可能有600人支出在[50,60)元．
本题考查命题真假的判断，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．
13.【答案】[0,1)
【解析】解：函数f(x)与g(x)=3x互为反函数，
则f(x)=lg3x，
故f(1−x2)=$l{g}_{3}(1−{x}^{2})，，
二次函数y=−x2+1的对称轴为x=0，
由复合函数的单调性可知，f(1−x2)的单调递减区间是[0,1)．
故答案为：[0,1)．
先求出f(x)的解析式，再结合复合函数的单调性，即可求解．
本题主要考查反函数的求解，属于基础题．
14.【答案】(1,2]
【解析】解：∵函数f(x)满足f(x+2)=x+3x+2=(x+2)+1x+2，则f(x)=x+1x=1+1x，
故函数f(x)在[1,+∞)上单调递减．
当x=1时，函数f(x)取得最大值为2，
当x趋于+∞时，f(x)趋于1，
故函数的值域为(1,2]，
故答案为：(1,2]．
先由题意求出求函数的解析式，利用单调性求函数的值域．
本题主要考查求函数的解析式，利用单调性求函数的值域，属于中档题．
15.【答案】
【解析】解：因为x>0，y>0，x+y=2，
所以y=2−x>0，则0所以，
因为
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以．
故答案为：．
利用基本不等式“1”的妙用即可得解．
本题主要考查基本不等式的应用，属于中档题．
16.【答案】(−∞,0]∪[4,+∞)
【解析】解：由函数，令f(x)=4x−a⋅2x+a，
令t=2x>0，可得g(t)=t2−a⋅t+a，
要使得函数的值域为R，
则g(t)=t2−a⋅t+a，t>0的值域能取遍一切正实数，
当a>0时，则满足Δ=(−a)2−4a≥0，解得a≥4；
当a=0时，可得g(t)=t2≥0，符合题意；
当a<0时，则满足g(0)=a<0，此时函数g(t)的值域能取遍一切正实数，符合题意，
综上可得，实数a的取值范围为(−∞,0]∪[4,+∞)．
故答案为：(−∞,0]∪[4,+∞)．
根据题意，令t=2x>0，转化为g(t)=t2−a⋅t+a，t>0的值域取遍一切正实数，结合二次函数的性质，分类讨论，即可求解．
本题主要考查对数函数的值域与最值，属于基础题．
17.【答案】解：(1)当a=2时，A={x|3≤x≤6}，而B={x|5≤x<10}，
所以A∪B={x|3≤x<10}，∁R(A∪B)={x|x<3或x≥10}．
(2)因为A∩B=⌀，
(i)当A=⌀时，a+1>3a，解得，此时满足A∩B=⌀；
(ii)当A≠⌀时，满足A∩B=⌀，即需满足或$∖ left∖ {∖ begin{array}{l}a+1≤3a∖ ∖ a+1≥10∖ end{array}∖ right.$,
解得或a≥9．
综上所述，实数a的取值范围为$(−∞,∖ frac{5}{3})∪[9，．
【解析】(1)a=2代入集合A，由并集和补集的定义求A∪B，∁R(A∪B)；
(2)由A∩B=⌀，分A=⌀和A≠⌀两种类型，列不等式求实数a的取值范围．
本题考查集合间关系的应用，考查集合的运算，属于基础题．
18.【答案】解：(Ⅰ)由题意，设4名志愿者为甲，乙，丙，丁，4天一轮的值班安排所有可能的结果是：
(甲，乙，丙，丁)，(甲，乙，丁，丙)，(甲，丙，乙，丁)，(甲，丙，丁，乙)，
(甲，丁，乙，丙)，(甲，丁，丙，乙)，(乙，甲，丙，丁)，(乙，甲，丁，丙)，
(乙，丙，甲，丁)，(乙，丙，丁，甲)，(乙，丁，甲，丙)，(乙，丁，丙，甲)，
(丙，甲，乙，丁)，(丙，甲，丁，乙)，(丙，乙，甲，丁)，(丙，乙，丁，甲)，
(丙，丁，乙，甲)，(丙，丁，甲，乙)，(丁，甲，乙，丙)，(丁，甲，丙，乙)，
(丁，乙，甲，丙)，(丁，乙，丙，甲)，(丁，丙，乙，甲)，(丁，丙，甲，乙)，
共24个样本点，
设“甲、乙两人相邻值班”为事件A，则事件A包含：(甲，乙，丙，丁)，(甲，乙，丁，丙)，(乙，甲，丙，丁)，(乙，甲，丁，丙)，(丙，甲，乙，丁)，(丙，乙，甲，丁)，(丙，丁，乙，甲)，(丙，丁，甲，乙)，(丁，甲，乙，丙)，(丁，乙，甲，丙)，(丁，丙，乙，甲)，(丁，丙，甲，乙)，
共12个样本点，
故p(A)=1224=12，
故甲、乙两人相邻值班的概率为12；
(Ⅱ)设“甲或乙被安排在前两天值班”为事件B，
则事件B包含：(甲，乙，丙，丁)，(甲，乙，丁，丙)，(甲，丙，乙，丁)，
(甲，丙，丁，乙)，(甲，丁，乙，丙)，(甲，丁，丙，乙)，(乙，甲，丙，丁)，(乙，甲，丁，丙)，(乙，丙，甲，丁)，(乙，丙，丁，甲)，(乙，丁，甲，丙)，(乙，丁，丙，甲)，(丙，甲，乙，丁)，(丙，甲，丁，乙)，(丙，乙，甲，丁)，(丙，乙，丁，甲)，(丁，甲，乙，丙)，(丁，甲，丙，乙)，(丁，乙，甲，丙)，
(丁，乙，丙，甲)，
共20个样本点，
故p(B)=2024=56，
故甲或乙被安排在前2天值班的概率56．
【解析】本题考查古典概型及其计算，属中档题．
(Ⅰ)列举出所有的基本事件和甲乙相邻的事件，再利用古典概型的概率计算公式可得答案；
(Ⅱ)甲或乙被安排在前两天值班的事件，再利用古典概型的概率计算公式可得答案．
19.【答案】解：(1)由x2−(a+1)x+a≤0，可得(x−1)(x−a)≤0，
当a<1时，不等式(x−1)(x−a)≤0的解集为A={x|a≤x≤1}，
因为集合A是集合{x|−4≤x≤2}的真子集，可得a≥−4，所以−4≤a<1；
当a=1时，不等式(x−1)(x−a)≤0的解集为A={1}，1∈{x|−4≤x≤2}，满足题意；
当a>1时，不等式(x−1)(x−a)≤0的解集为A={x|1≤x≤a}，
因为集合A是集合{x|−4≤x≤2}的真子集，可得a≤2，所以1综上所述，实数a的取值范围是[−4,2]．
(2)对一切x>2的实数，均有y≥3x−7恒成立，
即对一切x>2的实数，x2−4x+7≥a(x−1)恒成立，
即对一切x>2的实数，恒成立，
即，因为x>2，
所以，
当且仅当，即x=3时等号成立，所以a≤2，
故实数a的取值范围是(−∞,2]．
【解析】(1)不等式化为(x−1)(x−a)≤0，再分a<1，a=1，a>1讨论求解，再根据真子集的概念求解；
(2)将对一切x>2的实数，均有y≥3x−7恒成立，转化为对一切x>2的实数，恒成立，由求解．
本题考查函数恒成立问题、一元二次不等式的解法和基本不等式的应用，属于中档题．
20.【答案】解：(1)Sn为数列{an}的前n项和，，
则有，所以，等比数列的公比为2，
又，所以；
(2)证明：由(1)知，，当n≥2时，，
所以，所以$∖ frac{{a}_{n}}{{a}_{n−1}}=∖ frac{{2}^{n−2}}{{2}^{n−1}−1}，，
则，
因此．
【解析】(1)由，得，等比数列的首项为1、公比为2，可得通项；
(2)由Sn与an的关系，求出{bn}的通项，通过放缩法证明不等式．
本题考查数列的通项与前n项和的关系，以及等比数列的定义、通项公式，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
21.【答案】解：(1)∵每组小矩形的面积之和为1，
∴(0.005+0.010+0.020+a+0.025+0.010)×10=1，
∴a=0.030．
(2)成绩落在[40,80)内的频率为(0.005+0.010+0.020+0.030)×10=0.65，
落在[40,90)内的频率为(0.005+0.010+0.020+0.030+0.025)×10=0.9，
设第75百分位数为m，
由0.65+(m−80)×0.025=0.75，得m=84，故第75百分位数为84；
(3)由图可知，成绩在[50,60)的市民人数为100×0.1=10，
成绩在[60,70)的市民人数为100×0.2=20，
故z−=10×54+66×2010+20=62．
所以两组市民成绩的总平均数是62，
s2=110+20[10×(54−62)2+10×7+20×(66−62)2+20×4]=37，
所以两组市民成绩的总平均数是62，总方差是37．
【解析】(1)根据每组小矩形的面积之和为1即可求解；
(2)由频率分布直方图求第75百分位数的计算公式即可求解；
(3)根据平均数和方差的计算公式即可求解．
本题考查频率分布直方图的应用，属于基础题．
22.【答案】解：(1)根据题意，f(x)=2x−12x+1，其定义域为R，
则有f(−x)=2−x−12−x+1=−(2x−12x+1)=−f(x)，
故函数f(x)为奇函数；
(2)根据题意，f(x)=2x−12x+1在R上为单调增函数，
证明如下：f(x)=2x−12x+1=1−22x+1，
任取x1，x2∈R，且x1则f(x1)−f(x2)=(1−22x1+1)−(1−22x2+1)=2(2x1−2x2)(2x1+1)(2x2+1)，
又由x1则(2x1−2x2)<0，(2x1+1)>0，(2x2+1)>0，
则f(x1)−f(x2)<0，所以f(x)在R上为单调增函数；
(3)根据题意，f(x)为奇函数且在R上为单调增函数，
则f(k⋅3t)+f(3t−9t+2)<0⇒f(k⋅3t)<−f(3t−9t+2)⇒f(k⋅3t)若对任意的t≥1，不等式f(k⋅3t)+f(3t−9t+2)<0恒成立，
则k<3t−23t−1对于任意的t≥1恒成立，
设g(t)=3t−23t−1，易得g(t)在[1,+∞)为增函数，则g(t)min=g(1)=43，
则必有k≤43，
故k的取值范围为(−∞,43].
【解析】(1)根据题意，由函数的解析式分析可得f(−x)=−f(x)，由函数奇偶性的定义分析可得结论；
(2)根据题意，函数的解析式可以变形为f(x)=2x−12x+1=1−22x+1，任取x1，x2∈R，且x1(3)根据题意，由函数的奇偶性与单调性分析可得：f(k⋅3t)+f(3t−9t+2)<0⇒k<3t−23t−1，设g(t)=3t−23t−1，易得g(t)在[1,+∞)为增函数，则g(t)min=g(1)=43，据此分析可得答案．
本题考查函数的恒成立问题，涉及函数的奇偶性与单调性的判定以及性质的应用，属于综合题．1
4
1.已知函数，则f(2x)的定义域为( )
A. [−4,1)B. [−4,1]
C. D. [−8,2)
2.若α：M={2,4}，β：{2}⊂M⊆{2,4,5}，则α是β的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3.已知a=2lg43,b=lg48,c=30.6，则( )
A. a
A. ac2>bc2B. c+aa>c+bbC. a2>ab>b2D. ba>ab
5.“哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一，其内容是：一个大于2的偶数都可以写成两个素数(质数)之和，也就是我们所谓的“1+1”问题．它是1742年由数学家哥德巴赫提出的，我国数学家潘承洞、王元、陈景润等在哥德巴赫猜想的证明中都取得了相当好的成绩．若将14拆成两个正整数的和，则拆成的和式中，加数全部为素数的概率为( )
A. 313B. 513C. 27D. 37
6.已知命题“∀x∈R，4x2+(a−2)x+14>0”是假命题，则实数a的取值范围为( )
A. (−∞,0]∪[4,+∞)B. [0,4]
C. [4,+∞)D. (0,4)
7.函数的零点所在区间是( )
A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)
8.已知f(x)=|ln(−x)|,x<0x2−4x+5,x≥1，若方程f(x)=m(m∈R)有四个不同的实数根x1，x2，x3，x4，则x1⋅x2⋅x3⋅x4的最小值是( )
A. 2B. 3C. 4D. −3
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题是真命题的是( )
A. 若a
D. 若1≤a−b≤2，2≤a+b≤4，则5≤4a−2b≤10
10.下列各对事件中，M、N是相互独立事件的有( )
A. 掷1枚质地均匀的骰子一次，事件M=“出现的点数为奇数”，事件N=“出现的点数为偶数”
B. 袋中有5个红球，5个黄球，除颜色外完全相同，依次不放回地摸两次，事件M=“第1次摸到红球”，事件N=“第2次摸到红球”
C. 分别抛掷2枚相同的硬币，事件M=“第1枚为正面”，事件N=“两枚结果相同”
D. 一枚硬币掷两次，事件M=“第一次为正面”，事件N=“第二次为反面”
11.已知函数f(x)=ln(x2−2x+e2+1)，则( )
A. f(x)的最小值为2
B. ∃x∈R，f(e)+f(x)=4
C.
D.
三、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
12.某学校为了调查学生在一周生活方面的支出情况，抽出了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50,60)元的学生有60人，则下列说法正确的是______．
A.样本中支出在[50,60)元的频率为0.03
B.样本中支出不少于40元的人数有132
C.n的值为200
D.若该校有2000名学生，则定有600人支出在[50,60)元
13.若函数f(x)与g(x)=3x互为反函数，则f(1−x2)的单调递减区间是______．
14.若函数f(x)满足f(x+2)=x+3x+2，则f(x)在[1,+∞)上的值域为______．
15.已知x>0，y>0，且x+y=2，则的最小值为______．
16.已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
设集合A={x|a+1≤x≤3a}，B={x|5≤x<10}．
(1)若a=2，求A∪B，∁R(A∪B)；
(2)若A∩B=⌀，求实数a的取值范围．
18.(本小题12分)
2022年新冠肺炎仍在世界好多国家肆虐，尽管我国抗疫取得了很大的成绩，疫情也得到了很好的遏制，但由于整个国际环境的影响，时而也会出现一些散发病例，故而抗疫形势依然艰巨．我市某小区为了防止疫情在小区出现，严防外来人员进入小区，切实保障居民正常生活，设置“特殊值班岗”.现有包含甲、乙在内的4名志愿者参与该工作，每人安排一天，每4天一轮．在一轮的“特殊值班岗”安排中，求：
(Ⅰ)甲、乙两人相邻值班的概率；
(Ⅱ)甲或乙被安排在前2天值班的概率．
19.(本小题12分)
已知y=x2−(a+1)x+a．
(1)若y≤0的解集A是集合{x|−4≤x≤2}的真子集，求实数a的取值范围；
(2)若对∀x>2，均有y≥3x−7恒成立，求实数a的取值范围．
20.(本小题12分)
设Sn为数列{an}的前n项和，已知为等比数列，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)已知a1=1，设，记Tn为数列{bn}的前n项和，证明：．
21.(本小题12分)
文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩(满分100分，成绩均为不低于40分的整数)分成六段：[40,50)，[50,60)，…，[90,100]，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中a的值；
(2)求样本成绩的第75百分位数；
(3)已知落在[50,60)的平均成绩是54，方差是7，落在[60,70)的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩的总平均数z−和总方差s2．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=2x−12x+1．
(1)判断函数f(x)的奇偶性；
(2)判断并用定义证明函数f(x)在其定义域上的单调性．
(3)若对任意的t≥1，不等式f(k⋅3t)+f(3t−9t+2)<0恒成立，求k的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：函数中，，解得−4≤x<1，即函数f(x)的定义域为[−4,1)，
因此在f(2x)中，−4≤2x<1，解得，
所以f(2x)的定义域为．
故选：C．
求出函数f(x)的定义域，再求出复合函数定义域即得．
本题主要考查了函数定义域的求解，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：对于β：因为{2}⊂M⊆{2,4,5}，所以集合M中一定含有元素2，且元素4、5至少有一个，
因此，集合M可能为{2,4}，{2,5}，{2,4,5}三种情况．
若α成立，则β必然成立，反之，若β成立，α不一定成立，
因此，条件α是条件β的充分不必要条件．
故选：A．
根据子集与真子集的定义，结合充分必要条件的定义算出答案．
本题主要考查集合的包含关系、充要条件的判断等知识，考查了逻辑推理能力，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：a=2lg43= 3,b=lg48=32,c=30.6>30.5= 3，故c>a>b．
故选：D．
对a、b化简后可得具体的值，对c有c=30.6>30.5= 3．
本题考查对数值比较大小的问题，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：对于A，若a>b>0>c，则c2>0，在a>b的两边都乘以c2，得ac2>bc2，故A正确；
对于B，因为c+aa−c+bb=c(b−a)ab>0，所以c+aa>c+bb，故B正确；
对于C，由a>b>0，得a2>ab，且ab>b2，所以a2>ab>b2成立，故C正确；
对于D，ba−ab=(b−a)(b+a)ab<0，所以ba
根据不等式的基本性质，判断出A、C两项的正误；利用作差法比较大小，判断出B、D两项的正误，可得答案．
本题主要考查不等式的基本性质、作差法比较大小等知识，考查了计算能力，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
将14拆成两个正整数的和，利用列举法求出基本事件有13个，拆成的和式中，加数全部为素数的基本事件有3个，由此能求出拆成的和式中，加数全部为素数的概率．
【解答】
解：将14拆成两个正整数的和，基本事件有：
1+13，2+12，3+11，4+10，5+9，6+8，7+7，8+6，9+5，10+4，11+3，12+2，13+1，共13个，
拆成的和式中，加数全部为素数的基本事件有：
3+11，7+7，11+3，共3个，
则拆成的和式中，加数全部为素数的概率为P=313．
故选：A．
6.【答案】A
【解析】解：根据题意，命题∀x∈R，4x2+(a−2)x+14>0是假命题，
则有Δ=(a−2)2−4×4×14=(a−2)2−4≥0，
解可得：(−∞,0]∪[4,+∞)，即a的取值范围为(−∞,0]∪[4,+∞)．
故选：A．
根据题意，分析可得命题∀x∈R，4x2+(a−2)x+14>0是假命题，由二次函数的性质可得Δ=(a−2)2−4×4×
=(a−2)2−4<0，解可得a的取值范围，即可得答案．
本题考查命题真假的判断以及应用，涉及二次函数的性质，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】解：因为的定义域为[0,+∞)，
而在[0,+∞)上单调递增，在[0,+∞)上单调递减，
所以在[0,+∞)上单调递增，
又，，
所以f(x)的零点所在区间是(2,3)．
故选：C．
利用指数函数、幂函数的单调性判断f(x)的单调性，再应用零点存在性定理判断零点所在区间即可得解．
本题考查了函数的单调性，考查了函数的零点问题，是一道基础题．
8.【答案】B
【解析】解：不妨设x1
由图象可得：若方程f(x)=m(m∈R)有四个不同的实数根，则1
则ln(−x1)+ln(−x2)=ln(x1⋅x2)=0，可得x1⋅x2=1，
又因为x3+x4=4，x3∈[1,2)，即x4=4−x3，
可得x1⋅x2⋅x3⋅x4=x3(4−x3)=−(x3−2)2+4，
所以当x3=1时，x1⋅x2⋅x3⋅x4取到最小值3．
故选：B．
结合图像可知1
9.【答案】BCD
【解析】解：A选项：当a<0，b>0时，显然，A错误；
B选项：若非零实数a，b，c满足a
D选项：设4a−2b=x(a−b)+y(a+b)，则，解得$∖ left∖ {∖ begin{array}{l}x=3∖ ∖ y=1∖ end{array}∖ right.$,
因为1≤a−b≤2，所以3≤3(a−b)≤6，
又2≤a+b≤4，所以5≤3(a−b)+(a+b)≤10，即5≤4a−2b≤10，D正确．
故选：BCD．
举反例可否定A；根据条件先判断c的符号，然后可判断B；根据对数函数单调性和真数范围，结合不等式性质可判断C；利用4a−2b=3(a−b)+(a+b)关系，由不等式性质可判断D．
本题主要考查命题的真假判断以及不等式的性质，属于中档题也是易错题．
10.【答案】CD
【解析】解：对于A，掷1枚质地均匀的骰子一次，事件M=“出现的点数为奇数”，
事件N=“出现的点数为偶数”，则事件MN=“出现的点数为奇数且为偶数”，
所以P(MN)=0，又因为P(M)=P(N)=12，所以，P(MN)≠P(M)⋅P(N)，
所以M、N不相互独立，A不满足；
对于B，袋中有5个红球，5个黄球，除颜色外完全相同，依次不放回地摸两次，
事件M=“第1次摸到红球”，事件N=“第2次摸到红球”，
由题意可知，事件M的发生影响事件N的发生，故M、N不相互独立，B不满足；
对于C，分别抛掷2枚相同的硬币，事件M=“第1枚为正面”，事件N=“两枚结果相同”，
则事件MN=“两枚硬币都正面向上”，则P(MN)=14，
又因为P(M)=12，P(N)=24=12，则P(MN)=P(M)⋅P(N)，
所以M、N相互独立，C满足；
对于D，一枚硬币掷两次，事件M=“第一次为正面”，事件N=“第二次为反面”，
第一次为正面对第二次的结果不影响，因此M、N相互独立，D满足．
故选：CD．
利用独立事件的定义可判断AC选项；利用事件的关系可判断BD选项．
本题主要考查相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式，考查随机事件，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于中档题．
11.【答案】AC
【解析】解：∵y=x2−2x+e2+1=(x−1)2+e2≥e2，可知该函数在(−∞,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，
故f(x)=ln(x2−2x+e2+1)在(−∞,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，
∴f(x)min=f(1)=2，且函数关于x=1对称，
对于A、f(x)的最小值为f(1)=2，故A正确；
对于B、有f(e)+f(x)>2f(1)=4，故B错误；
对于C、∵25<102，，可得，故C正确；
对于D、，，故D错误．
故选：AC．
确定f(x)在(−∞,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，函数关于x=1对称，计算最值得到A正确，由f(e)+f(x)>4，可得B错误，由，得C正确，由，可知D错误．
本题考查复合函数的单调性，考查分析问题与解决问题的能力，是中档题．
12.【答案】BC
【解析】解：由频率分布直方图得：
在A中，样本中支出在[50,60)元的频率为：1−(0.01+0.024+0.036)×10=0.3，故A错误；
在B中，样本中支出不少于40元的人数有：×60+60=132，故B正确；
在C中，n=600.03=200，故n的值为200，故C正确；
D.若该校有2000名学生，则可能有600人支出在[50,60)元，故D错误．
故答案为：BC．
在A中，样本中支出在[50,60)元的频率为0.3；在B中，样本中支出不少于40元的人数有：×60+60=132；在C中，n=600.03=200；D.若该校有2000名学生，则可能有600人支出在[50,60)元．
本题考查命题真假的判断，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．
13.【答案】[0,1)
【解析】解：函数f(x)与g(x)=3x互为反函数，
则f(x)=lg3x，
故f(1−x2)=$l{g}_{3}(1−{x}^{2})，，
二次函数y=−x2+1的对称轴为x=0，
由复合函数的单调性可知，f(1−x2)的单调递减区间是[0,1)．
故答案为：[0,1)．
先求出f(x)的解析式，再结合复合函数的单调性，即可求解．
本题主要考查反函数的求解，属于基础题．
14.【答案】(1,2]
【解析】解：∵函数f(x)满足f(x+2)=x+3x+2=(x+2)+1x+2，则f(x)=x+1x=1+1x，
故函数f(x)在[1,+∞)上单调递减．
当x=1时，函数f(x)取得最大值为2，
当x趋于+∞时，f(x)趋于1，
故函数的值域为(1,2]，
故答案为：(1,2]．
先由题意求出求函数的解析式，利用单调性求函数的值域．
本题主要考查求函数的解析式，利用单调性求函数的值域，属于中档题．
15.【答案】
【解析】解：因为x>0，y>0，x+y=2，
所以y=2−x>0，则0
因为
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以．
故答案为：．
利用基本不等式“1”的妙用即可得解．
本题主要考查基本不等式的应用，属于中档题．
16.【答案】(−∞,0]∪[4,+∞)
【解析】解：由函数，令f(x)=4x−a⋅2x+a，
令t=2x>0，可得g(t)=t2−a⋅t+a，
要使得函数的值域为R，
则g(t)=t2−a⋅t+a，t>0的值域能取遍一切正实数，
当a>0时，则满足Δ=(−a)2−4a≥0，解得a≥4；
当a=0时，可得g(t)=t2≥0，符合题意；
当a<0时，则满足g(0)=a<0，此时函数g(t)的值域能取遍一切正实数，符合题意，
综上可得，实数a的取值范围为(−∞,0]∪[4,+∞)．
故答案为：(−∞,0]∪[4,+∞)．
根据题意，令t=2x>0，转化为g(t)=t2−a⋅t+a，t>0的值域取遍一切正实数，结合二次函数的性质，分类讨论，即可求解．
本题主要考查对数函数的值域与最值，属于基础题．
17.【答案】解：(1)当a=2时，A={x|3≤x≤6}，而B={x|5≤x<10}，
所以A∪B={x|3≤x<10}，∁R(A∪B)={x|x<3或x≥10}．
(2)因为A∩B=⌀，
(i)当A=⌀时，a+1>3a，解得，此时满足A∩B=⌀；
(ii)当A≠⌀时，满足A∩B=⌀，即需满足或$∖ left∖ {∖ begin{array}{l}a+1≤3a∖ ∖ a+1≥10∖ end{array}∖ right.$,
解得或a≥9．
综上所述，实数a的取值范围为$(−∞,∖ frac{5}{3})∪[9，．
【解析】(1)a=2代入集合A，由并集和补集的定义求A∪B，∁R(A∪B)；
(2)由A∩B=⌀，分A=⌀和A≠⌀两种类型，列不等式求实数a的取值范围．
本题考查集合间关系的应用，考查集合的运算，属于基础题．
18.【答案】解：(Ⅰ)由题意，设4名志愿者为甲，乙，丙，丁，4天一轮的值班安排所有可能的结果是：
(甲，乙，丙，丁)，(甲，乙，丁，丙)，(甲，丙，乙，丁)，(甲，丙，丁，乙)，
(甲，丁，乙，丙)，(甲，丁，丙，乙)，(乙，甲，丙，丁)，(乙，甲，丁，丙)，
(乙，丙，甲，丁)，(乙，丙，丁，甲)，(乙，丁，甲，丙)，(乙，丁，丙，甲)，
(丙，甲，乙，丁)，(丙，甲，丁，乙)，(丙，乙，甲，丁)，(丙，乙，丁，甲)，
(丙，丁，乙，甲)，(丙，丁，甲，乙)，(丁，甲，乙，丙)，(丁，甲，丙，乙)，
(丁，乙，甲，丙)，(丁，乙，丙，甲)，(丁，丙，乙，甲)，(丁，丙，甲，乙)，
共24个样本点，
设“甲、乙两人相邻值班”为事件A，则事件A包含：(甲，乙，丙，丁)，(甲，乙，丁，丙)，(乙，甲，丙，丁)，(乙，甲，丁，丙)，(丙，甲，乙，丁)，(丙，乙，甲，丁)，(丙，丁，乙，甲)，(丙，丁，甲，乙)，(丁，甲，乙，丙)，(丁，乙，甲，丙)，(丁，丙，乙，甲)，(丁，丙，甲，乙)，
共12个样本点，
故p(A)=1224=12，
故甲、乙两人相邻值班的概率为12；
(Ⅱ)设“甲或乙被安排在前两天值班”为事件B，
则事件B包含：(甲，乙，丙，丁)，(甲，乙，丁，丙)，(甲，丙，乙，丁)，
(甲，丙，丁，乙)，(甲，丁，乙，丙)，(甲，丁，丙，乙)，(乙，甲，丙，丁)，(乙，甲，丁，丙)，(乙，丙，甲，丁)，(乙，丙，丁，甲)，(乙，丁，甲，丙)，(乙，丁，丙，甲)，(丙，甲，乙，丁)，(丙，甲，丁，乙)，(丙，乙，甲，丁)，(丙，乙，丁，甲)，(丁，甲，乙，丙)，(丁，甲，丙，乙)，(丁，乙，甲，丙)，
(丁，乙，丙，甲)，
共20个样本点，
故p(B)=2024=56，
故甲或乙被安排在前2天值班的概率56．
【解析】本题考查古典概型及其计算，属中档题．
(Ⅰ)列举出所有的基本事件和甲乙相邻的事件，再利用古典概型的概率计算公式可得答案；
(Ⅱ)甲或乙被安排在前两天值班的事件，再利用古典概型的概率计算公式可得答案．
19.【答案】解：(1)由x2−(a+1)x+a≤0，可得(x−1)(x−a)≤0，
当a<1时，不等式(x−1)(x−a)≤0的解集为A={x|a≤x≤1}，
因为集合A是集合{x|−4≤x≤2}的真子集，可得a≥−4，所以−4≤a<1；
当a=1时，不等式(x−1)(x−a)≤0的解集为A={1}，1∈{x|−4≤x≤2}，满足题意；
当a>1时，不等式(x−1)(x−a)≤0的解集为A={x|1≤x≤a}，
因为集合A是集合{x|−4≤x≤2}的真子集，可得a≤2，所以1
(2)对一切x>2的实数，均有y≥3x−7恒成立，
即对一切x>2的实数，x2−4x+7≥a(x−1)恒成立，
即对一切x>2的实数，恒成立，
即，因为x>2，
所以，
当且仅当，即x=3时等号成立，所以a≤2，
故实数a的取值范围是(−∞,2]．
【解析】(1)不等式化为(x−1)(x−a)≤0，再分a<1，a=1，a>1讨论求解，再根据真子集的概念求解；
(2)将对一切x>2的实数，均有y≥3x−7恒成立，转化为对一切x>2的实数，恒成立，由求解．
本题考查函数恒成立问题、一元二次不等式的解法和基本不等式的应用，属于中档题．
20.【答案】解：(1)Sn为数列{an}的前n项和，，
则有，所以，等比数列的公比为2，
又，所以；
(2)证明：由(1)知，，当n≥2时，，
所以，所以$∖ frac{{a}_{n}}{{a}_{n−1}}=∖ frac{{2}^{n−2}}{{2}^{n−1}−1}，，
则，
因此．
【解析】(1)由，得，等比数列的首项为1、公比为2，可得通项；
(2)由Sn与an的关系，求出{bn}的通项，通过放缩法证明不等式．
本题考查数列的通项与前n项和的关系，以及等比数列的定义、通项公式，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
21.【答案】解：(1)∵每组小矩形的面积之和为1，
∴(0.005+0.010+0.020+a+0.025+0.010)×10=1，
∴a=0.030．
(2)成绩落在[40,80)内的频率为(0.005+0.010+0.020+0.030)×10=0.65，
落在[40,90)内的频率为(0.005+0.010+0.020+0.030+0.025)×10=0.9，
设第75百分位数为m，
由0.65+(m−80)×0.025=0.75，得m=84，故第75百分位数为84；
(3)由图可知，成绩在[50,60)的市民人数为100×0.1=10，
成绩在[60,70)的市民人数为100×0.2=20，
故z−=10×54+66×2010+20=62．
所以两组市民成绩的总平均数是62，
s2=110+20[10×(54−62)2+10×7+20×(66−62)2+20×4]=37，
所以两组市民成绩的总平均数是62，总方差是37．
【解析】(1)根据每组小矩形的面积之和为1即可求解；
(2)由频率分布直方图求第75百分位数的计算公式即可求解；
(3)根据平均数和方差的计算公式即可求解．
本题考查频率分布直方图的应用，属于基础题．
22.【答案】解：(1)根据题意，f(x)=2x−12x+1，其定义域为R，
则有f(−x)=2−x−12−x+1=−(2x−12x+1)=−f(x)，
故函数f(x)为奇函数；
(2)根据题意，f(x)=2x−12x+1在R上为单调增函数，
证明如下：f(x)=2x−12x+1=1−22x+1，
任取x1，x2∈R，且x1
又由x1
则f(x1)−f(x2)<0，所以f(x)在R上为单调增函数；
(3)根据题意，f(x)为奇函数且在R上为单调增函数，
则f(k⋅3t)+f(3t−9t+2)<0⇒f(k⋅3t)<−f(3t−9t+2)⇒f(k⋅3t)
则k<3t−23t−1对于任意的t≥1恒成立，
设g(t)=3t−23t−1，易得g(t)在[1,+∞)为增函数，则g(t)min=g(1)=43，
则必有k≤43，
故k的取值范围为(−∞,43].
【解析】(1)根据题意，由函数的解析式分析可得f(−x)=−f(x)，由函数奇偶性的定义分析可得结论；
(2)根据题意，函数的解析式可以变形为f(x)=2x−12x+1=1−22x+1，任取x1，x2∈R，且x1
本题考查函数的恒成立问题，涉及函数的奇偶性与单调性的判定以及性质的应用，属于综合题．1
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