专题06 全国初中数学竞赛分类汇编卷（一） 有理数综合（提优）-备战2024年中考数学优生冲刺抢分试题精选（全国通用）

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A．-12B．0C．12D．32
【解答】解：因为xy有意义，所以y不为0，故x+y和x﹣y不等
（1）x+y＝xy=xy解得y＝﹣1，x=12，
（2）x﹣y＝xy=xy解得y＝﹣1，x=-12，
所以|y|﹣|x|＝1-12=12．
故选：C．
2．对于任意实数a，b，c，d，定义有序实数对（a，b）与（c，d）之间的运算“△”为：（a，b）△（c，d）＝（ac+bd，ad+bc）．如果对于任意实数u，v，都有（u，v）△（x，y）＝（u，v），那么（x，y）为（ ）
A．（0，1）B．（1，0）C．（﹣1，0）D．（0，﹣1）
【解答】解：∵（u，v）△（x，y）＝（ux+vy，uy+vx）＝（u，v），
∴ux+vy＝u，uy+vx＝v，
∵对于任意实数u，v都成立，
∴x＝1，y＝0，
∴（x，y）为（1，0）．
故选：B．
3．如果4个不同的正整数m、n、p、q满足（7﹣m）（7﹣n）（7﹣p）（7﹣q）＝4，那么，m+n+p+q等于（ ）
A．10B．21C．24D．28
【解答】解：∵m、n、p、q为4个不同的正整数，
∴7﹣m、7﹣n、7﹣p、7﹣q为4个不同的整数，
又∵4＝2×2×1×1，
∴4＝﹣1×（﹣2）×1×2，
∴7﹣m、7﹣n、7﹣p、7﹣q为﹣2、﹣1、1、2，
∴（7﹣m）+（7﹣n）+（7﹣p）+（7﹣q）＝﹣2+（﹣1）+1+2＝0，
∴m+n+p+q＝28．
故选：D．
4．观察下列各式：
1×2=13(1×2×3-0×1×2)，
2×3=13(2×3×4-1×2×3)，
3×4=13(3×4×5-2×3×4)，
…
计算：3×（1×2+2×3+3×4+…+99×100）＝（ ）
A．97×98×99B．98×99×100
C．99×100×101D．100×101×102
【解答】解：根据题意可知
3×（1×2+2×3+3×4+…+99×100）
＝3×[13×（1×2×3﹣0×1×2）+13（2×3×4﹣1×2×3）+13（3×4×5﹣2×3×4）+⋯+13（99×100×101﹣98×99×100）]
＝1×2×3﹣0×1×2+2×3×4﹣1×2×3+3×4×5﹣2×3×4+…+99×100×101﹣98×99×100
＝99×100×101．
故选：C．
5．下面是按一定规律排列的一列数；
第1个数：12-(1+-12)；
第2个数：13-(1+-12)(1+(-1)23)(1+(-1)34)；
第3个数：14-(1+-12)(1+(-1)23)(1+(-1)34)(1+(-1)45)(1+(-1)56)；……
第n个数：1n+1-(1+-12)(1+(-1)23)(1+(-1)34)⋯(1+(-1)2n-12n)．
那么，在第9个数，第10个数，第11个数，第12个数中，最小的数是（ ）
A．第9个数B．第10个数C．第11个数D．第12个数
【解答】解：第1个数：12-(1+-12)=12-1+12=0，
第2个数：13-(1+-12)(1+(-1)23)(1+(-1)34)=13-(1-12)×43×34=13-1+12=-16，
第3个数：14-(1+-12)(1+(-1)23)(1+(-1)34)(1+(-1)45)(1+(-1)56)=14-(1-12)×43×34×65×56=14-12=-14，
…
第n个数：1n+1-(1+-12)(1+(-1)23)(1+(-1)34)⋯(1+(-1)2n-12n)=-12+1n+1，
所以第9个数，第10个数、第11个数、第12个数分别为110-12，111-12，112-12，113-12，其中最小的数为第12个数，
故选：D．
6．设a＝3050，b＝4040，c＝5030，则a，b，c中最大的是 a ，最小的是 c ．
【解答】解：a＝3050＝（305）10，b＝4040＝（404）10，c＝5030＝（503）10
∵305＞404＞503
∴a＞b＞c
故答案为a；c．
7．计算：1-56+712-920+1130-1342+1556-1772+1990
【解答】解：1-56+712-920+1130-1342+1556-1772+1990
＝1-2+32×3+3+43×4-4+54×5+5+65×6-6+76×7+7+87×8-8+98×9+9+109×10
＝1-13-12+14+13-15-14+⋯-19-18+110+19
＝1-12+110
=35．
8．自选题：如图，显示的填数“魔方”只填了一部分，将下列9个数：14，12，1，2，4，8，16，32，64填入方格中，使得所有行、列及对角线上各数相乘的积相等，求x的值．
【解答】解：这9个数的积为14×12×1×2×4×8×16×32×64＝643，
所以，每行、每列、每条对角线上三个数字积为64，
得ac＝1，ef＝1，ax＝2，a，c，e，f分别为14，12，2，4中的某个数，
对a进行讨论，只有当a=14时，x不是14，12，2，4中某个数；
推得x＝8．
9．阅读下列材料：小明为了计算1+2+22+……+22020+22021的值，采用以下方法：
设S＝1+2+22+……+22020+22021①
则2S＝2+22+……+22021+22022②
②﹣①得，2S﹣S＝S＝22022﹣1．
请仿照小明的方法解决以下问题：
（1）2+22+…+220＝ 221﹣2 ；
（2）求1+12+122+⋯++1250= 2-1250 ；
（3）求（﹣2）+（﹣2）2+……+（﹣2）100的和；（请写出计算过程）
（4）求a+2a2+3a3+……+nan（其中a≠0且a≠1）的和．（请写出计算过程）
【解答】解：（1）设S＝2+22+…+220①，
则2S＝22+…+220+221②，
②﹣①得，2S﹣S＝221﹣2，
即S＝221﹣2，
故答案为：221﹣2；
（2）设S＝1+12+122+⋯+1250①，
则12S=12+122+⋯+1250+1251②，
②﹣①得，12S﹣S=1251-1，
即-12S=1251-1，
∴S＝2-1250，
故答案为：2-1250；
（3）设S＝（﹣2）+（﹣2）2+…+（﹣2）100①，
则﹣2S＝（﹣2）2+（﹣2）3…+（﹣2）101②，
②﹣①得，﹣2S﹣S＝（﹣2）101﹣（﹣2），
即﹣3S＝（﹣2）101+2，
∴S=2101-23；
（4）设S＝a+2a2+3a3+……+nan，
则aS＝a2+2a3+3a4+……+（n﹣1）an+nan+1，
∴（1﹣a）S＝a+a2+a3+a4+……+an﹣nan+1，
设T＝a+a2+a3+a4+……+an，
则aT＝a2+a3+a4+……+an+an+1，
∴（1﹣a）T＝a﹣an+1，
∴T=a-an+11-a，
∴（1﹣a）S=a-an+11-a-nan+1，
∴S=a-an+1(1-a)2-nan+11-a．
10．赵岩，徐婷婷，韩磊不但是同班同学，而且是非常要好的朋友，三个人的学习成绩不相伯仲，且在整个年级中都遥遥领先，高中毕业后三个人都如愿的考入自己心慕已久的大学．后来三个人应母校邀请给全校学生作一次报告．报告后三个人还出了一道数学题：有一种密码把英文按字母分解，英文中的a，b，c，…，z26个字母（不论大小写）依次用1，2，3，…，26这26个自然数表示，并给出如下一个变换公式：y=[x2]+1(其中x是不超过26的正奇数)[x+12]+13(其中x是不超过26的正偶数)；已知对于任意的实数x，记号[x]表示不超过x的最大整数；将英文字母转化成密码，如8→[8+12]+13=17，即h变成q，再如11→[112]+1=6，即k变成f．他们给出下列一组密码：etwcvcjwejncjwwcabqcv，把它翻译出来就是一句很好的临别赠言．现在就请你把它翻译出来，并简单地写出翻译过程．
【解答】解：由题意，密码etwcvcjw对应的英语单词是interest，ej对应的英语单词是is，ncjw对应的英语单词是best，wcabqcv对应的英语单词是teacher．
所以，翻译出来的一句英语是Interestisbestteacher，意思是“兴趣是最好的老师”．