2020年黑龙江省鸡西市朝鲜族学校中考数学试卷

这是一份2020年黑龙江省鸡西市朝鲜族学校中考数学试卷，共36页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．（a+b）（a﹣2b）＝a2﹣2b2B．（a﹣）2＝a2﹣
C．﹣2（3a﹣1）＝﹣6a+1D．（a+3）（a﹣3）＝a2﹣9
3．（3分）如图是由5个立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上的小立方块的个数，则这个几何体的主视图是（ ）
A．B．C．D．
4．（3分）现有两个不透明的袋子，一个装有2个红球、1个白球，另一个装有1个黄球、2个红球，这些球除颜色外完全相同，从两个袋子中各随机摸出1个球，摸出的两个球颜色相同的概率是（ ）
A．B．C．D．
5．（3分）一组数据4，4，x，8，8有唯一的众数，则这组数据的平均数是（ ）
A．B．或5C．或D．5
6．（3分）如图，在△ABC中，sinB＝，tanC＝2，AB＝3，则AC的长为（ ）
A．B．C．D．2
7．（3分）如图，点A，B，S在圆上，若弦AB的长度等于圆半径的倍，则∠ASB的度数是（ ）
A．22.5°B．30°C．45°D．60°
8．（3分）若是二元一次方程组的解，则x+2y的算术平方根为（ ）
A．3B．3，﹣3C．D．，﹣
9．（3分）如图，在菱形OABC中，点B在x轴上，点A的坐标为（2，2），将菱形绕点O旋转，当点A落在x轴上时，点C的对应点的坐标为（ ）
A．（﹣2，﹣2）或（2，﹣2）B．（2，2）
C．（﹣2，2）D．（﹣2，﹣2）或（2，2）
10．（3分）若关于x的分式方程＝有正整数解，则整数m的值是（ ）
A．3B．5C．3或5D．3或4
11．（3分）如图，A，B是双曲线y＝上的两个点，过点A作AC⊥x轴，交OB于点D，垂足为点C．若△ODC的面积为1，D为OB的中点，则k的值为（ ）
A．B．2C．4D．8
12．（3分）如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴为x＝，且经过点（2，0）．下列说法：
①abc＜0；②﹣2b+c＝0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣，y1），（，y2）是抛物线上的两点，则y1＜y2；⑤b＞m（am+b）（其中m≠）．
其中说法正确的是（ ）
A．①②④⑤B．①②④C．①④⑤D．③④⑤
二、选择题：（每小题3分，共24分．）
13．（3分）一周时间有604800秒，604800用科学记数法表示为 ．
14．（3分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件 ，使四边形ABCD是平行四边形（填一个即可）．
15．（3分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是 ．
16．（3分）“元旦”期间，某商店单价为130元的书包按八折出售可获利30%，则该书包的进价是 元．
17．（3分）将抛物线y＝（x﹣1）2﹣5关于y轴对称，再向右平移3个单位长度后顶点的坐标是 ．
18．（3分）如图是由同样大小的圆按一定规律排列所组成的，其中第1个图形中一共有4个圆，第2个图形中一共有8个圆，第3个图形中一共有14个圆，第4个图形中一共有22个圆……按此规律排列下去，第9个图形中圆的个数是 个．
19．（3分）在半径为的⊙O中，弦AB垂直于弦CD，垂足为P，AB＝CD＝4，则S△ACP＝ ．
20．（3分）如图，正方形ABCD中，点E在边AD上，点F在边CD上，若∠BEF＝∠EBC，AB＝3AE，则下列结论：
①DF＝FC；
②AE+DF＝EF；
③∠BFE＝∠BFC；
④∠ABE+∠CBF＝45°；
⑤∠DEF+∠CBF＝∠BFC；
⑥DF：DE：EF＝3：4：5；
⑦BF：EF＝3：5．
其中结论正确的序号有 ．
三、解答题：（共60分．）
21．（5分）先化简，再求值：﹣÷，其中x＝1﹣2tan45°．
22．（6分）已知抛物线y＝a（x﹣2）2+c经过点A（﹣2，0）和点C（0，），与x轴交于另一点B，顶点为D．
（1）求抛物线的解析式，并写出顶点D的坐标；
（2）如图，点E，F分别在线段AB，BD上（点E不与点A，B重合），且∠DEF＝∠DAB，DE＝EF，直接写出线段BE的长．
23．（6分）等腰三角形ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝45°，以AC为腰作等腰直角三角形ACD，∠CAD为90°，请画出图形，并直接写出点B到CD的距离．
24．（7分）为了解本校学生对新闻（A）、体育（B）、动画（C）、娱乐（D）、戏曲（E）五类电视节目的喜爱情况，课题小组随机选取该校部分学生进行了问卷调查，并根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图，请根据统计图解答下列问题：
（1）本次接受问卷调查的学生有 名；
（2）补全条形统计图；
（3）扇形统计图中，B类节目所对应的扇形圆心角的度数为 度；
（4）该校共有2000名学生，根据调查结果估计该校最喜爱新闻节目的学生数．
25．（8分）A，B两城市之间有一条公路相连，公路中途穿过C市，甲车从A市到B市，乙车从C市到A市，甲车的速度比乙车的速度慢20千米/时，两车距离C市的路程y（单位：千米）与驶的时间t（单位：小时）的函数图象如图所示，结合图象信息，解答下列问题：
（1）甲车的速度是 千米/时，在图中括号内填入正确的数；
（2）求图象中线段MN所在直线的函数解析式，不需要写出自变量的取值范围；
（3）直接写出甲车出发后几小时，两车距C市的路程之和是460千米．
26．（8分）△ABC中，点D在直线AB上．点E在平面内，点F在BC的延长线上，∠E＝∠BDC，AE＝CD，∠EAB+∠DCF＝180°；
（1）如图①，求证AD+BC＝BE；
（2）如图②、图③，请分别写出线段AD，BC，BE之间的数量关系，不需要证明；
（3）若BE⊥BC，tan∠BCD＝，CD＝10，则AD＝ ．
27．（10分）某商场准备购进A、B两种型号电脑，每台A型号电脑进价比每台B型号电脑多500元，用40000元购进A型号电脑的数量与用30000元购进B型号电脑的数量相同，请解答下列问题：
（1）A，B型号电脑每台进价各是多少元？
（2）若每台A型号电脑售价为2500元，每台B型号电脑售价为1800元，商场决定同时购进A，B两种型号电脑20台，且全部售出，请写出所获的利润y（单位：元）与A型号电脑x（单位：台）的函数关系式，若商场用不超过36000元购进A，B两种型号电脑，A型号电脑至少购进10台，则有几种购买方案？
（3）在（2）问的条件下，将不超过所获得的最大利润再次购买A，B两种型号电脑捐赠给某个福利院，请直接写出捐赠A，B型号电脑总数最多是多少台．
28．（10分）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的边OC在x轴上，OA在y轴上．O为坐标原点，AB∥OC，线段OA，AB的长分别是方程x2﹣9x+20＝0的两个根（OA＜AB），tan∠OCB＝．
（1）求点B，C的坐标；
（2）P为OA上一点，Q为OC上一点，OQ＝5，将△POQ翻折，使点O落在AB上的点O′处，双曲线y＝的一个分支过点O′．求k的值；
（3）在（2）的条件下，M为坐标轴上一点，在平面内是否存在点N，使以O′，Q，M，N为顶点四边形为矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
2020年黑龙江省鸡西市朝鲜族学校中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共36分．）
1．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐个判断即可．
【解答】解：既是轴对称图形，又是中心对称图形的图形是第一个图形和第三个图形，共2个，
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，能熟记轴对称图形和中心对称图形的定义的内容是解此题的关键．
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．（a+b）（a﹣2b）＝a2﹣2b2B．（a﹣）2＝a2﹣
C．﹣2（3a﹣1）＝﹣6a+1D．（a+3）（a﹣3）＝a2﹣9
【分析】根据整式的乘法法则或乘法公式进行计算便可．
【解答】解：A．（a+b）（a﹣2b）＝a2﹣2ab+ab﹣2b2＝a2﹣ab﹣2b2，选项错误；
B．（a﹣）2＝a2﹣a+，选项错误；
C．﹣2（3a﹣1）＝﹣6a+2，选项错误；
D．（a+3）（a﹣3）＝a2﹣9，选项正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查了整式的乘法运算和乘法公式，关键是熟记运算法则和运算公式．
3．（3分）如图是由5个立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上的小立方块的个数，则这个几何体的主视图是（ ）
A．B．C．D．
【分析】先细心观察原立体图形中正方体的位置关系，从正面看去，一共三列，左边有1竖列，中间有2竖列，右边是1竖列，结合四个选项选出答案．
【解答】解：从正面看去，一共三列，左边有1竖列，中间有2竖列，右边是1竖列，主视图是．
故选：A．
【点评】本题考查了由三视图判断几何体及简单组合体的三视图，重点考查几何体的三视图及空间想象能力．
4．（3分）现有两个不透明的袋子，一个装有2个红球、1个白球，另一个装有1个黄球、2个红球，这些球除颜色外完全相同，从两个袋子中各随机摸出1个球，摸出的两个球颜色相同的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】用列表法列举出所有可能出现的结果，从中找出“两球颜色相同”的结果数，进而求出概率．
【解答】解：用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：
共有9种可能出现的结果，其中“两球颜色相同”的有4种，
∴P（两球颜色相同）＝．
故选：B．
【点评】本题考查列表法或树状图法求等可能事件发生的概率，使用此方法一定注意每一种结果出现的可能性是均等的，即为等可能事件．
5．（3分）一组数据4，4，x，8，8有唯一的众数，则这组数据的平均数是（ ）
A．B．或5C．或D．5
【分析】根据众数的意义，可得出x＝4或x＝8，分两种情况求平均数即可．
【解答】解：因为一组数据4，4，x，8，8有唯一的众数，
所以x＝4或x＝8，
当x＝4时，＝＝，
当x＝8时，＝＝，
故选：C．
【点评】本题考查众数、平均数的意义和计算方法，求出x的值是求出平均数的前提．
6．（3分）如图，在△ABC中，sinB＝，tanC＝2，AB＝3，则AC的长为（ ）
A．B．C．D．2
【分析】过A作AD⊥BC于D，则∠ADC＝∠ADB＝90°，根据已知求出AD＝2DC，AB＝3AD，求出AD、CD的长，根据勾股定理求出AC即可．
【解答】解：过A作AD⊥BC于D，则∠ADC＝∠ADB＝90°，
∵tanC＝2＝，sinB＝＝，
∴AD＝2DC，AB＝3AD，
∵AB＝3，
∴AD＝1，DC＝，
在Rt△ADC中，由勾股定理得：AC＝＝＝，
故选：B．
【点评】本题考查了解直角三角形，勾股定理，锐角三角函数的定义等知识点，能熟记锐角三角函数的定义是解此题的关键．
7．（3分）如图，点A，B，S在圆上，若弦AB的长度等于圆半径的倍，则∠ASB的度数是（ ）
A．22.5°B．30°C．45°D．60°
【分析】设圆心为O，连接OA、OB，如图，先证明△OAB为等腰直角三角形得到∠AOB＝90°，然后根据圆周角定理确定∠ASB的度数．
【解答】解：设圆心为O，连接OA、OB，如图，
∵弦AB的长度等于圆半径的倍，
即AB＝OA，
∴OA2+OB2＝AB2，
∴△OAB为等腰直角三角形，∠AOB＝90°，
∴∠ASB＝∠AOB＝45°．
故选：C．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
8．（3分）若是二元一次方程组的解，则x+2y的算术平方根为（ ）
A．3B．3，﹣3C．D．，﹣
【分析】把a与b的值代入方程组计算求出x与y的值，即可求出所求．
【解答】解：把代入方程组得：，
①+②得：5x＝7，
解得：x＝，
把x＝代入②得：y＝，
∴x+2y＝+＝3，
则3的算术平方根为．
故选：C．
【点评】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．
9．（3分）如图，在菱形OABC中，点B在x轴上，点A的坐标为（2，2），将菱形绕点O旋转，当点A落在x轴上时，点C的对应点的坐标为（ ）
A．（﹣2，﹣2）或（2，﹣2）B．（2，2）
C．（﹣2，2）D．（﹣2，﹣2）或（2，2）
【分析】依据菱形的性质即可得到菱形的边长为4，△AOB是等边三角形，再分两种情况进行讨论，依据OD＝CO＝2，CD＝，即可得到点C的对应点的坐标．
【解答】解：∵菱形OABC中，点B在x轴上，点A的坐标为（2，2），
∴AO＝＝4，OB＝4，
∴菱形的边长为4，△AOB是等边三角形，
分两种情况讨论：
如图所示，当点A在x轴正半轴上时，
过C作CD⊥AO于D，则OD＝CO＝2，CD＝，
∴点C的坐标为（﹣2，﹣2）；
如图所示，当点A在x轴负半轴上时，
过C作CD⊥AO于D，则OD＝CO＝2，CD＝，
∴点C的坐标为（2，2）；
综上所述，点C的对应点的坐标为（﹣2，﹣2）或（2，2），
故选：D．
【点评】本题主要考查了菱形的性质以及旋转变换的运用，解题时注意：菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直．
10．（3分）若关于x的分式方程＝有正整数解，则整数m的值是（ ）
A．3B．5C．3或5D．3或4
【分析】解分式方程，得x＝，因为分式方程有正整数解，进而可得整数m的值．
【解答】解：解分式方程，得x＝，
经检验，x＝是分式方程的解，
因为分式方程有正整数解，
则整数m的值是3或4．
故选：D．
【点评】本题考查了分式方程的解，解决本题的关键是准确求出分式方程的整数解．
11．（3分）如图，A，B是双曲线y＝上的两个点，过点A作AC⊥x轴，交OB于点D，垂足为点C．若△ODC的面积为1，D为OB的中点，则k的值为（ ）
A．B．2C．4D．8
【分析】过点B作BE⊥x轴于点E，根据反比例函数系数k的几何意义，可知S△BOE＝k，由D为OB的中点，CD∥BE，可知CD是△OBE的中位线，CD＝BE，那么△ODC∽△OBE，根据相似三角形面积比等于相似比的平方得出S△ODC＝S△BOE＝k＝1，即可求出k的值．
【解答】解：过点B作BE⊥x轴于点E，则S△BOE＝k．
∵D为OB的中点，CD∥BE，
∴CD是△OBE的中位线，CD＝BE，
∴△ODC∽△OBE，
∴＝（）2＝，
∴S△ODC＝S△BOE＝k＝1，
∴k＝8．
故选：D．
【点评】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，熟知反比例函数y＝图象中任取一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变是解答此题的关键．
12．（3分）如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴为x＝，且经过点（2，0）．下列说法：
①abc＜0；②﹣2b+c＝0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣，y1），（，y2）是抛物线上的两点，则y1＜y2；⑤b＞m（am+b）（其中m≠）．
其中说法正确的是（ ）
A．①②④⑤B．①②④C．①④⑤D．③④⑤
【分析】①根据抛物线开口向下，可得a＜0，根据抛物线对称轴为x＝﹣＝，可得b＝﹣a＞0，根据抛物线与y轴的交点在x轴上方，可得c＞0，进而可以判断；
②根据对称轴为x＝，且经过点（2，0），可得抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），可得＝﹣1×2＝﹣2，即c＝﹣2a，进而可以判断；
③根据抛物线经过（2，0），可得当x＝2时，y＝0，即4a+2b+c＝0，进而可以判断；
④根据点（﹣，y1）离对称轴要比点（，y2）离对称轴远，可得y1＜y2，进而可以判断；
⑤根据抛物线的对称轴x＝，可得当x＝时，y有最大值，即a+b+c＞am2+bm+c（其中m≠）．根据a＝﹣b，即可进行判断．
【解答】解：①∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线对称轴为x＝﹣＝，
∴b＝﹣a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，
所以①正确；
②∵对称轴为x＝，且经过点（2，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），
∴＝﹣1×2＝﹣2，
∴c＝﹣2a，
∴﹣2b+c＝2a﹣2a＝0
﹣所以②正确；
③∵抛物线经过（2，0），
∴当x＝2时，y＝0，
∴4a+2b+c＝0，
所以③错误；
④∵点（﹣，y1）离对称轴要比点（，y2）离对称轴远，
∴y1＜y2，
所以④正确；
⑤∵抛物线的对称轴x＝，
∴当x＝时，y有最大值，
∴a+b+c＞am2+bm+c（其中m≠）．
∵a＝﹣b，
∴b＞m（am+b）（其中m≠），
所以⑤正确．
所以其中说法正确的是①②④⑤．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，解决本题的关键是掌握二次函数的图象和性质．
二、选择题：（每小题3分，共24分．）
13．（3分）一周时间有604800秒，604800用科学记数法表示为 6.048×105 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将604800用科学记数法表示为6.048×105，
故答案是：6.048×105．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
14．（3分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件 AB∥CD（答案不唯一） ，使四边形ABCD是平行四边形（填一个即可）．
【分析】可再添加一个条件AB∥CD，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，四边形ABCD是平行四边形．
【解答】解：根据平行四边形的判定，可再添加一个条件：AB∥CD．
故答案为：AB∥CD（答案不唯一）．
【点评】此题主要考查平行四边形的判定．是一个开放条件的题目，熟练掌握判定定理是解题的关键．
15．（3分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是 x＞0.5 ．
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数，以及分母不等于0，就可以求出x的范围．
【解答】解：根据题意得：2x﹣1＞0，
解得：x＞0.5．
故答案为：x＞0.5．
【点评】本题考查的是函数自变量取值范围的求法．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
16．（3分）“元旦”期间，某商店单价为130元的书包按八折出售可获利30%，则该书包的进价是 80 元．
【分析】设该书包的进价为x元，根据售价×80%﹣进价＝进价×利润率列出方程，求出方程的解即可得到结果．
【解答】解：设该书包的进价为x元，
根据题意得：130×80%﹣x＝30%x，
整理得：1.3x＝104，
解得：x＝80，
则该书包的进价是80元．
故答案为：80．
【点评】此题考查了一元一次方程的应用，弄清题中的等量关系是解本题的关键．
17．（3分）将抛物线y＝（x﹣1）2﹣5关于y轴对称，再向右平移3个单位长度后顶点的坐标是 （2，﹣5） ．
【分析】先求出抛物线的顶点坐标，再求得关于y轴对称的抛物线的顶点坐标，再根据向右平移横坐标加，求出平移后的抛物线的顶点坐标即可．
【解答】解：∵抛物线y＝（x﹣1）2﹣5的顶点坐标是（1，﹣5），将抛物线y＝（x﹣1）2﹣5关于y轴对称，
∴顶点坐标是（﹣1，﹣5），
∴再向右平移3个单位长度后的抛物线的顶点坐标为（2，﹣5）．
故答案为：（2，﹣5）．
【点评】考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是求得新抛物线的顶点坐标．
18．（3分）如图是由同样大小的圆按一定规律排列所组成的，其中第1个图形中一共有4个圆，第2个图形中一共有8个圆，第3个图形中一共有14个圆，第4个图形中一共有22个圆……按此规律排列下去，第9个图形中圆的个数是 92 个．
【分析】根据图形得出第n个图形中圆的个数是n（n+1）+2进行解答即可．
【解答】解：因为第1个图形中一共有1×（1+1）+2＝4个圆，
第2个图形中一共有2×（2+1）+2＝8个圆，
第3个图形中一共有3×（3+1）+2＝14个圆，
第4个图形中一共有4×（4+1）+2＝22个圆；
可得第n个图形中圆的个数是n（n+1）+2；
所以第9个图形中圆的个数9×（9+1）+2＝92．
故答案为：92．
【点评】考查图形的变换规律；根据图形的排列规律得到下面圆的个数等于图形的序号与序号数多1数的积，上面圆的个数为2是解决本题的关键．
19．（3分）在半径为的⊙O中，弦AB垂直于弦CD，垂足为P，AB＝CD＝4，则S△ACP＝ 或或 ．
【分析】如图1，作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，连结OD、OB，如图，根据垂径定理得到AE＝BE＝AB＝2，DF＝CF＝CD＝2，根据勾股定理在Rt△OBE中计算出OE＝1，同理可得OF＝1，接着证明四边形OEPF为正方形，于是得到PA＝PC＝1，根据三角形面积公式求得即可．
【解答】解：作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，连结OD、OB，
则AE＝BE＝AB＝2，DF＝CF＝CD＝2，
如图1，
在Rt△OBE中，∵OB＝，BE＝2，
∴OE＝＝1，
同理可得OF＝1，
∵AB⊥CD，
∴四边形OEPF为矩形，
∴PE＝PF＝1，
∴PA＝PC＝1，
∴S△APC＝＝；
如图2，
同理：S△APC＝＝；
如图3，
同理：S△APC＝＝；
故答案为：或或．
【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．
20．（3分）如图，正方形ABCD中，点E在边AD上，点F在边CD上，若∠BEF＝∠EBC，AB＝3AE，则下列结论：
①DF＝FC；
②AE+DF＝EF；
③∠BFE＝∠BFC；
④∠ABE+∠CBF＝45°；
⑤∠DEF+∠CBF＝∠BFC；
⑥DF：DE：EF＝3：4：5；
⑦BF：EF＝3：5．
其中结论正确的序号有 ①②③④⑤⑥⑦ ．
【分析】如图，过点B作BH⊥EF于H．利用角平分线的性质定理证明BA＝BH，再利用HL证明Rt△ABE≌Rt△HBE（HL），Rt△BFH≌Rt△BFC（HL），利用全等三角形的性质，一一判断即可得出③④⑤正确，设AE＝a．则AB＝BC＝CD＝AD＝3a，DE＝2a，设DF＝x，则CF＝3a﹣x，利用勾股定理求出x即可判断①②⑥⑦正确．
【解答】解：如图，过点B作BH⊥EF于H．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠C＝∠D＝∠ABC＝90°，AB＝AD＝CD＝BC，AD∥CB，
∴∠AEB＝∠EBC，
∵∠FEB＝∠EBC，
∴∠AEB＝∠BEF，
∵BA⊥AE，BH⊥EF，
∴AB＝BH＝BC，
∵∠A＝∠BHE＝∠BHF＝∠C＝90°，BE＝BE，BF＝BF，
∴Rt△ABE≌Rt△HBE（HL），Rt△BFH≌Rt△BFC（HL），
∴AE＝EH，FH＝CF，∠BFE＝∠BFC，故③正确，
∴AE+CF＝EH+HF＝EF，
∴∠ABE＝∠HBE，∠FBH＝∠FBC，
∴∠ABE+∠CBF＝45°，故④正确，
∵∠DEF+∠AEH＝180°，∠AEH+∠ABH＝180°，
∴∠DEF＝∠ABH，
∴∠DEF+∠FBC＝∠ABH+∠FBH＝∠ABF，
∵AB∥CD，
∴∠ABF＝∠BFC，
∴∠DEF+∠CBF＝∠BFC，故⑤正确，
∵AB＝3AE，
∴可以假设AE＝a，则AB＝AD＝CD＝3a，DE＝2a，设DF＝x，则FH＝CF＝3a﹣x，EF＝a+3a﹣x＝4a﹣x，
∵EF2＝DE2+DF2，
∴（4a﹣x）2＝（2a）2+x2
解得x＝a，
∴DF＝CF，故①正确，
∴AE+DF＝EF，故②正确，
∴DF＝a，DE＝2a，EF＝a，
∴DF：DE：EF＝3：4：5，故⑥正确，
∵BF＝＝＝a，
∴BF+EF＝a：a＝3：5，故⑦正确．
故答案为①②③④⑤⑥⑦．
【点评】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
三、解答题：（共60分．）
21．（5分）先化简，再求值：﹣÷，其中x＝1﹣2tan45°．
【分析】直接利用分式的混合运算法则化简进而把x的值代入求出答案．
【解答】解：原式＝﹣•
＝﹣
＝
＝﹣，
当x＝1﹣2tan45°＝1﹣2＝﹣1，
原式＝﹣＝﹣．
【点评】此题主要考查了分式的化简求值，正确化简分式是解题关键．
22．（6分）已知抛物线y＝a（x﹣2）2+c经过点A（﹣2，0）和点C（0，），与x轴交于另一点B，顶点为D．
（1）求抛物线的解析式，并写出顶点D的坐标；
（2）如图，点E，F分别在线段AB，BD上（点E不与点A，B重合），且∠DEF＝∠DAB，DE＝EF，直接写出线段BE的长．
【分析】（1）利用待定系数法，转化为解方程组即可解决问题．
（2）根据y＝0，解方程可得A和B两点的坐标，根据两点的距离公式可得AD＝BD＝5，证明△ADE≌△BEF（AAS），可得结论．
【解答】解：（1）将点A（﹣2，0），C（0，）代入 y＝a（x﹣2）2 +c，
得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣2）2+3，即y＝﹣x2+x+；
∴顶点D的坐标为（2，3）；
（2）当y＝0时，﹣（x﹣2）2+3＝0，
解得：x1＝﹣2，x2＝6，
∴A（﹣2，0），B（6，0），
∵∠DEB＝∠DEF+∠BEF＝∠DAB+∠ADE，∠DEF＝∠DAB，
∴∠ADE＝∠BEF，
∵AD＝＝5，BD＝＝5，
∴AD＝BD，
∴∠DAE＝∠EBF，
∵DE＝EF，
∴△ADE≌△BEF（AAS），
∴BE＝AD＝5．
【点评】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用方程的思想解决问题．
23．（6分）等腰三角形ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝45°，以AC为腰作等腰直角三角形ACD，∠CAD为90°，请画出图形，并直接写出点B到CD的距离．
【分析】根据题意画出图形，分两种情况根据等腰直角三角形的性质即可求得点B到CD的距离．
【解答】解：本题有两种情况：
如图1，过点A作AE⊥CD于点E，
∵△ACD等腰直角三角形，
∴∠ACD＝45°，
∴∠ACD＝∠BAC，
∴AB∥CD，
∴点B到CD的距离等于点A到CD的距离，
∴AE＝AC•sin45°＝4×＝2，
∴点B到CD的距离为：2；
如图2，AB、CD交于点E，
∵△ACD等腰直角三角形，
∴∠ACD＝∠BAC＝45°，
∴∠AEC＝90°，
∴AE＝AC•sin45°＝4×＝2，
∴BE＝AB﹣AE＝4﹣2．
∴点B到CD的距离为4﹣2．
综上所述：点B到CD的距离为2或4﹣2．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图、等腰直角三角形，解决本题的关键是掌握等腰直角三角形的性质．
24．（7分）为了解本校学生对新闻（A）、体育（B）、动画（C）、娱乐（D）、戏曲（E）五类电视节目的喜爱情况，课题小组随机选取该校部分学生进行了问卷调查，并根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图，请根据统计图解答下列问题：
（1）本次接受问卷调查的学生有 100 名；
（2）补全条形统计图；
（3）扇形统计图中，B类节目所对应的扇形圆心角的度数为 72 度；
（4）该校共有2000名学生，根据调查结果估计该校最喜爱新闻节目的学生数．
【分析】（1）根据D类的人数和所占的百分比可以求得本次调查的学生人数；
（2）求出C类的人数，即可将条形统计图补充完整；
（3）根据条形统计图中的数据可以求得扇形统计图中B类节目对应扇形的圆心角的度数；
（4）根据统计图中的数据可以求得该校最喜爱新闻节目的学生人数．
【解答】解：（1）本次接受问卷调查的学生有：36÷36%═100（名），
故答案为：100；
（2）喜爱C类的有：100﹣8﹣20﹣36﹣6＝30（名），
补全的条形统计图如右图所示；
（3）扇形统计图中B类节目对应扇形的圆心角的度数为：360°×＝72°，
故答案为：72；
（4）2000×＝160（名），
答：估计该校最喜爱新闻节目的学生有160名．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
25．（8分）A，B两城市之间有一条公路相连，公路中途穿过C市，甲车从A市到B市，乙车从C市到A市，甲车的速度比乙车的速度慢20千米/时，两车距离C市的路程y（单位：千米）与驶的时间t（单位：小时）的函数图象如图所示，结合图象信息，解答下列问题：
（1）甲车的速度是 60 千米/时，在图中括号内填入正确的数；
（2）求图象中线段MN所在直线的函数解析式，不需要写出自变量的取值范围；
（3）直接写出甲车出发后几小时，两车距C市的路程之和是460千米．
【分析】（1）利用图中信息解决问题即可．
（2）利用待定系数法解决问题即可．
（3）分两种情形分别求解即可解决问题．
【解答】解：（1）由题意，甲的速度为＝60千米/小时．乙的速度为80千米/小时，
＝6（小时），4+6＝10（小时），
∴图中括号内的数为10．
故答案为：60．
（2）设线段MN所在直线的解析式为 y＝kt+b （ k≠0 ）．
把点M（4，0），N（10，480）代入y＝kt+b，
得：，
解得：．
∴线段MN所在直线的函数解析式为y＝80t﹣320．
（3）（480﹣460）＝20，
20÷60＝（小时），
或60t﹣480+80（t﹣4）＝460，
解得t＝9，
答：甲车出发小时或9小时时，两车距C市的路程之和是460千米．
【点评】本题考查一次函数的应用，待定系数法等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．
26．（8分）△ABC中，点D在直线AB上．点E在平面内，点F在BC的延长线上，∠E＝∠BDC，AE＝CD，∠EAB+∠DCF＝180°；
（1）如图①，求证AD+BC＝BE；
（2）如图②、图③，请分别写出线段AD，BC，BE之间的数量关系，不需要证明；
（3）若BE⊥BC，tan∠BCD＝，CD＝10，则AD＝ 14﹣6或 2+6 ．
【分析】（1）先利用互补判断出∠EAB＝∠BCD，进而判断出△EAB≌△DCB，得出BE＝BD，AB＝BC，即可得出结论；
（2）同（1）的方法即可得出结论；
（3）先利用三角函数和勾股定理求出CG＝8，DG＝6，再求出BG＝DG＝6，BD＝6，进而得出BC＝BG+CG＝14或BC＝CG﹣BG＝2，最后借助（2）的结论即可得出结论．
【解答】解：（1）证明：∵∠EAB+∠DCF＝180°，∠BCD+∠DCF＝180°，
∴∠EAB＝∠BCD，
∵∠E＝∠BDC，AE＝CD，
∴△EAB≌△DCB，
∴BE＝BD，AB＝BC，
∴AD+BC＝AD+AB＝BD＝BE；
（2）①图②结论：BC﹣AD＝BE，
证明：∵∠EAB+∠DCF＝180°，∠BCD+∠DCF＝180°，
∴∠EAB＝∠BCD，
∵∠E＝∠BDC，AE＝CD，
∴△EAB≌△DCB，
∴BE＝BD，AB＝BC，
∴BC﹣AD＝AB﹣AD＝BD＝BE；
②图③结论：AD﹣BC＝BE；
证明：∵∠EAB+∠DCF＝180°，∠BCD+∠DCF＝180°，
∴∠EAB＝∠BCD，
∵∠E＝∠BDC，AE＝CD，
∴△EAB≌△DCB（ASA），
∴BE＝BD，AB＝BC，
∴AD﹣BC＝AD﹣AB＝BD＝BE；
（3）①如图2，
过点D作DG⊥BC于G，
在Rt△CGD中，tan∠BCD＝，
∴，
设DG＝3x，CG＝4x，
根据勾股定理得，DG2+CG2＝CD2，
∴9x2+16x2＝100，
∴x＝2（舍去负值），
∴CG＝8，DG＝6，
由（2）①知，△EAB≌△DCB，
∴∠ABE＝∠CBD，
∵BE⊥BC，
∴∠CBE＝90°，
∴∠CBD＝45°＝∠BDG，
∴BG＝DG＝6，BD＝6，
∴BC＝BG+CG＝14，
由（2）①知，BC﹣AD＝BD，
∴AD＝BC﹣BD＝14﹣6；
②如图3，
过点D作DG⊥BC于G，
同①的方法得，CF＝8，BG＝DG＝6，BD＝6，
∴BC＝CG﹣CG＝2，
由（2）②知，AD﹣BC＝BD，
∴AD＝BC+BD＝2+6；
故答案为：14﹣6或 2+6．
【点评】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，勾股定理，判断出△EAB≌△DCB是解本题的关键．
27．（10分）某商场准备购进A、B两种型号电脑，每台A型号电脑进价比每台B型号电脑多500元，用40000元购进A型号电脑的数量与用30000元购进B型号电脑的数量相同，请解答下列问题：
（1）A，B型号电脑每台进价各是多少元？
（2）若每台A型号电脑售价为2500元，每台B型号电脑售价为1800元，商场决定同时购进A，B两种型号电脑20台，且全部售出，请写出所获的利润y（单位：元）与A型号电脑x（单位：台）的函数关系式，若商场用不超过36000元购进A，B两种型号电脑，A型号电脑至少购进10台，则有几种购买方案？
（3）在（2）问的条件下，将不超过所获得的最大利润再次购买A，B两种型号电脑捐赠给某个福利院，请直接写出捐赠A，B型号电脑总数最多是多少台．
【分析】（1）设每台A型号电脑进价为a元，每台B型号电脑进价为（a﹣500）元，由“用40000元购进A型号电脑的数量与用30000元购进B型号电脑的数量相同”列出方程即可求解；
（2）所获的利润＝A型电脑利润+B型电脑利润，可求y与x关系，由“用不超过36000元购进A，B两种型号电脑，A型号电脑至少购进10台”列出不等式，即可求解；
（3）由一次函数的性质可求最大利润，设再次购买的A型电脑b台，B型电脑c台，可得2000b+1500c≤8400，可求整数解，即可求解．
【解答】解：（1）设每台A型号电脑进价为a元，每台B型号电脑进价为（a﹣500）元，
由题意，得，
解得：a＝2000，
经检验a＝2000是原方程的解，且符合题意．
∴2000﹣500＝1500（元）．
答：每台A型号电脑进价为2000元，每台B型号电脑进价为1500元；
（2）由题意，得 y＝（2500﹣2000）x+（1800﹣1500）（20﹣x）＝200x+6000，
∵2000x+1500（20﹣x）≤36 000，
∴x≤12．
又∵x≥10，
∴10≤x≤12，
∵x是整数，
∴x＝10，11，12，
∴有三种方案；
（3）∵y＝200x+6000是一次函数，y随x的增大而增大，
∴当x＝12时，y有最大值＝12×200+6000＝8400元，
设再次购买A型电脑b台，B型电脑c台，
∴2000b+1500c≤8400，且b，c为非负整数，
∴b＝0，c＝5或b＝1，c＝4或b＝2，c＝2或b＝3，c＝1或b＝4，c＝0，
∴捐赠A，B型号电脑总数最多是5台．
【点评】本题考查了一次函数的应用，分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，分析题意，找到合适的数量关系是解决问题的关键．
28．（10分）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的边OC在x轴上，OA在y轴上．O为坐标原点，AB∥OC，线段OA，AB的长分别是方程x2﹣9x+20＝0的两个根（OA＜AB），tan∠OCB＝．
（1）求点B，C的坐标；
（2）P为OA上一点，Q为OC上一点，OQ＝5，将△POQ翻折，使点O落在AB上的点O′处，双曲线y＝的一个分支过点O′．求k的值；
（3）在（2）的条件下，M为坐标轴上一点，在平面内是否存在点N，使以O′，Q，M，N为顶点四边形为矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）先利用因式分解法解方程x2﹣9x+20＝0可得到OA＝4，AB＝5，作辅助线，构建直角三角形，根据已知三角函数定义可解答；
（2）先证明四边形OABQ是矩形，根据翻折和矩形的性质，勾股定理计算O'（2，4），可得k的值；
（3）确定M为坐标轴上一点，画出符合条件的矩形，根据三角形全等，相似或平移的规律求点N的坐标．
【解答】解：（1）解方程：x2﹣9x+20＝0，
（x﹣4）（x﹣5）＝0，
得x1＝4，x2＝5，
∵OA＜AB，
∴OA＝4，AB＝5，
如图1，过点B作BD⊥OC于点D，
∵tan∠OCB＝，BD＝OA＝4，
∴CD＝3，
∵OD＝AB＝5，
∴OC＝8，
∴点B的坐标为（5，4），点C的坐标为（8，0）；
（2）如图2，∵AB∥OC，OQ＝AB＝5，∠AOQ＝90°，
∴四边形AOQB为矩形．
∴BQ＝OA＝4，
由翻折，得OQ＝O'Q＝5，
∴O'B＝＝＝3，
∴AO'＝2，
∴O'（2，4），
∴k＝2×4＝8；
（3）存在．
分四种情况：
①如图3，M在x轴的正半轴上，四边形NO'MQ是矩形，此时N与B重合，则N（5，4）；
②如图4，M在x轴的负半轴上，四边形NMO'Q是矩形，过O'作O'D⊥x轴于D，过N作NH⊥x轴于H，
∵四边形NMO'Q是矩形，
∴MN＝O'Q＝5，MN∥O'Q，
∴∠NMO＝∠DQO'，
∵∠NHM＝∠QDO'＝90°，
∴△NHM≌△O'DQ（AAS），
∴NH＝O'D＝4，DQ＝MH＝3，
由（2）知：AO'＝2，
设PO＝x，则O'P＝x，AP＝4﹣x，
在Rt△APO'中，由勾股定理得：AP2+AO'2＝O'P2，
即x2＝22+（4﹣x）2，
解得：x＝，
∴P（0，），
设PQ'的解析式为：y＝kx+b，
则，解得：，
∴PQ'的解析式为：y＝x+，
当y＝0时，x+＝0，
∴x＝﹣，
∴OM＝，
∴OH＝OM﹣MH＝﹣3＝，
∴N（﹣，﹣4）；
③如图5，M在y轴的正半轴上，四边形MNQO'是矩形，
由②知：M（0，），O'（2，4），Q（5，0），
∴N（3，﹣）；
④如图6，M在y轴的负半轴上，四边形MNO'Q是矩形，过O'作O'D⊥x轴于D，
∵∠MOQ＝∠QDO'，∠OMQ＝∠DQO'，
∴△MOQ∽△QDO'，
∴，即，
∴OM＝，
∴M（0，﹣），
∵O'（2，4），Q（5，0），
∴N（﹣3，），
综上，点N的坐标为：N（5，4）或（﹣，﹣4）或（3，﹣）或（﹣3，）．
【点评】本题考查了四边形的综合题：熟练掌握矩形的性质，三角形全等的性质和判定，三角形相似的性质和判定，一次函数图象上点的坐标特征；会运用待定系数法求一次函数和反比例函数解析式；理解坐标与图形性质，会利用平移的规律求矩形中一个顶点的坐标，学会运用分类讨论的思想解决数学问题．
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日期：2020/8/1 14:52:05；用户：数学01；邮箱：lb01@xyh.cm；学号：21821723