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苏科版八年级数学下册常考点微专题提分精练难点特训(二)和正方形有关的压轴大题(原卷版+解析)
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这是一份苏科版八年级数学下册常考点微专题提分精练难点特训(二)和正方形有关的压轴大题(原卷版+解析)，共50页。试卷主要包含了数学问题，点 E等内容，欢迎下载使用。
1．（2022春·江苏南通·八年级统考期中）已知，点是正方形所在平面上一点，直线与直线相交于点．直线与直线相交于点，且．
(1)如图，当点在正方形内部，且时，求证：；
(2)如图，当点在正方形外部，依题意补全图；用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．
2．（2022春·江苏盐城·八年级统考期中）已知在平行四边形ABCD中，点E、F分别在AB、BC边上，DE＝AF，DE⊥AF于点G．
(1)如图1，若∠BAD＝90°，求证：四边形ABCD是正方形；
(2)在（1）的条件下，延长CB到点H，使得BH＝AE，判断△AHF的形状，并说明理由．
(3)如图2，若AB=AD，∠AED＝60°，AE＝6，BF＝2，求DE的长．
3．（2022春·江苏连云港·八年级统考期中）已知，四边形和四边形都是正方形，点为的中点．
(1)连接、．
①如图1，若点在边上，猜想和的关系，并给予证明：
②若将图1中的正方形绕点顺时针旋转，使点落在对角线的延长线上，请你在图2中补全图形，猜想和的关系，并给予证明．
(2)如图3，若，，将正方形绕点旋转，连接．请你直接写出的取值范围___________．
4．（2022春·江苏南京·八年级校联考期中）数学问题：如图①，正方形ABCD中，点E是对角线AC上任意一点，过点E作，垂足为E，交BC所在直线于点F．探索AF与DE之间的数量关系，并说明理由．
(1)特殊思考：如图②，当E是对角线AC的中点时，AF与DE之间的数量关系是______．
(2)探究证明：
①小明用“平移法”将AF沿AD方向平移得到DG，将原来分散的两条线段集中到同一个三角形中，如图③，这样就可以将问题转化为探究DG与DE之间的数量关系．请你按照他的思路，完成解题过程．
②请你用与（2）不同的方法解决“数学问题”．
5．（2022春·江苏徐州·八年级统考期中）小波在复习时，遇到一个课本上的问题，温故后进行了操作、推理与拓展．
(1)温故：如图1，在中，于点D，正方形PQMN的边QM在BC上，顶点P，N分别在AB，AC上，且．若，，则正方形PQMN的边长等于______．
(2)操作：能画出这类正方形吗？小波按数学家波利亚在《怎样解题》中的方法进行操作：如图2，任意画，在AB上任取一点，画正方形，使，在BC边上，在内，连结并延长交AC于点N，画于点M，交AB于点P，于点Q，得到四边形PQMN．
(3)推理：如图3，若点E是BN的中点，求证：．
(4)拓展：在（2）的条件下，射线BN上截取，连结EQ，EM（如图4）．当时，猜想的度数，并尝试证明．
请帮助小波解决“温故”、“推理”、“拓展”中的问题．
6．（2022春·江苏南京·八年级校联考期中）点 E．F 分别为正方形 ABCD 边 AD．AB 上的点，连接 CE，DF 交于点 P．
(1)如图 1，若 DE=AF，则线段 DF 与 CE 具有怎样的数量和位置关系？说明理由．
(2)如图 2，若 E 为 AD 中点，F 为 AB 中点，求证 BP=BC．
(3)若将正方形 ABCD 折叠，使得 A 点的对应点 A'落在 BC 边上，折痕 MN 分别交 AB，CD 于 M，N．若正方形的的边长为 6，线段 A'B=2，则 DN 的长为 ．
7．（2022春·江苏泰州·八年级统考期中）已知：在正方形ABCD中，，点E是边CD上一点（点E不与点C、D重合），，连接AE，过点B作，垂足为G，交AD于点F．
(1)如图1，若．
①求BF的长；
②求四边形DEGF的面积．
(2)如图2，过点E作AE的垂线，交AD的延长线于点G，交BC于点H，求的长（用含t的代数式表示）．
8．（2022春·江苏盐城·八年级校联考期中）如图1，△GEF是一个等腰直角三角形零件（其中EG=FG，∠EGF=90°），它的两个端点E、F分别安装在矩形框架的边AB、BC上（点E、F可以在边上滑动），且EF=AB=1.5，AD=2．小明在观察△GEF运动的过程中，给出了两个结论：①∠GEB与∠GFB一定互补；②点G到边AB、BC的距离一定相等．
(1)小明给出的两个结论是否都正确？若结论是正确的，请写出证明过程，若结论不正确，请说明理由；
(2)请思考并解决小明提出的两个问题：
问题1：B、G两点间距离的最大值为 ；
问题2：过点G分别作GM⊥BC，GN⊥CD，垂足为点M、N，连接MN，那么MN长度的最小值为多少？
9．（2022春·江苏苏州·八年级苏州市景范中学校校考期中）如图1，点E是正方形ABCD的边BC上一点，连接AE，并将AE绕点E顺时针旋转90°，得到EG，过点G作于点F，于点H．
(1)①判断：四边形CFGH的形状为____________；②证明你的结论；
(2)如图2，连接AG，交DC于I，连接EI，若，，求正方形ABCD的边长；
(3)如图3，连接BD，与AE、AG交于P、Q两点，试探索BP、PQ、QD之间的数量关系，并直接写出结论：________________．
10．（2022春·江苏无锡·八年级无锡市太湖格致中学校考期中）如图1，点P是矩形ABCD边CD上的一个动点，连接AP，以AP为边向外作正方形APEF，连接ED、FD．设DP＝x，，y与x的函数图像如图2所示．
(1)AB＝______，BC＝______；
(2)试问是否发生改变？如果改变，请求出W关于x的函数表达式；若不改变，请求出W的值；
(3)当△DEF为等腰三角形时，求出x的值．
11．（2022春·江苏泰州·八年级泰州市第二中学附属初中校考期中）已知正方形，E，F为平面内两点．
(1)如图1，当点E在边上时，，且B，C，F三点共线．求证：；
(2)如图2，当点E在正方形外部时，，，且E，C，F三点共线．猜想并证明线段，，之间的数量关系；
(3)如图3，当点E在正方形外部时，，，，且D，F，E三点共线，与交于G点．若，，求正方形的面积．
12．（2022春·江苏南京·八年级校考期中）如图1，已知正方形BEFG，点C在BE的延长线上，点A在GB的延长线上，且AB＝BC，过点C作AB的平行线，过点A作BC的平行线，两条平行线相交于点D．
(1)证明：四边形ABCD是正方形；
(2)当正方形BEFG绕点B顺时针（或逆时针）旋转一定角度，得到图2，使得点G在射线DB上，连接BD和DF，点Q是线段DF的中点，连接CQ和QE，猜想线段CQ和线段QE的关系，并说明理由；
(3)将正方形BEFG绕点B旋转一周时，当∠CGB等于45°时，直线AE交CG于点H，探究线段CH、EG、AH的长度关系．
13．（2022春·江苏扬州·八年级校联考期中）问题情境：如图，在正方形ABCD中，CE⊥DF．易证：CE＝DF．（不需要写出证明过程）
问题探究：在“问题情境”的基础上请研究．
(1)如图1，在正方形ABCD中，E为边BC上一点（不与点B、C重合），垂直于AE的一条直线MN分别交AB、AE、CD于点M、P、N．判断线段AE与MN之间的数量关系，并说明理由．
(2)如图2，若垂足P恰好为AE的中点，连接BD，交MN于点Q，连接EQ，CQ（图中未连），判断线段EQ与CQ之间的数量关系，并说明理由．
(3)在（2）的条件下延长EQ交边AD于点F．则∠AEF= °；
(4)拓展提高：如图3，若该正方形ABCD边长为8，将正方形沿着直线MN翻折，使得BC的对应边B′C′恰好经过点A，过点A作AG⊥MN，垂足分别为G，若AG＝5，请直接写出AC′的长 ．
14．（2022春·江苏连云港·八年级统考期中）△ABC中，，，点D为直线BC上一动点（（点D不与B，C重合）），以AD为边的AD右侧作正方形ADEF，连接CF．
(1)观察猜想：如图1，当点D在线段BC上时，
①BC与CF的位置关系为：______．
②BC，CD，CF之间的数量关系为______；（将结论直接写在横线上）
(2)数学思考：如图2，当点D在线段CB的延长线上时，（1）中的结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．
(3)拓展延伸：如图3，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于G，连接GE．若已知，，请直接写出GE的长．
15．（2022春·江苏宿迁·八年级统考期中）如图①，已知正方形，把一个直角与正方形叠合，使直角顶点与正方形的一个顶点重合，当直角的一边与相交于点，另一边与的延长线相交于点时．
（1）证明：；
（2）如图②，作的平分线交于点，连接．证明：．
16．（2022春·江苏扬州·八年级统考期中）在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，AE与BF相交于点G．
(1)如图1，求证：AE⊥BF；
(2)如图2，将△BCF沿BF折叠，得到△BPF，延长FP交BA的延长线于点Q，若AB=4，求QF的值．
难点特训（二）和正方形有关的压轴大题
1．（2022春·江苏南通·八年级统考期中）已知，点是正方形所在平面上一点，直线与直线相交于点．直线与直线相交于点，且．
(1)如图，当点在正方形内部，且时，求证：；
(2)如图，当点在正方形外部，依题意补全图；用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②，证明见解析
【分析】（1）证出△APD是等边三角形，得∠PAD＝60°，再由含30°角的直角三角形的性质得DFADa，CECD，DE＝2CE，即可得出结论；
（2）①依题意补全图形即可；②DE﹣CE＝DF，过D作DH⊥AP交BC于点H，先证△ADF≌△DCH（AAS），得DF＝CH，再证ED＝EH，即可得出结论．
（1）
证明：设AB＝a．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD＝AB＝a．
∵DA＝DP，∠ADP＝60°，
∴△APD是等边三角形．
∴∠PAD＝60°，
在Rt△ADF中，∠AFD＝30°，
∴DFADa，
在Rt△DCE中，∠CDE＝30°，
∴CECD，DE＝2CE，
∴DE+CE＝DF；
（2）
①依题意补全图形，如图2所示：
②DE﹣CE＝DF，证明如下：
过D作DH⊥AP交BC于点H，如图3所示：
∵DH⊥AF，
∴∠HDC+∠AFD＝90°，
∵∠HDC+∠DHC＝90°，
∴∠AFD＝∠DHC，
在△ADF和△DCH中，
，
∴△ADF≌△DCH（AAS），
∴DF＝CH，
∵DA＝DP，
∴∠ADH＝∠EDH，
∵ADBC，
∴∠ADH＝∠EHD，
∴∠EDH＝∠EHD，
∴ED＝EH，
∴DE﹣CE＝DF．
【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握正方形的性质和旋转的性质，证明三角形全等是解题的关键．
2．（2022春·江苏盐城·八年级统考期中）已知在平行四边形ABCD中，点E、F分别在AB、BC边上，DE＝AF，DE⊥AF于点G．
(1)如图1，若∠BAD＝90°，求证：四边形ABCD是正方形；
(2)在（1）的条件下，延长CB到点H，使得BH＝AE，判断△AHF的形状，并说明理由．
(3)如图2，若AB=AD，∠AED＝60°，AE＝6，BF＝2，求DE的长．
【答案】(1)见解析
(2)△AHF是等腰三角形，理由见解析
(3)DE＝8
【分析】（1）先证明四边形ABCD是矩形，证明△ADE≌△BAF（AAS），可得AD＝BA，即可证明四边形ABCD是正方形：
（2）证明AB⊥BC，即AB垂直平分FH，即可证明△AHF是等腰三角形；
（3）延长CB到点H，使得BH＝AE，连接AH，证明△DAE≌△ABH（SAS），得到△AHF是等边三角形，即可求解．
（1）
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∠BAD＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，∠DAE＝∠ABF＝90°，
∴∠BAF+∠DAF＝90°，
∵DE⊥AF，
∴∠AGD＝90°，
∴∠ADE+∠DAF＝90°，
∴∠ADE＝∠BAF，
∵DE＝AF，
∴△ADE≌△BAF（AAS），
∴AD＝BA，
∴四边形ABCD是正方形：
（2）
解：△AHF是等腰三角形，理由如下：
由（1）得：△ADE≌△BAF，
∴AE＝BF，
∵BH＝AE，
∴BF＝BH，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°，
∴AB⊥BC，即AB垂直平分FH，
∴AH＝AF，
∴△AHF是等腰三角形．
（3）
延长CB到点H，使得BH＝AE，连接AH，如图2所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∴∠ABH＝∠BAD．
∵BH＝AE，
∴△DAE≌△ABH（SAS），
∴DE＝AH，∠AHB＝∠DEA＝60°，
∵DE＝AF，
∴AH＝AF，
∴△AHF是等边三角形，
∴AH＝HF＝BH+BF＝AE+BF＝6+2＝8，
∴DE＝AH＝8．
【点睛】本题考查了特殊四边形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，掌握以上性质定理是解题的关键．
3．（2022春·江苏连云港·八年级统考期中）已知，四边形和四边形都是正方形，点为的中点．
(1)连接、．
①如图1，若点在边上，猜想和的关系，并给予证明：
②若将图1中的正方形绕点顺时针旋转，使点落在对角线的延长线上，请你在图2中补全图形，猜想和的关系，并给予证明．
(2)如图3，若，，将正方形绕点旋转，连接．请你直接写出的取值范围___________．
【答案】(1)①；②证明见解析
(2)
【分析】（1）①连接，证明，，证明是等腰直角三角形，即可得证；
②延长交于点，连接，证明，，得出，根据等边对等角，设，，根据外角的性质得出，即可证明；
（2）连接，根据，当在上时，最大，，当在上时，最小，，即可求解．
【详解】（1）①如图，连接，
∵四边形和四边形都是正方形，
∴,，
∴，
∵为的中点，
∴，则，
在中，
，
∴，
∴，，
在中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴；
②，
证明：如图，延长交于点，连接，
∵四边形和四边形都是正方形，
∴，，
∵落在对角线的延长线上，
∴，
∴，
∴在的延长线上，
∵，
∴，
在中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，
,
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴ ，
设，，
∴，，
∵，
∴，
即，
∴；
（2）如图，连接，
∵
∴当在上时，如图，此时最大，，
由（1）可知是等腰直角三角形，
∵，，
∴，，
∴
∴，
∴
当在上时，最小，同理可得是等腰直角三角形，
此时，
综上所述，．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，旋转的性质，三角形三边关系，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理的应用，综合运用以上知识是解题的关键．
4．（2022春·江苏南京·八年级校联考期中）数学问题：如图①，正方形ABCD中，点E是对角线AC上任意一点，过点E作，垂足为E，交BC所在直线于点F．探索AF与DE之间的数量关系，并说明理由．
(1)特殊思考：如图②，当E是对角线AC的中点时，AF与DE之间的数量关系是______．
(2)探究证明：
①小明用“平移法”将AF沿AD方向平移得到DG，将原来分散的两条线段集中到同一个三角形中，如图③，这样就可以将问题转化为探究DG与DE之间的数量关系．请你按照他的思路，完成解题过程．
②请你用与（2）不同的方法解决“数学问题”．
【答案】(1)
(2)①见解析 ②见解析
【分析】（1）根据正方形的性质和勾股定理即可解决问题；
（2）①延长BC，作，交BC的延长线于点G，连接EG，证明四边形AFGD为平行四边形．从而证明，得到△DEG是等腰直角三角形，得到 ，故可求解；
②作，并截取，连接AG，证明△DEG是等腰直角三角形，得到 ， 再证明，，，再得到四边形AGEF为平行四边形，则 AF＝EG．故可求解．
（1）
，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，E是对角线AC的中点，
∴AC⊥BD，AE＝BE＝CE＝DE，
∵AB2＝AE2＋BE2，
∴AB2＝2DE2，
∵B点与F点重合，
∴AF2＝2DE2，
∴；
故答案为：．
（2）
①如下图，延长BC，作，交BC的延长线于点G，连接EG．
∵四边形ABCD是正方形，
∴，，．
∵，，
∴四边形AFGD为平行四边形．
∴AF＝DG，AD＝FG．
∴FG＝CD．
∵，AB＝BC，
∴．
∴
∵．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴，．
∴．
∴△DEG是等腰直角三角形
∴，
∴．
∴．
②如图，作，并截取，连接AG、GE．
∵四边形ABCD是正方形，
∴，CD＝AD．
∴
同理，．
∵，
∴．
又∵DG＝DE，
∴△DEG是等腰直角三角形
∴，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴，AG＝EC．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
∵，
∴
∴四边形AGEF为平行四边形
．∴AF＝EG．
∴．
【点睛】此题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，生活中的平移现象，关键是根据正方形与平行四边形的性质、等腰直角三角形和全等三角形的判定和性质解答．
5．（2022春·江苏徐州·八年级统考期中）小波在复习时，遇到一个课本上的问题，温故后进行了操作、推理与拓展．
(1)温故：如图1，在中，于点D，正方形PQMN的边QM在BC上，顶点P，N分别在AB，AC上，且．若，，则正方形PQMN的边长等于______．
(2)操作：能画出这类正方形吗？小波按数学家波利亚在《怎样解题》中的方法进行操作：如图2，任意画，在AB上任取一点，画正方形，使，在BC边上，在内，连结并延长交AC于点N，画于点M，交AB于点P，于点Q，得到四边形PQMN．
(3)推理：如图3，若点E是BN的中点，求证：．
(4)拓展：在（2）的条件下，射线BN上截取，连结EQ，EM（如图4）．当时，猜想的度数，并尝试证明．
请帮助小波解决“温故”、“推理”、“拓展”中的问题．
【答案】(1)
(2)能画出这样的正方形，理由见解析
(3)见解析
(4)∠QEM=75°，证明见解析
【分析】（1）根据正方形的性质得PN=MN，将，代入求解即可；
（2）先证明四边形PQMN是矩形，再证明PN=MN即可；
（3）根据正方形的性质和直角三角形斜边上的中线性质，结合ASA证明△PNE和△EMQ全等，再根据全等三角形的性质即可证的结论；
（4）先证明△EMN为等边三角形，得到∠EMN=90°，则∠EMQ=30°，再根据等腰三角形的性质可得出答案．
（1）
解：∵四边形PQMN是正方形，
∴PN=MN，
∵，，，
∴，
解得：，
故答案为：；
（2）
解：能画出这样的正方形，理由为：
∵于点M，交AB于点P，于点Q，
∴∠NMQ=∠PNM=∠PQM=90°，
∴四边形PQMN是矩形，
∵四边形是正方形，
∴
∴△BN′M′∽△BNM，△BN′P′∽△BNP，
∴，，
∴，
∵P′N′= M′N′，
∴PN=MN，
∴四边形PQMN为正方形；
（3）
解：连接ME，
∵点E为BN的中点，∠NMB=90°，
∴ME=BE=NE，
∴∠EBM=∠EMQ，
∵，
∴∠EBM=∠PNE，
∴∠PNE=∠EMQ，
在△PNE和△EMQ中，
，
∴△PNE≌△EMQ（SAS），
∴EP=EQ；
（4）
解：∠QEM=75°，证明如下：
由（2）知，四边形PQMN是正方形，则∠NMB=90°，NM=MQ，
∵∠NMB=90°，∠NBM=30°，
∴∠MNB=90°－30°=60°，
∵NE=NM，
∴△EMN为等边三角形，
∴ME=NM，∠EMN=60°，
∴ME=MQ，∠EMQ=30°，
∴∠QEM=（180°－30°）=75°．
【点睛】本题考查正方形的判定与性质、矩形的判定、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质等知识，综合性强，有一定的难度，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
6．（2022春·江苏南京·八年级校联考期中）点 E．F 分别为正方形 ABCD 边 AD．AB 上的点，连接 CE，DF 交于点 P．
(1)如图 1，若 DE=AF，则线段 DF 与 CE 具有怎样的数量和位置关系？说明理由．
(2)如图 2，若 E 为 AD 中点，F 为 AB 中点，求证 BP=BC．
(3)若将正方形 ABCD 折叠，使得 A 点的对应点 A'落在 BC 边上，折痕 MN 分别交 AB，CD 于 M，N．若正方形的的边长为 6，线段 A'B=2，则 DN 的长为 ．
【答案】(1)相等；垂直；理由见解析；
(2)见解析；
(3)
【分析】（1）由四边形ABCD为正方形，AF=DE，易证得△ADF≌△DCE（SAS），即可证得DF=CE，∠ADF=∠DCE，即可证得DF⊥CE；
（2）如图2，过点B作BG∥DF，交CD于G，交CE于H，先根据两组对边分别平行证明四边形BFDG是平行四边形，由三角形中位线定理的推论可得PH=CH，得BH是PC的垂直平分线，可解答；
（3）过点M作MG⊥CD于G，连接DE交MN于P，由折叠可知，DE⊥MN，证明△MNG≌△A'AB（ASA），则MG=A'B=2，设A'M=x，由勾股定理列方程可得x的长，可求得DN的长．
（1）
解：DF=CE，DF⊥CE，理由如下：
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=DC，∠A=∠ADC=90°，
在△ADF和△DCE中，
∴△ADF≌△DCE（SAS），
∴DF=CE，∠ADF=∠DCE，
∵∠ADF+∠CDP=90°，
∴∠DCE+∠CDP=90°，
∴∠CPD=90°，
∴DF⊥CE；
（2）
证明：如图2，过点B作BG∥DF，交CD于G，交CE于H，
∵E为AD中点，F为AB中点，
∴DE=AF=AD，
由（1）同理得：DF⊥CE，
∴BG∥DF，
∵BF∥DG，
∴四边形BFDG是平行四边形，
∴DG=BF=CD，
∵GH∥DP，
∴CH=PH，
∴BH是PC的垂直平分线，
∴BP=BC；
（3）
如图3，过点N作NG⊥AB于G，连接AA'交MN于P，
由折叠可知，AA'⊥MN，
∵∠AOG=∠PON，∠AGO=∠NPO=90°，
∴∠BAA'=∠MNG，
在△A'AB和△MNG中，
∴△A'AB≌△MNG（ASA），
∴MG=A'B=2，
设A'M=x，则AM=x，BM=6-x，
由勾股定理得：A'M2=BM2+A'B2，
∴x2=（6-x）2+22，
∴x=，
∴DN=AG=-2=．
故答案为：．
【点睛】此题属于四边形的综合题，考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理以及三角形中位线的定理的运用．注意作辅助线构建三角形全等，掌握三角形中位线定理是关键．
7．（2022春·江苏泰州·八年级统考期中）已知：在正方形ABCD中，，点E是边CD上一点（点E不与点C、D重合），，连接AE，过点B作，垂足为G，交AD于点F．
(1)如图1，若．
①求BF的长；
②求四边形DEGF的面积．
(2)如图2，过点E作AE的垂线，交AD的延长线于点G，交BC于点H，求的长（用含t的代数式表示）．
【答案】(1)①；②
(2)
【分析】（1）①由“ASA”证明△BAF≌△EAD，得出AF＝DE＝3，再由勾股定理即可求出BF的长；②利用等积法求出AG的长度，由勾股定理得出BG的长度，再由S四边形DEGF＝S△ABG，即可求出四边形DEGF的面积；
（2）先证明四边形四边形BHGF是平行四边形，得出FG＝BH，由BC＝BH＋CH，AD＝AF＋FD，得出FD＋DG＋CH＝AF＋FD，即可得出DG＋CH＝AF＝t．
（1）
解：①∵在正方形ABCD中，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，，
在Rt△ABF中，，
∴；
②由①知，
∴＝，
∵，，，
∴，即，
∴，
∴，
∵在中，，，，
∴，
∴；
（2）
解：∵，，
∴，
∴，
∵四边形ABCD是正方形，
∴，
∴四边形FBHM为平行四边形，
∴，而，
∴，
∴，
∵，
∴，
由（1）知，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，掌握正方形的性质，全等三角形的判定，直角三角形的性质，平行四边形的判定与性质是解决问题的关键．
8．（2022春·江苏盐城·八年级校联考期中）如图1，△GEF是一个等腰直角三角形零件（其中EG=FG，∠EGF=90°），它的两个端点E、F分别安装在矩形框架的边AB、BC上（点E、F可以在边上滑动），且EF=AB=1.5，AD=2．小明在观察△GEF运动的过程中，给出了两个结论：①∠GEB与∠GFB一定互补；②点G到边AB、BC的距离一定相等．
(1)小明给出的两个结论是否都正确？若结论是正确的，请写出证明过程，若结论不正确，请说明理由；
(2)请思考并解决小明提出的两个问题：
问题1：B、G两点间距离的最大值为 ；
问题2：过点G分别作GM⊥BC，GN⊥CD，垂足为点M、N，连接MN，那么MN长度的最小值为多少？
【答案】(1)①②都正确，证明见解析
(2)问题1：1.5；问题2：
【分析】（1）由四边形ABCD是矩形，∠EGF＝90°，即得∠GEB＋∠GFB＝180°，故①正确；过G作GR⊥AB于R，GT⊥BC于T，证明△GER≌△GFT（AAS），可得GR＝GT，即点G到边AB、BC的距离一定相等，故②正确；
（2）问题1：连接BG，过G作GR⊥AB于R，GT⊥BC于T，由（1）可知GR＝GT，可证四边形RBTG是正方形，有∠GBF＝45°，即得BG＝GT，进而可得当点T、F重合，R、E重合时，GT最大，此时BG最大，然后根据正方形的性质得出BG最大值；
问题2：延长NG交AB于P，由点G到边AB、BC的距离一定相等可知，GP＝GM，设PG＝GM＝a，则GN＝2−a，根据勾股定理得GN2＋GM2＝（2−a）2＋a2＝MN2，求出MN2＝2a2−4a＋4＝2（a−1）2＋2，进而可得MN的最小值为．
（1）
解：①②都正确，
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
又∵∠EGF＝90°，四边形内角和是360°，
∴∠GEB＋∠GFB＝180°，即∠GEB与∠GFB一定互补，故①正确；
过G作GR⊥AB于R，GT⊥BC于T，如图：
∵GE＝GF，且∠EGF＝90°，
∴∠GEF＝∠GFE＝45°，
又∵∠B＝90°，
∴∠BEF＋∠EFB＝90°，即∠BEF＝90°−∠EFB，
∵∠GER＝180°−∠BEF−∠GEF＝180°−45°−（90°−∠EFB）＝45°＋∠EFB，
∠GFT＝∠EFB＋∠GFE＝∠EFB＋45°，
∴∠GER＝∠GFT，
在△GER和△GFT中，，
∴△GER≌△GFT（AAS），
∴GR＝GT，即点G到边AB、BC的距离一定相等，故②正确；
（2）
问题1：连接BG，过G作GR⊥AB于R，GT⊥BC于T，如图：
由（1）可知，GR＝GT，
又∵∠GRB＝∠RBT＝∠BTG＝90°
∴四边形RBTG是正方形，
∴∠GBF＝45°，
∴BG＝GT，
∴当GT最大时，BG最大，
在Rt△GFT中，GF≥GT，
∴当点T、F重合，R、E重合时，GT最大，此时BG最大，如图：
∵四边形RBTG是正方形，
∴BG＝RT＝EF＝1.5，
∴BG最大值为1.5，
故答案为：1.5；
问题2：如图，延长NG交AB于P，
∵ABCD，GN⊥CD，
∴GP⊥AB，
由点G到边AB、BC的距离一定相等可知，GP＝GM，
设PG＝GM＝a，则GN＝2−a，
根据勾股定理可知，GN2＋GM2＝（2−a）2＋a2＝MN2，
∴MN2＝2a2−4a＋4＝2（a−1）2＋2，
∵2（a−1）2≥0，
∴MN2有最小值2，
∴MN的最小值为．
【点睛】本题考查四边形综合应用，涉及矩形的性质，正方形的判定和性质，全等三角形判定与性质，勾股定理及完全平方式的应用等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题．
9．（2022春·江苏苏州·八年级苏州市景范中学校校考期中）如图1，点E是正方形ABCD的边BC上一点，连接AE，并将AE绕点E顺时针旋转90°，得到EG，过点G作于点F，于点H．
(1)①判断：四边形CFGH的形状为____________；②证明你的结论；
(2)如图2，连接AG，交DC于I，连接EI，若，，求正方形ABCD的边长；
(3)如图3，连接BD，与AE、AG交于P、Q两点，试探索BP、PQ、QD之间的数量关系，并直接写出结论：________________．
【答案】(1)①正方形；②证明见解析
(2)12
(3)PQ2=PB2+DQ2；证明见解析
【分析】（1）①结论：四边形CFGH是正方形； ②证明△ABE≌△EFG（AAS），结合全等三角形的性质，根据邻边相等的矩形是正方形证明即可；
（2）如图，把绕A顺时针旋转得到，可得三点共线，证明 可得 设正方形ABCD的边长为x， 则 再利用勾股定理建立方程，解方程即可解决问题；
（3）结论：PQ2=PB2+DQ2．将△AQD绕点A顺时针旋转90°得到△ABT，则AQ=AT，∠DQ=BT，ADQ=∠ABT=45°，证明∠TBP=90°，PQ=PT，可得结论．
(1)
解：①结论：四边形CFGH是正方形．
故答案为：正方形．
②理由：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=∠BCD=90°，
∵GF⊥BC，GH⊥CD，
∴∠F=∠GHC=∠HCF=90°，
∴四边形CFGH是矩形，
∵∠ABE=∠AEG=∠F=90°，
∴∠AEB+∠GEF=90°，∠GEF+∠EGF=90°，
∴∠AEB=∠EGF，
在△ABE和△EFG中，，
∴△ABE≌△EFG（AAS），
∴AB=EF，BE=FG，
∴BC=EF，
∴BE=CF，
∴FG=FC，
∴四边形CFGH是正方形；
(2)
正方形ABCD，正方形HCFG，
如图，把绕A顺时针旋转得到，
则由，可得三点共线，
结合旋转可得：
而
设正方形ABCD的边长为x，而
∴x=12，
∴正方形ABCD是边长为12；
(3)
如图，结论：PQ2=PB2+DQ2．
理由：将△AQD绕点A顺时针旋转90°得到△ABT，
则AQ=AT，DQ=BT，∠ADQ=∠ABT=45°，
∵∠ABD=45°，
∴∠TBP=90°，
∴PT2=BT2+PB2=DQ2+PB2，
由（2）得：∠EAG=45°，而∠QAT=90°，
∴∠PAT=∠PAQ=45°，
∵AP=AP，AT=AQ，
∴△PAT≌△PAQ（SAS），
∴PT=PQ，
∴PQ2=PB2+DQ2．
故答案为：PQ2=PB2+DQ2．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理的应用等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
10．（2022春·江苏无锡·八年级无锡市太湖格致中学校考期中）如图1，点P是矩形ABCD边CD上的一个动点，连接AP，以AP为边向外作正方形APEF，连接ED、FD．设DP＝x，，y与x的函数图像如图2所示．
(1)AB＝______，BC＝______；
(2)试问是否发生改变？如果改变，请求出W关于x的函数表达式；若不改变，请求出W的值；
(3)当△DEF为等腰三角形时，求出x的值．
【答案】(1)5；2
(2)不改变；
(3)1或2或4
【分析】（1）根据y与x的函数图像可知AB；由，代入即可求BC；
（2），过点F作交AD的延长线与点G，则，证即可求证；
（3）根据等腰三角形的性质，分、、三种情况进行讨论求解即可；
（1）
解：根据y与x的函数图像可知AB＝5；
y与x的函数表达式为：；
∵
当时，；
∴BC＝AD=2；
（2）
如图，过点F作交AD的延长线与点G，则，
∴，
∵四边形APEF是正方形，
∴
∴，
∵四边形ABCD是矩形，
∴，
∴
∴
∴
∴三角形ADF的面积不发生改变；
（3）
①如图，当时，
则，
∴
∴
②如图，当时，作，
同（1）理可得，
∴，，
∵，
∴，
∴
③如图，当时，作，
同（1）理可得，
∴，，
∵，
∴，
∴
∴
综上，x的值为1或2或4．
【点睛】本题主要考查矩形的性质、三角形的全等证明、等腰三角形的性质、勾股定理，根据题意，正确作辅助线构造全等三角形是解本题的关键．
11．（2022春·江苏泰州·八年级泰州市第二中学附属初中校考期中）已知正方形，E，F为平面内两点．
(1)如图1，当点E在边上时，，且B，C，F三点共线．求证：；
(2)如图2，当点E在正方形外部时，，，且E，C，F三点共线．猜想并证明线段，，之间的数量关系；
(3)如图3，当点E在正方形外部时，，，，且D，F，E三点共线，与交于G点．若，，求正方形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)17
【分析】(1)证明△EAD≌△FCD即可．
(2)证明△EAD≌△FCD，得到DE=DF，AE=CF，由勾股定理证明即可．
（3）结合（2）的结论，运用四点共圆，先求得EC=，根据勾股定理求得，运用正方形的面积等于计算即可．
（1）
如图1，∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠EAD=∠FCD=∠BCD=∠ADC=90°，
∵∠EDF=90°，
∴∠EDA=90°-∠CDE=∠FCD，
∴△EAD≌△FCD，
∴AE=CF．
（2）
，，之间的数量关系为．理由如下：
如图2，∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠EAD=∠FCD=∠BCD=∠ADC=90°，
∵∠EDF=90°，
∴∠EDA=90°-∠CDE=∠FCD，
∵∠EDF=90°，∠AEF=90°，
∴∠AED=90°-∠DEF=∠CFD，
∴△EAD≌△FCD，
∴AE=CF，DE=DF，
∴△EDF是等腰直角三角形，
∴
故．
（3）
连接AC，根据题意，得∠AEC=∠ADC=90°，
∴A、E、C、D都在以AC为直径的圆上，
∵∠ABC=90°，
∴点B也在同一个圆上，
∴∠DEA=∠DCA=45°，
∵∠EAF=90°，
∴∠AFE=45°，
∴AE=AF=，EF=AE=2，
∴DE=DF+EF=3+2=5，
根据（2）得，
∴，
∴，
∴，
∵∠AEC=90°，
∴，
∴正方形的面积等于．
【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，四点共圆，熟练掌握正方形的性质，四点共圆，勾股定理是解题的关键．
12．（2022春·江苏南京·八年级校考期中）如图1，已知正方形BEFG，点C在BE的延长线上，点A在GB的延长线上，且AB＝BC，过点C作AB的平行线，过点A作BC的平行线，两条平行线相交于点D．
(1)证明：四边形ABCD是正方形；
(2)当正方形BEFG绕点B顺时针（或逆时针）旋转一定角度，得到图2，使得点G在射线DB上，连接BD和DF，点Q是线段DF的中点，连接CQ和QE，猜想线段CQ和线段QE的关系，并说明理由；
(3)将正方形BEFG绕点B旋转一周时，当∠CGB等于45°时，直线AE交CG于点H，探究线段CH、EG、AH的长度关系．
【答案】(1)见解析；
(2)CQ⊥QE，CQ=QE．证明见解析；
(3)如图3-1中，当∠CGB=45°时，结论：CH+EG=AH．如图3-2中，当∠CGB=45°时，结论：CH=EG+AH．证明见解析．
【分析】（1）根据邻边相等有一个角是直角的平行四边形是正方形证明即可．
（2）结论：CQ⊥QE，CQ=QE．如图2中，延长EQ交BD于P，连接CP=CE．证明△CPE是等腰直角三角形，可得结论．
（3）分两种情形：如图3-1中，当∠CGB=45°时，C，E，G共线，此时E，H重合．结论：CH+EG=AH．如图3-2中，当∠CGB=45°时，A，E，G共线，此时G，H重合．结论：CH=EG+AH．
【详解】（1）证明：∵四边形BEFG是正方形，
∴∠EBG=90°，即∠ABC=90°，
∵CD∥AB，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB=BC，∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是正方形．
（2）解：结论：CQ⊥QE，CQ=QE．
理由：如图2中，延长EQ交BD于P，连接CP=CE．
∵四边形BEFG是正方形，
∴EF∥BG，即EF∥DG，∠EBG=90°，即∠DBE=90°，BE=EF，
∴∠PDQ=∠EFQ，
∵Q是DF的中点，
∴DQ=FQ，
∵∠DQP=∠FQE，
∴△DPQ≌△FEQ（SAS），
∴PQ=QE，DP=FE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CDP=∠CBD=45°，CD=CB，
∴∠CBE=∠DBE-CBD=45°，
即∠CDP=∠CBE=45°，
∵CD=CB，DP=EF=BE，
∴△CDP≌△CBE（SAS），
∴CP=CE，∠DCP=∠BCE，
∴∠DCP+∠PCB=∠BCE+∠PCB，
即∠PCE=∠BCD=90°，
∵CP=CE，
∴△CPE是等腰直角三角形，
∴PQ=QE，
∴CQ⊥QE，CQ=QE．
（3）如图3-1中，当∠CGB=45°时，C，E，G共线，此时E，H重合．结论：CH+EG=AH．
理由：∵∠ABC=∠EBG=90°，
∴∠ABH=∠CBG，
∵BA=BC，BH=BG，
∴△ABH≌△CBG（SAS），
∴AH=CG，
∵CG=CH+EG，
∴CH+EG=AH．
如图3-2中，当∠CGB=45°时，A，E，G共线，此时G，H重合．结论：CH=EG+AH．
理由：∵∠ABC=∠EBG=90°，
∴∠ABH=∠CBG，
∵BA=BC，BH=BG，
∴△ABE≌△CBG（SAS），
∴AE=CG，
∵AE=AH+EG，
∴CH=EG+AH．
【点睛】考查了四边形综合题，旋转的性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形．
13．（2022春·江苏扬州·八年级校联考期中）问题情境：如图，在正方形ABCD中，CE⊥DF．易证：CE＝DF．（不需要写出证明过程）
问题探究：在“问题情境”的基础上请研究．
(1)如图1，在正方形ABCD中，E为边BC上一点（不与点B、C重合），垂直于AE的一条直线MN分别交AB、AE、CD于点M、P、N．判断线段AE与MN之间的数量关系，并说明理由．
(2)如图2，若垂足P恰好为AE的中点，连接BD，交MN于点Q，连接EQ，CQ（图中未连），判断线段EQ与CQ之间的数量关系，并说明理由．
(3)在（2）的条件下延长EQ交边AD于点F．则∠AEF= °；
(4)拓展提高：如图3，若该正方形ABCD边长为8，将正方形沿着直线MN翻折，使得BC的对应边B′C′恰好经过点A，过点A作AG⊥MN，垂足分别为G，若AG＝5，请直接写出AC′的长 ．
【答案】(1)AE＝MN，理由见解析；
(2)EQ＝CQ，理由见解析；
(3)45；
(4)2.
【分析】（1）过点B作BF//MN交CD于点F，则四边形M BFN为平行四边形，得出MN =BF，BF⊥AE，由ASA证得△ABE≌△BCF，得出AE= BF，即可得出结论；
（2）在图2中，连接AQ、CQ，易证△ABQ≌△CBQ，所以AQ＝CQ，再根据垂直平分线的性质得到AQ＝EQ，所以可得EQ＝CQ
（3）连接AQ，过点Q作HI// AB，分别交AD，BC于点H、I，则四边形ABIH为矩形，得出HI⊥AD， HI⊥BC，HI = AB= AD，证△DHQ是等腰直角三角形，得HD= HQ， AH = QI，由HL证得Rt△AHQ≌Rt△QIE，得∠AQH =∠QEI，证∠AQE=90°，得△AQE是等腰直角三角形，即可得出结果；
(4)延长AG交BC于E，则EG = AG= 5，得AE=10，由勾股定理得：BE，则CE= BC-BE，由折叠的性质即可得出结果．
（1）
（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABE＝∠BCD＝90°，AB＝BC，AB∥CD，
过点B作BF∥MN交CD于点F，如图1所示：
∴四边形MBFN为平行四边形，
∴MN＝BF，BF⊥AE，
∴∠ABF+∠BAE＝90°，
∵∠ABF+∠CBF＝90°，
∴∠BAE＝∠CBF，
在△ABE和△BCF中， ，
∴△ABE≌△BCF（ASA），
∴AE＝BF，
∴AE＝MN；
（2）
解：在图2中，连接AQ、CQ，
在△ABQ和△CBQ中，
，
∴△ABQ≌△CBQ，
∴AQ＝CQ，
∵MN⊥AE于F，F为AE中点，
∴AQ＝EQ，
∴EQ＝CQ
（3）
解：连接AQ，过点Q作HI// AB，分别交AD．BC于点H、I，如图3所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴四边形ABIH为矩形，
∴HI⊥AD， HI⊥．BC， HI= AB= AD，
∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴∠BDA = 45°，
∴△DHQ是等腰直角三角形，
∴HD=HQ，AH=QI，
∵MN是AE的垂直平分线，
AQ= QE，
在Rt△AHQ和Rt△QIE中，
∵AQ= QE，AH= QI，
∴Rt△AHQ≌Rt△QIE(HL)，
∴∠AQH =∠QEI，
∠AQH＋∠EQI = 90°，
△AQ E是等腰直角三角形，
∠EAQ=∠AEQ=45°，
即∠AEF= 45°
故答案为：∠AEF=45°；
（4）
解：拓展提高：由(3)延长AG交BC于E，如图4所示：
则EG=AG=5，
∴AE= 10，
在Rt△ABE中，
BE=
CE= BC- BE= 8-6=2，
由折叠的性质得： AC'=CE=2，
故答案为： AC′=2.
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质、平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、折叠的性质、垂直平分线的性质、勾股定理、平行线的性质等知识；熟练掌握正方形的性质和折叠的性质是解题的关键．
14．（2022春·江苏连云港·八年级统考期中）△ABC中，，，点D为直线BC上一动点（（点D不与B，C重合）），以AD为边的AD右侧作正方形ADEF，连接CF．
(1)观察猜想：如图1，当点D在线段BC上时，
①BC与CF的位置关系为：______．
②BC，CD，CF之间的数量关系为______；（将结论直接写在横线上）
(2)数学思考：如图2，当点D在线段CB的延长线上时，（1）中的结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．
(3)拓展延伸：如图3，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于G，连接GE．若已知，，请直接写出GE的长．
【答案】(1)①垂直；②BC=CD＋CF
(2)成立，证明见详解；
(3)
【分析】（1）由边角边对应相等得出△ABD≌△ACF，从而CF=BD，∠ACF=∠ABD=45°，进而得出结论①②；
（2）由（1）解答得出△ABD≌△ACF，从而CF=BD，∠ACF=∠ABD=135°，进而得出结论；
（3）过A作AM⊥BD于M，过E作EN⊥BD延长线于N，由△AMD≌△DNE，得到DN=2，EN=3；设B为坐标原点，由中点坐标公式可得F点坐标，结合坐标特征求出G点坐标，即可计算GE的长；
（1）
解：△ABC中，，，则△ABC等腰直角三角形，
四边形ADEF是正方形，则AD=AF，∠DAF=90°，
∠BAC=∠BAD＋∠DAC=90°，∠DAF=∠CAF＋∠DAC=90°，
∴∠BAD=∠CAF，
△ABD和△ACF中：AB=AC，∠BAD=∠CAF，AD=AF，
∴△ABD≌△ACF（SAS），
∴BD=CF，∠ABD=∠ACF=45°，
∠ACB=45°，则∠BCF=∠ACB ＋∠ACF =90°，
故：BC⊥CF，BC=BD＋DC=CF＋DC；
（2）
解：根据（1）解答可得：△ABD≌△ACF（SAS），
∴BD=CF，∠ABD=∠ACF=135°，
∠ACB=45°，则∠BCF=∠ACF－∠ACB =90°，
故：BC⊥CF，BC=BD＋DC=CF＋DC；
（3）
解：如图，过A作AM⊥BD于M，过E作EN⊥BD延长线于N，
四边形ADEF是正方形，△ABC是等腰直角三角形，
△AMD和△DNE中：∠ADM＋∠DAM=∠ADM＋∠EDN=90°，则∠DAM=∠EDN，
AD=DE，∠AMD=∠DNE=90°，
∴△AMD≌△DNE，
BC=4，CD=1，则AM=2，DM=3，
∴DN=2，EN=3，
设B为坐标原点，则A（2，2），C（4，0），D（5，0），E（7，3），
正方形ADEF中，对角线互相平分，则线段AE和线段DF的中点重合；设F坐标（x，y），
由中点坐标公式可得：AE的中点坐标为（，），DF的中点坐标为（，），
∴=，=，
解得x=4，y=5，
即F（4，5），
∵C（4，0），F（4，5），
∴CF⊥BC，
∵∠B=45°，
∴△BCG是等腰直角三角形，
∴CG=BC=4，即G（4，4），E（7，3），
∴GE=
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，正方形的性质，中点坐标和两点距离公式，数形结合利用点的坐标计算线段长度是解题关键．
15．（2022春·江苏宿迁·八年级统考期中）如图①，已知正方形，把一个直角与正方形叠合，使直角顶点与正方形的一个顶点重合，当直角的一边与相交于点，另一边与的延长线相交于点时．
（1）证明：；
（2）如图②，作的平分线交于点，连接．证明：．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）根据正方形的性质得AB=AD，∠BAD=∠B=∠ADC=90°，再根据等角的余角相等得∠BAE=∠DAF，则可根据“ASA”证明△ABE≌△ADF，然后根据全等的性质即可得到BE=DF；
（2）由△ABE≌△ADF得AE=AF，再根据角平分线的定义得∠EAG=∠FAG，然后根据“SAS”可判断△AEG≌△FAG，得到GE=GF，由于GF=DG+DF，所以BE+DG=EG；
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD，∠BAD=∠B=∠ADC=90°，
∵∠EAF=90°，
∴∠EAD+∠FAD=90°，∠EAD+∠BAE=90°，
∴∠BAE=∠DAF，
在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（ASA），
∴BE=DF；
（2）证明：∵△ABE≌△ADF，
∴AE=AF，
∵∠EAF的平分线交CD于G点，
∴∠EAG=∠FAG，
在△AEG和△FAG中
，
∴△AEG≌△FAG（SAS），
∴GE=GF，
∵GF=DG+DF，
而BE=DF，
∴BE+DG=EG；
【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的性质和判定，解答关键是会运用三角形全等的知识解决线段相等的问题．
16．（2022春·江苏扬州·八年级统考期中）在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，AE与BF相交于点G．
(1)如图1，求证：AE⊥BF；
(2)如图2，将△BCF沿BF折叠，得到△BPF，延长FP交BA的延长线于点Q，若AB=4，求QF的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)QF=5
【分析】（1）首先证明△ABE≌△BCF，再利用角的关系求得∠BGE=90°，即可证明AE⊥BF；
（2）由△BCF沿BF对折，得到△BPF可得FP=FC，∠PFB=∠BFC，∠FPB=90，在利用角的关系求出QF=QB，设设QF=x，在Rt△BPQ中，利用勾股定理可建立关于x的方程解方程求出x的值即可．
【详解】（1）解：∵E，F分别是正方形ABCD边BC，CD的中点，
∴CF=BE，
在△ABE和△BCF中，
∴Rt△ABE≌Rt△BCF（SAS），
∴∠BAE=∠CBF，
又∵∠BAE+∠BEA=90°，
∴∠CBF+∠BEA=90°，
∴∠BGE=90°，
∴AE⊥BF；
（2）解：∵将△BCF沿BF折叠，得到△BPF，
∴FP=FC，∠PFB=∠BFC，∠FPB=90°，
∵CD∥AB，
∴∠CFB=∠ABF，
∴∠ABF=∠PFB，
∴QF=QB，
设QF=x，PB=BC=AB=4，CF=PF=2，
∴QB=x，PQ=x﹣2，
在Rt△BPQ中，∴x2=（x﹣2）2+42，
解得：x=5，
即QF=5．
1．（2022春·江苏南通·八年级统考期中）已知，点是正方形所在平面上一点，直线与直线相交于点．直线与直线相交于点，且．
(1)如图，当点在正方形内部，且时，求证：；
(2)如图，当点在正方形外部，依题意补全图；用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．
2．（2022春·江苏盐城·八年级统考期中）已知在平行四边形ABCD中，点E、F分别在AB、BC边上，DE＝AF，DE⊥AF于点G．
(1)如图1，若∠BAD＝90°，求证：四边形ABCD是正方形；
(2)在（1）的条件下，延长CB到点H，使得BH＝AE，判断△AHF的形状，并说明理由．
(3)如图2，若AB=AD，∠AED＝60°，AE＝6，BF＝2，求DE的长．
3．（2022春·江苏连云港·八年级统考期中）已知，四边形和四边形都是正方形，点为的中点．
(1)连接、．
①如图1，若点在边上，猜想和的关系，并给予证明：
②若将图1中的正方形绕点顺时针旋转，使点落在对角线的延长线上，请你在图2中补全图形，猜想和的关系，并给予证明．
(2)如图3，若，，将正方形绕点旋转，连接．请你直接写出的取值范围___________．
4．（2022春·江苏南京·八年级校联考期中）数学问题：如图①，正方形ABCD中，点E是对角线AC上任意一点，过点E作，垂足为E，交BC所在直线于点F．探索AF与DE之间的数量关系，并说明理由．
(1)特殊思考：如图②，当E是对角线AC的中点时，AF与DE之间的数量关系是______．
(2)探究证明：
①小明用“平移法”将AF沿AD方向平移得到DG，将原来分散的两条线段集中到同一个三角形中，如图③，这样就可以将问题转化为探究DG与DE之间的数量关系．请你按照他的思路，完成解题过程．
②请你用与（2）不同的方法解决“数学问题”．
5．（2022春·江苏徐州·八年级统考期中）小波在复习时，遇到一个课本上的问题，温故后进行了操作、推理与拓展．
(1)温故：如图1，在中，于点D，正方形PQMN的边QM在BC上，顶点P，N分别在AB，AC上，且．若，，则正方形PQMN的边长等于______．
(2)操作：能画出这类正方形吗？小波按数学家波利亚在《怎样解题》中的方法进行操作：如图2，任意画，在AB上任取一点，画正方形，使，在BC边上，在内，连结并延长交AC于点N，画于点M，交AB于点P，于点Q，得到四边形PQMN．
(3)推理：如图3，若点E是BN的中点，求证：．
(4)拓展：在（2）的条件下，射线BN上截取，连结EQ，EM（如图4）．当时，猜想的度数，并尝试证明．
请帮助小波解决“温故”、“推理”、“拓展”中的问题．
6．（2022春·江苏南京·八年级校联考期中）点 E．F 分别为正方形 ABCD 边 AD．AB 上的点，连接 CE，DF 交于点 P．
(1)如图 1，若 DE=AF，则线段 DF 与 CE 具有怎样的数量和位置关系？说明理由．
(2)如图 2，若 E 为 AD 中点，F 为 AB 中点，求证 BP=BC．
(3)若将正方形 ABCD 折叠，使得 A 点的对应点 A'落在 BC 边上，折痕 MN 分别交 AB，CD 于 M，N．若正方形的的边长为 6，线段 A'B=2，则 DN 的长为 ．
7．（2022春·江苏泰州·八年级统考期中）已知：在正方形ABCD中，，点E是边CD上一点（点E不与点C、D重合），，连接AE，过点B作，垂足为G，交AD于点F．
(1)如图1，若．
①求BF的长；
②求四边形DEGF的面积．
(2)如图2，过点E作AE的垂线，交AD的延长线于点G，交BC于点H，求的长（用含t的代数式表示）．
8．（2022春·江苏盐城·八年级校联考期中）如图1，△GEF是一个等腰直角三角形零件（其中EG=FG，∠EGF=90°），它的两个端点E、F分别安装在矩形框架的边AB、BC上（点E、F可以在边上滑动），且EF=AB=1.5，AD=2．小明在观察△GEF运动的过程中，给出了两个结论：①∠GEB与∠GFB一定互补；②点G到边AB、BC的距离一定相等．
(1)小明给出的两个结论是否都正确？若结论是正确的，请写出证明过程，若结论不正确，请说明理由；
(2)请思考并解决小明提出的两个问题：
问题1：B、G两点间距离的最大值为 ；
问题2：过点G分别作GM⊥BC，GN⊥CD，垂足为点M、N，连接MN，那么MN长度的最小值为多少？
9．（2022春·江苏苏州·八年级苏州市景范中学校校考期中）如图1，点E是正方形ABCD的边BC上一点，连接AE，并将AE绕点E顺时针旋转90°，得到EG，过点G作于点F，于点H．
(1)①判断：四边形CFGH的形状为____________；②证明你的结论；
(2)如图2，连接AG，交DC于I，连接EI，若，，求正方形ABCD的边长；
(3)如图3，连接BD，与AE、AG交于P、Q两点，试探索BP、PQ、QD之间的数量关系，并直接写出结论：________________．
10．（2022春·江苏无锡·八年级无锡市太湖格致中学校考期中）如图1，点P是矩形ABCD边CD上的一个动点，连接AP，以AP为边向外作正方形APEF，连接ED、FD．设DP＝x，，y与x的函数图像如图2所示．
(1)AB＝______，BC＝______；
(2)试问是否发生改变？如果改变，请求出W关于x的函数表达式；若不改变，请求出W的值；
(3)当△DEF为等腰三角形时，求出x的值．
11．（2022春·江苏泰州·八年级泰州市第二中学附属初中校考期中）已知正方形，E，F为平面内两点．
(1)如图1，当点E在边上时，，且B，C，F三点共线．求证：；
(2)如图2，当点E在正方形外部时，，，且E，C，F三点共线．猜想并证明线段，，之间的数量关系；
(3)如图3，当点E在正方形外部时，，，，且D，F，E三点共线，与交于G点．若，，求正方形的面积．
12．（2022春·江苏南京·八年级校考期中）如图1，已知正方形BEFG，点C在BE的延长线上，点A在GB的延长线上，且AB＝BC，过点C作AB的平行线，过点A作BC的平行线，两条平行线相交于点D．
(1)证明：四边形ABCD是正方形；
(2)当正方形BEFG绕点B顺时针（或逆时针）旋转一定角度，得到图2，使得点G在射线DB上，连接BD和DF，点Q是线段DF的中点，连接CQ和QE，猜想线段CQ和线段QE的关系，并说明理由；
(3)将正方形BEFG绕点B旋转一周时，当∠CGB等于45°时，直线AE交CG于点H，探究线段CH、EG、AH的长度关系．
13．（2022春·江苏扬州·八年级校联考期中）问题情境：如图，在正方形ABCD中，CE⊥DF．易证：CE＝DF．（不需要写出证明过程）
问题探究：在“问题情境”的基础上请研究．
(1)如图1，在正方形ABCD中，E为边BC上一点（不与点B、C重合），垂直于AE的一条直线MN分别交AB、AE、CD于点M、P、N．判断线段AE与MN之间的数量关系，并说明理由．
(2)如图2，若垂足P恰好为AE的中点，连接BD，交MN于点Q，连接EQ，CQ（图中未连），判断线段EQ与CQ之间的数量关系，并说明理由．
(3)在（2）的条件下延长EQ交边AD于点F．则∠AEF= °；
(4)拓展提高：如图3，若该正方形ABCD边长为8，将正方形沿着直线MN翻折，使得BC的对应边B′C′恰好经过点A，过点A作AG⊥MN，垂足分别为G，若AG＝5，请直接写出AC′的长 ．
14．（2022春·江苏连云港·八年级统考期中）△ABC中，，，点D为直线BC上一动点（（点D不与B，C重合）），以AD为边的AD右侧作正方形ADEF，连接CF．
(1)观察猜想：如图1，当点D在线段BC上时，
①BC与CF的位置关系为：______．
②BC，CD，CF之间的数量关系为______；（将结论直接写在横线上）
(2)数学思考：如图2，当点D在线段CB的延长线上时，（1）中的结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．
(3)拓展延伸：如图3，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于G，连接GE．若已知，，请直接写出GE的长．
15．（2022春·江苏宿迁·八年级统考期中）如图①，已知正方形，把一个直角与正方形叠合，使直角顶点与正方形的一个顶点重合，当直角的一边与相交于点，另一边与的延长线相交于点时．
（1）证明：；
（2）如图②，作的平分线交于点，连接．证明：．
16．（2022春·江苏扬州·八年级统考期中）在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，AE与BF相交于点G．
(1)如图1，求证：AE⊥BF；
(2)如图2，将△BCF沿BF折叠，得到△BPF，延长FP交BA的延长线于点Q，若AB=4，求QF的值．
难点特训（二）和正方形有关的压轴大题
1．（2022春·江苏南通·八年级统考期中）已知，点是正方形所在平面上一点，直线与直线相交于点．直线与直线相交于点，且．
(1)如图，当点在正方形内部，且时，求证：；
(2)如图，当点在正方形外部，依题意补全图；用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②，证明见解析
【分析】（1）证出△APD是等边三角形，得∠PAD＝60°，再由含30°角的直角三角形的性质得DFADa，CECD，DE＝2CE，即可得出结论；
（2）①依题意补全图形即可；②DE﹣CE＝DF，过D作DH⊥AP交BC于点H，先证△ADF≌△DCH（AAS），得DF＝CH，再证ED＝EH，即可得出结论．
（1）
证明：设AB＝a．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD＝AB＝a．
∵DA＝DP，∠ADP＝60°，
∴△APD是等边三角形．
∴∠PAD＝60°，
在Rt△ADF中，∠AFD＝30°，
∴DFADa，
在Rt△DCE中，∠CDE＝30°，
∴CECD，DE＝2CE，
∴DE+CE＝DF；
（2）
①依题意补全图形，如图2所示：
②DE﹣CE＝DF，证明如下：
过D作DH⊥AP交BC于点H，如图3所示：
∵DH⊥AF，
∴∠HDC+∠AFD＝90°，
∵∠HDC+∠DHC＝90°，
∴∠AFD＝∠DHC，
在△ADF和△DCH中，
，
∴△ADF≌△DCH（AAS），
∴DF＝CH，
∵DA＝DP，
∴∠ADH＝∠EDH，
∵ADBC，
∴∠ADH＝∠EHD，
∴∠EDH＝∠EHD，
∴ED＝EH，
∴DE﹣CE＝DF．
【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握正方形的性质和旋转的性质，证明三角形全等是解题的关键．
2．（2022春·江苏盐城·八年级统考期中）已知在平行四边形ABCD中，点E、F分别在AB、BC边上，DE＝AF，DE⊥AF于点G．
(1)如图1，若∠BAD＝90°，求证：四边形ABCD是正方形；
(2)在（1）的条件下，延长CB到点H，使得BH＝AE，判断△AHF的形状，并说明理由．
(3)如图2，若AB=AD，∠AED＝60°，AE＝6，BF＝2，求DE的长．
【答案】(1)见解析
(2)△AHF是等腰三角形，理由见解析
(3)DE＝8
【分析】（1）先证明四边形ABCD是矩形，证明△ADE≌△BAF（AAS），可得AD＝BA，即可证明四边形ABCD是正方形：
（2）证明AB⊥BC，即AB垂直平分FH，即可证明△AHF是等腰三角形；
（3）延长CB到点H，使得BH＝AE，连接AH，证明△DAE≌△ABH（SAS），得到△AHF是等边三角形，即可求解．
（1）
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∠BAD＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，∠DAE＝∠ABF＝90°，
∴∠BAF+∠DAF＝90°，
∵DE⊥AF，
∴∠AGD＝90°，
∴∠ADE+∠DAF＝90°，
∴∠ADE＝∠BAF，
∵DE＝AF，
∴△ADE≌△BAF（AAS），
∴AD＝BA，
∴四边形ABCD是正方形：
（2）
解：△AHF是等腰三角形，理由如下：
由（1）得：△ADE≌△BAF，
∴AE＝BF，
∵BH＝AE，
∴BF＝BH，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°，
∴AB⊥BC，即AB垂直平分FH，
∴AH＝AF，
∴△AHF是等腰三角形．
（3）
延长CB到点H，使得BH＝AE，连接AH，如图2所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∴∠ABH＝∠BAD．
∵BH＝AE，
∴△DAE≌△ABH（SAS），
∴DE＝AH，∠AHB＝∠DEA＝60°，
∵DE＝AF，
∴AH＝AF，
∴△AHF是等边三角形，
∴AH＝HF＝BH+BF＝AE+BF＝6+2＝8，
∴DE＝AH＝8．
【点睛】本题考查了特殊四边形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，掌握以上性质定理是解题的关键．
3．（2022春·江苏连云港·八年级统考期中）已知，四边形和四边形都是正方形，点为的中点．
(1)连接、．
①如图1，若点在边上，猜想和的关系，并给予证明：
②若将图1中的正方形绕点顺时针旋转，使点落在对角线的延长线上，请你在图2中补全图形，猜想和的关系，并给予证明．
(2)如图3，若，，将正方形绕点旋转，连接．请你直接写出的取值范围___________．
【答案】(1)①；②证明见解析
(2)
【分析】（1）①连接，证明，，证明是等腰直角三角形，即可得证；
②延长交于点，连接，证明，，得出，根据等边对等角，设，，根据外角的性质得出，即可证明；
（2）连接，根据，当在上时，最大，，当在上时，最小，，即可求解．
【详解】（1）①如图，连接，
∵四边形和四边形都是正方形，
∴,，
∴，
∵为的中点，
∴，则，
在中，
，
∴，
∴，，
在中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴；
②，
证明：如图，延长交于点，连接，
∵四边形和四边形都是正方形，
∴，，
∵落在对角线的延长线上，
∴，
∴，
∴在的延长线上，
∵，
∴，
在中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，
,
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴ ，
设，，
∴，，
∵，
∴，
即，
∴；
（2）如图，连接，
∵
∴当在上时，如图，此时最大，，
由（1）可知是等腰直角三角形，
∵，，
∴，，
∴
∴，
∴
当在上时，最小，同理可得是等腰直角三角形，
此时，
综上所述，．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，旋转的性质，三角形三边关系，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理的应用，综合运用以上知识是解题的关键．
4．（2022春·江苏南京·八年级校联考期中）数学问题：如图①，正方形ABCD中，点E是对角线AC上任意一点，过点E作，垂足为E，交BC所在直线于点F．探索AF与DE之间的数量关系，并说明理由．
(1)特殊思考：如图②，当E是对角线AC的中点时，AF与DE之间的数量关系是______．
(2)探究证明：
①小明用“平移法”将AF沿AD方向平移得到DG，将原来分散的两条线段集中到同一个三角形中，如图③，这样就可以将问题转化为探究DG与DE之间的数量关系．请你按照他的思路，完成解题过程．
②请你用与（2）不同的方法解决“数学问题”．
【答案】(1)
(2)①见解析 ②见解析
【分析】（1）根据正方形的性质和勾股定理即可解决问题；
（2）①延长BC，作，交BC的延长线于点G，连接EG，证明四边形AFGD为平行四边形．从而证明，得到△DEG是等腰直角三角形，得到 ，故可求解；
②作，并截取，连接AG，证明△DEG是等腰直角三角形，得到 ， 再证明，，，再得到四边形AGEF为平行四边形，则 AF＝EG．故可求解．
（1）
，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，E是对角线AC的中点，
∴AC⊥BD，AE＝BE＝CE＝DE，
∵AB2＝AE2＋BE2，
∴AB2＝2DE2，
∵B点与F点重合，
∴AF2＝2DE2，
∴；
故答案为：．
（2）
①如下图，延长BC，作，交BC的延长线于点G，连接EG．
∵四边形ABCD是正方形，
∴，，．
∵，，
∴四边形AFGD为平行四边形．
∴AF＝DG，AD＝FG．
∴FG＝CD．
∵，AB＝BC，
∴．
∴
∵．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴，．
∴．
∴△DEG是等腰直角三角形
∴，
∴．
∴．
②如图，作，并截取，连接AG、GE．
∵四边形ABCD是正方形，
∴，CD＝AD．
∴
同理，．
∵，
∴．
又∵DG＝DE，
∴△DEG是等腰直角三角形
∴，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴，AG＝EC．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
∵，
∴
∴四边形AGEF为平行四边形
．∴AF＝EG．
∴．
【点睛】此题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，生活中的平移现象，关键是根据正方形与平行四边形的性质、等腰直角三角形和全等三角形的判定和性质解答．
5．（2022春·江苏徐州·八年级统考期中）小波在复习时，遇到一个课本上的问题，温故后进行了操作、推理与拓展．
(1)温故：如图1，在中，于点D，正方形PQMN的边QM在BC上，顶点P，N分别在AB，AC上，且．若，，则正方形PQMN的边长等于______．
(2)操作：能画出这类正方形吗？小波按数学家波利亚在《怎样解题》中的方法进行操作：如图2，任意画，在AB上任取一点，画正方形，使，在BC边上，在内，连结并延长交AC于点N，画于点M，交AB于点P，于点Q，得到四边形PQMN．
(3)推理：如图3，若点E是BN的中点，求证：．
(4)拓展：在（2）的条件下，射线BN上截取，连结EQ，EM（如图4）．当时，猜想的度数，并尝试证明．
请帮助小波解决“温故”、“推理”、“拓展”中的问题．
【答案】(1)
(2)能画出这样的正方形，理由见解析
(3)见解析
(4)∠QEM=75°，证明见解析
【分析】（1）根据正方形的性质得PN=MN，将，代入求解即可；
（2）先证明四边形PQMN是矩形，再证明PN=MN即可；
（3）根据正方形的性质和直角三角形斜边上的中线性质，结合ASA证明△PNE和△EMQ全等，再根据全等三角形的性质即可证的结论；
（4）先证明△EMN为等边三角形，得到∠EMN=90°，则∠EMQ=30°，再根据等腰三角形的性质可得出答案．
（1）
解：∵四边形PQMN是正方形，
∴PN=MN，
∵，，，
∴，
解得：，
故答案为：；
（2）
解：能画出这样的正方形，理由为：
∵于点M，交AB于点P，于点Q，
∴∠NMQ=∠PNM=∠PQM=90°，
∴四边形PQMN是矩形，
∵四边形是正方形，
∴
∴△BN′M′∽△BNM，△BN′P′∽△BNP，
∴，，
∴，
∵P′N′= M′N′，
∴PN=MN，
∴四边形PQMN为正方形；
（3）
解：连接ME，
∵点E为BN的中点，∠NMB=90°，
∴ME=BE=NE，
∴∠EBM=∠EMQ，
∵，
∴∠EBM=∠PNE，
∴∠PNE=∠EMQ，
在△PNE和△EMQ中，
，
∴△PNE≌△EMQ（SAS），
∴EP=EQ；
（4）
解：∠QEM=75°，证明如下：
由（2）知，四边形PQMN是正方形，则∠NMB=90°，NM=MQ，
∵∠NMB=90°，∠NBM=30°，
∴∠MNB=90°－30°=60°，
∵NE=NM，
∴△EMN为等边三角形，
∴ME=NM，∠EMN=60°，
∴ME=MQ，∠EMQ=30°，
∴∠QEM=（180°－30°）=75°．
【点睛】本题考查正方形的判定与性质、矩形的判定、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质等知识，综合性强，有一定的难度，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
6．（2022春·江苏南京·八年级校联考期中）点 E．F 分别为正方形 ABCD 边 AD．AB 上的点，连接 CE，DF 交于点 P．
(1)如图 1，若 DE=AF，则线段 DF 与 CE 具有怎样的数量和位置关系？说明理由．
(2)如图 2，若 E 为 AD 中点，F 为 AB 中点，求证 BP=BC．
(3)若将正方形 ABCD 折叠，使得 A 点的对应点 A'落在 BC 边上，折痕 MN 分别交 AB，CD 于 M，N．若正方形的的边长为 6，线段 A'B=2，则 DN 的长为 ．
【答案】(1)相等；垂直；理由见解析；
(2)见解析；
(3)
【分析】（1）由四边形ABCD为正方形，AF=DE，易证得△ADF≌△DCE（SAS），即可证得DF=CE，∠ADF=∠DCE，即可证得DF⊥CE；
（2）如图2，过点B作BG∥DF，交CD于G，交CE于H，先根据两组对边分别平行证明四边形BFDG是平行四边形，由三角形中位线定理的推论可得PH=CH，得BH是PC的垂直平分线，可解答；
（3）过点M作MG⊥CD于G，连接DE交MN于P，由折叠可知，DE⊥MN，证明△MNG≌△A'AB（ASA），则MG=A'B=2，设A'M=x，由勾股定理列方程可得x的长，可求得DN的长．
（1）
解：DF=CE，DF⊥CE，理由如下：
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=DC，∠A=∠ADC=90°，
在△ADF和△DCE中，
∴△ADF≌△DCE（SAS），
∴DF=CE，∠ADF=∠DCE，
∵∠ADF+∠CDP=90°，
∴∠DCE+∠CDP=90°，
∴∠CPD=90°，
∴DF⊥CE；
（2）
证明：如图2，过点B作BG∥DF，交CD于G，交CE于H，
∵E为AD中点，F为AB中点，
∴DE=AF=AD，
由（1）同理得：DF⊥CE，
∴BG∥DF，
∵BF∥DG，
∴四边形BFDG是平行四边形，
∴DG=BF=CD，
∵GH∥DP，
∴CH=PH，
∴BH是PC的垂直平分线，
∴BP=BC；
（3）
如图3，过点N作NG⊥AB于G，连接AA'交MN于P，
由折叠可知，AA'⊥MN，
∵∠AOG=∠PON，∠AGO=∠NPO=90°，
∴∠BAA'=∠MNG，
在△A'AB和△MNG中，
∴△A'AB≌△MNG（ASA），
∴MG=A'B=2，
设A'M=x，则AM=x，BM=6-x，
由勾股定理得：A'M2=BM2+A'B2，
∴x2=（6-x）2+22，
∴x=，
∴DN=AG=-2=．
故答案为：．
【点睛】此题属于四边形的综合题，考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理以及三角形中位线的定理的运用．注意作辅助线构建三角形全等，掌握三角形中位线定理是关键．
7．（2022春·江苏泰州·八年级统考期中）已知：在正方形ABCD中，，点E是边CD上一点（点E不与点C、D重合），，连接AE，过点B作，垂足为G，交AD于点F．
(1)如图1，若．
①求BF的长；
②求四边形DEGF的面积．
(2)如图2，过点E作AE的垂线，交AD的延长线于点G，交BC于点H，求的长（用含t的代数式表示）．
【答案】(1)①；②
(2)
【分析】（1）①由“ASA”证明△BAF≌△EAD，得出AF＝DE＝3，再由勾股定理即可求出BF的长；②利用等积法求出AG的长度，由勾股定理得出BG的长度，再由S四边形DEGF＝S△ABG，即可求出四边形DEGF的面积；
（2）先证明四边形四边形BHGF是平行四边形，得出FG＝BH，由BC＝BH＋CH，AD＝AF＋FD，得出FD＋DG＋CH＝AF＋FD，即可得出DG＋CH＝AF＝t．
（1）
解：①∵在正方形ABCD中，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，，
在Rt△ABF中，，
∴；
②由①知，
∴＝，
∵，，，
∴，即，
∴，
∴，
∵在中，，，，
∴，
∴；
（2）
解：∵，，
∴，
∴，
∵四边形ABCD是正方形，
∴，
∴四边形FBHM为平行四边形，
∴，而，
∴，
∴，
∵，
∴，
由（1）知，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，掌握正方形的性质，全等三角形的判定，直角三角形的性质，平行四边形的判定与性质是解决问题的关键．
8．（2022春·江苏盐城·八年级校联考期中）如图1，△GEF是一个等腰直角三角形零件（其中EG=FG，∠EGF=90°），它的两个端点E、F分别安装在矩形框架的边AB、BC上（点E、F可以在边上滑动），且EF=AB=1.5，AD=2．小明在观察△GEF运动的过程中，给出了两个结论：①∠GEB与∠GFB一定互补；②点G到边AB、BC的距离一定相等．
(1)小明给出的两个结论是否都正确？若结论是正确的，请写出证明过程，若结论不正确，请说明理由；
(2)请思考并解决小明提出的两个问题：
问题1：B、G两点间距离的最大值为 ；
问题2：过点G分别作GM⊥BC，GN⊥CD，垂足为点M、N，连接MN，那么MN长度的最小值为多少？
【答案】(1)①②都正确，证明见解析
(2)问题1：1.5；问题2：
【分析】（1）由四边形ABCD是矩形，∠EGF＝90°，即得∠GEB＋∠GFB＝180°，故①正确；过G作GR⊥AB于R，GT⊥BC于T，证明△GER≌△GFT（AAS），可得GR＝GT，即点G到边AB、BC的距离一定相等，故②正确；
（2）问题1：连接BG，过G作GR⊥AB于R，GT⊥BC于T，由（1）可知GR＝GT，可证四边形RBTG是正方形，有∠GBF＝45°，即得BG＝GT，进而可得当点T、F重合，R、E重合时，GT最大，此时BG最大，然后根据正方形的性质得出BG最大值；
问题2：延长NG交AB于P，由点G到边AB、BC的距离一定相等可知，GP＝GM，设PG＝GM＝a，则GN＝2−a，根据勾股定理得GN2＋GM2＝（2−a）2＋a2＝MN2，求出MN2＝2a2−4a＋4＝2（a−1）2＋2，进而可得MN的最小值为．
（1）
解：①②都正确，
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
又∵∠EGF＝90°，四边形内角和是360°，
∴∠GEB＋∠GFB＝180°，即∠GEB与∠GFB一定互补，故①正确；
过G作GR⊥AB于R，GT⊥BC于T，如图：
∵GE＝GF，且∠EGF＝90°，
∴∠GEF＝∠GFE＝45°，
又∵∠B＝90°，
∴∠BEF＋∠EFB＝90°，即∠BEF＝90°−∠EFB，
∵∠GER＝180°−∠BEF−∠GEF＝180°−45°−（90°−∠EFB）＝45°＋∠EFB，
∠GFT＝∠EFB＋∠GFE＝∠EFB＋45°，
∴∠GER＝∠GFT，
在△GER和△GFT中，，
∴△GER≌△GFT（AAS），
∴GR＝GT，即点G到边AB、BC的距离一定相等，故②正确；
（2）
问题1：连接BG，过G作GR⊥AB于R，GT⊥BC于T，如图：
由（1）可知，GR＝GT，
又∵∠GRB＝∠RBT＝∠BTG＝90°
∴四边形RBTG是正方形，
∴∠GBF＝45°，
∴BG＝GT，
∴当GT最大时，BG最大，
在Rt△GFT中，GF≥GT，
∴当点T、F重合，R、E重合时，GT最大，此时BG最大，如图：
∵四边形RBTG是正方形，
∴BG＝RT＝EF＝1.5，
∴BG最大值为1.5，
故答案为：1.5；
问题2：如图，延长NG交AB于P，
∵ABCD，GN⊥CD，
∴GP⊥AB，
由点G到边AB、BC的距离一定相等可知，GP＝GM，
设PG＝GM＝a，则GN＝2−a，
根据勾股定理可知，GN2＋GM2＝（2−a）2＋a2＝MN2，
∴MN2＝2a2−4a＋4＝2（a−1）2＋2，
∵2（a−1）2≥0，
∴MN2有最小值2，
∴MN的最小值为．
【点睛】本题考查四边形综合应用，涉及矩形的性质，正方形的判定和性质，全等三角形判定与性质，勾股定理及完全平方式的应用等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题．
9．（2022春·江苏苏州·八年级苏州市景范中学校校考期中）如图1，点E是正方形ABCD的边BC上一点，连接AE，并将AE绕点E顺时针旋转90°，得到EG，过点G作于点F，于点H．
(1)①判断：四边形CFGH的形状为____________；②证明你的结论；
(2)如图2，连接AG，交DC于I，连接EI，若，，求正方形ABCD的边长；
(3)如图3，连接BD，与AE、AG交于P、Q两点，试探索BP、PQ、QD之间的数量关系，并直接写出结论：________________．
【答案】(1)①正方形；②证明见解析
(2)12
(3)PQ2=PB2+DQ2；证明见解析
【分析】（1）①结论：四边形CFGH是正方形； ②证明△ABE≌△EFG（AAS），结合全等三角形的性质，根据邻边相等的矩形是正方形证明即可；
（2）如图，把绕A顺时针旋转得到，可得三点共线，证明 可得 设正方形ABCD的边长为x， 则 再利用勾股定理建立方程，解方程即可解决问题；
（3）结论：PQ2=PB2+DQ2．将△AQD绕点A顺时针旋转90°得到△ABT，则AQ=AT，∠DQ=BT，ADQ=∠ABT=45°，证明∠TBP=90°，PQ=PT，可得结论．
(1)
解：①结论：四边形CFGH是正方形．
故答案为：正方形．
②理由：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=∠BCD=90°，
∵GF⊥BC，GH⊥CD，
∴∠F=∠GHC=∠HCF=90°，
∴四边形CFGH是矩形，
∵∠ABE=∠AEG=∠F=90°，
∴∠AEB+∠GEF=90°，∠GEF+∠EGF=90°，
∴∠AEB=∠EGF，
在△ABE和△EFG中，，
∴△ABE≌△EFG（AAS），
∴AB=EF，BE=FG，
∴BC=EF，
∴BE=CF，
∴FG=FC，
∴四边形CFGH是正方形；
(2)
正方形ABCD，正方形HCFG，
如图，把绕A顺时针旋转得到，
则由，可得三点共线，
结合旋转可得：
而
设正方形ABCD的边长为x，而
∴x=12，
∴正方形ABCD是边长为12；
(3)
如图，结论：PQ2=PB2+DQ2．
理由：将△AQD绕点A顺时针旋转90°得到△ABT，
则AQ=AT，DQ=BT，∠ADQ=∠ABT=45°，
∵∠ABD=45°，
∴∠TBP=90°，
∴PT2=BT2+PB2=DQ2+PB2，
由（2）得：∠EAG=45°，而∠QAT=90°，
∴∠PAT=∠PAQ=45°，
∵AP=AP，AT=AQ，
∴△PAT≌△PAQ（SAS），
∴PT=PQ，
∴PQ2=PB2+DQ2．
故答案为：PQ2=PB2+DQ2．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理的应用等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
10．（2022春·江苏无锡·八年级无锡市太湖格致中学校考期中）如图1，点P是矩形ABCD边CD上的一个动点，连接AP，以AP为边向外作正方形APEF，连接ED、FD．设DP＝x，，y与x的函数图像如图2所示．
(1)AB＝______，BC＝______；
(2)试问是否发生改变？如果改变，请求出W关于x的函数表达式；若不改变，请求出W的值；
(3)当△DEF为等腰三角形时，求出x的值．
【答案】(1)5；2
(2)不改变；
(3)1或2或4
【分析】（1）根据y与x的函数图像可知AB；由，代入即可求BC；
（2），过点F作交AD的延长线与点G，则，证即可求证；
（3）根据等腰三角形的性质，分、、三种情况进行讨论求解即可；
（1）
解：根据y与x的函数图像可知AB＝5；
y与x的函数表达式为：；
∵
当时，；
∴BC＝AD=2；
（2）
如图，过点F作交AD的延长线与点G，则，
∴，
∵四边形APEF是正方形，
∴
∴，
∵四边形ABCD是矩形，
∴，
∴
∴
∴
∴三角形ADF的面积不发生改变；
（3）
①如图，当时，
则，
∴
∴
②如图，当时，作，
同（1）理可得，
∴，，
∵，
∴，
∴
③如图，当时，作，
同（1）理可得，
∴，，
∵，
∴，
∴
∴
综上，x的值为1或2或4．
【点睛】本题主要考查矩形的性质、三角形的全等证明、等腰三角形的性质、勾股定理，根据题意，正确作辅助线构造全等三角形是解本题的关键．
11．（2022春·江苏泰州·八年级泰州市第二中学附属初中校考期中）已知正方形，E，F为平面内两点．
(1)如图1，当点E在边上时，，且B，C，F三点共线．求证：；
(2)如图2，当点E在正方形外部时，，，且E，C，F三点共线．猜想并证明线段，，之间的数量关系；
(3)如图3，当点E在正方形外部时，，，，且D，F，E三点共线，与交于G点．若，，求正方形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)17
【分析】(1)证明△EAD≌△FCD即可．
(2)证明△EAD≌△FCD，得到DE=DF，AE=CF，由勾股定理证明即可．
（3）结合（2）的结论，运用四点共圆，先求得EC=，根据勾股定理求得，运用正方形的面积等于计算即可．
（1）
如图1，∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠EAD=∠FCD=∠BCD=∠ADC=90°，
∵∠EDF=90°，
∴∠EDA=90°-∠CDE=∠FCD，
∴△EAD≌△FCD，
∴AE=CF．
（2）
，，之间的数量关系为．理由如下：
如图2，∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠EAD=∠FCD=∠BCD=∠ADC=90°，
∵∠EDF=90°，
∴∠EDA=90°-∠CDE=∠FCD，
∵∠EDF=90°，∠AEF=90°，
∴∠AED=90°-∠DEF=∠CFD，
∴△EAD≌△FCD，
∴AE=CF，DE=DF，
∴△EDF是等腰直角三角形，
∴
故．
（3）
连接AC，根据题意，得∠AEC=∠ADC=90°，
∴A、E、C、D都在以AC为直径的圆上，
∵∠ABC=90°，
∴点B也在同一个圆上，
∴∠DEA=∠DCA=45°，
∵∠EAF=90°，
∴∠AFE=45°，
∴AE=AF=，EF=AE=2，
∴DE=DF+EF=3+2=5，
根据（2）得，
∴，
∴，
∴，
∵∠AEC=90°，
∴，
∴正方形的面积等于．
【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，四点共圆，熟练掌握正方形的性质，四点共圆，勾股定理是解题的关键．
12．（2022春·江苏南京·八年级校考期中）如图1，已知正方形BEFG，点C在BE的延长线上，点A在GB的延长线上，且AB＝BC，过点C作AB的平行线，过点A作BC的平行线，两条平行线相交于点D．
(1)证明：四边形ABCD是正方形；
(2)当正方形BEFG绕点B顺时针（或逆时针）旋转一定角度，得到图2，使得点G在射线DB上，连接BD和DF，点Q是线段DF的中点，连接CQ和QE，猜想线段CQ和线段QE的关系，并说明理由；
(3)将正方形BEFG绕点B旋转一周时，当∠CGB等于45°时，直线AE交CG于点H，探究线段CH、EG、AH的长度关系．
【答案】(1)见解析；
(2)CQ⊥QE，CQ=QE．证明见解析；
(3)如图3-1中，当∠CGB=45°时，结论：CH+EG=AH．如图3-2中，当∠CGB=45°时，结论：CH=EG+AH．证明见解析．
【分析】（1）根据邻边相等有一个角是直角的平行四边形是正方形证明即可．
（2）结论：CQ⊥QE，CQ=QE．如图2中，延长EQ交BD于P，连接CP=CE．证明△CPE是等腰直角三角形，可得结论．
（3）分两种情形：如图3-1中，当∠CGB=45°时，C，E，G共线，此时E，H重合．结论：CH+EG=AH．如图3-2中，当∠CGB=45°时，A，E，G共线，此时G，H重合．结论：CH=EG+AH．
【详解】（1）证明：∵四边形BEFG是正方形，
∴∠EBG=90°，即∠ABC=90°，
∵CD∥AB，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB=BC，∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是正方形．
（2）解：结论：CQ⊥QE，CQ=QE．
理由：如图2中，延长EQ交BD于P，连接CP=CE．
∵四边形BEFG是正方形，
∴EF∥BG，即EF∥DG，∠EBG=90°，即∠DBE=90°，BE=EF，
∴∠PDQ=∠EFQ，
∵Q是DF的中点，
∴DQ=FQ，
∵∠DQP=∠FQE，
∴△DPQ≌△FEQ（SAS），
∴PQ=QE，DP=FE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CDP=∠CBD=45°，CD=CB，
∴∠CBE=∠DBE-CBD=45°，
即∠CDP=∠CBE=45°，
∵CD=CB，DP=EF=BE，
∴△CDP≌△CBE（SAS），
∴CP=CE，∠DCP=∠BCE，
∴∠DCP+∠PCB=∠BCE+∠PCB，
即∠PCE=∠BCD=90°，
∵CP=CE，
∴△CPE是等腰直角三角形，
∴PQ=QE，
∴CQ⊥QE，CQ=QE．
（3）如图3-1中，当∠CGB=45°时，C，E，G共线，此时E，H重合．结论：CH+EG=AH．
理由：∵∠ABC=∠EBG=90°，
∴∠ABH=∠CBG，
∵BA=BC，BH=BG，
∴△ABH≌△CBG（SAS），
∴AH=CG，
∵CG=CH+EG，
∴CH+EG=AH．
如图3-2中，当∠CGB=45°时，A，E，G共线，此时G，H重合．结论：CH=EG+AH．
理由：∵∠ABC=∠EBG=90°，
∴∠ABH=∠CBG，
∵BA=BC，BH=BG，
∴△ABE≌△CBG（SAS），
∴AE=CG，
∵AE=AH+EG，
∴CH=EG+AH．
【点睛】考查了四边形综合题，旋转的性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形．
13．（2022春·江苏扬州·八年级校联考期中）问题情境：如图，在正方形ABCD中，CE⊥DF．易证：CE＝DF．（不需要写出证明过程）
问题探究：在“问题情境”的基础上请研究．
(1)如图1，在正方形ABCD中，E为边BC上一点（不与点B、C重合），垂直于AE的一条直线MN分别交AB、AE、CD于点M、P、N．判断线段AE与MN之间的数量关系，并说明理由．
(2)如图2，若垂足P恰好为AE的中点，连接BD，交MN于点Q，连接EQ，CQ（图中未连），判断线段EQ与CQ之间的数量关系，并说明理由．
(3)在（2）的条件下延长EQ交边AD于点F．则∠AEF= °；
(4)拓展提高：如图3，若该正方形ABCD边长为8，将正方形沿着直线MN翻折，使得BC的对应边B′C′恰好经过点A，过点A作AG⊥MN，垂足分别为G，若AG＝5，请直接写出AC′的长 ．
【答案】(1)AE＝MN，理由见解析；
(2)EQ＝CQ，理由见解析；
(3)45；
(4)2.
【分析】（1）过点B作BF//MN交CD于点F，则四边形M BFN为平行四边形，得出MN =BF，BF⊥AE，由ASA证得△ABE≌△BCF，得出AE= BF，即可得出结论；
（2）在图2中，连接AQ、CQ，易证△ABQ≌△CBQ，所以AQ＝CQ，再根据垂直平分线的性质得到AQ＝EQ，所以可得EQ＝CQ
（3）连接AQ，过点Q作HI// AB，分别交AD，BC于点H、I，则四边形ABIH为矩形，得出HI⊥AD， HI⊥BC，HI = AB= AD，证△DHQ是等腰直角三角形，得HD= HQ， AH = QI，由HL证得Rt△AHQ≌Rt△QIE，得∠AQH =∠QEI，证∠AQE=90°，得△AQE是等腰直角三角形，即可得出结果；
(4)延长AG交BC于E，则EG = AG= 5，得AE=10，由勾股定理得：BE，则CE= BC-BE，由折叠的性质即可得出结果．
（1）
（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABE＝∠BCD＝90°，AB＝BC，AB∥CD，
过点B作BF∥MN交CD于点F，如图1所示：
∴四边形MBFN为平行四边形，
∴MN＝BF，BF⊥AE，
∴∠ABF+∠BAE＝90°，
∵∠ABF+∠CBF＝90°，
∴∠BAE＝∠CBF，
在△ABE和△BCF中， ，
∴△ABE≌△BCF（ASA），
∴AE＝BF，
∴AE＝MN；
（2）
解：在图2中，连接AQ、CQ，
在△ABQ和△CBQ中，
，
∴△ABQ≌△CBQ，
∴AQ＝CQ，
∵MN⊥AE于F，F为AE中点，
∴AQ＝EQ，
∴EQ＝CQ
（3）
解：连接AQ，过点Q作HI// AB，分别交AD．BC于点H、I，如图3所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴四边形ABIH为矩形，
∴HI⊥AD， HI⊥．BC， HI= AB= AD，
∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴∠BDA = 45°，
∴△DHQ是等腰直角三角形，
∴HD=HQ，AH=QI，
∵MN是AE的垂直平分线，
AQ= QE，
在Rt△AHQ和Rt△QIE中，
∵AQ= QE，AH= QI，
∴Rt△AHQ≌Rt△QIE(HL)，
∴∠AQH =∠QEI，
∠AQH＋∠EQI = 90°，
△AQ E是等腰直角三角形，
∠EAQ=∠AEQ=45°，
即∠AEF= 45°
故答案为：∠AEF=45°；
（4）
解：拓展提高：由(3)延长AG交BC于E，如图4所示：
则EG=AG=5，
∴AE= 10，
在Rt△ABE中，
BE=
CE= BC- BE= 8-6=2，
由折叠的性质得： AC'=CE=2，
故答案为： AC′=2.
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质、平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、折叠的性质、垂直平分线的性质、勾股定理、平行线的性质等知识；熟练掌握正方形的性质和折叠的性质是解题的关键．
14．（2022春·江苏连云港·八年级统考期中）△ABC中，，，点D为直线BC上一动点（（点D不与B，C重合）），以AD为边的AD右侧作正方形ADEF，连接CF．
(1)观察猜想：如图1，当点D在线段BC上时，
①BC与CF的位置关系为：______．
②BC，CD，CF之间的数量关系为______；（将结论直接写在横线上）
(2)数学思考：如图2，当点D在线段CB的延长线上时，（1）中的结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．
(3)拓展延伸：如图3，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于G，连接GE．若已知，，请直接写出GE的长．
【答案】(1)①垂直；②BC=CD＋CF
(2)成立，证明见详解；
(3)
【分析】（1）由边角边对应相等得出△ABD≌△ACF，从而CF=BD，∠ACF=∠ABD=45°，进而得出结论①②；
（2）由（1）解答得出△ABD≌△ACF，从而CF=BD，∠ACF=∠ABD=135°，进而得出结论；
（3）过A作AM⊥BD于M，过E作EN⊥BD延长线于N，由△AMD≌△DNE，得到DN=2，EN=3；设B为坐标原点，由中点坐标公式可得F点坐标，结合坐标特征求出G点坐标，即可计算GE的长；
（1）
解：△ABC中，，，则△ABC等腰直角三角形，
四边形ADEF是正方形，则AD=AF，∠DAF=90°，
∠BAC=∠BAD＋∠DAC=90°，∠DAF=∠CAF＋∠DAC=90°，
∴∠BAD=∠CAF，
△ABD和△ACF中：AB=AC，∠BAD=∠CAF，AD=AF，
∴△ABD≌△ACF（SAS），
∴BD=CF，∠ABD=∠ACF=45°，
∠ACB=45°，则∠BCF=∠ACB ＋∠ACF =90°，
故：BC⊥CF，BC=BD＋DC=CF＋DC；
（2）
解：根据（1）解答可得：△ABD≌△ACF（SAS），
∴BD=CF，∠ABD=∠ACF=135°，
∠ACB=45°，则∠BCF=∠ACF－∠ACB =90°，
故：BC⊥CF，BC=BD＋DC=CF＋DC；
（3）
解：如图，过A作AM⊥BD于M，过E作EN⊥BD延长线于N，
四边形ADEF是正方形，△ABC是等腰直角三角形，
△AMD和△DNE中：∠ADM＋∠DAM=∠ADM＋∠EDN=90°，则∠DAM=∠EDN，
AD=DE，∠AMD=∠DNE=90°，
∴△AMD≌△DNE，
BC=4，CD=1，则AM=2，DM=3，
∴DN=2，EN=3，
设B为坐标原点，则A（2，2），C（4，0），D（5，0），E（7，3），
正方形ADEF中，对角线互相平分，则线段AE和线段DF的中点重合；设F坐标（x，y），
由中点坐标公式可得：AE的中点坐标为（，），DF的中点坐标为（，），
∴=，=，
解得x=4，y=5，
即F（4，5），
∵C（4，0），F（4，5），
∴CF⊥BC，
∵∠B=45°，
∴△BCG是等腰直角三角形，
∴CG=BC=4，即G（4，4），E（7，3），
∴GE=
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，正方形的性质，中点坐标和两点距离公式，数形结合利用点的坐标计算线段长度是解题关键．
15．（2022春·江苏宿迁·八年级统考期中）如图①，已知正方形，把一个直角与正方形叠合，使直角顶点与正方形的一个顶点重合，当直角的一边与相交于点，另一边与的延长线相交于点时．
（1）证明：；
（2）如图②，作的平分线交于点，连接．证明：．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）根据正方形的性质得AB=AD，∠BAD=∠B=∠ADC=90°，再根据等角的余角相等得∠BAE=∠DAF，则可根据“ASA”证明△ABE≌△ADF，然后根据全等的性质即可得到BE=DF；
（2）由△ABE≌△ADF得AE=AF，再根据角平分线的定义得∠EAG=∠FAG，然后根据“SAS”可判断△AEG≌△FAG，得到GE=GF，由于GF=DG+DF，所以BE+DG=EG；
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD，∠BAD=∠B=∠ADC=90°，
∵∠EAF=90°，
∴∠EAD+∠FAD=90°，∠EAD+∠BAE=90°，
∴∠BAE=∠DAF，
在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（ASA），
∴BE=DF；
（2）证明：∵△ABE≌△ADF，
∴AE=AF，
∵∠EAF的平分线交CD于G点，
∴∠EAG=∠FAG，
在△AEG和△FAG中
，
∴△AEG≌△FAG（SAS），
∴GE=GF，
∵GF=DG+DF，
而BE=DF，
∴BE+DG=EG；
【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的性质和判定，解答关键是会运用三角形全等的知识解决线段相等的问题．
16．（2022春·江苏扬州·八年级统考期中）在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，AE与BF相交于点G．
(1)如图1，求证：AE⊥BF；
(2)如图2，将△BCF沿BF折叠，得到△BPF，延长FP交BA的延长线于点Q，若AB=4，求QF的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)QF=5
【分析】（1）首先证明△ABE≌△BCF，再利用角的关系求得∠BGE=90°，即可证明AE⊥BF；
（2）由△BCF沿BF对折，得到△BPF可得FP=FC，∠PFB=∠BFC，∠FPB=90，在利用角的关系求出QF=QB，设设QF=x，在Rt△BPQ中，利用勾股定理可建立关于x的方程解方程求出x的值即可．
【详解】（1）解：∵E，F分别是正方形ABCD边BC，CD的中点，
∴CF=BE，
在△ABE和△BCF中，
∴Rt△ABE≌Rt△BCF（SAS），
∴∠BAE=∠CBF，
又∵∠BAE+∠BEA=90°，
∴∠CBF+∠BEA=90°，
∴∠BGE=90°，
∴AE⊥BF；
（2）解：∵将△BCF沿BF折叠，得到△BPF，
∴FP=FC，∠PFB=∠BFC，∠FPB=90°，
∵CD∥AB，
∴∠CFB=∠ABF，
∴∠ABF=∠PFB，
∴QF=QB，
设QF=x，PB=BC=AB=4，CF=PF=2，
∴QB=x，PQ=x﹣2，
在Rt△BPQ中，∴x2=（x﹣2）2+42，
解得：x=5，
即QF=5．
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