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初中数学北师大版八年级下册1 等腰三角形课后测评
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这是一份初中数学北师大版八年级下册1 等腰三角形课后测评，共23页。试卷主要包含了5C．5或10D．5或7等内容，欢迎下载使用。
A．2cmB．5cmC．2cm或5cmD．不能确定
2.（2022秋•苏州期中）已知等腰三角形的周长为20，一边长为5，则此等腰三角形的底边长是（ ）
A．5B．7.5C．5或10D．5或7.5
3.（2022秋•卧龙区校级期末）已知等腰三角形的一个内角为40°，则这个等腰三角形的顶角为（ ）
A．40°B．100°C．40°或100°D．50°或70°
4.（2022秋•白云区校级期末）等腰三角形的一个内角等于70°，则它的底角是（ ）
A．70°B．55°C．60°D．70°或55°
5.（2022秋•九龙坡区期末）已知等腰三角形一腰上的高与另一腰所在直线的夹角是40°，则底角的度数是（ ）
A．65°B．65°或25°C．70°D．70°或20°
6.（2021春•埇桥区期末）如图，平面直角坐标系中存在点A（3，2），点B（1，0），以线段AB为边作等腰三角形ABP，使得点P在坐标轴上．则这样的P点有（ ）
A．4个B．5个C．6个D．7个
7.（2022秋•高安市期中）如图，已知D、E分别是△ABC的边BC、AC上的点，且AB＝AC，AD＝AE．
（1）若∠BAD＝20°，求∠EDC的度数；
（2）若∠EDC＝20°，求∠BAD的度数；
（3）设∠BAD＝α，∠EDC＝β，请你判断α、β是否存在数量关系，写出你的结论并证明．
8.（2022秋•泰州月考）如图，长方形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，现有一动点P从A出发以2cm/秒的速度，沿矩形的边A﹣B﹣C﹣D﹣A返回到点A停止，设点P运动的时间为t秒．
（1）当t＝2时，BP＝ cm；
（2）当t为何值时，连接CP，DP，△CDP是等腰三角形？
9．（2022秋•南开区校级期中）（1）在等腰三角形ABC中，AB＝AC，一腰上的中线BD将三角形的周长分成27和18两部分．求这个等腰三角形的腰长及底边长；
（2）已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为42°，求这个等腰三角形底角的度数．
10．（2020秋•雄县期中）如图，在等边△ABC中，AB＝BC＝AC＝12cm，∠B＝∠C＝60°，现有M，N两点分别从点A，B同时出发，沿△ABC的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s，当点N第一次到达B点时，M，N同时停止运动，设运动时间为t（s）．
（1）当t为何值时，M，N两点重合？两点重合在什么位置？
（2）当点M，N在BC边上运动时，是否存在使AM＝AN的位置？若存在，请求出此时点M，N运动的时间；若不存在，请说明理由．
11．（2022秋•宽城区期中）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，AC＝20cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．
（1）BP＝ （用t的代数式表示）
（2）当点Q在边BC上运动时，出发几秒后，△PQB是等腰三角形？
（3）当点Q在边CA上运动时，出发 秒后，△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形？
12．（2022秋•青山区期末）在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，交AC于点D，BD＝AD．
（1）如图1，求∠BAC的度数；
（2）如图2，E是AB的中点，连接ED并延长，交BC的延长线于点F，连接AF．求证：AF＝AB+BC．
13．（2022秋•莲池区校级期末）探究与发现：如图①，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在底边BC上，AE＝AD，连接DE．
（1）当∠BAD＝60°时，求∠CDE的度数；
（2）当点D在BC（点B、C除外）上运动时，试猜想并探究∠BAD与∠CDE的数量关系；
（3）深入探究：若∠BAC≠90°，试就图②探究∠BAD与∠CDE的数量关系．
14．（2022秋•江津区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC．
（1）试问△ADE是否是等腰三角形，并说明理由．
（2）若M为DE上的点，且BM平分∠ABC，CM平分∠ACB，若△ADE的周长为20，BC＝8．求△ABC的周长．
15．（2019秋•庆云县期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝10cm，若点M从点B出发以2cm/s的速度向点A运动，点N从点A出发以1cm/s的速度向点C运动，设M、N分别从点B、A同时出发，运动的时间为ts．
（1）用含t的式子表示线段AM、AN的长；
（2）当t为何值时，△AMN是以MN为底边的等腰三角形？
（3）当t为何值时，MN∥BC？并求出此时CN的长．
（培优特训）专项1.1 等腰三角形综合应用
1.（2022秋•门头沟区期末）一个等腰三角形的两条边分别是2cm和5cm，则第三条边的边长是（ ）
A．2cmB．5cmC．2cm或5cmD．不能确定
【答案】B
【解答】解：分两种情况：
当等腰三角形的腰长为2cm，底边长为5cm时，
∵2+2＝4＜5，
∴不能组成三角形；
当等腰三角形的腰长为5cm，底边长为2cm时，
∴等腰三角形的三边长分别为5cm，5cm，2cm，
综上所述：等腰三角形的第三条边的边长是5cm，
故选：B．
2.（2022秋•苏州期中）已知等腰三角形的周长为20，一边长为5，则此等腰三角形的底边长是（ ）
A．5B．7.5C．5或10D．5或7.5
【答案】A
【解答】解：分两种情况：
当腰长为5时，等腰三角形的底边长＝20﹣5×2＝20﹣10＝10，
∵5+5＝10，
∴不能组成三角形，
当底边长为5时，等腰三角形的腰长＝×（20﹣5）＝7.5，
综上所述：此等腰三角形的底边长为5，
故选：A．
3.（2022秋•卧龙区校级期末）已知等腰三角形的一个内角为40°，则这个等腰三角形的顶角为（ ）
A．40°B．100°C．40°或100°D．50°或70°
【答案】C
【解答】解：当这个内角为顶角时，则顶角为40°，
当这个内角为底角时，则两个底角都为40°，此时顶角为：180°﹣40°﹣40°＝100°，
故选：C．
4.（2022秋•白云区校级期末）等腰三角形的一个内角等于70°，则它的底角是（ ）
A．70°B．55°C．60°D．70°或55°
【答案】D
【解答】解：①当这个角为顶角时，底角＝（180°﹣70°）÷2＝55°；
②当这个角是底角时，底角＝70°．
故选：D．
（2022秋•临高县期中）如图所示，在△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线把三角形的周长分为24cm和30cm的两部分，求这个三角形的边BC的长．
【解答】解法1：设AB＝AC＝2xcm，BC＝ycm，
∵点D是AC的中点，
∴AD＝CD＝AC＝xcm，
∵AC边上的中线把三角形的周长分为24cm和30cm的两部分，
∴①，
解得，
∴BC＝22cm，
②，
解得，
∴BC＝14cm，
解法2、∵BD是△ABC的中线，
∴AC＝CD＝2AD，
设AD＝CD＝acm，
∴AB＝AC＝2acm，
∵AC边上的中线把三角形的周长分为24cm和30cm的两部分，
∴BC＝24+30﹣4a＝54﹣4a，
①当AB+AD＝24cm时，
∴2a+a＝24，
∴a＝8，
∴BC＝54﹣4a＝54﹣32＝22cm，
②当AB+AD＝30cm时，
∴2a+a＝30，
∴a＝10，
∴BC＝54﹣4a＝54﹣40＝14cm
5.（2022秋•九龙坡区期末）已知等腰三角形一腰上的高与另一腰所在直线的夹角是40°，则底角的度数是（ ）
A．65°B．65°或25°C．70°D．70°或20°
【答案】B
【解答】解：①如图，三角形是锐角三角形时，
∠A＝90°﹣40°＝50°
底角为：×（180°﹣50°）＝65°，
②如图2，三角形是钝角三角形时，
∵∠BAC＝90°+40°＝130°，
底角为：×（180°﹣130°）＝25°，
综上所述，底角为65°或25°．
故选：B
6.（2021春•埇桥区期末）如图，平面直角坐标系中存在点A（3，2），点B（1，0），以线段AB为边作等腰三角形ABP，使得点P在坐标轴上．则这样的P点有（ ）
A．4个B．5个C．6个D．7个
【答案】D
【解答】解：如图，
以A为圆心，AB长为半径，画圆，与x轴有一个交点，
以B为圆心，AB长为半径，画圆，与x轴有两个交点，与y轴有两个交点，
作AB的垂直平分线，与x轴，y轴各有一个交点，
∴这样的P点有7个，
故选：D．
7.（2022秋•高安市期中）如图，已知D、E分别是△ABC的边BC、AC上的点，且AB＝AC，AD＝AE．
（1）若∠BAD＝20°，求∠EDC的度数；
（2）若∠EDC＝20°，求∠BAD的度数；
（3）设∠BAD＝α，∠EDC＝β，请你判断α、β是否存在数量关系，写出你的结论并证明．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED，
又∵∠ADC＝∠B+20°，∠AED＝∠C+∠CDE，
∴∠ADE+∠CDE＝∠B+20°，
即∠C+∠CDE+∠CDE＝∠B+20°，
∴2∠CDE＝20°，
∴∠CDE＝10°；
（2）∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED，
又∵∠ADC＝∠B+∠BAD，∠AED＝∠C+∠CDE，
∴∠ADE+∠CDE＝∠B+∠BAD，
即∠C+∠CDE+∠CDE＝∠B+∠BAD，
∴2∠CDE＝∠BAD，
∴∠BAD＝40°；
故答案为：40°．
（3）2β＝α，
理由：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED，
又∵∠ADC＝∠B+α，∠AED＝∠C+β，
∴∠ADE+∠CDE＝∠B+α，
即∠C+β+β＝∠B+α，
∴2β＝α．
8.（2022秋•泰州月考）如图，长方形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，现有一动点P从A出发以2cm/秒的速度，沿矩形的边A﹣B﹣C﹣D﹣A返回到点A停止，设点P运动的时间为t秒．
（1）当t＝2时，BP＝ cm；
（2）当t为何值时，连接CP，DP，△CDP是等腰三角形？
【解答】解：（1）当t＝2时，点P走过的路程为：2×2＝4（cm），
∵AB＝6cm，
∴BP＝AB﹣AP＝6﹣4＝2（cm），
故答案为：2；
（2）①当点P在AB上时，△CDP是等腰三角形，
∴PD＝CP，
在矩形ABCD中，AD＝BC，∠A＝∠B＝90°，
∴△DAP≌△CBP（HL），
∴AP＝BP，
∴AP＝AB＝3（cm），
∴t＝3÷2＝1.5（秒），
②当点P在BC上时，△CDP是等腰三角形，
∵∠C＝90°，
∴CD＝CP＝6cm，
∴BP＝CB﹣CD＝2（cm），
∴t＝（AB+BP）÷2＝（6+2）÷2＝4（秒），
③当点P在AD上时，△CDP是等腰三角形，
∵∠D＝90°，
∴DP＝CD＝6cm，
∴t＝（AB+BC+CD+DP）÷2＝（6+8+6+6）÷2＝13（秒），
综上所述，t＝1.5秒或4秒或13秒时，△CDP是等腰三角形．
9．（2022秋•南开区校级期中）（1）在等腰三角形ABC中，AB＝AC，一腰上的中线BD将三角形的周长分成27和18两部分．求这个等腰三角形的腰长及底边长；
（2）已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为42°，求这个等腰三角形底角的度数．
【解答】解：（1）∵BD是AC边上的中线，
∴AD＝CD＝AC，
∵AB＝AC，
∴设AB＝AC＝2x，BC＝y，则AD＝CD＝x，
分两种情况：
①，
解得：，
∴AB＝AC＝18，
∴这个等腰三角形的腰长为18，底边长为9，
②，
解得：，
∴AB＝AC＝12，
∴这个等腰三角形的腰长为12，底边长为21，
综上所述：这个等腰三角形的腰长为8，底边长为9或腰长为12，底边长为21，
（2）分两种情况：
当∠A＜90°时，如图：
∵BD⊥AC，
∴∠BDA＝90°，
∵∠ABD＝42°，
∴∠A＝90°﹣∠ABD＝48°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠A）＝70°，
∴这个等腰三角形的底角的度数为66°；
当∠A＞90°时，如图：
∵BD⊥AC，
∴∠BDA＝90°，
∵∠ABD＝42°，
∴∠DAB＝90°﹣∠ABD＝48°，
∴∠BAC＝180°﹣∠DAB＝132°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣132°）＝24°，
∴这个等腰三角形的底角的度数为24°；
综上所述：这个等腰三角形的底角的度数为66°或24°．
10．（2020秋•雄县期中）如图，在等边△ABC中，AB＝BC＝AC＝12cm，∠B＝∠C＝60°，现有M，N两点分别从点A，B同时出发，沿△ABC的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s，当点N第一次到达B点时，M，N同时停止运动，设运动时间为t（s）．
（1）当t为何值时，M，N两点重合？两点重合在什么位置？
（2）当点M，N在BC边上运动时，是否存在使AM＝AN的位置？若存在，请求出此时点M，N运动的时间；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）设点M、N运动t秒时，M、N两点重合，
由题意，t×1+12＝2t，
解得：t＝12．
∴当t＝12时，M，N两点重合，
此时两点在点C处重合．
（2）结论：当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形．
理由：由（1）知12秒时M、N两点重合，恰好在C处，
如图②，假设△AMN是等腰三角形，
∴AN＝AM，
∴∠AMN＝∠ANM，
∴∠AMC＝∠ANB，
∵AB＝BC＝AC，
∴△ACB是等边三角形，
∴∠C＝∠B，
在△ACM和△ABN中，
，
∴△ACM≌△ABN（AAS），
∴CM＝BN，
设当点M、N在BC边上运动时，M、N运动的时间y秒时，△AMN是等腰三角形，
∴CM＝y﹣12，NB＝36﹣2y，CM＝NB，
∴y﹣12＝36﹣2y，
解得：y＝16．故假设成立．
∴当点M、N在BC边上运动时，能得到以MN为底边的等腰三角形AMN，此时M、N运动的时间为16秒．
11．（2022秋•宽城区期中）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，AC＝20cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．
（1）BP＝ （用t的代数式表示）
（2）当点Q在边BC上运动时，出发几秒后，△PQB是等腰三角形？
（3）当点Q在边CA上运动时，出发 秒后，△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形？
【解答】解：（1）由题意可知AP＝t，BQ＝2t，
∵AB＝16cm，
∴BP＝AB﹣AP＝（16﹣t）cm，
故答案为：（16﹣t）cm；
（2）当点Q在边BC上运动，△PQB为等腰三角形时，则有BP＝BQ，
即16﹣t＝2t，解得t＝，
∴出发秒后，△PQB能形成等腰三角形；
（3）①当△BCQ是以BC为底边的等腰三角形时：CQ＝BQ，如图1所示，
则∠C＝∠CBQ，
∵∠ABC＝90°，
∴∠CBQ+∠ABQ＝90°．
∠A+∠C＝90°，
∴∠A＝∠ABQ，
∴BQ＝AQ，
∴CQ＝AQ＝10（cm），
∴BC+CQ＝22（cm），
∴t＝22÷2＝11；
②当，△BCQ是以BQ为底边的等腰三角形时：CQ＝BC，如图2所示，
则BC+CQ＝24（cm），
∴t＝24÷2＝12，
综上所述：当t为11或12时，△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形．
故答案为：11秒或12．
12．（2022秋•青山区期末）在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，交AC于点D，BD＝AD．
（1）如图1，求∠BAC的度数；
（2）如图2，E是AB的中点，连接ED并延长，交BC的延长线于点F，连接AF．求证：AF＝AB+BC．
【解答】（1）解：设∠ABD＝x°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝x°，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC＝2x°，
又∵BD＝AD，
∴∠A＝x°，
又∵∠BDC＝∠A+∠ABD，即2x°＝∠A+x°，
∴∠BDC＝∠C＝2x°，
∴BD＝BC，
在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C＝180°，
∴x+2x+2x＝180，
解得x＝36，
∴∠A＝36°，
∴∠BAC的度数为36°；
（2）∵E是AB的中点，BD＝AD，
∴EF是AB的垂直平分线，
∴AF＝BF，
∴∠FBA＝∠FAB＝72°，
∴∠AFB＝∠FAC＝36°，
∴CA＝CF，
∴AB＝AC＝CF，
∴AF＝BF＝BC+CF＝AB+BC．
13．（2022秋•莲池区校级期末）探究与发现：如图①，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在底边BC上，AE＝AD，连接DE．
（1）当∠BAD＝60°时，求∠CDE的度数；
（2）当点D在BC（点B、C除外）上运动时，试猜想并探究∠BAD与∠CDE的数量关系；
（3）深入探究：若∠BAC≠90°，试就图②探究∠BAD与∠CDE的数量关系．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠B＝∠C＝45°，
∵∠BAD＝60°，
∴∠DAE＝30°，
∵AD＝AE，
∴∠AED＝75°，
∴∠CDE＝∠AED＝∠C＝30°；
（2）设∠BAD＝x，
∴∠CAD＝90°﹣x，
∵AE＝AD，
∴∠AED＝45°+，
∴∠CDE＝x；
（3）设∠BAD＝x，∠C＝y，
∵AB＝AC，∠C＝y，
∴∠BAC＝180°﹣2y，
∵∠BAD＝x，
∴∠AED＝y+x，
∴x．
14．（2022秋•江津区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC．
（1）试问△ADE是否是等腰三角形，并说明理由．
（2）若M为DE上的点，且BM平分∠ABC，CM平分∠ACB，若△ADE的周长为20，BC＝8．求△ABC的周长．
【解答】解：（1）△ADE是等腰三角形．
理由：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB，
∴∠ADE＝∠AED．
（2）∵BM平分∠DBC，
∴∠DBM＝∠MBC，
∵DE∥BC，
∴∠DBM＝∠DMB，
∴DM＝DB，同理可证：EM＝EC，
∵AD+DE+AE＝AD+DM+EM+AE＝AD+DB+AE+EC＝AB+AC＝20，
∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝28．
15．（2019秋•庆云县期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝10cm，若点M从点B出发以2cm/s的速度向点A运动，点N从点A出发以1cm/s的速度向点C运动，设M、N分别从点B、A同时出发，运动的时间为ts．
（1）用含t的式子表示线段AM、AN的长；
（2）当t为何值时，△AMN是以MN为底边的等腰三角形？
（3）当t为何值时，MN∥BC？并求出此时CN的长．
【解答】解：（1）∵∠C＝90°，∠A＝60°，
∴∠B＝30°，
∵AB＝10cm，
∴AM＝AB﹣BM＝10﹣2t，AN＝t；
（2）∵△AMN是以MN为底的等腰三角形，
∴AM＝AN，即10﹣2t＝t，
∴当t＝时，△AMN是以MN为底边的等腰三角形；
（3）当MN⊥AC时，MN∥BC．
∵∠C＝90°，∠A＝60°，
∴∠B＝30°
∵MN∥BC，
∴∠NMA＝30°
∴AN＝AM，
∴t＝（10﹣2t），解得t＝，
∴当t＝时，MN∥BC，
CN＝5﹣×1＝．
A．2cmB．5cmC．2cm或5cmD．不能确定
2.（2022秋•苏州期中）已知等腰三角形的周长为20，一边长为5，则此等腰三角形的底边长是（ ）
A．5B．7.5C．5或10D．5或7.5
3.（2022秋•卧龙区校级期末）已知等腰三角形的一个内角为40°，则这个等腰三角形的顶角为（ ）
A．40°B．100°C．40°或100°D．50°或70°
4.（2022秋•白云区校级期末）等腰三角形的一个内角等于70°，则它的底角是（ ）
A．70°B．55°C．60°D．70°或55°
5.（2022秋•九龙坡区期末）已知等腰三角形一腰上的高与另一腰所在直线的夹角是40°，则底角的度数是（ ）
A．65°B．65°或25°C．70°D．70°或20°
6.（2021春•埇桥区期末）如图，平面直角坐标系中存在点A（3，2），点B（1，0），以线段AB为边作等腰三角形ABP，使得点P在坐标轴上．则这样的P点有（ ）
A．4个B．5个C．6个D．7个
7.（2022秋•高安市期中）如图，已知D、E分别是△ABC的边BC、AC上的点，且AB＝AC，AD＝AE．
（1）若∠BAD＝20°，求∠EDC的度数；
（2）若∠EDC＝20°，求∠BAD的度数；
（3）设∠BAD＝α，∠EDC＝β，请你判断α、β是否存在数量关系，写出你的结论并证明．
8.（2022秋•泰州月考）如图，长方形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，现有一动点P从A出发以2cm/秒的速度，沿矩形的边A﹣B﹣C﹣D﹣A返回到点A停止，设点P运动的时间为t秒．
（1）当t＝2时，BP＝ cm；
（2）当t为何值时，连接CP，DP，△CDP是等腰三角形？
9．（2022秋•南开区校级期中）（1）在等腰三角形ABC中，AB＝AC，一腰上的中线BD将三角形的周长分成27和18两部分．求这个等腰三角形的腰长及底边长；
（2）已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为42°，求这个等腰三角形底角的度数．
10．（2020秋•雄县期中）如图，在等边△ABC中，AB＝BC＝AC＝12cm，∠B＝∠C＝60°，现有M，N两点分别从点A，B同时出发，沿△ABC的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s，当点N第一次到达B点时，M，N同时停止运动，设运动时间为t（s）．
（1）当t为何值时，M，N两点重合？两点重合在什么位置？
（2）当点M，N在BC边上运动时，是否存在使AM＝AN的位置？若存在，请求出此时点M，N运动的时间；若不存在，请说明理由．
11．（2022秋•宽城区期中）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，AC＝20cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．
（1）BP＝ （用t的代数式表示）
（2）当点Q在边BC上运动时，出发几秒后，△PQB是等腰三角形？
（3）当点Q在边CA上运动时，出发 秒后，△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形？
12．（2022秋•青山区期末）在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，交AC于点D，BD＝AD．
（1）如图1，求∠BAC的度数；
（2）如图2，E是AB的中点，连接ED并延长，交BC的延长线于点F，连接AF．求证：AF＝AB+BC．
13．（2022秋•莲池区校级期末）探究与发现：如图①，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在底边BC上，AE＝AD，连接DE．
（1）当∠BAD＝60°时，求∠CDE的度数；
（2）当点D在BC（点B、C除外）上运动时，试猜想并探究∠BAD与∠CDE的数量关系；
（3）深入探究：若∠BAC≠90°，试就图②探究∠BAD与∠CDE的数量关系．
14．（2022秋•江津区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC．
（1）试问△ADE是否是等腰三角形，并说明理由．
（2）若M为DE上的点，且BM平分∠ABC，CM平分∠ACB，若△ADE的周长为20，BC＝8．求△ABC的周长．
15．（2019秋•庆云县期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝10cm，若点M从点B出发以2cm/s的速度向点A运动，点N从点A出发以1cm/s的速度向点C运动，设M、N分别从点B、A同时出发，运动的时间为ts．
（1）用含t的式子表示线段AM、AN的长；
（2）当t为何值时，△AMN是以MN为底边的等腰三角形？
（3）当t为何值时，MN∥BC？并求出此时CN的长．
（培优特训）专项1.1 等腰三角形综合应用
1.（2022秋•门头沟区期末）一个等腰三角形的两条边分别是2cm和5cm，则第三条边的边长是（ ）
A．2cmB．5cmC．2cm或5cmD．不能确定
【答案】B
【解答】解：分两种情况：
当等腰三角形的腰长为2cm，底边长为5cm时，
∵2+2＝4＜5，
∴不能组成三角形；
当等腰三角形的腰长为5cm，底边长为2cm时，
∴等腰三角形的三边长分别为5cm，5cm，2cm，
综上所述：等腰三角形的第三条边的边长是5cm，
故选：B．
2.（2022秋•苏州期中）已知等腰三角形的周长为20，一边长为5，则此等腰三角形的底边长是（ ）
A．5B．7.5C．5或10D．5或7.5
【答案】A
【解答】解：分两种情况：
当腰长为5时，等腰三角形的底边长＝20﹣5×2＝20﹣10＝10，
∵5+5＝10，
∴不能组成三角形，
当底边长为5时，等腰三角形的腰长＝×（20﹣5）＝7.5，
综上所述：此等腰三角形的底边长为5，
故选：A．
3.（2022秋•卧龙区校级期末）已知等腰三角形的一个内角为40°，则这个等腰三角形的顶角为（ ）
A．40°B．100°C．40°或100°D．50°或70°
【答案】C
【解答】解：当这个内角为顶角时，则顶角为40°，
当这个内角为底角时，则两个底角都为40°，此时顶角为：180°﹣40°﹣40°＝100°，
故选：C．
4.（2022秋•白云区校级期末）等腰三角形的一个内角等于70°，则它的底角是（ ）
A．70°B．55°C．60°D．70°或55°
【答案】D
【解答】解：①当这个角为顶角时，底角＝（180°﹣70°）÷2＝55°；
②当这个角是底角时，底角＝70°．
故选：D．
（2022秋•临高县期中）如图所示，在△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线把三角形的周长分为24cm和30cm的两部分，求这个三角形的边BC的长．
【解答】解法1：设AB＝AC＝2xcm，BC＝ycm，
∵点D是AC的中点，
∴AD＝CD＝AC＝xcm，
∵AC边上的中线把三角形的周长分为24cm和30cm的两部分，
∴①，
解得，
∴BC＝22cm，
②，
解得，
∴BC＝14cm，
解法2、∵BD是△ABC的中线，
∴AC＝CD＝2AD，
设AD＝CD＝acm，
∴AB＝AC＝2acm，
∵AC边上的中线把三角形的周长分为24cm和30cm的两部分，
∴BC＝24+30﹣4a＝54﹣4a，
①当AB+AD＝24cm时，
∴2a+a＝24，
∴a＝8，
∴BC＝54﹣4a＝54﹣32＝22cm，
②当AB+AD＝30cm时，
∴2a+a＝30，
∴a＝10，
∴BC＝54﹣4a＝54﹣40＝14cm
5.（2022秋•九龙坡区期末）已知等腰三角形一腰上的高与另一腰所在直线的夹角是40°，则底角的度数是（ ）
A．65°B．65°或25°C．70°D．70°或20°
【答案】B
【解答】解：①如图，三角形是锐角三角形时，
∠A＝90°﹣40°＝50°
底角为：×（180°﹣50°）＝65°，
②如图2，三角形是钝角三角形时，
∵∠BAC＝90°+40°＝130°，
底角为：×（180°﹣130°）＝25°，
综上所述，底角为65°或25°．
故选：B
6.（2021春•埇桥区期末）如图，平面直角坐标系中存在点A（3，2），点B（1，0），以线段AB为边作等腰三角形ABP，使得点P在坐标轴上．则这样的P点有（ ）
A．4个B．5个C．6个D．7个
【答案】D
【解答】解：如图，
以A为圆心，AB长为半径，画圆，与x轴有一个交点，
以B为圆心，AB长为半径，画圆，与x轴有两个交点，与y轴有两个交点，
作AB的垂直平分线，与x轴，y轴各有一个交点，
∴这样的P点有7个，
故选：D．
7.（2022秋•高安市期中）如图，已知D、E分别是△ABC的边BC、AC上的点，且AB＝AC，AD＝AE．
（1）若∠BAD＝20°，求∠EDC的度数；
（2）若∠EDC＝20°，求∠BAD的度数；
（3）设∠BAD＝α，∠EDC＝β，请你判断α、β是否存在数量关系，写出你的结论并证明．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED，
又∵∠ADC＝∠B+20°，∠AED＝∠C+∠CDE，
∴∠ADE+∠CDE＝∠B+20°，
即∠C+∠CDE+∠CDE＝∠B+20°，
∴2∠CDE＝20°，
∴∠CDE＝10°；
（2）∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED，
又∵∠ADC＝∠B+∠BAD，∠AED＝∠C+∠CDE，
∴∠ADE+∠CDE＝∠B+∠BAD，
即∠C+∠CDE+∠CDE＝∠B+∠BAD，
∴2∠CDE＝∠BAD，
∴∠BAD＝40°；
故答案为：40°．
（3）2β＝α，
理由：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED，
又∵∠ADC＝∠B+α，∠AED＝∠C+β，
∴∠ADE+∠CDE＝∠B+α，
即∠C+β+β＝∠B+α，
∴2β＝α．
8.（2022秋•泰州月考）如图，长方形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，现有一动点P从A出发以2cm/秒的速度，沿矩形的边A﹣B﹣C﹣D﹣A返回到点A停止，设点P运动的时间为t秒．
（1）当t＝2时，BP＝ cm；
（2）当t为何值时，连接CP，DP，△CDP是等腰三角形？
【解答】解：（1）当t＝2时，点P走过的路程为：2×2＝4（cm），
∵AB＝6cm，
∴BP＝AB﹣AP＝6﹣4＝2（cm），
故答案为：2；
（2）①当点P在AB上时，△CDP是等腰三角形，
∴PD＝CP，
在矩形ABCD中，AD＝BC，∠A＝∠B＝90°，
∴△DAP≌△CBP（HL），
∴AP＝BP，
∴AP＝AB＝3（cm），
∴t＝3÷2＝1.5（秒），
②当点P在BC上时，△CDP是等腰三角形，
∵∠C＝90°，
∴CD＝CP＝6cm，
∴BP＝CB﹣CD＝2（cm），
∴t＝（AB+BP）÷2＝（6+2）÷2＝4（秒），
③当点P在AD上时，△CDP是等腰三角形，
∵∠D＝90°，
∴DP＝CD＝6cm，
∴t＝（AB+BC+CD+DP）÷2＝（6+8+6+6）÷2＝13（秒），
综上所述，t＝1.5秒或4秒或13秒时，△CDP是等腰三角形．
9．（2022秋•南开区校级期中）（1）在等腰三角形ABC中，AB＝AC，一腰上的中线BD将三角形的周长分成27和18两部分．求这个等腰三角形的腰长及底边长；
（2）已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为42°，求这个等腰三角形底角的度数．
【解答】解：（1）∵BD是AC边上的中线，
∴AD＝CD＝AC，
∵AB＝AC，
∴设AB＝AC＝2x，BC＝y，则AD＝CD＝x，
分两种情况：
①，
解得：，
∴AB＝AC＝18，
∴这个等腰三角形的腰长为18，底边长为9，
②，
解得：，
∴AB＝AC＝12，
∴这个等腰三角形的腰长为12，底边长为21，
综上所述：这个等腰三角形的腰长为8，底边长为9或腰长为12，底边长为21，
（2）分两种情况：
当∠A＜90°时，如图：
∵BD⊥AC，
∴∠BDA＝90°，
∵∠ABD＝42°，
∴∠A＝90°﹣∠ABD＝48°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠A）＝70°，
∴这个等腰三角形的底角的度数为66°；
当∠A＞90°时，如图：
∵BD⊥AC，
∴∠BDA＝90°，
∵∠ABD＝42°，
∴∠DAB＝90°﹣∠ABD＝48°，
∴∠BAC＝180°﹣∠DAB＝132°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣132°）＝24°，
∴这个等腰三角形的底角的度数为24°；
综上所述：这个等腰三角形的底角的度数为66°或24°．
10．（2020秋•雄县期中）如图，在等边△ABC中，AB＝BC＝AC＝12cm，∠B＝∠C＝60°，现有M，N两点分别从点A，B同时出发，沿△ABC的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s，当点N第一次到达B点时，M，N同时停止运动，设运动时间为t（s）．
（1）当t为何值时，M，N两点重合？两点重合在什么位置？
（2）当点M，N在BC边上运动时，是否存在使AM＝AN的位置？若存在，请求出此时点M，N运动的时间；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）设点M、N运动t秒时，M、N两点重合，
由题意，t×1+12＝2t，
解得：t＝12．
∴当t＝12时，M，N两点重合，
此时两点在点C处重合．
（2）结论：当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形．
理由：由（1）知12秒时M、N两点重合，恰好在C处，
如图②，假设△AMN是等腰三角形，
∴AN＝AM，
∴∠AMN＝∠ANM，
∴∠AMC＝∠ANB，
∵AB＝BC＝AC，
∴△ACB是等边三角形，
∴∠C＝∠B，
在△ACM和△ABN中，
，
∴△ACM≌△ABN（AAS），
∴CM＝BN，
设当点M、N在BC边上运动时，M、N运动的时间y秒时，△AMN是等腰三角形，
∴CM＝y﹣12，NB＝36﹣2y，CM＝NB，
∴y﹣12＝36﹣2y，
解得：y＝16．故假设成立．
∴当点M、N在BC边上运动时，能得到以MN为底边的等腰三角形AMN，此时M、N运动的时间为16秒．
11．（2022秋•宽城区期中）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，AC＝20cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．
（1）BP＝ （用t的代数式表示）
（2）当点Q在边BC上运动时，出发几秒后，△PQB是等腰三角形？
（3）当点Q在边CA上运动时，出发 秒后，△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形？
【解答】解：（1）由题意可知AP＝t，BQ＝2t，
∵AB＝16cm，
∴BP＝AB﹣AP＝（16﹣t）cm，
故答案为：（16﹣t）cm；
（2）当点Q在边BC上运动，△PQB为等腰三角形时，则有BP＝BQ，
即16﹣t＝2t，解得t＝，
∴出发秒后，△PQB能形成等腰三角形；
（3）①当△BCQ是以BC为底边的等腰三角形时：CQ＝BQ，如图1所示，
则∠C＝∠CBQ，
∵∠ABC＝90°，
∴∠CBQ+∠ABQ＝90°．
∠A+∠C＝90°，
∴∠A＝∠ABQ，
∴BQ＝AQ，
∴CQ＝AQ＝10（cm），
∴BC+CQ＝22（cm），
∴t＝22÷2＝11；
②当，△BCQ是以BQ为底边的等腰三角形时：CQ＝BC，如图2所示，
则BC+CQ＝24（cm），
∴t＝24÷2＝12，
综上所述：当t为11或12时，△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形．
故答案为：11秒或12．
12．（2022秋•青山区期末）在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，交AC于点D，BD＝AD．
（1）如图1，求∠BAC的度数；
（2）如图2，E是AB的中点，连接ED并延长，交BC的延长线于点F，连接AF．求证：AF＝AB+BC．
【解答】（1）解：设∠ABD＝x°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝x°，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC＝2x°，
又∵BD＝AD，
∴∠A＝x°，
又∵∠BDC＝∠A+∠ABD，即2x°＝∠A+x°，
∴∠BDC＝∠C＝2x°，
∴BD＝BC，
在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C＝180°，
∴x+2x+2x＝180，
解得x＝36，
∴∠A＝36°，
∴∠BAC的度数为36°；
（2）∵E是AB的中点，BD＝AD，
∴EF是AB的垂直平分线，
∴AF＝BF，
∴∠FBA＝∠FAB＝72°，
∴∠AFB＝∠FAC＝36°，
∴CA＝CF，
∴AB＝AC＝CF，
∴AF＝BF＝BC+CF＝AB+BC．
13．（2022秋•莲池区校级期末）探究与发现：如图①，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在底边BC上，AE＝AD，连接DE．
（1）当∠BAD＝60°时，求∠CDE的度数；
（2）当点D在BC（点B、C除外）上运动时，试猜想并探究∠BAD与∠CDE的数量关系；
（3）深入探究：若∠BAC≠90°，试就图②探究∠BAD与∠CDE的数量关系．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠B＝∠C＝45°，
∵∠BAD＝60°，
∴∠DAE＝30°，
∵AD＝AE，
∴∠AED＝75°，
∴∠CDE＝∠AED＝∠C＝30°；
（2）设∠BAD＝x，
∴∠CAD＝90°﹣x，
∵AE＝AD，
∴∠AED＝45°+，
∴∠CDE＝x；
（3）设∠BAD＝x，∠C＝y，
∵AB＝AC，∠C＝y，
∴∠BAC＝180°﹣2y，
∵∠BAD＝x，
∴∠AED＝y+x，
∴x．
14．（2022秋•江津区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC．
（1）试问△ADE是否是等腰三角形，并说明理由．
（2）若M为DE上的点，且BM平分∠ABC，CM平分∠ACB，若△ADE的周长为20，BC＝8．求△ABC的周长．
【解答】解：（1）△ADE是等腰三角形．
理由：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB，
∴∠ADE＝∠AED．
（2）∵BM平分∠DBC，
∴∠DBM＝∠MBC，
∵DE∥BC，
∴∠DBM＝∠DMB，
∴DM＝DB，同理可证：EM＝EC，
∵AD+DE+AE＝AD+DM+EM+AE＝AD+DB+AE+EC＝AB+AC＝20，
∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝28．
15．（2019秋•庆云县期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝10cm，若点M从点B出发以2cm/s的速度向点A运动，点N从点A出发以1cm/s的速度向点C运动，设M、N分别从点B、A同时出发，运动的时间为ts．
（1）用含t的式子表示线段AM、AN的长；
（2）当t为何值时，△AMN是以MN为底边的等腰三角形？
（3）当t为何值时，MN∥BC？并求出此时CN的长．
【解答】解：（1）∵∠C＝90°，∠A＝60°，
∴∠B＝30°，
∵AB＝10cm，
∴AM＝AB﹣BM＝10﹣2t，AN＝t；
（2）∵△AMN是以MN为底的等腰三角形，
∴AM＝AN，即10﹣2t＝t，
∴当t＝时，△AMN是以MN为底边的等腰三角形；
（3）当MN⊥AC时，MN∥BC．
∵∠C＝90°，∠A＝60°，
∴∠B＝30°
∵MN∥BC，
∴∠NMA＝30°
∴AN＝AM，
∴t＝（10﹣2t），解得t＝，
∴当t＝时，MN∥BC，
CN＝5﹣×1＝．
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