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高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理教案
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这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理教案，共12页。
教学设计
课题
分类加法计数原理和分步乘法计数原理
教学目标
知识目标
通过实例能归纳总结出分类加法计数原理与分步乘法计数原理；正确理解“完成一件事情”的含义，能根据具体问题的特征,选择“分类”或“分步”；能利用两个原理解决一些简单的实际问题.
能力目标
通过对分类加法计数原理与分步乘法计数原理的学习，提升数学抽象、逻辑推理、数学运算、数学建模学科素养，通过准确运用两个计数原理解决问题，将计数问题转化为分类和分步计数问题，提升问题解决能力，分析计算能力、推理解释能力等。
情感目标
通过学习，增强逻辑，提升对数学学习的兴趣，增强自主学习、自主探究的意识。
教学重点
分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其简单应用
教学难点
准确应用两个计数原理解决问题
教学准备
教师准备：多媒体课件、教材习题
学生准备：教材习题、错题本
教学过程
新课导入
问题导学
计数问题是我们从小就经常遇到的，通过列举一个一个地数是计数的基本方法，但当问题中的数量很大时，列举的方法效率不高，能否设计巧妙的“数法”，以提高效率呢？下面先分析一个简单的问题，并尝试从中得出巧妙的计数方法.
（一）分类加法计数原理
思考：用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码？
因为英文字母共有26个，阿拉伯数字共有10个，所以总共可以编出26+10=36种不同的号码.
思考：你能说说这个问题的特征吗？
上述计数过程的基本环节是：
（1）确定分类标准，根据问题条件分为字母号码和数字号码两类；
（2）分别计算各类号码的个数；
（3）各类号码的个数相加，得出所有号码的个数.
讲授新知
一般地，有如下分类加法计数原理：
完成一件事，有两类办法. 在第1类办法中有m种不同的方法，在第2类方法中有n种不同的方法，则完成这件事共有:N= m+n种不同的方法.
例1.在填写高考志愿时，一名高中毕业生了解到，A,B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，如表：
A大学
B大学
生物学
数学
化学
会计学
医学
信息技术学
物理学
法学
工程学
如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择？
分析:要完成的事情是“选一个专业” .因为这名同学在A,B两所大学中只能选择一所，而且只能选择一个专业，又因为这两所大学没有共同的强项专业，所以符合分类加法计数原理的条件.
解：这名同学可以选择A,B两所大学中的一所，在A大学中有5种专业选择
方法，在B大学中有4种专业选择方法，因为没有一个强项专业是两所大学共有的，所以根据分类加法计数原理，这名同学可能的专业选择种数N=5+4=9.
方法总结：
利用分类加法计数原理解题的一般思路
(1)分类:将完成这件事的办法分成若干类;
(2)计数:求出每一类中的方法数;
(3)结论:将每一类中的方法数相加得最终结果.
探究：如果完成一件事有三类不同方案，在第一类方案中有 m1种不同的方法，在第二类方案中有m2种不同的方法，在第三类方案中有m3种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？如果完成一件事情有N类不同方案，在每一类中都有若干种不同的方法，那么应该如何计数呢？
分类加法计数原理：完成一件事,如果有n类办法,且:第一类办法中有m1种不同的方法,第二类办法中有m2种不同的方法……第n类办法中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法.
跟踪训练1.在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数是( )
A．18 B．36 C．72 D．48
解析：方法一 按十位上的数字分别是1，2，3，4，5，6，7，8分成八类，在每一类中满足条件的两位数分别有8个、7个、6个、5个、4个、3个、2个、1个．由分类加法计数原理知，满足条件的两位数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个).
方法二 按个位上的数字分别是2，3，4，5，6，7，8，9分成八类，在每一类中满足条件的两位数分别有1个、2个、3个、4个、5个、6个、7个、8个．由分类加法计数原理知，满足条件的两位数共有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36(个).
方法三 考虑两位数的个位数字与十位数字的大小关系，利用对应思想解决．所有的两位数共有90个，其中，个位数字等于十位数字的两位数为11，22，33，…，99，共9个；有10，20，30，…，90共9个两位数的个位数字与十位数字不能调换位置，则剩余的两位数有90－18＝72(个).在这72个两位数中，每一个个位数字(a)小于十位数字(b)的两位数都有一个十位数字(a)小于个位数字(b)的两位数与之对应，故满足条件的两位数的个数是72÷2＝36.故选B.
答案：B
（二）分步乘法计数原理
思考：用前6个大写的英文字母和1~9个阿拉伯数字，以A1， A1，…A9，B1，B2，…的方式给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码？
解：方法一：解决计数问题可以用“树状图”列举出来
方法二：由于6个英文字母中的任意一个都能与6个数字中的任意一个组成一个号码，而且它们互不相同，因此共有6×9=54种不同的号码.
思考：你能说说这个问题的特征吗？
上述计数过程的基本环节是：
（1）由问题条件中的“和”，可确定完成编号要分两步；
（2）分别计算各步号码的个数；
（3）将各步号码的个数相乘，得出所有号码的个数.
讲授新知：
一般地，有如下分步加法计数原理：
完成一件事需要两个步骤. 做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，则完成这件事共有:N= m×n种不同的方法.
例2.设某班有男生30名，女生24名。现要从中选出男、女生各一名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？
分析:选出一组参赛代表，可分两步：第一步, 选男生；第二步,选女生.
解：第一步,从30名男生中选出1人,有30种不同选择；
第二步,从24名女生中选出1人,有24种不同选择；
根据分步计数原理，共有 30×24=720种不同方法.
探究：如果完成一件事有三个步骤, 做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，做第3步有m3种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法?
N＝m1×m2×m3
如果完成一件事需要有n个步骤,做每一步中都有若干种不同方法,那么应当如何计数呢? 如果完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…,做第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事的方法总数如何计算？
分步乘法计数原理一般结论：N＝m1×m2×…×mn
例3.书架上第1层放有4本不同的计算机书,第 2层放有3本不同的文艺书,第3层放有2本不同的体育杂志.
(1)从书架上任取1本书,有多少种不同的取法?
(2)从书架的第1、 2、 3层各取1本书,有多少种不同取法?
(3)从书架上取2本不同学科的书,有多少种不同的取法?
解：（1）根据分类加法计数原理可得：N＝4＋3+2＝9；
（2）根据分步乘法计数原理可得：N＝4 ×3×2＝24；
（3）需先分类再分步.
第一类：从一、二层各取一本，有4×3=12种方法；
第二类：从一、三层各取一本,有4×2=8种方法；
第三类：从二、三层各取一本,有3×2=6种方法；
根据两个基本原理，不同的取法总数是N=4×3+4×2+3×2=26
答: 从书架上取2本不同种的书,有26种不同的取法.
方法总结：
应用分步乘法计数原理解题的一般思路
跟踪训练2. 有6名同学报名参加三个智力竞赛项目，在下列情况下各有多少种不同的报名方法？(不一定6名同学都参加)
(1)每人恰好参加一项，每项人数不限；
(2)每项限报一人，且每人至多参加一项；
(3)每项限报一人，但每人参加的项目不限．
解：(1)每人都可以从这三个比赛项目中选报一项，各有3种不同的报名方法．
根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法种数为36＝729.
(2)每项限报一人，且每人至多参加一项，
因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目有4种选法．
根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法种数为6×5×4＝120.
每人参加的项目不限，因此每一个项目都可以从这6人中选出1人参赛．根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法种数为63＝216.
课堂小结
两个原理的联系与区别
1.联系:
分类加法计数原理和分步乘法计数原理都是解决计数问题最基本、最重要的方法.
区别
分类加法计数原理
分步乘法计数原理
区别一
完成一件事共有n类办法,关键词是“分类”
完成一件事共有n个步骤,关键词是“分步”
区别二
每类办法中的每种方法都能独立地完成这件事,它是独立的、一次的且每种方法得到的都是最后结果,只需一种方法就可完成这件事
除最后一步外,其他每步得到的只是中间结果,任何一步都不能独立完成这件事,缺少任何一步也不能完成这件事,只有各个步骤都完成了,才能完成这件事
区别三
各类办法之间是互斥的、并列的、独立的
各步之间是关联的、独立的,“关联”确保不遗漏,“独立”确保不重复
课后作业
1.某教师有相同的语文参考书3本，相同的数学参考书4本，从中取出4本赠送给4位学生，每位学生1本，则不同的赠送方法共有( )
A．20种 B．15种 C．10种 D．4种
解析：若4本中有3本语文参考书和1本数学参考书，则有4种方法，若4本中有1本语文参考书和3本数学参考书，则有4种方法，若4本中有2本语文参考书和2本数学参考书，则有6种方法，若4本都是数学参考书，则有一种方法，所以不同的赠送方法共有4＋4＋6＋1＝15(种).故选B.
答案：B
2.现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同的选法的种数是( )
A．56 B．65 C．30 D．11
解析：(1)第一名同学有5种选择方法，第二名也有5种选择方法，…，依次，第六名同学有5种选择方法，综上，6名同学共有56种不同的选法．故选A.
3. 4张卡片的正、反面分别标有0与1,2与3,4与5,6与7,将其中3张卡片排放在一起,可组成 个不同的三位数.
解析:分三个步骤:
第一步:百位可放8-1=7个数;
第二步:十位可放6个数;
第三步:个位可放4个数.
根据分步乘法计数原理,可以组成N=7×6×4=168个不同的三位数.
答案:168
4.如图所示的电路图,从A到B共有 条不同的线路可通电.
解析:先分三类.第一类,经过支路①有3种方法;第二类,经过支路②有1种方法;第三类,经过支路③有2×2=4种方法,所以总的线路条数N=3+1+4=8.
答案:8
5.如图,一只蚂蚁沿着长方体的棱,从顶点A爬到相对顶点C1,求其中经过3条棱的路线共有多少条?
解:从总体上看有三类方法,分别经过AB,AD,AA1.从局部上看每一类又需分两步完成.故第一类:经过AB,有m1=1×2=2条;第二类:经过AD,有m2=1×2=2条;第三类:经过AA1,有m3=1×2=2条.根据分类加法计数原理,从顶点A到顶点C1经过3条棱的路线共有N=2+2+2=6条.
6.某外语组有9人,每人至少会英语和日语中的一门,其中7人会英语,3人会日语,从中选出会英语和日语的各一人到边远地区支教,有多少种不同的选法?
解:由题意知,有1人既会英语又会日语,6人只会英语,2人只会日语.
方法一:分两类.
第一类:从只会英语的6人中选1人有6种选法,从会日语的3人中选1人有3种选法.此时共有6×3=18(种)选法.
第二类:从“全能”的人中选1人有1种选法,从只会日语的2人中选1人有2种选法,此时有1×2=2(种)选法.所以由分类加法计数原理知,共有18+2=20(种)选法.
方法二:设既会英语又会日语的人为甲,则甲有入选和不入选两类情形,入选后又分两种情况:(1)教英语;(2)教日语.
第一类:甲入选.
(1)甲教英语,再从只会日语的2人中选1人,由分步乘法计数原理,有1×2=2(种)选法;
(2)甲教日语,再从只会英语的6人中选1人,由分步乘法计数原理,有1×6=6(种)选法.故甲入选的不同选法共有2+6=8(种).
第二类:甲不入选.
可分两步:第一步,从只会英语的6人中选1人有6种选法;第二步,从只会日语的2人中选1人有2种选法.由分步乘法计数原理,有6×2=12(种)不同的选法.综上,共有8+12=20(种)不同的选法.
板书设计
两个原理的联系与区别
1.联系:分类加法计数原理和分步乘法计数原理都是解决计数问题最基本、最重要的方法.
2.区别
分类加法计数原理
分步乘法计数原理
区别一
完成一件事共有n类办法,关键词是“分类”
完成一件事共有n个步骤,关键词是“分步”
区别二
每类办法中的每种方法都能独立地完成这件事,它是独立的、一次的且每种方法得到的都是最后结果,只需一种方法就可完成这件事
除最后一步外,其他每步得到的只是中间结果,任何一步都不能独立完成这件事,缺少任何一步也不能完成这件事,只有各个步骤都完成了,才能完成这件事
区别三
各类办法之间是互斥的、并列的、独立的
各步之间是关联的、独立的,“关联”确保不遗漏,“独立”确保不重复
教学反思
在本节课的教学中，学生可能遇到的问题（或困难、障碍）是综合应用两个计数原理，产生这一问题的原因是不能根据问题的特征选择对应的原理。要解决这一问题，就要通过典型的、学生比较熟悉的实例，经过概括得出两个计数原理，然后从单一到综合的方式，安排例题，其中关键是从单一到综合，引导学生体会两个计数原理的基本思想。
教学设计
课题
分类加法计数原理和分步乘法计数原理
教学目标
知识目标
通过实例能归纳总结出分类加法计数原理与分步乘法计数原理；正确理解“完成一件事情”的含义，能根据具体问题的特征,选择“分类”或“分步”；能利用两个原理解决一些简单的实际问题.
能力目标
通过对分类加法计数原理与分步乘法计数原理的学习，提升数学抽象、逻辑推理、数学运算、数学建模学科素养，通过准确运用两个计数原理解决问题，将计数问题转化为分类和分步计数问题，提升问题解决能力，分析计算能力、推理解释能力等。
情感目标
通过学习，增强逻辑，提升对数学学习的兴趣，增强自主学习、自主探究的意识。
教学重点
分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其简单应用
教学难点
准确应用两个计数原理解决问题
教学准备
教师准备：多媒体课件、教材习题
学生准备：教材习题、错题本
教学过程
新课导入
问题导学
计数问题是我们从小就经常遇到的，通过列举一个一个地数是计数的基本方法，但当问题中的数量很大时，列举的方法效率不高，能否设计巧妙的“数法”，以提高效率呢？下面先分析一个简单的问题，并尝试从中得出巧妙的计数方法.
（一）分类加法计数原理
思考：用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码？
因为英文字母共有26个，阿拉伯数字共有10个，所以总共可以编出26+10=36种不同的号码.
思考：你能说说这个问题的特征吗？
上述计数过程的基本环节是：
（1）确定分类标准，根据问题条件分为字母号码和数字号码两类；
（2）分别计算各类号码的个数；
（3）各类号码的个数相加，得出所有号码的个数.
讲授新知
一般地，有如下分类加法计数原理：
完成一件事，有两类办法. 在第1类办法中有m种不同的方法，在第2类方法中有n种不同的方法，则完成这件事共有:N= m+n种不同的方法.
例1.在填写高考志愿时，一名高中毕业生了解到，A,B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，如表：
A大学
B大学
生物学
数学
化学
会计学
医学
信息技术学
物理学
法学
工程学
如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择？
分析:要完成的事情是“选一个专业” .因为这名同学在A,B两所大学中只能选择一所，而且只能选择一个专业，又因为这两所大学没有共同的强项专业，所以符合分类加法计数原理的条件.
解：这名同学可以选择A,B两所大学中的一所，在A大学中有5种专业选择
方法，在B大学中有4种专业选择方法，因为没有一个强项专业是两所大学共有的，所以根据分类加法计数原理，这名同学可能的专业选择种数N=5+4=9.
方法总结：
利用分类加法计数原理解题的一般思路
(1)分类:将完成这件事的办法分成若干类;
(2)计数:求出每一类中的方法数;
(3)结论:将每一类中的方法数相加得最终结果.
探究：如果完成一件事有三类不同方案，在第一类方案中有 m1种不同的方法，在第二类方案中有m2种不同的方法，在第三类方案中有m3种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？如果完成一件事情有N类不同方案，在每一类中都有若干种不同的方法，那么应该如何计数呢？
分类加法计数原理：完成一件事,如果有n类办法,且:第一类办法中有m1种不同的方法,第二类办法中有m2种不同的方法……第n类办法中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法.
跟踪训练1.在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数是( )
A．18 B．36 C．72 D．48
解析：方法一 按十位上的数字分别是1，2，3，4，5，6，7，8分成八类，在每一类中满足条件的两位数分别有8个、7个、6个、5个、4个、3个、2个、1个．由分类加法计数原理知，满足条件的两位数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个).
方法二 按个位上的数字分别是2，3，4，5，6，7，8，9分成八类，在每一类中满足条件的两位数分别有1个、2个、3个、4个、5个、6个、7个、8个．由分类加法计数原理知，满足条件的两位数共有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36(个).
方法三 考虑两位数的个位数字与十位数字的大小关系，利用对应思想解决．所有的两位数共有90个，其中，个位数字等于十位数字的两位数为11，22，33，…，99，共9个；有10，20，30，…，90共9个两位数的个位数字与十位数字不能调换位置，则剩余的两位数有90－18＝72(个).在这72个两位数中，每一个个位数字(a)小于十位数字(b)的两位数都有一个十位数字(a)小于个位数字(b)的两位数与之对应，故满足条件的两位数的个数是72÷2＝36.故选B.
答案：B
（二）分步乘法计数原理
思考：用前6个大写的英文字母和1~9个阿拉伯数字，以A1， A1，…A9，B1，B2，…的方式给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码？
解：方法一：解决计数问题可以用“树状图”列举出来
方法二：由于6个英文字母中的任意一个都能与6个数字中的任意一个组成一个号码，而且它们互不相同，因此共有6×9=54种不同的号码.
思考：你能说说这个问题的特征吗？
上述计数过程的基本环节是：
（1）由问题条件中的“和”，可确定完成编号要分两步；
（2）分别计算各步号码的个数；
（3）将各步号码的个数相乘，得出所有号码的个数.
讲授新知：
一般地，有如下分步加法计数原理：
完成一件事需要两个步骤. 做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，则完成这件事共有:N= m×n种不同的方法.
例2.设某班有男生30名，女生24名。现要从中选出男、女生各一名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？
分析:选出一组参赛代表，可分两步：第一步, 选男生；第二步,选女生.
解：第一步,从30名男生中选出1人,有30种不同选择；
第二步,从24名女生中选出1人,有24种不同选择；
根据分步计数原理，共有 30×24=720种不同方法.
探究：如果完成一件事有三个步骤, 做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，做第3步有m3种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法?
N＝m1×m2×m3
如果完成一件事需要有n个步骤,做每一步中都有若干种不同方法,那么应当如何计数呢? 如果完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…,做第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事的方法总数如何计算？
分步乘法计数原理一般结论：N＝m1×m2×…×mn
例3.书架上第1层放有4本不同的计算机书,第 2层放有3本不同的文艺书,第3层放有2本不同的体育杂志.
(1)从书架上任取1本书,有多少种不同的取法?
(2)从书架的第1、 2、 3层各取1本书,有多少种不同取法?
(3)从书架上取2本不同学科的书,有多少种不同的取法?
解：（1）根据分类加法计数原理可得：N＝4＋3+2＝9；
（2）根据分步乘法计数原理可得：N＝4 ×3×2＝24；
（3）需先分类再分步.
第一类：从一、二层各取一本，有4×3=12种方法；
第二类：从一、三层各取一本,有4×2=8种方法；
第三类：从二、三层各取一本,有3×2=6种方法；
根据两个基本原理，不同的取法总数是N=4×3+4×2+3×2=26
答: 从书架上取2本不同种的书,有26种不同的取法.
方法总结：
应用分步乘法计数原理解题的一般思路
跟踪训练2. 有6名同学报名参加三个智力竞赛项目，在下列情况下各有多少种不同的报名方法？(不一定6名同学都参加)
(1)每人恰好参加一项，每项人数不限；
(2)每项限报一人，且每人至多参加一项；
(3)每项限报一人，但每人参加的项目不限．
解：(1)每人都可以从这三个比赛项目中选报一项，各有3种不同的报名方法．
根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法种数为36＝729.
(2)每项限报一人，且每人至多参加一项，
因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目有4种选法．
根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法种数为6×5×4＝120.
每人参加的项目不限，因此每一个项目都可以从这6人中选出1人参赛．根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法种数为63＝216.
课堂小结
两个原理的联系与区别
1.联系:
分类加法计数原理和分步乘法计数原理都是解决计数问题最基本、最重要的方法.
区别
分类加法计数原理
分步乘法计数原理
区别一
完成一件事共有n类办法,关键词是“分类”
完成一件事共有n个步骤,关键词是“分步”
区别二
每类办法中的每种方法都能独立地完成这件事,它是独立的、一次的且每种方法得到的都是最后结果,只需一种方法就可完成这件事
除最后一步外,其他每步得到的只是中间结果,任何一步都不能独立完成这件事,缺少任何一步也不能完成这件事,只有各个步骤都完成了,才能完成这件事
区别三
各类办法之间是互斥的、并列的、独立的
各步之间是关联的、独立的,“关联”确保不遗漏,“独立”确保不重复
课后作业
1.某教师有相同的语文参考书3本，相同的数学参考书4本，从中取出4本赠送给4位学生，每位学生1本，则不同的赠送方法共有( )
A．20种 B．15种 C．10种 D．4种
解析：若4本中有3本语文参考书和1本数学参考书，则有4种方法，若4本中有1本语文参考书和3本数学参考书，则有4种方法，若4本中有2本语文参考书和2本数学参考书，则有6种方法，若4本都是数学参考书，则有一种方法，所以不同的赠送方法共有4＋4＋6＋1＝15(种).故选B.
答案：B
2.现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同的选法的种数是( )
A．56 B．65 C．30 D．11
解析：(1)第一名同学有5种选择方法，第二名也有5种选择方法，…，依次，第六名同学有5种选择方法，综上，6名同学共有56种不同的选法．故选A.
3. 4张卡片的正、反面分别标有0与1,2与3,4与5,6与7,将其中3张卡片排放在一起,可组成 个不同的三位数.
解析:分三个步骤:
第一步:百位可放8-1=7个数;
第二步:十位可放6个数;
第三步:个位可放4个数.
根据分步乘法计数原理,可以组成N=7×6×4=168个不同的三位数.
答案:168
4.如图所示的电路图,从A到B共有 条不同的线路可通电.
解析:先分三类.第一类,经过支路①有3种方法;第二类,经过支路②有1种方法;第三类,经过支路③有2×2=4种方法,所以总的线路条数N=3+1+4=8.
答案:8
5.如图,一只蚂蚁沿着长方体的棱,从顶点A爬到相对顶点C1,求其中经过3条棱的路线共有多少条?
解:从总体上看有三类方法,分别经过AB,AD,AA1.从局部上看每一类又需分两步完成.故第一类:经过AB,有m1=1×2=2条;第二类:经过AD,有m2=1×2=2条;第三类:经过AA1,有m3=1×2=2条.根据分类加法计数原理,从顶点A到顶点C1经过3条棱的路线共有N=2+2+2=6条.
6.某外语组有9人,每人至少会英语和日语中的一门,其中7人会英语,3人会日语,从中选出会英语和日语的各一人到边远地区支教,有多少种不同的选法?
解:由题意知,有1人既会英语又会日语,6人只会英语,2人只会日语.
方法一:分两类.
第一类:从只会英语的6人中选1人有6种选法,从会日语的3人中选1人有3种选法.此时共有6×3=18(种)选法.
第二类:从“全能”的人中选1人有1种选法,从只会日语的2人中选1人有2种选法,此时有1×2=2(种)选法.所以由分类加法计数原理知,共有18+2=20(种)选法.
方法二:设既会英语又会日语的人为甲,则甲有入选和不入选两类情形,入选后又分两种情况:(1)教英语;(2)教日语.
第一类:甲入选.
(1)甲教英语,再从只会日语的2人中选1人,由分步乘法计数原理,有1×2=2(种)选法;
(2)甲教日语,再从只会英语的6人中选1人,由分步乘法计数原理,有1×6=6(种)选法.故甲入选的不同选法共有2+6=8(种).
第二类:甲不入选.
可分两步:第一步,从只会英语的6人中选1人有6种选法;第二步,从只会日语的2人中选1人有2种选法.由分步乘法计数原理,有6×2=12(种)不同的选法.综上,共有8+12=20(种)不同的选法.
板书设计
两个原理的联系与区别
1.联系:分类加法计数原理和分步乘法计数原理都是解决计数问题最基本、最重要的方法.
2.区别
分类加法计数原理
分步乘法计数原理
区别一
完成一件事共有n类办法,关键词是“分类”
完成一件事共有n个步骤,关键词是“分步”
区别二
每类办法中的每种方法都能独立地完成这件事,它是独立的、一次的且每种方法得到的都是最后结果,只需一种方法就可完成这件事
除最后一步外,其他每步得到的只是中间结果,任何一步都不能独立完成这件事,缺少任何一步也不能完成这件事,只有各个步骤都完成了,才能完成这件事
区别三
各类办法之间是互斥的、并列的、独立的
各步之间是关联的、独立的,“关联”确保不遗漏,“独立”确保不重复
教学反思
在本节课的教学中，学生可能遇到的问题（或困难、障碍）是综合应用两个计数原理，产生这一问题的原因是不能根据问题的特征选择对应的原理。要解决这一问题，就要通过典型的、学生比较熟悉的实例，经过概括得出两个计数原理，然后从单一到综合的方式，安排例题，其中关键是从单一到综合，引导学生体会两个计数原理的基本思想。
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