高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理测试题

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理测试题，共8页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题(每小题5分，共40分)
1．[2023·江苏扬州高二期中]用1，2，3，4四个数字组成没有重复数字的三位偶数，共有( )
A．6个B．18个
C．24个D．12个
2．[2023·江苏连云港高二期中]某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在正六边形ABCDEF(边长为1个单位)的顶点A处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正六边形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为i(i＝1，2，…，6)，则棋子就按逆时针方向行走i个单位，一直循环下去．某人抛掷2次骰子后棋子恰好又回到点A处，则不同走法种数为( )
A．5B．6
C．7D．8
3．[2023·辽宁沈阳高二期末]四张红桃纸牌、三张黑桃纸牌及两张梅花纸牌中，每张纸牌上的数字不同，取出两张不同花色的纸牌，不同的取法共有( )
A．24种B．9种
C．10种D．26种
4．[2023·江苏宿迁高二期末]为了合理配置教育资源、优化教师队伍结构、促进城乡教育优质均衡发展、科学编制校长教师交流轮岗3到5年规划和学年度交流计划，努力办好人民群众“家门口”的好学校．省委、省政府高度重视此项工作，省教育厅出台《关于深入推进义务教育学校校长教师交流轮岗的意见》，将义务教育教师交流轮岗工作纳入了省委2023年度重点工作任务．某市教育局为切实落实此项政策，安排3名校长和3名教师到甲、乙、丙三所义务教育学校进行轮岗交流，每所学校安排一名校长，则不同的安排方案种数是( )
A．720B．162
C．81D．33
5．[2023·黑龙江齐齐哈尔高二期末]已知某超市为顾客提供四种结账方式：现金、支付宝、微信、银联卡．若顾客甲只用银联卡结账，顾客乙只用微信和银联卡结账，顾客丁与甲、乙结账方式不同，丙用哪种结账方式都可以．若甲乙丙丁购物后依次结账，那么他们结账方式的组合种数共有( )
A．20种B．24种
C．30种D．36种
6．[2023·广东韶关高二期中]中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)中的一种．现有十二生肖的吉祥物各一个，已知甲同学喜欢牛、马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学所有的吉祥物都喜欢，让甲、乙、丙三位同学依次从中选一个作为礼物珍藏，若各人所选取的礼物都是自己喜欢的，则不同的选法有( )
A．90种B．80种
C．60种D．50种
7．[2023·福建福州高二期末]中国古代的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出形状相同的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有个阴眼，阴鱼的头部有个阳眼，表示万物都在相互转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律，由八卦模型图可抽象得到正八边形，从该正八边形的8个顶点中任意取出4个构成四边形，其中梯形的个数为( )
A．16B．20
C．24D．28
8．[2023·河北邯郸高二期中]有序数对(a，b)满足a，b∈eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，－1，0，2))，且使关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解，则这样的有序数对(a，b)的个数为( )
A．15B．14
C．13D．10
二、多项选择题(每小题5分，共10分)
9．[2023·河北石家庄高二模拟]现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画，下列说法正确的有( )
A．从中任选一幅画布置房间，有14种不同的选法
B．从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有70种不同的选法
C．从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间，有59种不同的选法
D．要从5幅不同的国画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，共有9种不同的挂法
10．[2023·湖北武汉高二期中]高二年级安排甲、乙、丙三位同学到A，B，C，D，E五个社区进行暑期社会实践活动，每位同学只能选择一个社区进行活动，且多个同学可以选择同一个社区进行活动，下列说法正确的有( )
A．如果社区A必须有同学选择，则不同的安排方法有61种
B．如果同学甲必须选择社区A，则不同的安排方法有25种
C．如果三名同学选择的社区各不相同，则不同的安排方法共有60种
D．如果甲、乙两名同学必须在同一个社区，则不同的安排方法共有20种
三、填空题(每小题5分，共10分)
11．[2023·广东阳江高二期中]用0～9这10个数字，可以组成________个没有重复数字的三位数．
12．[2023·安徽蚌埠高二期末]现用5种不同颜色对如图所示的四个部分进行涂色，要求相邻的两块不能用同一种颜色，则不同的涂色方法种数为________(用数字作答).
四、解答题(共20分)
13．(10分)已知集合M＝{－3，－2，－1，0，1，2}，点P(a，b)在直角坐标平面上，且a，b∈M.
(1)平面上共有多少个满足条件的点P?
(2)有多少个点P在第二象限内？
(3)有多少个点P不在直线y＝x上？
14．(10分)某景区下周一至周六空气质量预报情况如下表所示．该市有甲、乙、丙三人计划在下周一至周六选择一天到该景区旅游，①甲只选择空气质量为优的一天出游；②乙不选择周四出游；③丙不选择周一出游；④甲与乙不选择同一天出游，从这四个条件中任选其中三个，求这三人出游的不同方法的种数．
周一至周六空气质量预报：
关键能力综合练
15.(5分)[2023·河南许昌高二期末]如图是在“赵爽弦图”的基础上创作出的一个“数学风车”平面模型，图中正方形ABCD内部为“赵爽弦图”(由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成)，给△ABE、△BCF、△CDG、△DAH这4个三角形和“赵爽弦图”ABCD涂色，且相邻区域(即图中有公共点的区域)不同色，已知有5种不同的颜色可供选择．则不同的涂色方法种数是( )
A．360 B．120C．420 D．216
[答题区]
16．(15分)用0，1，2，3，4五个数字．
(1)可以排成多少个三位数字的电话号码？
(2)可以排成多少个三位数？
(3)可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数？
(4)可以组成多少个无重复数字的四位奇数？
同步练习2 分类加法计数原理与分步乘法计数原理的应用
1．解析：先排个位数，有2种选择，再排十位和百位，有3×2＝6(种)选择，
根据分步乘法计数原理可得共有2×6＝12(个)没有重复数字的三位偶数．
答案：D
2．解析：依题意，可知某人抛掷2次骰子的点数之和为6的倍数，
因为掷出的点数为i(i＝1，2，…，6)，
所以某人2次掷出的点数情况有(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)，(6，6)，共6种，
所以不同走法种数为6.
答案：B
3．解析：红桃＋黑桃：4×3＝12(种)；红桃＋梅花：4×2＝8(种)；黑桃＋梅花：3×2＝6(种).
故取出两张不同花色的纸牌，共有：12＋8＋6＝26(种).
答案：D
4．解析：先安排校长：则甲学校有3种可能，乙学校有2种可能，丙学校有1种可能，
所以不同的安排方案种数是3×2×1＝6；
再安排教师：每个教师均有三个学校可以选择，
所以不同的安排方案种数是3×3×3＝27；
综上所述：不同的安排方案种数是6×27＝162.
答案：B
5．解析：当乙用银联卡结算时，此时甲和乙都用银联卡结算，
所以丁有3种方法，丙有4种方法，共有3×4＝12(种)方法；
当乙用微信结算时，此时甲用银联卡结算，丁有2种方法，丙有4种方法，共有2×4＝8(种)方法．
综上，共有12＋8＝20(种)方法．
答案：A
6．解析：根据题意，分2种情况讨论：
①若甲选择牛，此时乙的选择有2种，丙的选择有10种，此时有2×10＝20(种)不同的选法；
②若甲选择马，此时乙的选择有3种，丙的选择有10种，此时有3×10＝30(种)不同的选法；
则共有20＋30＝50(种)选法．
答案：D
7．解析：梯形的上、下底平行且不相等，如图，
若以AB为底边，则可构成2个梯形，根据对称性可知此类梯形有2×8＝16(个)，
若以AC为底边，则可构成1个梯形，此类梯形共有1×8＝8(个)，
所以梯形的个数是16＋8＝24(个).
答案：C
8．解析：①当a＝0时，有x＝－eq \f(b,2)为实根，则b＝－eq \f(1,2)，－1，0，2有4种可能；
②当a≠0时，方程有实根，所以Δ＝4－4ab≥0，所以ab≤1.
当a＝－eq \f(1,2)时，b＝－eq \f(1,2)，－1，0，2有4种．
当a＝－1时，b＝－eq \f(1,2)，－1，0，2有4种．
当a＝2时，b＝－eq \f(1,2)，－1，0有3种．
所以有序数对(a，b)的个数为4＋4＋4＋3＝15.
答案：A
9．解析：对于A中，从国画中选一幅有5种不同的选法；从油画中选一幅有2种不同的选法；从水彩画中选一幅有7种不同的选法，
由分类加法计数原理，共有5＋2＋7＝14(种)不同的选法，所以A正确；
对于B中，从国画、油画、水彩画中各选一幅分别有5种、2种、7种不同的选法，
根据分步乘法计数原理，共有5×2×7＝70(种)不同的选法，所以B正确；
对于C中，若其中一幅选自国画，一幅选自油画，则有5×2＝10(种)不同的选法；
若一幅选自国画，一幅选自水彩画，则有5×7＝35(种)不同的选法；
若一幅选自油画，一幅选自水彩画，则有2×7＝14(种)不同的选法，
由分类加法计数原理，可得共有10＋35＋14＝59(种)不同的选法，所以C正确；
对于D中，从5幅国画中选出2幅分别挂在左、右两边墙上，可以分两个步骤完成：
第一步，从5幅画中选1幅挂在左边墙上，有5种选法；
第二步，从剩下的4幅画中选1幅挂在右边墙上，有4种选法，
根据分步乘法计数原理，不同挂法的种数是5×4＝20(种)不同的选法，所以D错误．
答案：ABC
10．解析：安排甲、乙、丙三位同学到A，B，C，D，E五个社区进行暑期社会实践活动，
选项A：如果社区A必须有同学选择，
则不同的安排方法有53－43＝61(种).判断正确；
选项B：如果同学甲必须选择社区A，则不同的安排方法有52＝25(种).判断正确；
选项C：如果三名同学选择的社区各不相同，
则不同的安排方法共有5×4×3＝60(种).判断正确；
选项D：如果甲、乙两名同学必须在同一个社区，
再分为丙与甲、乙两名同学在一起和不在一起两种情况，
则不同的安排方法共有5＋5×4＝25(种).判断错误．
答案：ABC
11．解析：先考虑百位，有9种方法；
然后考虑十位和个位，有9×8种方法；
故没有重复数字的三位数有9×9×8＝648(个).
答案：648
12．解析：如下图标号：
①号的涂色方案有5种，由题意：②号涂色方案有4种，③号涂色方案有3种，④号涂色方案有3种，
故不同的涂色方案有5×4×3×3＝180.
答案：180
13．解析：(1)第一步，先安排横坐标a，a∈M＝{－3，－2，－1，0，1，2}，所以a有6种选择，第二步，安排纵坐标b，b∈M＝{－3，－2，－1，0，1，2}，所以b有6种选择，所以一共有6×6＝36个满足条件的点．
(2)P(a，b)在第二象限，则a<0，b>0，故a可从－3，－2，－1这3个数字中选择1个，有3种选择，b可从1，2这2个数字中选择1个，有2种选择，故总共有3×2＝6个满足条件的点．
(3)在直线y＝x上点满足a＝b，此时有点(－3，－3)，(－2，－2)，(－1，－1)，(0，0)，(1，1)，(2，2)，共有6个，所以不在直线y＝x上的点有36－6＝30(个).
14．解析：若选择①②③，甲、乙、丙分别有不同的选法为4，5，5，则三人出游的不同方法数N＝4×5×5＝100.
若选择①②④，则需分两类，第一类，若甲选择周四出游，则三人出游的不同方法数N1＝5×6＝30；第二类，若甲不选择周四出游，则三人出游的不同方法数N2＝3×4×6＝72，故这三人出游的不同方法数N＝N1＋N2＝30＋72＝102.
若选择①③④，甲、乙、丙分别有不同的选法为4，5，5，则三人出游的不同方法数N＝4×5×5＝100.
若选择②③④，甲、乙、丙分别有不同的选法为5，5，5，则三人出游的不同方法数N＝5×5×5＝125.
15．解析：先对正方形ABCD涂色，共有5种颜色可供选择，
然后涂△ABE区域，有4种颜色可供选择，
接下来涂△BCF区域，有3种颜色可供选择，
若△CDG区域与△ABE区域同色，则△ADH区域有3种颜色可供选择；
若△CDG区域与△ABE区域不同色，则△CDG区域有2种颜色可供选择，△ADH区域有2种颜色可供选择．
由计数原理可知，不同的涂色方法种数为5×4×3×(1×3＋2×2)＝420.
答案：C
16．解析：(1)三位数字的电话号码，首位可以是0，数字也可以重复，每个位置都有5种排法，
共有5×5×5＝53＝125(个).
(2)三位数的首位不能为0，但可以有重复数字，首先考虑首位的排法，除0外共有4种方法，第二、三位可以排0，因此，共有4×5×5＝100(个).
(3)被2整除的数即偶数，末位数字可取0，2，4，
因此，可以分两类，一类是末位数字是0，则有4×3＝12(种)排法；
一类是末位数字不是0，则末位有2种排法，即2或4，再排首位，因0不能在首位，所以有3种排法，十位有3种排法，因此有2×3×3＝18(种)排法；
因此有12＋18＝30(种)排法，即可以排成30个能被2整除的无重复数字的三位数．
(4)完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事，可以分四步：
第一步定个位，只能从1，3中任取一个，有2种方法；
第二步定首位，从1，2，3，4中除去用过的一个，从剩下的3个中任取一个，有3种方法；
第三步，第四步把剩下的包括0在内的3个数字先排百位有3种方法，再排十位有2种方法．
由分步乘法计数原理知共有2×3×3×2＝36(个).周一
周二
周三
周四
周五
周六
优
优
优
优
良
良
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
15
答案