福建省龙岩市长汀县2023届九年级中考一模数学试卷(含解析)

这是一份福建省龙岩市长汀县2023届九年级中考一模数学试卷(含解析)，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. -13的倒数为( )
A. 13B. 3C. -3D. -1
2. 在下面的四个几何体中，主视图是三角形的是( )
A. 圆锥B. 正方体
C. 三棱柱D. 圆柱
3. 某市有3万名学生参加中考，为了考察他们的数学考试成绩，抽样调查了2000名考生的数学成绩，在这个问题中，下列说法正确的是( )
A. 3万名考生是总体B. 每名考生的数学成绩是个体
C. 2000名考生是总体的一个样本D. 2000名是样本容量
4. 下列运算正确的是( )
A. 2m-m=1B. m2⋅m3=a6C. m6÷m2=m4D. (m3)2=m5
5. 将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为( )
A. 70°B. 75°C. 80°D. 85°
6. 如图，△ABC为钝角三角形，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°得到△AB'C'，连接CC'，若CC'//AB，则∠CAB'的度数为( )
A. 45°B. 60°C. 70°D. 90°
7. 习近平总书记指出，中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”.为了大力弘扬中华优秀传统文化，某校决定开展名著阅读活动．用3600元购买“四大名著”若干套后，发现这批图书满足不了学生的阅读需求，图书管理员在购买第二批时正赶上图书城八折销售该套书，于是用2400元购买的套数只比第有批少4套．设第一批购买的“四大名著”每套的价格为x元，则符合题意的方程是( )
A. 36000.8x-3600x=4B. 3600x-24000.8x=4
C. 24000.8x-3600x=0D. 24000.8x-2400x=4
8. 如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆上两点，且满足∠ADC=120°，AB=12，则BC的长为( )
A. π
B. 2π
C. 4π
D. .6π
9. 如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，且有一个内角为72°，现将其绕点D顺时针旋转得到菱形A'B'C'D，线段AB与线段B'C'交于点P，连接BB'.当五边形A'B'BCD为正五边形时，BPAP长为( )
A. 1
B. 5+12
C. ..
D. 5-12
10. 已知抛物线y=(x-x1)(x-x2)+1(x1A. x1C. m二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11. 不等式x-13≤1的解集是 ．
12. 小丽计算数据方差时，使用公式S2=15[(5-x-)2+(8-x-)2+(13-x-)2+(14-x-)2+(5-x-)2]，则公式中x-= ．
13. 如图，在△ABC中，BC=7，把△ABC沿射线AB方向平移4个单位至△EFG处，EG与BC交于点M.若CM=3，则图中阴影部分的面积为______ ．
14. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3.⊙O是△ABC的内切圆，分别与AC、BC、AB相切于点D、E、F，则圆心O到顶点A的距离= ．
15. 如图，A，C是反比例函数y=kx(x<0)图象上的点，过点A，C分别作AB⊥x轴，CD⊥x轴，垂足分别是点B，D，连接OA，AC，OC，线段OC交AB于点E，且E恰好是OC的中点．当△AEC的面积为32时，k的值是______．
16. 如图，正方形ABCD中，E是线段CD上一动点，连接AE交BD于点F，过点F作FG⊥AE交BC于点G，连接AG，EG，现有以下结论：①△AFG是等腰直角三角形；②DE+BG=EG；③点A到EG的距离等于正方形的边长；④当点E运动到CD的三等分点时，BGBC=12或BGBC=13.以上结论正确的有______ ．
三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）
17. 计算： 18-4cs45°+|-2|-(1- 2)0．
四、解答题（本大题共8小题，共80.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18. (本小题6.0分)
先化简，再求值：(1-22-x)÷(xx2-4x+4)，请在数-2，0，2中选取一个合适的数作为x的值代入求值．
19. (本小题8.0分)
如图，在△ABC中，点P，Q分别在边BC及CB的延长线上，且BQ=CP．
(1)实践与探索：利用尺规按下列要求作图(不写作法，保留作图痕迹)．
①作∠PQM=∠CBA，且点M在QC的上方；
②在QM上截取QR=BA；
③连接PR．
(2)猜想与验证：试猜想线段AC和RP的数量关系，并证明你的猜想．
20. (本小题10.0分)
如图，在▱ABCD中，E是BC边上一点，连接AB、AC、ED.若AE=AB，求证：AC=DE．
21. (本小题10.0分)
某校在宣传“民族团结”活动中，采用四种宣传形式：A.器乐，B.舞蹈，C.朗诵，D.唱歌.每名学生从中选择并且只能选择一种最喜欢的，学校就宣传形式对学生进行了抽样调查，并将调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图．

请结合图中所给信息，解答下列问题：
(1)本次调查的学生共有______ 人；扇形统计图中表示D选项的扇形圆心角的度数是______ ，并补全条形统计图；
(2)该校共有1200名学生，请估计选择“唱歌”的学生有多少人？
(3)七年一班在最喜欢“器乐”的学生中，有甲、乙、丙、丁四位同学表现优秀，现从这四位同学中随机选出两名同学参加学校的器乐队，请用列表或画树状图法求被选取的两人恰好是甲和乙的概率．
22. (本小题10.0分)
红灯笼，象征着阖家团圆，红红火火，挂灯笼成为我国的一种传统文化．小明在春节前购进甲、乙两种红灯笼，用3120元购进甲灯笼与用4200元购进乙灯笼的数量相同，已知乙灯笼每对进价比甲灯笼每对进价多9元．
(1)求甲、乙两种灯笼每对的进价；
(2)经市场调查发现，乙灯笼每对售价50元时，每天可售出98对，售价每提高1元，则每天少售出2对：物价部门规定其销售单价不高于每对65元，设乙灯笼每对涨价x元，小明一天通过乙灯笼获得利润y元．
①求出y与x之间的函数解析式；
②乙种灯笼的销售单价为多少元时，一天获得利润最大？最大利润是多少元？
23. (本小题12.0分)
如图，在△ABC中，AC=BC，以BC为直径作⊙O，交AC于点F，过C点作CD⊥AC交AB延长线于点D，E为CD上一点，且EB=ED．
(1)求证：BE为⊙O的切线；
(2)若AF=2，tanA=2，求BE的长．
24. (本小题12.0分)
已知菱形ABCD中，∠BAD=120°，点E、F分别在AB、BC上，BE=CF，AF与CE交于点P．
(1)求证：∠APE=60°；
(2)当PC=1，PA=5时，求PD的长；
(3)当AB=2 3时，求PD的最大值．
25. (本小题12.0分)
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(4,0)，C(-1,0)与y轴交于点B，已知tan∠BAC=34．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图1，点P为抛物线上的点，且点P的横坐标为3，F是抛物线上异于点P的点，连接PA，PB，当S△PAB=S△FAB，求点F的横坐标；
(3)如图2，点Q为直线AB上方抛物线上一点，OQ交AB于点D，QE//BO交AB于点E.记△QDE，△QDB，△BDO的面积分别为S1，S2，S3.求S1S2+S2S3的最大值．
答案和解析
1.C
2.A
3.B
4.C
5.B
解析：解：如图，
∵∠2=90°-30°=60°，
∴∠3=180°-45°-60°=75°，
∵a//b，
∴∠1=∠3=75°，
故选：B．
利用三角形内角和定理和平行线的性质解题即可．
此题考查平行线的性质，关键是根据两直线平行，同位角相等解答．
6.B
解析：解：∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°得到△AB'C'，
∴AC=AC'，∠BAB'=∠CAC'=100°，
∴∠ACC'=∠AC'C=40°，
∵AB//CC'，
∴∠BAC=∠ACC'=40°，
∴∠CAB'=∠BAB'-∠BAC=60°，
故选：B．
由旋转的性质可得AC=AC'，∠BAB'=∠CAC'=100°，由等腰三角形的性质可得∠ACC'=∠AC'C=40°，由平行线的性质可得∠BAC=∠ACC'=40°，即可求解．
本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，也考查了等腰三角形的性质和平行线的性质．
7.B
解析：解：设第一批购买的“四大名著”每套的价格为x元，则设第二批购买的“四大名著”每套的价格为0.8x元，
依题意得：3600x-24000.8x=4．
故选：B．
设第一批购买的“四大名著”每套的价格为x元，则设第二批购买的“四大名著”每套的价格为0.8x元，利用数量=总价÷单价，结合第二批购买的套数比第一批少4套，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
8.B
解析：解：如图，连接OC．
∵∠ADC=120°，
∴∠ABC=60°，
∵OB=OC，
∴∠COB=∠B=60°，
∵AB=12，
∴OB=6，
∴BC的长为60π×6180=2π，
故选：B．
由圆周角定理求出∠COB=∠B=60°，再根据弧长公式进行计算即可．
本题考查弧长的计算和圆周角定理，掌握等边三角形的性质，三角形内角和定理以及圆周角定理是正确解答的关键．
9.B
解析：解：连接BC'，AC'，

∵五边形A'B'BCD为正五边形，
∴∠CDA'=(5-2)×180°5=108°，
∵菱形ABCD绕点D顺时针旋转得到菱形A'B'C'D，
∴CD=AD=DC'=AB=2，AB//CD，A'D//B'C'，∠ADC=∠A'DC'=72°，∠CDC'=∠ADA'，
∴∠CDC'=∠ADA'=∠CDA'-∠ADC=36°，
∴∠ADC'=∠ADC-∠CDC'=36°，
∴∠CDC'=∠ADC'=36°，
∴DC'平分∠ADC，
∴点D，C'，B在同一条直线上，
∵AD=AB，
∴∠ADB=∠ABD=36°，
∵AD=DC'，
∴∠DAC'=∠DC'A=72°，
∵AB//CD，
∴∠DAB=180°-∠ADC=108°，
∴∠BAC'=∠DAB-∠DAC'=36°，
∴∠ABC'=∠BAC'=36°，
∴AC'=BC'，
设AC'=BC'=x，
∵∠ABC'=∠ABD，∠BAC'=∠ADB=36°，
∴△BAC'∽△BDA，
∴BABD=BC'BA，
∴2x+2=x2，
∴x= 5-1或x=- 5-1(舍去)，
∴AC'=BC'= 5-1，
∵A'D//B'C'，
∴∠A'DC'=∠BC'B'=72°，
∴∠BPC'=180°-∠BC'P-∠ABD=72°，
∴∠BC'P=∠BPC'=72°，
∴BC'=BP= 5-1，
∴AP=AB-BP=3- 5，
∴BPAP= 5-13- 5= 5+12，
故选：B．
连接BC'，AC'，根据正五边形的内角和先求出∠CDA'=108°，再根据菱形和旋转的性质可得CD=AD=DC'=AB=2，AB//CD，A'D//B'C'，∠ADC=∠A'DC'=72°，∠CDC'=∠ADA'，从而可得∠CDC'=∠ADC'=36°，进而可得点D，C'，B在同一条直线上，然后求出∠ABC'=∠BAC'=36°，从而可设AC'=BC'=x，再证明△BAC'∽△BDA，利用相似三角形的性质求出BC'的长，最后再证明△BPC'是等腰三角形，从而可得BC'=BP= 5-1，进而求出AP的长，进行计算即可解答．
本题考查了相似三角形的判定与性质，菱形的性质，旋转的性质，正多边形和圆，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
10.A
解析：解：设y'=(x-x1)(x-x2)，则x1、x2是函数y'和x轴的交点的横坐标，
而y=(x-x1)(x-x2)+1=y'+1，
即函数y'向上平移1个单位得到函数y，
则两个函数的图象如下图所示(省略了y轴)，
从图象看，x1故选A．
设y'=(x-x1)(x-x2)，而y=(x-x1)(x-x2)+1=y'+1，即函数y'向上平移1个单位得到函数y，通过画出函数大致图象即可求解．
本题考查函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质．
11.x≤4
解析：解：x-13≤1，
去分母，得：x-1≤3，
移项及合并同类项，得：x≤4，
故答案为：x≤4．
根据解一元一次不等式的方法，可以求得该不等式的解集．
本题考查解一元一次不等式，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．
12.9
解析：解：∵S2=15[(5-x-)2+(8-x-)2+(13-x-)2+(14-x-)2+(5-x-)2]，
∴x-=15×(5+8+13+14+5)=9．
故答案为：9．
根据题目中的式子，可以得到x-的值，从而可以解答本题．
本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差及平均数的定义．
13.22
解析：解：由平移的性质可知：GF=BC=7，BF=4，△ABC≌△EFG，
∴S△ABC=S△EFG，
∴S△ABC-S△EBM=S△EFG-S△EBM，即S阴影部分=S梯形MBFG，
∵BC=7，CM=3，
∴BM=BC-CM=4，
∴S阴影部分=S梯形MBFG=12×(4+7)×4=22，
故答案为：22．
根据平移的性质得到GF=BC=7，BF=4，△ABC≌△EFG，根据梯形面积公式计算，得到答案．
本题考查的是平移的性质，平移不改变图形的形状和大小、经过平移，对应点所连的线段平行且相等．
14. 10
解析：解：如图，连结OD，OE，OF，设⊙O半径为r，

∵∠C=90°，AC=4，BC=3，
∴AB= AC2+BC2=5，
∵⊙O是△ABC的内切圆，分别与AC、BC、AB相切于点D、E、F，
∴AC⊥OD，AB⊥OF，BC⊥OE，且OF=OD=OE=r，
∴四边形OECF是正方形，
∴CE=CD=OD=r，
∴AD=AF=AC-CD=4-r，BF=BE=BC-CE=3-r，
∵AF+BF=AB=5，
∴3-r+4-r=5，
∴r=1．
∴OD=CD=1，
∴AD=3．
∴AO= AD2+OD2= 10．
故答案为： 10．
如图，连结OD，OE，OF，设⊙O半径为r，根据勾股定理得到AB= AC2+BC2=5，根据切线的性质得到AC⊥OD，AB⊥OF，BC⊥OE，且OF=OD=OE=r，根据正方形的性质得到CE=CD=OD=r，根据勾股定理得到AO= AD2+OD2= 10．
本题考查了三角形的内切圆与内心，切线的性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握切线的性质．
15.-4
解析：解：∵AB⊥x轴，CD⊥x轴，E为OC的中点，
∴B为OD的中点，
∴BE为△CDO的中位线．
设点B的坐标为(b,0)，则D(2b,0)，A(b,kb)，C(2b,k2b)，E(b,k4b).
∴DB=|b|，AE=kb-k4b，
∴S△ACE=12|b|(kb-k4b)=32．
∵b<0，
∴-12b(kb-k4b)=32，
解得k=-4．
故答案为：-4．
设点B的坐标为(b,0)，然后分别表示出D，A，C，E的坐标，最后根据三角形面积公式可得方程，求解可得答案．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是设出点C的坐标，利用点C的横坐标表示出A、E点的坐标．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，利用反比例函数图象上点的坐标特征表示出点的坐标是关键．
16.①②③
解析：解：如图所示，延长GF交AD于点H，连接CF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADF=∠CDF=45°，AD=CD，AD//BC，
在△ADF和△CDF中，
AD=CD∠ADF=∠CDFDF=DF，
∴△ADF≌△CDF(SAS)，
∴AF=CF，∠DAF=∠DCF，
∵AD//BC，
∴∠AHF=∠CGF，
∵FG⊥AE，
∴∠HAF+∠AHF=90°，
∴∠HAF+∠CGF=90°，
∵∠DCF+∠GCF=90°，
∴∠CGF=∠GCF，
∴FG=FC=AF，
∴△AGF是等腰直角三角形，故①正确；
∴∠FAG=45°；
将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABM，过点A作AN⊥GE于点N，
由旋转的性质可知，∠MAE=90°，AM=AE，BM=DE，∠ABM=∠ADE=90°，
∴∠ABM+∠ABG=180°，即B、M、G三点共线，
∵∠FAG=45°，
∴∠MAG=∠MAE-∠FAG=45°，
在△AMG和△AEG中，
AM=AE∠MAG=∠EAGAG=AG，
∴△AMG≌△AEG(SAS)，
∴GE=MG，
∴GE=GM=BG+BM=BG+DE，故②正确；
∵△AMG≌△AEG，
∴AN=AB，
∵AN⊥GE，即AN为点A到EG的距离，
∴点A到EG的距离等于正方形的边长，故③正确；
设BC=CD=3x，BG=y，则CG=3x-y，
∵点E是点D的三等分点，
当CE=2x，DE=x时，
由②可知，EG=DE+BG=x+y，
在Rt△CGE中，CG2+CE2=GE2，
∴(3x-y)2+(2x)2=(x+y)2，
整理得：y=32x，
∴BGBC=12；
当CE=x，DE=2x时，
由②可知，EG=DE+BG=2x+y，
在Rt△CGE中，CG2+CE2=GE2，
∴(3x-y)2+x2=(2x+y)2，
整理得：y=35x，
∴BGBC=15
综上所述，当点E运动到CD的三等分点时，BGBC=12或BGBC=15，故④错误，
故答案为：①②③．
如图所示，延长GF交AD于H，连接CF，根据正方形的性质，易证△ADF≌△CDF(SAS)，得到AF=CF，∠DAF=∠DCF，再利用平行线的性质，证明∠AHF=∠CGF，进而推出∠CGF=∠GCF，得到FG=FC=AF，即可证明△AGF是等腰直角三角形，故①正确；则∠FAG=45°，将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABM，过点A作AN⊥GE于点N，根据旋转和正方形的性质，可证B、M、G三点共线，△AMG≌△AEG(SAS)，得到GE=MG，则GE=BG+DE，故②正确；根据全等三角形的性质，得到AN=AB，即点A到EG的距离等于正方形的边长，故③正确；设BC=CD=3x，BG=y，则CG=3x-y，分两种情况讨论：当CE=2x，DE=x时，EG=x+y，利用勾股定理求出y=32x，得到BGBC=12；当CE=x，DE=2x时，同理可得BGBC=15，则④错误，即可得到答案．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理等知识，利用分类讨论的思想解决问题，作辅助线构造全等三角形是解题关键．
17.解：原式=3 2-4× 22+2-1
=3 2-2 2+2-1
= 2+1．
解析：先算开方、乘方化简绝对值，再代入特殊角的三角函数值算乘法，最后算加减．
本题考查了实数的混合运算，掌握二次根式的化简、“a0=1(a≠0)”、绝对值的意义及特殊角的三角函数值是解决本题的关键．
18.解：原式=(2-x2-x-22-x)⋅(x-2)2x
=xx-2⋅(x-2)2x
=x-2，
∵x-2≠0，x≠0，
∴x≠2和0，
当x=-2时，原式=-2-2=-4．
解析：根据分式的混合运算法则按原式化简，根据分式有意义的条件确定x的值，代入计算即可．
本题考查的是分式的化简求值、分式有意义的条件，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
19.解：(1)如图所示：PR即为所求；

(2)AC=RP，理由如下：
∵BQ=CP，
∴BQ+BP=CP+BP，
∴QP=BC，
由作图过程可知：∠PQM=∠CBA，QR=AB，
∴△PQM≌△CBA(SAS)，
∴AC=RP．
解析：(1)根据基本作图方法即可完成作图；
(2)由作图过程可得∠PQM=∠CBA，QR=AB，证明△PQM≌△CBA(SAS)，即可解决问题．
本题考查了作图-复杂作图，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
20.证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC．
∴∠DAE=∠AEB．
∵AB=AE，
∴∠AEB=∠B．
∴∠B=∠DAE．
在△ABC和△AED中，
AB=AE∠B=∠DAEAD=BC，
∴△ABC≌△EAD(SAS)，
∴DE=AC．
解析：在△ABC和△EAD中已经有一条边和一个角分别相等，根据平行的性质和等边对等角得出∠B=∠DAE即可证明△ABC≌△EAD，进而利用全等三角形的性质解答即可．
主要考查了平行四边形的基本性质和全等三角形的判定及性质．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
21.100 144°
解析：解：(1)本次调查的学生共有：30÷30%=100(人)，
∴扇形统计图中表示D选项的扇形圆心角的度数是360°×40100=144°，
喜欢B类项目的人数有：100-30-10-40=20(人)，
故答案为：100，144°，
补全条形统计图如图所示：

(2)由题意得：1200×40100=480(人)，
答：估计选择“唱歌”的学生约有480人；
(3)画树形图如下：

共有12种等可能的情况，其中被选取的两人恰好是甲和乙的有2种情况，
∴被选取的两人恰好是甲和乙的概率是212=16．
(1)根据A项目的人数和所占的百分比求出总人数，即可解决问题；
(2)用该校的总人数乘以选择“唱歌”的学生所占的比例即可；
(3)画出树状图，共有12种等可能的情况，其中被选取的两人恰好是甲和乙的有2种情况，再由概率公式求解即可．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．
22.解：(1)设甲种灯笼单价为x元/对，则乙种灯笼的单价为(x+9)元/对，由题意得：
3120x=4200x+9，
解得x=26，
经检验，x=26是原方程的解，且符合题意，
∴x+9=26+9=35，
答：甲种灯笼单价为26元/对，乙种灯笼的单价为35元/对．
(2)①y=(50+x-35)(98-2x)=-2x2+68x+1470，
答：y与x之间的函数解析式为：y=-2x2+68x+1470．
②∵a=-2<0，
∴函数y有最大值，该二次函数的对称轴为：x=-b2a=17，
物价部门规定其销售单价不高于每对65元，
∴x+50≤65，
∴x≤15，
∵x<17时，y随x的增大而增大，
∴当x=15时，y最大=2040．
答：乙种灯笼的销售单价为65元时，一天获得利润最大，最大利润是2040元．
解析：本题属于分式方程和二次函数的应用题综合．由于前后步骤有联系，第一问解对，后面才能做对．本题还需要根据问题的实际意义来确定销售单价的取值，本题中等难度．
(1)设甲种灯笼单价为x元/对，则乙种灯笼的单价为(x+9)元/对，根据用3120元购进甲灯笼与用4200元购进乙灯笼的数量相同，列分式方程可解；
(2)①利用总利润等于每对灯笼的利润乘以卖出的灯笼的实际数量，可以列出函数的解析式；
②由函数为开口向下的二次函数，可知有最大值，结合问题的实际意义，可得答案．
23.(1)证明：∵AC=BC，
∴∠ACB=∠ABC，
∵EB=ED，
∴∠EBD=∠D．
∵CD⊥AC，
∴∠A+∠D=90°，
∴∠ABC+∠EBD=90°，
∴∠CBE=180°-(∠ABC+∠EBD)=90°．
∴OB⊥BE，
∵OB是⊙O的半径，
∴BE为⊙O的切线；
(2)解：设CD与⊙O交与点G，连接BF，BG，如图，

∵BC为⊙O的直径，
∵∠CFB=∠CGB=90°，
∵∠ACD=90°，
∴四边形CFBG为矩形．
∴BG=FC．
在Rt△AFB中，
∵AF=2，tanA=2=BFAF，
∴BF=4．
设AC=BC=x，则CF=x-2．
∵CF2+BF2=BC2，
∴(x-2)2+42=x2，
解得：x=5，
∴FC=3，BC=5．
∴BG=3．
∵∠CBE=90°，BG⊥CE，
∴△CBG∽△BGE．
∴BGCG=GEBG，
∴34=EG3，
∴EG=94．
∴BE= BG2+EG2=154．
解析：(1)利用等腰三角形的性质，直角三角形的两个锐角互余和圆的切线的判定定理解答即可；
(2)设CD与⊙O交与点G，连接BF，BG，利用圆周角定理，矩形的判定与性质和直角三角形的边角关系定理求得BF，设AC=BC=x，则CF=x-2，利用勾股定理列出方程求得x值，再利用相似三角形的判定与性质解答即可得出结论．
本题主要考查了圆的切线的判定，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，圆周角定理，矩形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，相似三角形的判定与性质，连接直径所对的圆周角是解决此类问题常添加的辅助线．
24.(1)证明：连接AC，如图1，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD//BC，AB=BC，
∵∠BAD=120°，
∴∠B=∠ADC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ACF=∠CBE=60°，AC=CB，
∵CF=BE，
∴△ACF≌△CBE(SAS)，
∴∠CAF=∠BCE，
∵∠BCE+∠ACE=∠ACB=60°，
∴∠APE=∠ACE+∠CAF=60°；
(2)解：延长PC至G，使CG=AP，如图2，
由(1)可知∠AFC=∠CEB，
∵AD//BC，AB//CD，
∴∠DAF+∠AFC=180°，∠DCG=∠AEC，
∴∠CEB+∠DAF=180°，
∵∠AEC+∠CEB=180°，
∴∠DAF=∠DCG，
又∵AF=CG，AD=CD，
∴△ADF≌△CDG(SAS)，
∴DF=DG，∠ADF=∠CDG，
同理得出∠ADC=60°，
∴∠ADC=∠PDG=60°，
∴△PDG是等边三角形，
∴PD=PG=PC+PA=6；
(3)解：∵∠APE=60°，
∴∠APC=120°，
∵∠ADC=60°，
∴∠APC+∠ADC=120°+60°=180°，
∴A、P、C、D四点共圆，
∴当PD为直径时，PD最大，
设圆心为O，连接OA，OC，过点O作OM⊥AC于点M，如图3，
∴∠AOC=2∠ADC=120°，
∵OA=OC，
∴∠OAM=30°，
∵AC=AB=2 3，OM⊥AC，
∴AM=12AC= 3，
∴OM= 33AM=1，
∴OA=2，
∴PD的最大值为4．
解析：(1)连接AC，由菱形的性质得出AD//BC，AB=BC，证出△ABC是等边三角形，得出∠ACF=∠CBE=60°，AC=CB，证明△ACF≌△CBE(SAS)，由全等三角形的性质得出∠CAF=∠BCE，则可得出结论；
(2)延长PC至G，使CG=AP，由(1)可知∠AFC=∠CEB，证明△ADF≌△CDG(SAS)，由全等三角形的性质得出DF=DG，∠ADF=∠CDG，同理得出∠ADC=60°，由等边三角形的性质得出答案；
(3)证出A、P、C、D四点共圆，收当PD为直径时，PD最大，设圆心为O，连接OA，OC，过点O作OM⊥AC于点M，求出∠AOC=2∠ADC=120°，由直角三角形的性质可得出答案．
本题是四边形综合题，考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，四点共圆，直角三角形的性质，熟练掌握菱形的性质和等边三角形的性质是解题的关键．
25.解：(1)∵A(4,0)，
∴OA=4，
又∵tan∠BAC=34，
∴OB=3，
∴B(0,3)．
设抛物线解析式为y=a(x-4)(x+1)，
把(0,3)代入得：-4a=3，解得a=-34，
即抛物线解析式为y=-34(x-4)(x+1)=-34x2+94x+3．
(2)∵点P的横坐标为3，
∴P(3,3)．
∴BP//x轴，
设直线AB的解析式为y=mx+n，则4m+n=0n=3，解得m=-34n=3，
∴y=-34x+3．
把直线AB向右平移3个单位过点P，交抛物线于E点，则S△PAB=S△FAB，
则直线PE的解析式为：y=-34(x-3)+3=-34x+214，
解方程组y=-34x+214y=-34x2+94x+3，
解得x=1y=92或x=3y=3(舍)．
∴E点坐标为E(1,92)．
当把直线AB向左平移3个单位，交抛物线于E点，则S△PAB=S△FAB，
则平移后直线为y=-34(x+3)+3=-34x+34，
解方程组y=-34x+34y=-34x2+94x+3，
解得x=2+ 7y=-34 7-34或x=2- 7y=34 7-34(舍)，
∴E点坐标为E(2+ 7,-34 7-34)或(2+ 7,34 7-34)．
综上所述，E点坐标为(2+ 7,-34 7-34)或(2+ 7,34 7-34)，(1,92)．
(3)∵QE//BO，
∴∠DQE=∠BOD，∠QED=∠OBD，
∴△DQE∽△DOB，
∴DODQ=OBQE=BDDE，
∴S1S2=DEBD=QEBO，S2S3=DQOD=QEBO，
∴S1S2+S2S3=2QEOB=23QE．
设Q点坐标为Q(x,-34x2+94x+3)，则点E坐标为E(x,-34x+3)，
∴QE=-34x2+94x+3-(-34x+3)=-34x2+3x=-34(x-2)2+3，
∴当x=2时，QE最大为3，即S1S2+S2S3的最大值为2．
解析：(1)根据tan∠BAC=34得到B(0,3)，利用待定系数法解题即可；
(2)求出直线AB的解析式为y=-34x+3，然后可以求出BP//x轴，利用同底等高的两个三角形面积相等，通过平移得到直线的解析式，联立方程解题即可；
(3)由QE//BO得到DODQ=OBQE=BDDE，进而表示S1S2+S2S3=23QE，设Q点坐标为Q(x,-34x2+94x+3)，则点E坐标为E(x,-34x+3)，表示QE的长并配方找到最大值解题即可．
本题考查待定系数法求二次函数的解析式，一次函数的解析式，平移，相似和二次函数的顶点坐标，综合型较强，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．