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第10讲 圆单元复习 北师大版数学九年级下册精品讲义
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第20讲 圆单元复习 目标导航 知识精讲 知识点01 圆的定义、性质及与圆有关的角 1．圆的定义 (1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆. (2)圆是到定点的距离等于定长的所有点组成的图形. 注意： ①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可； ②圆是一条封闭曲线. 2．圆的性质 (1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心. 在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等. (2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴. (3)垂径定理及推论： ①垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧. ②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. ③弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧. ④平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦. ⑤平行弦夹的弧相等. 注意： 在垂经定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径） 3．与圆有关的角 (1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角. 圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数. (2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角. 圆周角的性质： ①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半. ②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等. ③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角. ④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形. ⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角. 注意： (1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交. (2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中. 知识点02 与圆有关的位置关系 1．判定一个点P是否在⊙O上 设⊙O的半径为，OP=，则有 点P在⊙O 外； 点P在⊙O 上； 点P在⊙O 内. 注意： 点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系. 2．判定几个点在同一个圆上的方法 当时，在⊙O 上. 3．直线和圆的位置关系 设⊙O 半径为R，点O到直线的距离为. (1)直线和⊙O没有公共点直线和圆相离. (2)直线和⊙O有唯一公共点直线和⊙O相切. (3)直线和⊙O有两个公共点直线和⊙O相交. 4．切线的判定、性质 (1)切线的判定： ①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. ②到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线. (2)切线的性质： ①圆的切线垂直于过切点的半径. ②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点. ③经过切点作切线的垂线经过圆心. (3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长. (4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 知识点03 三角形的外接圆与内切圆、圆内接四边形与外切四边形 1．三角形的内心、外心 (1)三角形的内心：是三角形三条角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示. (2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示. 注意： (1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形； (2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径). (3) 三角形的外心与内心的区别： 2．圆内接四边形和外切四边形 (1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角. (2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等. 知识点04 圆中有关计算 1．圆中有关计算 圆的面积公式：，周长. 圆心角为、半径为R的弧长. 圆心角为，半径为R，弧长为的扇形的面积. 弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算. 注意： (1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的， 即； (2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量. (3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆； (4)扇形两个面积公式之间的联系：. 能力拓展 考法01 圆的有关概念及性质 【典例1】如图，在中，点B、O、C和点A、O、D分别在同一条直线上，则图中有（ ）条弦． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】解：图中的弦有AE、AD、CD这3条 故选B 【典例2】如图，在中，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，， ∴ , 故选A． 【即学即练】如图，是的直径， ，，则的度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵ ， ， ∴， ∴． 故答案为：D． 考法02 弧、弦、圆心角、圆周角的关系及垂径定理 【典例3】如图，在中，如果＝2 ，则下列关于弦AB与弦AC之间关系正确的是（ ） A．AB＝AC B．AB＝ 2AC C．AB ＞2AC D．AB ＜ 2AC 【答案】D 【详解】如图，取弧的中点，连接，， 则＝2 ＝2 ∵＝2 ∴ ＝= ． 在中，， ，即． 故选：D． 【即学即练】如图，在 ⊙O中，，D、E分别是半径OA，OB的中点，连接OC，AC，BC，CD，CE，则下列结论不一定成立的是（ ） A．AC＝BC B．CD＝CE C．∠ACD＝∠BCE D．CD⊥OA 【答案】D 【详解】在 ⊙O中，， ，故A选项正确； 在与中， ， ， ， D、E分别是半径OA，OB的中点, ， 在与中， ， ， ，，故B、C选项正确； 和不一定相等， 和不一定垂直，故D选项不成立． 故选：D． 【典例4】如图，是的直径，于E，，，则为（ ） A．17 B．30 C．34 D．36 【答案】C 【详解】解：连接，如下图： 设半径为，则，， ∵，是的直径， ∴，， 由勾股定理可得：，即 解得， ， 故选：C 【即学即练】如图，是的弦，半径为，，则弦的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图：过点O作于C， 则，． 在中，， ∴． ∴． 故选：C． 考法03 与圆有关的位置关系 【典例5】已知的半径为，点P到圆心O的距离为，则点P和的位置关系为（ ） A．点P在圆内 B．点P在圆上 C．点P在圆外 D．不能确定 【答案】C 【详解】解：的半径为，点P到圆心O的距离为，， ∴点P在外． 故选：C． 【即学即练】在直角坐标平面内，如果点在以为圆心，2为半径的圆内，那么a的取值范围是（ ） A． B． C． D．． 【答案】C 【详解】解：∵点在以为圆心，2为半径的圆内， ∴， 则， 解得， 故选：C． 【典例6】已知的面积为，若点O到直线的距离为，则直线与的位置关系是（ ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 【答案】A 【详解】解：设的半径为， 由的面积为可得，解得 ∵， ∴直线与相交， 故选：A 【即学即练】如图，两个同心圆的半径分别为3，5，直线l与大交于点A，B，若，则直线l与小的位置关系是（ ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 【答案】C 【详解】解：如图，作于． ， ， 在中，， ， 直线与相离． 故选：C． 考法04 圆中有关的计算 【典例7】如图，是的外接圆，，则的度数为（ ） A．45° B．55° C．70° D．75° 【答案】B 【详解】解：是的外接圆，， ． 故选：B． 【即学即练】如图，在中，半径垂直弦于点D．若，则的大小为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， ， ， ， 故选：A． 【典例8】若圆的半径为9，则的圆心角所对的弧长为（ ） A．3 B．6 C． D． 【答案】D 【详解】解：. 故选：D． 【即学即练】半径为1的圆中，扇形的圆心角为，则扇形的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， 故选：C． 考法05 圆与其他知识的综合运用 【典例9】如图，与正方形的两边，相切，且与相切于点．若的半径为4，且，则的长度为（ ） A．5 B． C． D．6 【答案】D 【详解】解：如图，设与正方形的边、切于点F、H， 则， ∵， ∴四边形是正方形， ∵的半径为4，且， ∴， ∴， ∵与相切于点E， ∴， 故选：D． 【即学即练】已知过正方形顶点，，且与相切，若正方形边长为，则圆的半径为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解析：如图，作于点，连接，设圆的半径是， 则在直角中，，， ， ， 解得． 故选：B． 分层提分 题组A 基础过关练 1．已知⊙O中最长的弦为8cm，则⊙O的半径为( )cm． A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【详解】解：∵⊙O中最长的弦为8cm，即直径为8cm， ∴⊙O的半径为4cm． 故选：B. 2．圆锥的地面半径为10cm．它的展开图扇形半径为30cm，则这个扇形圆心角的度数是（ ） A．60° B．90° C．120° D．150° 【答案】C 【详解】解：设圆锥的展开图扇形的圆心角的度数为． ∵圆锥的底面圆的周长＝2π•10＝20π， ∴圆锥的展开图扇形的弧长＝20π， ∴20π＝， ∴n＝120°． 故答案选：C． 3．如图，△ABC的内切圆⊙O分别与AB，BC，AC相切于点D，E，F，且AD＝2，BC＝5，则△ABC的周长为（ ） A．16 B．14 C．12 D．10 【答案】B 【详解】解：∵△ABC的内切圆⊙O分别与AB，BC，AC相切于点D，E，F，且AD＝2， ∴AF＝AD＝2，BD＝BE，CE=CF， ∵BE+CE＝BC＝5， ∴BD+CF＝BE+CE =BC＝5， ∴△ABC的周长＝2+2+5+5＝14， 故选：B． 4．已知AB、CD是两个不同圆的弦，如AB＝CD，那么弧AB与弧CD的关系是（ ） A．弧AB=弧CD B．弧AB＞弧CD C．弧AB＜弧CD D．不能确定 【答案】D 【详解】解：在同圆和等圆中相等的弦所对的弧才会相等，要注意同圆和的条件，本题是两个不同的圆，所以无法判断两弦所对的弧的大小. 故选D． 5．如图，已知A，B，C，D是圆上的点，弧AD＝弧BC，AC，BD交于点E，则下列结论正确的是( ) A．AB＝AD B．AC＝BD C．BE＝CD D．BE＝AD 【答案】B 【详解】连接BC， ∵ ∴ ∴ ∴AC＝BD 故选：B 6．如图工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，如图所示．则这个小圆孔的宽口AB的长度是（ ） A．5mm B．6mm C．8mm D．10mm 【答案】C 【详解】 解：连接AB，OA，过点O作OD⊥AB于点D， ∵钢珠的直径是10mm，钢珠顶端离零件表面的距离为8mm， ∴OA=5mm，OD=8-5=3mm， ∵OD⊥AB， ∴在Rt△OAD中，AD===4mm， ∴AB=2AD=8mm． 故选C． 7．如图，是的直径，弦于点E，若，，则的长为______． 【答案】1 【详解】解：∵是的直径，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为1． 8．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD＝6，EB＝2，则⊙O的半径为_____． 【答案】 【详解】连接OC， ∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD， ∴CE＝DE＝CD＝×6＝3， 设⊙O的半径为x， 则OC＝x，OE＝OB﹣BE＝x﹣2， 在Rt△OCE中，OC2＝OE2+CE2， ∴x2＝32+（x﹣2）2， 解得：x＝， ∴⊙O的半径为， 故答案为． 9．如图，直线，垂足为P，测得． （1）用尺规在图中作一段劣弧，使得它在A，C两点分别与直线和相切； （2）求该圆弧的长． 【答案】（1）答案见解析；（2）． 【详解】解：（1）分别从点A，C处作垂线，两垂线相交于点O，以点O为圆心，OA为半径作圆，弧AC就是所求的劣弧； （2）由题意及作图过程可得：∠AOC=90°， ∵∠ACP=45°，AC=6cm， ∴OA==cm， ∴弧AC==cm． 10．如图，已知AB是⊙O的直径，． （1）求的度数； （2）过点D作，垂足为E，DE的延长线交⊙O于点F．若，求EF的长． 【答案】（1）60°；（2） 【详解】解：（1）如图所示，连结， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴． （2）∵，，， ∴， ∵，即， ∴， ∵，且是直径， ∴． 题组B 能力提升练 1．已知OA=4，以O为圆心，r为半径作⊙O．若使点A在⊙O内，则r的值可以是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【详解】∵已知OA＝4，以O为圆心，r为半径作⊙O．若使点A在⊙O内， ∴点A到圆心的距离应该小于圆的半径， ∴圆的半径应该大于4． 故选：D． 2．如图，半圆的圆心为0，直径AB的长为12，C为半圆上一点，∠CAB＝30°，的长是（ ） A．12π B．6π C．5π D．4π 【答案】D 【详解】解：如图，连接OC， ∵OA＝OC，∠CAB＝30°， ∴∠C＝∠CAB＝30°， ∴∠AOC＝120°， ∴弧AC的长度l＝． 故选：D． 3．过⊙O内一点M的最长弦为10cm，最短弦长为8cm，则OM的长为（ ） A．9cm B．6cm C．3cm D．cm 【答案】C 【详解】解：由题意知，最长的弦为直径，最短的弦为垂直于直径的弦， 如图所示．直径ED⊥AB于点M， 则ED=10cm，AB=8cm， 由垂径定理知：点M为AB中点， ∴AM=4cm， ∵半径OA=5cm， ∴OM2=OA2-AM2=25-16=9， ∴OM=3cm． 故选：C． 4．如图，在中，，cm，cm．是边上的一个动点，连接，过点作于，连接，在点变化的过程中，线段的最小值是（ ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【详解】如图， 由题意知，， 在以为直径的的上（不含点、可含点， 最短时，即为连接与的交点（图中点点）， 在中，，，则． ， 长度的最小值， 故选：． 5．如图，△ACB中，CA＝CB＝4，∠ACB＝90°，点P为CA上的动点，连BP，过点A作AM⊥BP于M．当点P从点C运动到点A时，线段BM的中点N运动的路径长为（ ） A．π B．π C．π D．2π 【答案】A 【详解】解：设AB的中点为Q，连接NQ，如图所示： ∵N为BM的中点，Q为AB的中点， ∴NQ为△BAM的中位线， ∵AM⊥BP， ∴QN⊥BN， ∴∠QNB＝90°， ∴点N的路径是以QB的中点O为圆心，AB长为半径的圆交CB于D的， ∵CA＝CB＝4，∠ACB＝90°， ∴ABCA＝4，∠QBD＝45°， ∴∠DOQ＝90°， ∴为⊙O的周长， ∴线段BM的中点N运动的路径长为：π， 故选：A． 6．如图的矩形ABCD中，E为的中点，有一圆过C、D、E三点，且此圆分别与相交于P、Q两点．甲、乙两人想找到此圆的圆心O，其作法如下： （甲）作∠DEC的角平分线L，作的中垂线，交L于O点，则O即为所求； （乙）连接，两线段交于一点O，则O即为所求 对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确？（ ） A．两人皆正确 B．两人皆错误 C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确 【答案】A 【详解】解：甲，∵矩形ABCD，E为AB的中点， ∴AE=EB，∠A=∠B=，AD=BC， ∴△ADE≌△BCE（SAS）， ∴ED=EC， ∴△DEC为等腰三角形， ∵射线L为∠DEC的角平分线， ∴射线L为线段CD的中垂线， ∴O为两中垂线之交点， 即O为△CDE的外心， ∴O为此圆圆心． 乙，∵∠ADC=，∠DCB=， ∴PC、QD为此圆直径， ∴PC与DQ的交点O为此圆圆心，因此甲、乙两人皆正确． 故选：A． 7．如图，半圆形纸片AMB的半径为1 cm，用如图所示的方法将纸片对折，使对折后半圆弧的中点M与圆心O重合，则折痕CD的长为________ . 【答案】cm 【详解】作MO交CD于E，则MO⊥CD，连接CO， 对折后半圆弧的中点M与圆心O重合， 则ME=OE=OC， 在直角三角形COE中，CE=， 折痕CD的长为2×=（cm）． 故答案为cm 8．△ABC中，AB＝4，AC＝2，以BC为边在△ABC外作正方形BCDE，BD、CE交于点O，则线段AO的最大值为______． 【答案】 【详解】解：如图：以AO为边作等腰直角△AOF，且∠AOF＝90° ∵四边形BCDE是正方形 ∴BO＝CO，∠BOC＝90° ∵△AOF是等腰直角三角形 ∴AO＝FO，AFAO ∵∠BOC＝∠AOF＝90° ∴∠AOB＝∠COF，且BO＝CO，AO＝FO ∴△AOB≌△FOC（SAS） ∴AB＝CF＝4 若点A，点C，点F三点不共线时，AF＜AC+CF； 若点A，点C，点F三点共线时，AF＝AC+CF ∴AF≤AC+CF＝2+4＝6 ∴AF的最大值为6 ∵AFAO ∴AO的最大值为3． 故答案为：3 9．如图所示，要把残破的轮片复制完整，已知弧上的三点A，B，C． (1)用尺规作图法找出所在圆的圆心；（保留作图痕迹，不写作法） (2)设是等腰三角形，底边，腰，求圆片的半径R． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）解：作法：分别作和的垂直平分线，设交点为O，则O为所求圆的圆心； （2）连接、，交于E， ∵， ∴， ∴， 在中，， 设的半径为R，在中， ∴， 即， ∴， 答：圆片的半径R为． 10．如图，在中，，是的平分线，的平分线交于点，点在上，以点为圆心，的长为半径的圆经过点，交于点，交于点． (1)求证：为的切线； (2)当，时，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：（1）连接，如图： 平分， ， ， ， ， //， ，平分， ， ， 为的切线； （2）解：连接，如图： ，平分， ，， ，， ，， ， 设，则， 是切线， ， ， ，解得， ，， 为直径， ， //， ， ，即， ． 题组C 培优拔尖练 1．如图所示，△ABC是⊙O的内接三角形．若∠ABC=70°，则∠AOC的度数等于( ) A．140° B．130° C．120° D．110° 【答案】A 【详解】因为∠ABC和∠AOC是同一条弧AC所对的圆周角和圆心角，所以∠AOC=2∠ABC×70°=140°. 2．AB是⊙O的弦，∠AOB=80°，则弦AB所对的圆周角是（ ） A．40° B．140°或40° C．20° D．20°或160° 【答案】B 【详解】 解：当圆周角的顶点在优弧上时，根据圆周角定理，得圆周角： ∠ACB＝； 当圆周角的顶点在劣弧上时，根据圆内接四边形的性质，得此圆周角： ∠ADB＝180°−∠ACB＝180°−40°＝140°； 所以弦AB所对的圆周角是40°或140°． 故答案选：B． 3．如图，PA、PB切⊙O于点A、B，PA＝10，CD切⊙O于点E，交PA、PB于C、D两点，则△PCD的周长是（ ） A．10 B．18 C．20 D．22 【答案】C 【详解】解：∵PA、PB切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E， ∴PA＝PB＝10，CA＝CE，DE＝DB， ∴△PCD的周长是PC+CD+PD ＝PC+AC+DB+PD ＝PA+PB ＝10+10 ＝20． 故选：C． 4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，则下列结论正确的是（ ） A．AB=AD B．BC=CD C． D．∠BCA=∠DCA 【答案】B 【详解】解：A、∵∠ACB与∠ACD的大小关系不确定， ∴AB与AD不一定相等，故此选项不符合题意； B、∵AC平分∠BAD， ∴∠BAC=∠DAC， ∴BC=CD，，故此选项符合题意； C、∵∠ACB与∠ACD的大小关系不确定， ∴与不一定相等，不符合题意； D、∠BCA与∠DCA的大小关系不确定，不符合题意． 故答案为：B． 5．如图，⊙O中，弦AB⊥CD，垂足为E，F为的中点，连接AF、BF、AC，AF交CD于M，过F作FH⊥AC，垂足为G，以下结论：①；②HC＝BF：③MF＝FC：④，其中成立的个数是（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：∵F为的中点， ∴，故①正确， ∴∠FCM＝∠FAC， ∵∠FCG＝∠ACM+∠FCM，∠AME＝∠FMC＝∠ACM+∠FAC， ∴∠AME＝∠FMC＝∠FCG＞∠FCM， ∴FC＞FM，故③错误， ∵AB⊥CD，FH⊥AC， ∴∠AEM＝∠CGF＝90°， ∴∠CFH+∠FCG＝90°，∠BAF+∠AME＝90°， ∴∠CFH＝∠BAF， ∴， ∴HC＝BF，故②正确， ∵∠AGF＝90°， ∴∠CAF+∠AFH＝90°， ∴＝180°， ∴＝180°， ∴，故④正确， 故选：C． 6．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，其中AB＝4，∠AOC＝120°，P为⊙O上的动点，连AP，取AP中点Q，连CQ，则线段CQ的最大值为( ) A．3 B．1+ C．1+3 D．1+ 【答案】D 【详解】解：如图，连接OQ，作CH⊥AB于H． ∵AQ=QP， ∴OQ⊥PA， ∴∠AQO=90°， ∴点Q的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK， 当点Q在CK的延长线上时，CQ的值最大， 在Rt△OCH中，∵∠COH=60°，OC=2， ∴OH= OC=1，CH=， 在Rt△CKH中，CK= =， ∴CQ的最大值为1+， 故选D． 7．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝60°，AB＝4，点P是BC边上的动点，过点c作直线记的垂线，垂足为Q，当点P从点C运动到点B时，点Q的运动路径长为_______． 【答案】 【详解】解：∵AQ⊥CQ， ∴∠AQC＝90°， ∴当点P从点C运动到点B时，点Q的运动的轨迹是以AC为直径的半圆上，路径是120度的弧长， 在Rt△ABC中，∵AB＝4，∠B＝30°， ∴ACAB＝2， ∴点Q的运动路径长为π 8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB＝2．分别以A、B、C为圆心，以AC为半径画弧，三条弧与边AB所围成的阴影部分的面积是_____．（保留π） 【答案】2﹣ 【详解】∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB＝2． ∴AC =1，S△ABC=×2×2=2， ∵三条弧所对的圆心角的和为180°， ∴三个扇形的面积和==， ∴三条弧与边AB所围成的阴影部分的面积=S△ABC−三个扇形的面积和=2﹣ 故答案为：2﹣ 9．如图，内接于，是的直径，为上一点，，延长交于点，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【详解】（1）， ， ， ， ， ， 是直径， ， ， 是的切线； （2）， ， ， 设，则， ，， 在中，， 即， 解得（舍去）， ． 10．如图，矩形ABCD是⊙O的内接矩形，⊙O半径为5，AB＝8，点E、F分别是弦CD、BC上的动点，连结EF，∠EAF始终保持等于45°． （1）求AD的长度． （2）已知DE＝，求BF的长度． （3）试探究△AEF的面积是否存在最小值，若存在，请求出它的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）AD＝6；（2）BF＝2；（3）△AEF的面积存在最小值，最小值48﹣48． 【详解】（1）如图，连接BD， 在矩形ABCD中，∠DAB＝90°， ∴BD是⊙O的直径， ∵⊙O半径为5， ∴BD＝10， ∴AD＝ ＝6； （2）如图，过点E作EG⊥AE交AF的延长线于点G，过点G作MN⊥AB，分别交直线DC、AB点M、N， 在矩形ABCD中，∠D＝∠DAB＝90°， ∴∠EMG＝∠D＝90°， ∴四边形ADMN是矩形， ∴∠EGM+∠MEG＝90°， ∴∠AED+∠MEG＝90°， ∴∠EGM＝∠AED， 在△AEG中，∠EAF＝45°， ∴∠EAF＝∠EGF＝45°， ∴AE＝EG， ∴△AED≌△EGM（AAS）， ∴MG＝DE＝ ，EM＝AD＝6， ∴AN＝DE+EM＝ ，NG＝MN﹣MG＝ ， ∵MNADBC， ∴△ABF∽△ANG， ∴ ， 解得BF＝2； （3）△AEF的面积存在最小值，理由如下： 过点E作EH⊥AB于H，交AF于点P，作△APE的外接圆⊙I，连接IA、IP、IE，过I作IQ⊥CD于点Q，设⊙I的半径为r， ∵∠EAF＝45°， ∴∠EIP＝90°，∠IEP＝45°，∠IEQ＝45°， ∴EP＝ r，IQ＝r， ∵IA+IQ≥AD， ∴r+r≥6， ∴r≥12﹣6 ， ∴S△AEF＝AB•EP＝4r， ∴S△AEF≥4（12﹣6）， ∴S△AEF ﹣48， ∴△AEF的面积存在最小值，最小值48﹣48． 课程标准1.理解圆及其有关概念，理解弧、弦、圆心角的关系；探索并了解点与圆、直线与圆的位置关系，探索并掌握圆周角与圆心角的关系、直径所对的圆周角的特征； 2.了解切线的概念，探索并掌握切线与过切点的半径之间的位置关系，能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线； 3.了解三角形的内心和外心，探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆； 4.了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形的面积；名称确定方法图形性质外心(三角形外接圆的圆心)三角形三边中垂线的交点(1)OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形内部内心(三角形内切圆的圆心)三角形三条角平分线的交点(1)到三角形三边距离相等；(2)OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB； (3)内心在三角形内部.
第20讲 圆单元复习 目标导航 知识精讲 知识点01 圆的定义、性质及与圆有关的角 1．圆的定义 (1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆. (2)圆是到定点的距离等于定长的所有点组成的图形. 注意： ①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可； ②圆是一条封闭曲线. 2．圆的性质 (1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心. 在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等. (2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴. (3)垂径定理及推论： ①垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧. ②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. ③弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧. ④平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦. ⑤平行弦夹的弧相等. 注意： 在垂经定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径） 3．与圆有关的角 (1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角. 圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数. (2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角. 圆周角的性质： ①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半. ②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等. ③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角. ④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形. ⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角. 注意： (1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交. (2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中. 知识点02 与圆有关的位置关系 1．判定一个点P是否在⊙O上 设⊙O的半径为，OP=，则有 点P在⊙O 外； 点P在⊙O 上； 点P在⊙O 内. 注意： 点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系. 2．判定几个点在同一个圆上的方法 当时，在⊙O 上. 3．直线和圆的位置关系 设⊙O 半径为R，点O到直线的距离为. (1)直线和⊙O没有公共点直线和圆相离. (2)直线和⊙O有唯一公共点直线和⊙O相切. (3)直线和⊙O有两个公共点直线和⊙O相交. 4．切线的判定、性质 (1)切线的判定： ①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. ②到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线. (2)切线的性质： ①圆的切线垂直于过切点的半径. ②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点. ③经过切点作切线的垂线经过圆心. (3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长. (4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 知识点03 三角形的外接圆与内切圆、圆内接四边形与外切四边形 1．三角形的内心、外心 (1)三角形的内心：是三角形三条角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示. (2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示. 注意： (1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形； (2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径). (3) 三角形的外心与内心的区别： 2．圆内接四边形和外切四边形 (1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角. (2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等. 知识点04 圆中有关计算 1．圆中有关计算 圆的面积公式：，周长. 圆心角为、半径为R的弧长. 圆心角为，半径为R，弧长为的扇形的面积. 弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算. 注意： (1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的， 即； (2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量. (3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆； (4)扇形两个面积公式之间的联系：. 能力拓展 考法01 圆的有关概念及性质 【典例1】如图，在中，点B、O、C和点A、O、D分别在同一条直线上，则图中有（ ）条弦． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】解：图中的弦有AE、AD、CD这3条 故选B 【典例2】如图，在中，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，， ∴ , 故选A． 【即学即练】如图，是的直径， ，，则的度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵ ， ， ∴， ∴． 故答案为：D． 考法02 弧、弦、圆心角、圆周角的关系及垂径定理 【典例3】如图，在中，如果＝2 ，则下列关于弦AB与弦AC之间关系正确的是（ ） A．AB＝AC B．AB＝ 2AC C．AB ＞2AC D．AB ＜ 2AC 【答案】D 【详解】如图，取弧的中点，连接，， 则＝2 ＝2 ∵＝2 ∴ ＝= ． 在中，， ，即． 故选：D． 【即学即练】如图，在 ⊙O中，，D、E分别是半径OA，OB的中点，连接OC，AC，BC，CD，CE，则下列结论不一定成立的是（ ） A．AC＝BC B．CD＝CE C．∠ACD＝∠BCE D．CD⊥OA 【答案】D 【详解】在 ⊙O中，， ，故A选项正确； 在与中， ， ， ， D、E分别是半径OA，OB的中点, ， 在与中， ， ， ，，故B、C选项正确； 和不一定相等， 和不一定垂直，故D选项不成立． 故选：D． 【典例4】如图，是的直径，于E，，，则为（ ） A．17 B．30 C．34 D．36 【答案】C 【详解】解：连接，如下图： 设半径为，则，， ∵，是的直径， ∴，， 由勾股定理可得：，即 解得， ， 故选：C 【即学即练】如图，是的弦，半径为，，则弦的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图：过点O作于C， 则，． 在中，， ∴． ∴． 故选：C． 考法03 与圆有关的位置关系 【典例5】已知的半径为，点P到圆心O的距离为，则点P和的位置关系为（ ） A．点P在圆内 B．点P在圆上 C．点P在圆外 D．不能确定 【答案】C 【详解】解：的半径为，点P到圆心O的距离为，， ∴点P在外． 故选：C． 【即学即练】在直角坐标平面内，如果点在以为圆心，2为半径的圆内，那么a的取值范围是（ ） A． B． C． D．． 【答案】C 【详解】解：∵点在以为圆心，2为半径的圆内， ∴， 则， 解得， 故选：C． 【典例6】已知的面积为，若点O到直线的距离为，则直线与的位置关系是（ ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 【答案】A 【详解】解：设的半径为， 由的面积为可得，解得 ∵， ∴直线与相交， 故选：A 【即学即练】如图，两个同心圆的半径分别为3，5，直线l与大交于点A，B，若，则直线l与小的位置关系是（ ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 【答案】C 【详解】解：如图，作于． ， ， 在中，， ， 直线与相离． 故选：C． 考法04 圆中有关的计算 【典例7】如图，是的外接圆，，则的度数为（ ） A．45° B．55° C．70° D．75° 【答案】B 【详解】解：是的外接圆，， ． 故选：B． 【即学即练】如图，在中，半径垂直弦于点D．若，则的大小为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， ， ， ， 故选：A． 【典例8】若圆的半径为9，则的圆心角所对的弧长为（ ） A．3 B．6 C． D． 【答案】D 【详解】解：. 故选：D． 【即学即练】半径为1的圆中，扇形的圆心角为，则扇形的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， 故选：C． 考法05 圆与其他知识的综合运用 【典例9】如图，与正方形的两边，相切，且与相切于点．若的半径为4，且，则的长度为（ ） A．5 B． C． D．6 【答案】D 【详解】解：如图，设与正方形的边、切于点F、H， 则， ∵， ∴四边形是正方形， ∵的半径为4，且， ∴， ∴， ∵与相切于点E， ∴， 故选：D． 【即学即练】已知过正方形顶点，，且与相切，若正方形边长为，则圆的半径为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解析：如图，作于点，连接，设圆的半径是， 则在直角中，，， ， ， 解得． 故选：B． 分层提分 题组A 基础过关练 1．已知⊙O中最长的弦为8cm，则⊙O的半径为( )cm． A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【详解】解：∵⊙O中最长的弦为8cm，即直径为8cm， ∴⊙O的半径为4cm． 故选：B. 2．圆锥的地面半径为10cm．它的展开图扇形半径为30cm，则这个扇形圆心角的度数是（ ） A．60° B．90° C．120° D．150° 【答案】C 【详解】解：设圆锥的展开图扇形的圆心角的度数为． ∵圆锥的底面圆的周长＝2π•10＝20π， ∴圆锥的展开图扇形的弧长＝20π， ∴20π＝， ∴n＝120°． 故答案选：C． 3．如图，△ABC的内切圆⊙O分别与AB，BC，AC相切于点D，E，F，且AD＝2，BC＝5，则△ABC的周长为（ ） A．16 B．14 C．12 D．10 【答案】B 【详解】解：∵△ABC的内切圆⊙O分别与AB，BC，AC相切于点D，E，F，且AD＝2， ∴AF＝AD＝2，BD＝BE，CE=CF， ∵BE+CE＝BC＝5， ∴BD+CF＝BE+CE =BC＝5， ∴△ABC的周长＝2+2+5+5＝14， 故选：B． 4．已知AB、CD是两个不同圆的弦，如AB＝CD，那么弧AB与弧CD的关系是（ ） A．弧AB=弧CD B．弧AB＞弧CD C．弧AB＜弧CD D．不能确定 【答案】D 【详解】解：在同圆和等圆中相等的弦所对的弧才会相等，要注意同圆和的条件，本题是两个不同的圆，所以无法判断两弦所对的弧的大小. 故选D． 5．如图，已知A，B，C，D是圆上的点，弧AD＝弧BC，AC，BD交于点E，则下列结论正确的是( ) A．AB＝AD B．AC＝BD C．BE＝CD D．BE＝AD 【答案】B 【详解】连接BC， ∵ ∴ ∴ ∴AC＝BD 故选：B 6．如图工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，如图所示．则这个小圆孔的宽口AB的长度是（ ） A．5mm B．6mm C．8mm D．10mm 【答案】C 【详解】 解：连接AB，OA，过点O作OD⊥AB于点D， ∵钢珠的直径是10mm，钢珠顶端离零件表面的距离为8mm， ∴OA=5mm，OD=8-5=3mm， ∵OD⊥AB， ∴在Rt△OAD中，AD===4mm， ∴AB=2AD=8mm． 故选C． 7．如图，是的直径，弦于点E，若，，则的长为______． 【答案】1 【详解】解：∵是的直径，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为1． 8．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD＝6，EB＝2，则⊙O的半径为_____． 【答案】 【详解】连接OC， ∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD， ∴CE＝DE＝CD＝×6＝3， 设⊙O的半径为x， 则OC＝x，OE＝OB﹣BE＝x﹣2， 在Rt△OCE中，OC2＝OE2+CE2， ∴x2＝32+（x﹣2）2， 解得：x＝， ∴⊙O的半径为， 故答案为． 9．如图，直线，垂足为P，测得． （1）用尺规在图中作一段劣弧，使得它在A，C两点分别与直线和相切； （2）求该圆弧的长． 【答案】（1）答案见解析；（2）． 【详解】解：（1）分别从点A，C处作垂线，两垂线相交于点O，以点O为圆心，OA为半径作圆，弧AC就是所求的劣弧； （2）由题意及作图过程可得：∠AOC=90°， ∵∠ACP=45°，AC=6cm， ∴OA==cm， ∴弧AC==cm． 10．如图，已知AB是⊙O的直径，． （1）求的度数； （2）过点D作，垂足为E，DE的延长线交⊙O于点F．若，求EF的长． 【答案】（1）60°；（2） 【详解】解：（1）如图所示，连结， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴． （2）∵，，， ∴， ∵，即， ∴， ∵，且是直径， ∴． 题组B 能力提升练 1．已知OA=4，以O为圆心，r为半径作⊙O．若使点A在⊙O内，则r的值可以是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【详解】∵已知OA＝4，以O为圆心，r为半径作⊙O．若使点A在⊙O内， ∴点A到圆心的距离应该小于圆的半径， ∴圆的半径应该大于4． 故选：D． 2．如图，半圆的圆心为0，直径AB的长为12，C为半圆上一点，∠CAB＝30°，的长是（ ） A．12π B．6π C．5π D．4π 【答案】D 【详解】解：如图，连接OC， ∵OA＝OC，∠CAB＝30°， ∴∠C＝∠CAB＝30°， ∴∠AOC＝120°， ∴弧AC的长度l＝． 故选：D． 3．过⊙O内一点M的最长弦为10cm，最短弦长为8cm，则OM的长为（ ） A．9cm B．6cm C．3cm D．cm 【答案】C 【详解】解：由题意知，最长的弦为直径，最短的弦为垂直于直径的弦， 如图所示．直径ED⊥AB于点M， 则ED=10cm，AB=8cm， 由垂径定理知：点M为AB中点， ∴AM=4cm， ∵半径OA=5cm， ∴OM2=OA2-AM2=25-16=9， ∴OM=3cm． 故选：C． 4．如图，在中，，cm，cm．是边上的一个动点，连接，过点作于，连接，在点变化的过程中，线段的最小值是（ ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【详解】如图， 由题意知，， 在以为直径的的上（不含点、可含点， 最短时，即为连接与的交点（图中点点）， 在中，，，则． ， 长度的最小值， 故选：． 5．如图，△ACB中，CA＝CB＝4，∠ACB＝90°，点P为CA上的动点，连BP，过点A作AM⊥BP于M．当点P从点C运动到点A时，线段BM的中点N运动的路径长为（ ） A．π B．π C．π D．2π 【答案】A 【详解】解：设AB的中点为Q，连接NQ，如图所示： ∵N为BM的中点，Q为AB的中点， ∴NQ为△BAM的中位线， ∵AM⊥BP， ∴QN⊥BN， ∴∠QNB＝90°， ∴点N的路径是以QB的中点O为圆心，AB长为半径的圆交CB于D的， ∵CA＝CB＝4，∠ACB＝90°， ∴ABCA＝4，∠QBD＝45°， ∴∠DOQ＝90°， ∴为⊙O的周长， ∴线段BM的中点N运动的路径长为：π， 故选：A． 6．如图的矩形ABCD中，E为的中点，有一圆过C、D、E三点，且此圆分别与相交于P、Q两点．甲、乙两人想找到此圆的圆心O，其作法如下： （甲）作∠DEC的角平分线L，作的中垂线，交L于O点，则O即为所求； （乙）连接，两线段交于一点O，则O即为所求 对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确？（ ） A．两人皆正确 B．两人皆错误 C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确 【答案】A 【详解】解：甲，∵矩形ABCD，E为AB的中点， ∴AE=EB，∠A=∠B=，AD=BC， ∴△ADE≌△BCE（SAS）， ∴ED=EC， ∴△DEC为等腰三角形， ∵射线L为∠DEC的角平分线， ∴射线L为线段CD的中垂线， ∴O为两中垂线之交点， 即O为△CDE的外心， ∴O为此圆圆心． 乙，∵∠ADC=，∠DCB=， ∴PC、QD为此圆直径， ∴PC与DQ的交点O为此圆圆心，因此甲、乙两人皆正确． 故选：A． 7．如图，半圆形纸片AMB的半径为1 cm，用如图所示的方法将纸片对折，使对折后半圆弧的中点M与圆心O重合，则折痕CD的长为________ . 【答案】cm 【详解】作MO交CD于E，则MO⊥CD，连接CO， 对折后半圆弧的中点M与圆心O重合， 则ME=OE=OC， 在直角三角形COE中，CE=， 折痕CD的长为2×=（cm）． 故答案为cm 8．△ABC中，AB＝4，AC＝2，以BC为边在△ABC外作正方形BCDE，BD、CE交于点O，则线段AO的最大值为______． 【答案】 【详解】解：如图：以AO为边作等腰直角△AOF，且∠AOF＝90° ∵四边形BCDE是正方形 ∴BO＝CO，∠BOC＝90° ∵△AOF是等腰直角三角形 ∴AO＝FO，AFAO ∵∠BOC＝∠AOF＝90° ∴∠AOB＝∠COF，且BO＝CO，AO＝FO ∴△AOB≌△FOC（SAS） ∴AB＝CF＝4 若点A，点C，点F三点不共线时，AF＜AC+CF； 若点A，点C，点F三点共线时，AF＝AC+CF ∴AF≤AC+CF＝2+4＝6 ∴AF的最大值为6 ∵AFAO ∴AO的最大值为3． 故答案为：3 9．如图所示，要把残破的轮片复制完整，已知弧上的三点A，B，C． (1)用尺规作图法找出所在圆的圆心；（保留作图痕迹，不写作法） (2)设是等腰三角形，底边，腰，求圆片的半径R． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）解：作法：分别作和的垂直平分线，设交点为O，则O为所求圆的圆心； （2）连接、，交于E， ∵， ∴， ∴， 在中，， 设的半径为R，在中， ∴， 即， ∴， 答：圆片的半径R为． 10．如图，在中，，是的平分线，的平分线交于点，点在上，以点为圆心，的长为半径的圆经过点，交于点，交于点． (1)求证：为的切线； (2)当，时，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：（1）连接，如图： 平分， ， ， ， ， //， ，平分， ， ， 为的切线； （2）解：连接，如图： ，平分， ，， ，， ，， ， 设，则， 是切线， ， ， ，解得， ，， 为直径， ， //， ， ，即， ． 题组C 培优拔尖练 1．如图所示，△ABC是⊙O的内接三角形．若∠ABC=70°，则∠AOC的度数等于( ) A．140° B．130° C．120° D．110° 【答案】A 【详解】因为∠ABC和∠AOC是同一条弧AC所对的圆周角和圆心角，所以∠AOC=2∠ABC×70°=140°. 2．AB是⊙O的弦，∠AOB=80°，则弦AB所对的圆周角是（ ） A．40° B．140°或40° C．20° D．20°或160° 【答案】B 【详解】 解：当圆周角的顶点在优弧上时，根据圆周角定理，得圆周角： ∠ACB＝； 当圆周角的顶点在劣弧上时，根据圆内接四边形的性质，得此圆周角： ∠ADB＝180°−∠ACB＝180°−40°＝140°； 所以弦AB所对的圆周角是40°或140°． 故答案选：B． 3．如图，PA、PB切⊙O于点A、B，PA＝10，CD切⊙O于点E，交PA、PB于C、D两点，则△PCD的周长是（ ） A．10 B．18 C．20 D．22 【答案】C 【详解】解：∵PA、PB切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E， ∴PA＝PB＝10，CA＝CE，DE＝DB， ∴△PCD的周长是PC+CD+PD ＝PC+AC+DB+PD ＝PA+PB ＝10+10 ＝20． 故选：C． 4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，则下列结论正确的是（ ） A．AB=AD B．BC=CD C． D．∠BCA=∠DCA 【答案】B 【详解】解：A、∵∠ACB与∠ACD的大小关系不确定， ∴AB与AD不一定相等，故此选项不符合题意； B、∵AC平分∠BAD， ∴∠BAC=∠DAC， ∴BC=CD，，故此选项符合题意； C、∵∠ACB与∠ACD的大小关系不确定， ∴与不一定相等，不符合题意； D、∠BCA与∠DCA的大小关系不确定，不符合题意． 故答案为：B． 5．如图，⊙O中，弦AB⊥CD，垂足为E，F为的中点，连接AF、BF、AC，AF交CD于M，过F作FH⊥AC，垂足为G，以下结论：①；②HC＝BF：③MF＝FC：④，其中成立的个数是（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：∵F为的中点， ∴，故①正确， ∴∠FCM＝∠FAC， ∵∠FCG＝∠ACM+∠FCM，∠AME＝∠FMC＝∠ACM+∠FAC， ∴∠AME＝∠FMC＝∠FCG＞∠FCM， ∴FC＞FM，故③错误， ∵AB⊥CD，FH⊥AC， ∴∠AEM＝∠CGF＝90°， ∴∠CFH+∠FCG＝90°，∠BAF+∠AME＝90°， ∴∠CFH＝∠BAF， ∴， ∴HC＝BF，故②正确， ∵∠AGF＝90°， ∴∠CAF+∠AFH＝90°， ∴＝180°， ∴＝180°， ∴，故④正确， 故选：C． 6．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，其中AB＝4，∠AOC＝120°，P为⊙O上的动点，连AP，取AP中点Q，连CQ，则线段CQ的最大值为( ) A．3 B．1+ C．1+3 D．1+ 【答案】D 【详解】解：如图，连接OQ，作CH⊥AB于H． ∵AQ=QP， ∴OQ⊥PA， ∴∠AQO=90°， ∴点Q的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK， 当点Q在CK的延长线上时，CQ的值最大， 在Rt△OCH中，∵∠COH=60°，OC=2， ∴OH= OC=1，CH=， 在Rt△CKH中，CK= =， ∴CQ的最大值为1+， 故选D． 7．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝60°，AB＝4，点P是BC边上的动点，过点c作直线记的垂线，垂足为Q，当点P从点C运动到点B时，点Q的运动路径长为_______． 【答案】 【详解】解：∵AQ⊥CQ， ∴∠AQC＝90°， ∴当点P从点C运动到点B时，点Q的运动的轨迹是以AC为直径的半圆上，路径是120度的弧长， 在Rt△ABC中，∵AB＝4，∠B＝30°， ∴ACAB＝2， ∴点Q的运动路径长为π 8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB＝2．分别以A、B、C为圆心，以AC为半径画弧，三条弧与边AB所围成的阴影部分的面积是_____．（保留π） 【答案】2﹣ 【详解】∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB＝2． ∴AC =1，S△ABC=×2×2=2， ∵三条弧所对的圆心角的和为180°， ∴三个扇形的面积和==， ∴三条弧与边AB所围成的阴影部分的面积=S△ABC−三个扇形的面积和=2﹣ 故答案为：2﹣ 9．如图，内接于，是的直径，为上一点，，延长交于点，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【详解】（1）， ， ， ， ， ， 是直径， ， ， 是的切线； （2）， ， ， 设，则， ，， 在中，， 即， 解得（舍去）， ． 10．如图，矩形ABCD是⊙O的内接矩形，⊙O半径为5，AB＝8，点E、F分别是弦CD、BC上的动点，连结EF，∠EAF始终保持等于45°． （1）求AD的长度． （2）已知DE＝，求BF的长度． （3）试探究△AEF的面积是否存在最小值，若存在，请求出它的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）AD＝6；（2）BF＝2；（3）△AEF的面积存在最小值，最小值48﹣48． 【详解】（1）如图，连接BD， 在矩形ABCD中，∠DAB＝90°， ∴BD是⊙O的直径， ∵⊙O半径为5， ∴BD＝10， ∴AD＝ ＝6； （2）如图，过点E作EG⊥AE交AF的延长线于点G，过点G作MN⊥AB，分别交直线DC、AB点M、N， 在矩形ABCD中，∠D＝∠DAB＝90°， ∴∠EMG＝∠D＝90°， ∴四边形ADMN是矩形， ∴∠EGM+∠MEG＝90°， ∴∠AED+∠MEG＝90°， ∴∠EGM＝∠AED， 在△AEG中，∠EAF＝45°， ∴∠EAF＝∠EGF＝45°， ∴AE＝EG， ∴△AED≌△EGM（AAS）， ∴MG＝DE＝ ，EM＝AD＝6， ∴AN＝DE+EM＝ ，NG＝MN﹣MG＝ ， ∵MNADBC， ∴△ABF∽△ANG， ∴ ， 解得BF＝2； （3）△AEF的面积存在最小值，理由如下： 过点E作EH⊥AB于H，交AF于点P，作△APE的外接圆⊙I，连接IA、IP、IE，过I作IQ⊥CD于点Q，设⊙I的半径为r， ∵∠EAF＝45°， ∴∠EIP＝90°，∠IEP＝45°，∠IEQ＝45°， ∴EP＝ r，IQ＝r， ∵IA+IQ≥AD， ∴r+r≥6， ∴r≥12﹣6 ， ∴S△AEF＝AB•EP＝4r， ∴S△AEF≥4（12﹣6）， ∴S△AEF ﹣48， ∴△AEF的面积存在最小值，最小值48﹣48． 课程标准1.理解圆及其有关概念，理解弧、弦、圆心角的关系；探索并了解点与圆、直线与圆的位置关系，探索并掌握圆周角与圆心角的关系、直径所对的圆周角的特征； 2.了解切线的概念，探索并掌握切线与过切点的半径之间的位置关系，能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线； 3.了解三角形的内心和外心，探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆； 4.了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形的面积；名称确定方法图形性质外心(三角形外接圆的圆心)三角形三边中垂线的交点(1)OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形内部内心(三角形内切圆的圆心)三角形三条角平分线的交点(1)到三角形三边距离相等；(2)OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB； (3)内心在三角形内部.
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