高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册第六章 计数原理6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理教案配套课件ppt

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册第六章 计数原理6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理教案配套课件ppt，共36页。PPT课件主要包含了自学导引，预习自测，课堂互动，题型1组数问题，素养达成等内容，欢迎下载使用。

两个计数原理的区别与联系
用前6个大写英文字母和1～9九个阿拉伯数字，以A1，A2，…，B1，B2，…的方式给教室里的座位编号，总共能编出多少个不同的号码？
提示：编写一个号码要先确定一个英文字母，后确定一个阿拉伯数字，我们可以用树状图列出所有可能的号码.如图：由于前6个英文字母中的任意一个都能与9个数字中的任意一个组成一个号码，而且它们各不相同，因此不同的号码共有6×9＝54(个).
用0，1，2，3，4五个数字，(1)可以排成多少个三位数字的电话号码？(2)可以排成多少个三位数？(3)可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数？解：(1)三位数字的电话号码，首位可以是0，数字也可以重复，因此每个位置都有5种排法，所以共有5×5×5＝125(个).
(2)三位数的首位不能为0，但可以有重复数字，首先考虑首位的排法，除0外共有4种方法，第二、三位可以排0，因此共有4×5×5＝100(个).(3)被2整除的数即偶数，末位数字可取0，2，4，因此可以分两类：一类是末位数字是0，则有4×3＝12(种)排法；一类是末位数字不是0，则末位有2种排法，即2或4，再排首位，因0不能在首位，所以有3种排法，十位有3种排法，因此有2×3×3＝18(种)排法．因而共有12＋18＝30(种)排法．故可以排成30个能被2整除的无重复数字的三位数．
【例题迁移】　(改变问法)由本例中的五个数字可组成多少个无重复数字的四位奇数？解：完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事，可以分四步：第一步定个位，只能从1，3中任取一个，有2种方法；第二步定首位，把1，2，3，4中除去用过的一个剩下的3个中任取一个，有3种方法；第三步排百位，有3种方法；第四步排十位，有2种方法．由分步乘法计数原理知，共有2×3×3×2＝36(个).
组数问题的原则及注意点(1)明确特殊位置或特殊数字，是我们采用“分类”还是“分步”的关键．一般按特殊位置(末位或首位)分类，分类中再按特殊位置(或特殊元素)优先的策略分步完成；如果正面分类较多，可采用间接法反面分类求解．(2)要注意数字“0”不能排在两位或两位以上的数的最高位．
1．从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为(　　)A．24　　　　　B．18　　　　　C．12　　　　　D．6【答案】B【解析】由于题目要求是奇数，那么对于此三位数可以分成两种情况：奇偶奇，偶奇奇．如果是奇偶奇：个位有3种情况，十位有2种情况，百位有2种情况，共12种；如果是偶奇奇：个位有3种情况，十位有2种情况，百位不能是0，有1种情况，共6种．因此总共有12＋6＝18个奇数．故选B．
高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有(　　)A．16种　　　　B．18种　　　　C．37种　　　　D．48种【答案】C【解析】方法一(直接法)以甲工厂分配班级情况进行分类，共分为三类：第一类，三个班级都去甲工厂，此时分配方案只有1种情况；
题型2　选(抽)取与分配问题
第二类，有两个班级去甲工厂，剩下的一个班级去另外三个工厂，其分配方案共有3×3＝9(种)；第三类，有一个班级去甲工厂，另外两个班级去其他三个工厂，其分配方案共有3×3×3＝27(种).综上所述，不同的分配方案有1＋9＋27＝37(种).方法二(间接法)先计算3个班级自由选择去何工厂的总数，再扣除甲工厂无人去的情况，即有4×4×4－3×3×3＝37(种)分配方案．
解决抽取(分配)问题的方法(1)当涉及对象数目不大时，一般选用列举法、树状图法、框图法或者图表法．(2)当涉及对象数目很大时，一般有两种方法：①直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理．一般地，若抽取是有顺序的就按分步进行；若是按对象特征抽取的，则按分类进行．②间接法：去掉限制条件，计算所有的抽取方法数，然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可．
2．安排甲、乙、丙3名护士去6所医院实习，每所医院至多2人，则不同的分配方案共有多少种？解：方法一(直接法)以甲、乙、丙3名护士是否分到同一所医院进行分类：第一类，3名护士分到不同的医院，此时分配方案有6×5×4＝120(种)；第二类，甲、乙分到同一所医院，丙分到另外5所的其中一所，此时分配方案有6×5＝30(种)；第三类，甲、丙分到同一所医院，乙分到另外5所的其中一所，同理可得分配方案有30种；
第四类，乙、丙分到同一所医院，甲分到另外5所的其中一所，同理可得分配方案有30种．综上所述，不同的分配方案有120＋30＋30＋30＝210(种).方法二(间接法)由题意，每名护士有6种分法，共有6×6×6＝216(种)，其中3名护士分到同一所医院的分配方案有6种，故3名护士不分到同一所医院的分法有216－6＝210(种).
(1)将3种作物全部种植在如图所示的5块试验田中，每块种植一种作物，且相邻的试验田不能种同一种作物，则不同的种植方法共有________种．
题型3　涂色与种植问题
(2)将红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示“田”字形的4个小方格内，每格涂一种颜色，相邻两格涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？
【答案】(1)42【解析】分别用a，b，c代表3种作物，先安排第一块田，有3种方法，不妨设放入a，再安排第二块田，有两种方法b或c，不妨设放入b，第三块也有2种方法a或c.1．若第三块田放c：
第四、五块田分别有2种方法，共有2×2＝4(种)方法．2．若第三块田放a：
第四块有b或c，共2种方法，①若第四块放c：第五块有2种方法；②若第四块放b：第五块只能种作物c，共1种方法．综上所述，共有3×2×(2×2＋2＋1)＝42(种)方法．
(2)解：第1个小方格可以从5种颜色中任取一种颜色涂上，有5种不同的涂法．①当第2个、第3个小方格涂不同颜色时，有4×3＝12(种)不同的涂法，第4个小方格有3种不同的涂法．由分步乘法计数原理可知，有5×12×3＝180(种)不同的涂法．②当第2个、第3个小方格涂相同颜色时，有4种涂法，由于相邻两格不同色，因此第4个小方格也有4种不同的涂法．由分步乘法计数原理可知，不同的涂法有5×4×4＝80(种).由分类加法计数原理可得，共有180＋80＝260(种)不同的涂法．
【例题迁移】　(变换条件)将例3(2)中的区域改为如图所示，其他条件均不变，则不同的涂法共有多少种？
解：依题意，可分两类情况：①④不同色；①④同色．第一类：①④不同色，则①②③④所涂的颜色各不相同，我们可将这件事情分成4步来完成．第一步涂①，从5种颜色中任选一种，有5种涂法；第二步涂②，从余下的4种颜色中任选一种，有4种涂法；第三步涂③与第四步涂④时，分别有3种涂法和2种涂法．于是由分步乘法计数原理得，不同的涂法为5×4×3×2＝120(种).
第二类：①④同色，则①②③不同色，我们可将涂色工作分成三步来完成．第一步涂①④，有5种涂法；第二步涂②，有4种涂法；第三步涂③，有3种涂法．于是由分步乘法计数原理得，不同的涂法有5×4×3＝60(种).综上所述，所求的涂色方法共有120＋60＝180(种).
解决涂色(种植)问题的常用方法(1)按区域的不同，以区域为主分步计数，用分步乘法计数原理分析．(2)以颜色为主分类讨论，适用于“区域、点、线段”等问题，用分类加法计数原理分析．(3)将空间问题平面化，转化为平面区域的涂色问题．种植问题按种植的顺序分步进行，用分步乘法计数原理计数或按种植品种恰当选取情况分类，用分类加法计数原理计数．
3．(2023年太原期中)如图，a省分别与b，c，d，e四省交界，且b，c，d互不交界，在地图上分别给各省地域涂色，要求相邻省涂不同色，现有5种不同颜色可供选用，则不同的涂色方案种数为(　　)A．480B．600C．720D．840【答案】C
【解析】依题意，按c与d涂的颜色相同和不同分成两类：若c与d涂同色，先涂d有5种方法，再涂a有4种方法，涂c有1种方法，涂e有3种方法，最后涂b有3种方法，由分步乘法计数原理得到不同的涂色方案有5×4×1×3×3＝180(种)；若c与d涂不同色，先涂d有5种方法，再涂a有4种方法，涂c有3种方法，涂e，b也各有3种方法，由分步乘法计数原理得到不同的涂色方案有5×4×3×3×3＝540(种).由分类加法计数原理得不同的涂色方案共有180＋540＝720(种).
有红、黄、蓝旗各3面，每次升1面、2面、3面在某一旗杆上纵向排列，表示不同的信号，顺序不同也表示不同的信号，共可以组成多少种不同的信号？错解：每次升1面旗，可组成3种不同的信号；每次升2面旗，可组成3×2＝6(种)不同的信号；每次升3面旗，可组成3×2×1＝6(种)不同的信号．根据分类加法计数原理知，共有不同的信号3＋6＋6＝15(种).
易错警示　分类计数时不要出现遗漏
易错防范：每次升2面或3面旗时，颜色可以相同．正解：每次升1面旗，可组成3种不同的信号；每次升2面旗，可组成3×3＝9(种)不同的信号；每次升3面旗，可组成3×3×3＝27(种)不同的信号．根据分类加法计数原理得，共可组成3＋9＋27＝39(种)不同的信号．
1．分类加法计数原理与分步乘法计数原理是两个最基本、也是最重要的原理，是解答后面将要学习的排列、组合问题，尤其是较复杂的排列、组合问题的基础．2．应用分类加法计数原理要求分类的每一种方法都能把事件独立完成；应用分步乘法计数原理要求各步均是完成事件必须经过的彼此独立的步骤．
3．一般是先分类再分步，分类时要设计好标准，设计好分类方案，防止重复和遗漏．4．若正面分类，种类比较多，而问题的反面种类比较少时，则使用间接法会简单一些．
1．(题型2)有A，B两种类型的车床各一台，现有甲、乙、丙三名工人，其中甲、乙都会操作两种车床，丙只会操作A种车床，要从这三名工人中选两名分别去操作这两种车床，则不同的选派方法有(　　)A．6种　　　　　B．5种　　　　　C．4种　　　　　D．3种【答案】C【解析】不同的选派情况可分为3类：若选甲、乙，有2种方法；若选甲、丙，有1种方法；若选乙、丙，有1种方法．根据分类加法计数原理知，不同的选派方法有2＋1＋1＝4(种).
2．(题型1)用0，1，…，9这10个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为(　　)A．243B．252C．261D．648【答案】B【解析】0，1，2，…，9共能组成9×10×10＝900(个)三位数，其中无重复数字的三位数有9×9×8＝648(个)，所以有重复数字的三位数有900－648＝252(个).
3．(题型3)如图所示，积木拼盘由A，B，C，D，E五块积木组成，若每块积木都要涂一种颜色，且为了体现拼盘的特色，相邻的区域需涂不同的颜色(如：A与B为相邻区域，A与D为不相邻区域)，现有五种不同的颜色可供挑选，则不同的涂色方法的种数是(　　)A．780B．840C．900D．960
【答案】D【解析】先涂A，有5种涂法，再涂B，因为B与A相邻，所以B的颜色只要与A不同即可，4种涂法，同理，C有3种涂法，D有4种涂法，E有4种涂法．由分步乘法计数原理，得不同的涂色方法种数为5×4×3×4×4＝960.
4．(题型2)甲、乙等5个志愿者被分配到A，B，C，D四个不同的岗位服务，每个岗位至少一个志愿者，则甲、乙两人各自独立承担一个岗位工作的分法共有________种．【答案】72【解析】由题意知本题是一个分步计数问题，设5个志愿者为甲、乙、丙、丁、戊．甲在A，B，C，D四个岗位中选一个，有4种选择；乙在剩下的三个岗位中选一个，有3种选择．丙、丁、戊三人只能选择剩下的两个岗位，每人有2个选择，总共有2×2×2＝8(种)选择，这8种里要去掉3个人都选择同一个地方的情况，即有8－2＝6(种)选择，故所求方法数为4×3×6＝72.