4 高一数学下学期期中模拟试卷（新高考题型 提高卷2）-2023-2024学年高一数学下学期期中期末高效复习（人教A版必修第二册）

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考试范围：第六章平面向量及其应用；第七章复数；第八章立体几何初步
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（2023春·安徽马鞍山·高二安徽省马鞍山市第二十二中学校考学业考试）在中，点D是AB的中点，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】因为点D是AB的中点，
所以
所以
故选：D.
2．（2023·福建漳州·统考三模）已知复数为复数的共轭复数，且满足，在复平面内对应的点在第二象限，则（ ）
A．B．C．1D．
【答案】C
【详解】设，在复平面内对应的点在第二象限，故，
则，即，
由，得，结合，解得，
则，故.
故选：C.
3．（2022春·浙江绍兴·高二校考学业考试）法国罗浮宫玻璃金字塔外表呈正四棱锥形状（如图所示），已知塔高，底宽，则塔身的表面积（精确到是 （可能用到的参考数据：，
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】如图，正四棱锥，底面，，，
则，所以，
作，则
所以该塔身的表面积
故选：．
4．（2023春·陕西西安·高一西北工业大学附属中学校考阶段练习）对于任意的平面向量，下列说法正确的是（ ）
A．若且，则B．若，且，则
C．若且，则D．
【答案】C
【详解】对A，若且，则当为零向量时，与不一定共线，即A错误；
对B，若，则，
又，所以，
因为与的夹角不一定相等，所以不一定成立，即B错误；
对C，若且，则，即C正确；
对D，因为与共线，与共线，
所以不一定成立，即D错误.
故选：C．
5．（2023春·内蒙古呼和浩特·高三统考阶段练习）已知两个圆锥有公共底面，且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，若圆锥底面面积是这个球面面积的，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】
如图，设圆锥与圆锥公共底面圆心为，两圆锥公共底面圆周上一点，底面半径，
设球心为，球的半径，
由已知，，∴，
∴在直角中，，
∵底面积相同的圆锥，高较大者体积较大，
∴体积较小圆锥的高，
体积较大圆锥的高，
∴体积较小者的高与体积较大者的高的比值为.
故选：A.
6．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，正六边形的边长为2，若P为该正六边形边上的动点，则的取值范围为（ ）
A．[2，6]B．[-2，6]C．[4，12]D．[-4，12]
【答案】B
【详解】解：建立如图所示的坐标系：
因为正六边形的边长为2，
所以，，，
设，
则，
所以，
由题意可知，
所以，
所以，
即.
故选：B
7．（2023春·河南·高三洛阳市第三中学校联考开学考试）在中，若内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，的平分线交AC于点D，且，则周长的最小值为（ ）
A．7B．C．D．4
【答案】C
【详解】由题可得，，即，
又，所以，则，
因为，所以，则，
所以，即，
又因为，，
所以，整理得，
所以，
解得或（舍去），
所以，当且仅当时，等号成立，
则，
故周长的最小值为.
故选：C.
.
8．（2023·上海·高二专题练习）如图，棱长为1的正方体中，为线段的中点，、分别为体对角线和棱上任意一点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．2
【答案】D
【详解】如图,连接,取中点,过作面，垂足为,
在正方体中,平面,且平面,
平面平面,
平面平面,且平面，
平面,
为的中点,
,
故,而对固定点,当时,最小,
此时由面，面，，又,
，且面，故面，又面,
则面面，根据三棱锥特点，可知，而易知为等腰直角三角形，可知为等腰直角三角形,
.
故选：D.
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9．（2023·全国·高三专题练习）若复数z满足，则（ ）
A．B．z的实部为1C．D．
【答案】BD
【详解】由得：，因此A错误，实部为1，则B正确，，故C错误，，故D正确.
故选:BD
10．（2023春·江苏常州·高一常州市北郊高级中学校考阶段练习）如图，设Ox，Oy是平面内相交成60°角的两条数轴，，分别是与x轴､y轴正方向同向的单位向量.若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系xOy中的坐标.若在坐标系xOy中，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．与的夹角为
【答案】BCD
【详解】,故A错，C对，，故B对，
，由于，故，故D对.
故选：BCD
11．（2023·山西晋中·统考二模）如图，在棱长为1的正方体中，则（ ）
A．B．三棱锥与三棱锥体积相等
C．与平面所成角的正弦值为D．点到平面的距离为
【答案】BCD
【详解】对于A，因为，所以异面直线与AC所成的角就是与AC所成的角．
因为，所以为等边三角形，，
即异面直线与AC所成的角为，故A错误；
对于B，易知．，
又，所以，故B正确；
对于C，连接，BD．
因为AC⊥平面，平面，所以．
同理可得，又，AC，平面，
所以平面，与平面所成的角θ为的余角，
，故C正确；
对于D，由C项知，，
所以与平面所成角的正弦值为，
所以到平面的距离为，故D正确．
故选：BCD.
12．（2023·全国·高一专题练习）锐角△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其外接圆O的半径，点D在边BC上，且，则下列判断正确的是（ ）
A．B．△BOD为直角三角形
C．△ABC周长的取值范围是（3，9]D．AD的最大值为
【答案】ABD
【详解】由题知，，由正弦定理可得，又△ABC为锐角三角形，所以，A正确；
连接OC，在中由余弦定理可得，又，所以，
在中，由余弦定理得，所以，即，故B正确；
△ABC周长
因为△ABC为锐角三角形，故，所以，所以，
所以，所以，故C错误；
易知，当A、O、D三点共线时取得最大值，所以AD的最大值为，D正确.
故选：ABD
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分.）
13．（2023·全国·高三专题练习）欧拉是十八世纪伟大的数学家，他巧妙地把自然对数的底数、虚数单位i、三角函数和联系在一起，得到公式，这个公式被誉为“数学的天桥”，根据该公式，可得_________．
【答案】
【详解】因为，
所以，
所以.
故答案为：.
14．（2023春·上海·高二校联考阶段练习）如图，已知正三棱柱的底面边长与侧棱长相等．蚂蚁甲从A点沿表面经过棱、爬到点，蚂蚁乙从B点沿表面经过棱爬到点．设，，若两只蚂蚁各自爬过的路程最短，则______
【答案】
【详解】如图所示，
将三棱柱沿着侧棱展开，又因为正三棱柱的底面边长与侧棱长相等，则同理
所以，
又因为，所以
所以.
故答案为：.
15．（2023·河南洛阳·洛阳市第三中学校联考一模）已知向量，，，若，，则在方向上的投影是______．
【答案】##
【详解】因为向量，，，所以．
因为，，所以，即，解得（负值舍去），
所以，，所以，
所以在方向上的投影为，
故答案为：
16．（2023秋·山东潍坊·高三统考期中）在中，点是上的点，平分面积是面积的2倍，且，则实数的取值范围为________；若的面积为1，当最短时，______.
【答案】 ##
【详解】由面积是面积的2倍，即，
如上图，过作交延长线于，又平分，
所以，即，且，故，
若，又，则且，，
△中，，可得，故；
由角平分线性质知：，则，
若，则，
又，即，则，故，
所以，可得，
由，
令，则，
所以时，即，此时，即.
故答案为：，.
四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）
17．（2023春·全国·高一专题练习）已知复数．
(1)若的实部与的模相等，求a的值；
(2)若复数在复平面上的对应点在第四象限，求a的取值范围．
【答案】(1)或
(2)
【详解】（1）依题意，，
因为的实部与的模相等，
所以，整理得，
解得或，
所以或．
（2）因为，又在复平面上的对应点在第四象限，
所以解得，
所以a的取值范围是．
18．（2023春·河北沧州·高一校考阶段练习）已知向量满足，且.
(1)求；
(2)求与的夹角.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1），故，
.
（2），设与的夹角为，，
则，，故.
19．（2023春·全国·高一专题练习）如图所示，圆锥SO的底面圆半径，母线.
(1)求此圆锥的体积和侧面展开图扇形的面积；
(2)过点O在圆锥底面作OA的垂线交底面圆圆弧于点P，设线段SO中点为M，求异面直线AM与PS所成角的余弦值
【答案】(1)；
(2)
【详解】（1）圆锥SO的底面圆半径，母线，所以圆锥的高为，
所以圆锥的体积
圆锥的侧面展开图扇形的面积
（2）在圆锥中，作，交于，则异面直线AM与PS所成角为，
，，，
所以，
所以异面直线AM与PS所成角的余弦值为.
20．（2023春·全国·高一专题练习）在临港滴水湖畔拟建造一个四边形的露营基地，如图ABCD所示.为考虑露营客人娱乐休闲的需求，在四边形ABCD区域中，将三角形ABD区域设立成花卉观赏区，三角形BCD区域设立成烧烤区，边AB、BC、CD、DA修建观赏步道，边BD修建隔离防护栏，其中米，米，.
(1)如果烧烤区是一个占地面积为9600平方米的钝角三角形，那么需要修建多长的隔离防护栏（精确到0.1米）？
(2)考虑到烧烤区的安全性，在规划四边形ABCD区域时，首先保证烧烤区的占地面积最大时，再使得花卉观赏区的面积尽可能大，则应如何设计观赏步道？
【答案】(1)247.4m
(2)应使得，来修建观赏步道.
【详解】（1），
解得：，
因为C是钝角，所以.
由余弦定理得：
，
故需要修建247.4m的隔离防护栏；
（2）解法一：，
当且仅达时取到等号，此时m，设，，
在中，，
解得：，
故
，
因为，所以，
故当，即时，取的最大值为1，
，
当且仅当时取到等号，此时
答：修建观赏步道时应使得，.
解法二：，
当且仅达时取到等号，此时，
设，.则由余弦定理，
，
故由平均值不等式，，
从而，
等号成立当且仅当.
答：修建观赏步道时应使得，.
21．（2023秋·陕西西安·高二西安市铁一中学校考期末）如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，底面.
（1）当为何值时，平面？证明你的结论；
（2）若在边上至少存在一点，使，求的取值范围.
【答案】（1），证明见详解；（2）
【详解】（1）当时，四边形为正方形，则.
因为平面，平面，
所以，
又，平面，平面
所以平面.
故当时，平面.
（2）设是符合条件的边上的点.
因为平面，平面
所以，
又，，平面，平面
所以平面，
因为平面，
所以.
因此，点应是以为直径的圆和边的一个公共点.
则半径， 即.
所以.
22．（2022春·浙江·高一校联考阶段练习）已知梯形中，，，E为线段上一点（不在端点），沿线段将折成，使得平面平面.
(1)当点E为CD的中点时，证明：平面平面；
(2)若与平面所成角的正弦值为，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
（1）当点为的中点时，由题得，故，，且都在平面中，故平面.又平面，故
平面平面
（2）
如图过作交于点，连，则平面平面，平面平面，，平面，故平面
所以是直线在平面上的投影
直线与平面所成角即为直线与直线所成角，即为
，又，
在Rt中，，
在Rt中，，则
，
在中，
，则
所以平面平面，平面平面，，平面，故平面
法1：由上易证平面平面
所以是的投影三角形
设平面与平面所成的锐二面角为
则
法2：分别取的中点，连接
易证平面平面
所以平面与平面所成的锐二面角即为二面角所成角
由上可得平面，且可得中，
中，
过作交于点，连
由平面，且面
所以又，可证面
所以
所以为二面角的平面角
在Rt中，
所以