专题9 一元二次方程 中考数学一轮复习专题训练（北京专用）

这是一份专题9 一元二次方程 中考数学一轮复习专题训练（北京专用），共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，计算题，综合题等内容，欢迎下载使用。

1．（2021九上·朝阳期末）参加一次活动的每个人都和其他人各握了一次手，所有人共握手10次，有多少人参加活动？设有x人参加活动，可列方程为（ ）
A．12x(x−1)=10B．x(x−1)=10
C．12x(x+1)=10D．2x(x−1)=10
2．（2021九上·大兴期末）小亮、小明、小刚三名同学中，小亮的年龄比小明的年龄小2岁，小刚的年龄比小明的年龄大1岁，并且小亮与小刚的年龄的乘积是130.你知道这三名同学的年龄各是多少岁吗？设小明的年龄为x岁，则可列方程为（ ）
A．(x+2)(x−1)=130B．(x−2)(x+1)=130
C．x(x−2)=130D．x(x+1)=130
3．（2021九上·北京市月考）下列叙述正确的是（ ）
A．形如ax2+bx+c=0的方程叫一元二次方程
B．方程4x2+3x=4不含有常数项
C．一元二次方程中，二次项系数、一次项系数及常数项均不能为0
D．(3−y)2=0是关于y的一元二次方程
4．（2021九上·燕山期末）在等式①x2+x=1；②3+2=5；③1x+1=0；⑤x+y=1；⑤x+3=2x中，符合一元二次方程概念的是（ ）
A．①⑤B．①C．④D．①④
5．（2021九上·朝阳期末）若关于x的一元二次方程(a−1)x2+a2x−a=0有一个根是x=1，则a的值为（ ）
A．-1B．0C．1D．-1或1
6．（2021九上·东城期末）一元二次方程2x2+x−5=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．2，1，5B．2，1，－5C．2，0，－5D．2，0，5
7．（2021九上·西城期末）将一元二次方程x2−8x+10=0通过配方转化为(x+a)2=b的形式，下列结果中正确的是（ ）
A．(x−4)2=6B．(x−8)2=6C．(x−4)2=−6D．(x−8)2=54
8．（2021九上·东城期末）用配方法解方程x2＋4x＝1，变形后结果正确的是（ ）
A．(x＋2)2＝5B．(x＋2)2＝2C．(x－2)2＝5D．(x－2)2＝2
9．（2021九上·海淀期末）把长为2 m的绳子分成两段，使较长一段的长的平方等于较短一段的长与原绳长的积．设较长一段的长为x m，依题意，可列方程为（ ）
A．x2=2(2−x)B．x2=2(2+x)C．(2−x)2=2xD．x2=2−x
10．（2021九上·丰台期末）若关于x的一元二次方程(m−1)x2+x+m2−1=0有一个解为x=0，那么m的值是（ ）
A．-1B．0C．1D．1或-1
二、填空题
11．（2021九上·燕山期末）下面是用配方法解关于x的一元二次方程3x2+x−2=0的具体过程，
3x2+2x−1=0
解：第一步：x2+23x−13=0
第二步：x2+23x=13
第三步：x2+23x+(13)2=13+(13)2
第四步：(x+13)2=49∴x+13=±23∴x1=13，x2=−1
以下四条语句与上面四步对应：“①移项：方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；②求解：用直接开方法解一元二次方程；③配方：根据完全平方公式，在方程的两边各加上一次项系数一半的平方；④二次项系数化1，方程两边都除以二次项系数”，则第一步，第二步，第三步，第四步应对应的语句分别是 ．
12．（2022九下·北京市开学考）关于x的一元二次方程(m+1)x2+(2m+1)x+m−1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ．
13．（2022·通州模拟）如果关于x的方程x2+6x+m=0有两个相等的实数根，那么m的值是 ，方程的根是 ．
14．（2021九上·西城期末）关于x的一元二次方程x2+mx+4=0有一个根为1，则m的值为 ．
15．（2022九上·海淀期中）若关于x的一元二次方程x2+x+k=0有两个相等的实数根，则k的值为 ．
16．（2021九上·东城期末）若关于x的一元二次方程x2－2x＋m＝0有一个根为1，则m的值为 ．
17．（2021九上·东城期末）2021年是中国共产党建党100周年，全国各地积极开展“弘扬红色文化，重走长征路”主题教育活动．据了解，某展览中心3月份的参观人数为10万人，5月份的参观人数增加到12.1万人．设参观人数的月平均增长率为x，则可列方程为 ．
18．（2021九上·北京市月考）已知m是关于x的方程x2﹣3x﹣4＝0的一个根，则3m2﹣9m﹣2＝ ．
19．（2022九上·海淀期中）若1是关于x的方程x2−ax=0的根，则a的值为 ．
20．（2022九上·海淀期中）如图是某停车场的平面示意图，停车场外围的长为30米，宽为18米．停车场内车道的宽都相等．停车位总占地面积为288平方米．设车道的宽为x米，可列方程为 ．
三、计算题
21．（2021九上·海淀期末）解方程：x2−6x+8=0
22．（2021九上·西城期末）解方程：x2−2x−2=0．
23．（2021九上·朝阳期末）解方程：2x2−9x+10=0．
24．（2022·海淀模拟）关于x 的方程x2−(2m+1)x+m2=0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）当m取最小的整数时，求此时的方程的根．
四、综合题
25．（2021九上·丰台期末）已知关于x的一元二次方程x2−3kx+2k2=0．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若k>0，且该方程的两个实数根的差为1，求k的值．
26．（2021九上·东城期末）已知关于x的一元二次方程x2−(k+4)x+4k=0．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若该方程有一个根小于2，求k的取值范围．
27．（2021九上·北京市月考）随着国内新能源汽车的普及，为了适应社会的需求，全国各地都在加快公共充电桩的建设，某省2018年公共充电桩的数量为2万个，2020年公共充电桩的数量为2.88万个．
（1）求2018年至2020年该省公共充电桩数量的年平均增长率；
（2）按照这样的增长速度，预计2021年该省将新增多少万个公共充电桩？
28．（2021八上·燕山期末）阅读下列材料：
利用完全平方公式，可以把多项式x2+bx+c变形为(x+m)2+n的形式．例如，x2−4x+3＝x2−4x+4−4+3＝(x−2)2−1．
观察上式可以发现，当x−2取任意一对互为相反数的值时，多项式x2−4x+3的值是相等的．例如，当x−2＝±1，即x＝3或1时，x2−4x+3的值均为0；当x−2＝±2，即x＝4或0时，x2−4x+3的值均为3．
我们给出如下定义：
对于关于x的多项式，若当x+m取任意一对互为相反数的值时，该多项式的值相等，则称该多项式关于x＝−m对称，称x＝−m是它的对称轴．例如，x2−4x+3关于x＝2对称，x＝2是它的对称轴．
请根据上述材料解决下列问题：
（1）将多项式x2−6x+5变形为(x+m)2+n的形式，并求出它的对称轴；
（2）若关于x的多项式x2+2ax−1关于x＝－5对称，则a＝ ；
（3）代数式(x2+2x+1)(x2−8x+16)的对称轴是x＝ ．
29．（2022八下·门头沟期末）已知关于x的一元二次方程x2−4x+3m=0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）当m取正整数时，求此时方程的根．
30．用长为6米的铅合金条制成如图所示的矩形窗框，其中EF//AD//BC，设窗框的高度为AD=x米．
（1）设窗框宽度AB为y米，则y= 米（用含x的代数式表示）；
（2）当窗户的透光面积为1.5平方米时，请你计算出窗框的高和宽分别是多少米（铝合金条的宽度忽略不计）
答案解析部分
1．【答案】A
【解析】【解答】解：设有x人参加活动，每个人与其他人握手的次数均为(x−1)次，并且每个人与其他人握手均重复一次，由此可得：
x(x−1)2=10，
故答案为：A．
【分析】设有x人参加活动，每个人与其他人握手的次数均为(x−1)次，可得共握手x(x−1)2次，根据共握手的次数列出方程即可.
2．【答案】B
【解析】【解答】解：设小明的年龄为x岁，则小亮的年龄为(x−2)岁，小刚的年龄为(x+1)岁，
根据题意即可列方程：(x−2)(x+1)=130．
故答案为：B．
【分析】设小明的年龄为x岁，则小亮的年龄为(x−2)岁，小刚的年龄为(x+1)岁，再根据“小亮与小刚的年龄的乘积是130”列出方程(x−2)(x+1)=130即可。
3．【答案】D
【解析】【解答】解：A．形如ax2+bx+c=0(a≠0)的方程叫一元二次方程，故A不符合题意；
B．方程4x2+3x=4的一般形式是4x2+3x−4=0，常数项是−4，故B不符合题意；
C．一元二次方程中，二次项系数不能为0，一次项系数及常数项可以为0，故C不符合题意；
D．(3−y)2=0是关于y的一元二次方程，故D符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据一元二次方程的定义及相关的量对每个选项一一判断即可。
4．【答案】B
【解析】【解答】解：①x2+x=1，是一元二次方程，符合题意；
②3+2=5，不是方程，不符合题意；
③1x+1=0，不是整式方程，不符合题意；
⑤x+y=1，是二元一次方程，不符合题意；
⑤x+3=2x，是一元一次方程，不符合题意
故符合一元二次方程概念的是①
故答案为：B
【分析】根据一元二次方程的定义以及相关材料判断即可。
5．【答案】A
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程(a−1)x2+a2x−a=0有一个根是x=1
∴a−1+a2−a=0
解得a=±1
∵一元二次方程(a−1)x2+a2x−a=0
∴a−1≠0
∴a≠1
∴a=−1
故答案为：A．
【分析】将x=1代入方程求出a值，再根据一元二次方程的定义可得a−1≠0，从而确定a值.
6．【答案】B
【解析】【解答】解：∵一元二次方程2x2+x-5=0，
∴二次项系数、一次项系数、常数项分别是2、1、-5，
故答案为：B．
【分析】根据一元二次方程的定义逐项判断即可。
7．【答案】A
【解析】【解答】解：∵x2−8x+10=0，
∴x2−8x=−10，
∴x2−8x+16=−10+16，即(x−4)2=6，
故答案为：A．
【分析】利用配方法减一元二次方程即可得出答案。
8．【答案】A
【解析】【解答】解：x2＋4x＝1
x2+4x+4=1+4
即(x+2)2=5
故答案为：A
【分析】利用配方法的计算方法和步骤求解即可。
9．【答案】A
【解析】【解答】解：设较长一段的长为x m，则较短一段的长为（2-x ）m，
由题意得：x2=2(2−x).
故答案为：A.
【分析】根据题意，设较长一段的长为x m，则较短一段的长为（2-x ）m，由此列出方程。
10．【答案】A
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程(m−1)x2+x+m2−1=0有一个解为x=0，
∴m2−1=0，m−1≠0
∴m=−1
故答案为：A
【分析】将x=0代入(m−1)x2+x+m2−1=0可得m2−1=0，m−1≠0，再求出m的值即可。
11．【答案】④①③②
【解析】【解答】解：根据配方法的步骤可知：第一步为：④二次项系数化1，方程两边都除以二次项系数；
第二步为：①移项：方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；
第三步为：③配方：根据完全平方公式，在方程的两边各加上一次项系数一半的平方；
第四步为：②求解：用直接开方法解一元二次方程；
故答案为：④①③②．
【分析】利用配方法解一元二次方程即可。
12．【答案】m>−54且m≠-1
【解析】【解答】解：由题意知 △=(2m+1)2−4×(m+1)×(m−1)>0，且 m+1≠0
解得： m>−54且 m≠−1
故答案为： m>−54且m≠-1．
【分析】根据一元二次方程的定义及根的判别式列出不等式组求解即可。
13．【答案】9；-3
【解析】【解答】解：∵关于x的方程x2+6x+m=0有两个相等的实数根，
∴可得∶ Δ=b2−4ac=0，
即：36−4m=0 ，
解得：m=9，
则原方程为：x2+6x+9=0，
∴(x+3)2=0，
∴x1=x2=−3 ，
故答案为：m=9，方程的根为-3．
【分析】利用一元二次方程根的判别式可得Δ=b2−4ac=0即36−4m=0，求出m=9，所以方程为x2+6x+9=0，再求出x的值即可。
14．【答案】-5
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+mx+4=0的一个根是1，
∴12+m+4=0，
解得：m=-5．
故答案是：-5．
【分析】根据关于x的一元二次方程x2+mx+4=0的一个根是1，即可得出答案。
15．【答案】14
【解析】【解答】∵关于x的一元二次方程x2+x+k=0有两个相等的实数根，
∴方程的判别式：Δ=12−4×1×k=0，
∴k=14，
故答案为：14．
【分析】利用一元二次方程根的判别式求出Δ=12−4×1×k=0，再求解即可。
16．【答案】1
【解析】【解答】解：∵关于x的方程x2-2x+m=0的一个根是1，
∴1-2+m=0，
解得m=1，
故答案为：1．
【分析】将x=1代入方程x2－2x＋m＝0求解即可。
17．【答案】10(1+x)2=12.1
【解析】【解答】解：根据题意设参观人数的月平均增长率为x，则可列方程为10(1+x)2=12.1
故答案为：10(1+x)2=12.1
【分析】根据“当月参观人数=前一个月参观人数×（1+增长率）”列出方程10(1+x)2=12.1即可。
18．【答案】10
【解析】【解答】解：∵m是关于x的方程x2﹣3x﹣4＝0的一个根，
∴m2﹣3m﹣4＝0，
∴m2﹣3m＝4，
∴3m2﹣9m﹣2＝3（m2﹣3m）﹣2＝3×4﹣2＝10．
故答案是：10．
【分析】先求出m2﹣3m﹣4＝0，再求出m2﹣3m＝4，最后代入计算求解即可。
19．【答案】1
【解析】【解答】解：把1代入方程得12−a=0，
∴a=1
故答案为：1．
【分析】根据题意先求出12−a=0，再求解即可。
20．【答案】（18-x）（30-x）=288
【解析】解：依题意得（18-x）（30-x）=288，
故答案为：（18-x）（30-x）=288
【分析】根据所给的图形求出（18-x）（30-x）=288，即可作答。
21．【答案】解：x2−6x+8=0
（x－4）（x－2）＝0
x－4＝0 或x－2＝0
∴x1＝4，x2＝2
【解析】【分析】利用十字相乘法求解一元二次方程即可。
22．【答案】解：x2−2x−2=0
x2−2x+1−1−2=0
x2−2x+1=3
(x−1)2=3
x=1±3
∴原方程的解为x1=1+3，x2=1−3
【解析】【分析】利用配方法解一元二次方程即可。
23．【答案】解：2x2−9x+10=0，
(2x−5)(x−2)=0，
∴2x−5=0或x−2=0，
解得：x1=52或x2=2．
【解析】【分析】利用十字相乘法求解一元二次方程即可。
24．【答案】（1）解：∵关于x 的方程x2−(2m+1)x+m2=0有两个不相等的实数根．
∴其根的判别式Δ=(2m+1)2−4m2=4m+1>0．
∴m>−14；
（2）解：∵m>−14且m为最小的整数，
∴m=0．
∴此时方程为x2−x=0．
∴方程的根为x1=0，x2=1．
【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式列出不等式求解即可；
（2）将m=0代入方程，再求解即可。
25．【答案】（1）证明：x2−3kx+2k2=0
a=1，b=−3k，c=2k2
Δ=b2−4ac=9k2−8k2=k2
∵k2≥0
∴Δ≥0
∴该方程总有两个实数根
（2）解：x2−3kx+2k2=0
∵x1−x2=1，x1+x2=−ba=3k，x1⋅x2=ca=2k2
又∵(x1−x2)2=(x1+x2)2−4x1x2
∴9k2−8k2=1
∴k=±1
∵k>0
∴k=1
【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式求解即可；
（2）利用一元二次方程根与系数的关系可得x1−x2=1，x1+x2=−ba=3k，x1⋅x2=ca=2k2，再列出方程(x1−x2)2=(x1+x2)2−4x1x2求解即可。
26．【答案】（1）证明：∵x2−(k+4)x+4k=0，
∴△=[−(k+4)]2−4×4k=k2−8k+16=(k−4)2≥0，
∴方程总有两个实数根．
（2）解：∵x2−(k+4)x+4k=0，
∴(x−4)(x−k)=0，
解得：x1=4，x2=k，
∵该方程有一个根小于2，
∴k<2．
【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式求解即可；
（2）先利用因式分解法求出一元二次方程，再根据“该方程有一个根小于2”，即可得到k<2。
27．【答案】（1）解：设2018年至2020年该省公共充电桩数量的年平均增长率为x，
依题意得：2（1+x）2=2.88，
解得：x1=0.2=20%，x2=-2.2（不合题意，舍去）．
答：2018年至2020年该省公共充电桩数量的年平均增长率为20%．
（2）解：2.88×20%=0.576（万个）．
答：预计2021年该省将新增0.576万个公共充电桩．
【解析】【分析】（1）先求出 2（1+x）2=2.88， 再解方程即可；
（2）求出 2.88×20%=0.576（万个） 即可作答。
28．【答案】（1）解：x2−6x+5
＝x2−6x+9−9+5
＝(x−3)2−4．
∴该多项式的对称轴为x＝3
（2）5
（3）32
【解析】【解答】（2）∵x2+2ax−1=(x+a)2−1−a2，
∴对称轴为x=-a，
∵多项式x2+2ax−1关于x＝－5对称，
∴-a=-5，
即a=5，
故答案为：5；
（3）∵(x2+2x+1)(x2−8x+16)
=(x+1)2(x−4)2=[(x+1)(x−4)]2
=(x2−3x−4)2
=[(x−32)2−254]2，
∴对称轴为x=32，
故答案为：32．
【分析】（1）利用配方法变形即可；
（2）根据配方法写出正确的解答过程；
（3）利用配方法、偶次方的非负性解答即可。
29．【答案】（1）解：∵关于x的一元二次方程x2−4x+3m=0有两个不相等的实数根，∴Δ=b2−4ac=(−4)2−4×1×3m>0，解得：m<43，∴m的取值范围为m<43；
（2）解：∵m为正整数，∴m=1，∴原方程为x2−4x+3=0，即(x−3)(x−1)=0，解得：x1=3，x2=1，∴当m取正整数时，此时方程的根为3和1．
【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式列出不等式求解即可；
（2）将m的值代入，再求解即可。
30．【答案】（1）−32x+3
（2）解：∵窗户的透光面积为1.5平方米，
∴x(−32x+3)=1.5，
整理得：(x−1)2=0，
解得x=1，
−32x+3=1.5
∴窗框的高是1米，宽是1.5米．
【解析】【解答】(1)解：∵是矩形窗框，EF//AD//BC，
∴AD=EF=DC=x米，AB=DC=y米，
∴3x+2y=6，
解得y=−32x+3，
故答案为：−32x+3．
【分析】（1）根据题意列出方程3x+2y=6，再化简可得y=−32x+3；
（2）根据题意列出方程x(−32x+3)=1.5，再求出x的值即可