苏科版七年级上册数学第6章《平面图形的认识（一）》单元知识点

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第6章 平面图形的认识（一） 一、直线相关概念 1．概念：直线是最简单、最基本的几何图形之一，是一个不作定义的原始概念，直线常用“一根拉得紧的细线”、“一张纸的折痕”等实际事物进行形象描述． 2．表示方法： （1）可以用直线上的表示两个点的大写英文字母表示，如图1所示，可表示为直线AB(或直线BA)． （2）也可以用一个小写英文字母表示，如图2所示，可以表示为直线． 3．基本性质：经过两点有一条直线，并且只有一条直线．简单说成：两点确定一条直线． 直线的特征： （1）直线没有长短，向两方无限延伸． （2）直线没有粗细． （3）两点确定一条直线． （4）两条直线相交有唯一一个交点． 4．点与直线的位置关系： （1）点在直线上，如图3所示，点A在直线m上，也可以说：直线m经过点A． （2）点在直线外，如图4，点B在直线n外，也可以说：直线n不经过点B． 二、线段相关概念 1．概念：直线上两点和它们之间的部分叫做线段． 2．表示方法： （1）线段可用表示它两个端点的两个大写英文字母来表示，如图所示，记作：线段AB或线段BA． （2）线段也可用一个小写英文字母来表示，如图5所示，记作：线段a． 3． “作一条线段等于已知线段”的两种方法： 法一：用圆规作一条线段等于已知线段．例如：下图所示，用圆规在射线AC上截取AB＝a． 法二：用刻度尺作一条线段等于已知线段．例：可以先量出线段a的长度，再画一条等于这个长度的线段． 4．基本性质：两点的所有连线中，线段最短．简记为：两点之间，线段最短． 如图所示，在A，B两点所连的线中，线段AB的长度是最短的． 注： （1）线段是直的，它有两个端点，它的长度是有限的，可以度量，可以比较长短． （2）连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离． （3）线段的比较： ①度量法：用刻度尺量出两条线段的长度，再比较长短． ②叠合法：利用直尺和圆规把线段放在同一条直线上，使其中一个端点重合，另一个端点位于重合端点同侧，根据另一端点与重合端点的远近来比较长短． 5．线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如图所示，点C是线段AB的中点，则，或AB＝2AC＝2BC． 若点C是线段AB的中点，则点C一定在线段AB上． 三、射线相关概念 1．概念：直线上一点和它一侧的部分叫射线，这个点叫射线的端点． 如图所示，直线l上点O和它一旁的部分是一条射线，点O是端点． 2．特征：是直的，有一个端点，不可以度量，不可以比较长短，无限长． 3．表示方法： （1）可以用两个大写英文字母表示，其中一个是射线的端点，另一个是射线上除端点外的任意一点，端点写在前面，如图8所示，可记为射线OA． （2）也可以用一个小写英文字母表示，如图8所示，射线OA可记为射线l． 注： (1)端点相同，而延伸方向不同，表示不同的射线．如图中射线OA，射线OB是不同的射线． (2)端点相同且延伸方向也相同的射线，表示同一条射线．如图中射线OA、射线OB、射线OC都表示同一条射线． 四、直线、射线、线段的区别与联系 1．直线、射线、线段之间的联系 （1）射线和线段都是直线上的一部分，即整体与部分的关系．在直线上任取一点，则可将直线分成两条射线；在直线上取两点，则可将直线分为一条线段和四条射线． （2）将射线反向延伸就可得到直线；将线段一方延伸就得到射线；将线段向两方延伸就得到直线． 2．三者的区别如下表 注：（1） 联系与区别可表示如下： （2）在表示直线、射线与线段时，勿忘在字母的前面写上“直线”“射线”“线段”字样． 五、角的相关概念 1）角的定义：角由两条具有公共端点的射线组成，两条射线的公共端点是这个角的顶点，这两条射线叫做角的边，构成角的两个基本条件：一是角的顶点，二是角的边． 角的另一种定义：角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的． 如图4-3-7所示，∠BAC可以看成是以A为端点的射线，从AB的位置绕点A旋转到AC的位置而成的图形． 如图4-3-8所示，射线OA绕点O旋转，当终止位置OC和起始位置OA成一直线时，所成的角叫做平角；如图4-3-9所示，射线OA绕它的端点旋转一周所成的角叫做周角． 2）角的分类：小于平角的角可按大小分成三类：当一个角等于平角的一半时，这个角叫直角；大于零度角小于直角的角叫锐角（0°<锐角<90°）；大于直角而小于平角的角叫钝角（90°<钝角<180°）． 1周角＝2平角＝4直角＝360°，1平角＝2直角＝180°，1直角＝90°． 3）角的表示方法：角用几何符号“∠”表示，角的表示方法可归纳为以下三种： (1)用三个大写英文字母表示，如图4-3-3所示，记作∠AOB或∠BOA，其中，O是角的顶点，写在中间；A和B分别是角的两边上的一点，写在两边，可以交换位置． (2)用一个大写英文字母表示，如图4-3-3所示，可记作∠O．用这种方法表示角的前提是以这个点作顶点的角只有一个，否则不能用这种方法表示，如图4-3-4所示，∠AOC就不能记作∠O．因为此时以O为顶点的角不止一个，容易混淆． (3)用数字或小写希腊字母来表示，用这种方法表示角时，要在靠近顶点处加上弧线，注上阿拉伯数字或小写希腊字母α、β、γ等．如图4-3-4所示，∠AOB记作∠l，∠BOC记作∠2；如图4-3-5所示，∠AOB记作∠β，∠BOC记作∠α． 4）度量角的方法： 度量角的工具是量角器，用量角器量角时要注意：(1)对中（顶点对中心）；(2)重合（一边与刻度尺上的零度线重合） (3)读数（读出另一边所在线的刻度数）． 5）角的换算：在量角器上看到，把一个平角180等分，每一份就是1°的角．1°的为1分，记作“1′”，即l°＝ 60′．1′的为1秒，记作“1″”，即1″＝60″． 六、角的比较 1）角的比较方法 (1)度量法：如图4-4-4所示，用量角器量得∠1＝40°，∠2＝30°，所以∠1＞∠2． (2)叠合法：比较∠ABC与∠DEF的大小，先让顶点B、E重合，再让边BA和边ED重合，使另一边EF和BC落在BA(DE)的同侧．如果EF和BC也重合(如图4-4-5(1)所示），那∠DEF等于∠ABC．记作∠DEF＝∠ABC;如果EF落在∠ABC的外部(如图4-4-5(2)所示），那么∠DEF大于∠ABC，记作∠DEF＞∠ABC;如果EF落在∠ABC的内部(如图4-4-5(3)所示），那么∠DEF小于∠ABC，记作∠DEF＜∠ABC． 提示：叠合法可归纳为“先重合，再比较”． 2）角的和、差 由图4-4-7(1)、(2)，已知∠1，∠2，图4-4-7(3)中，∠ABC＝∠1+∠2；图4-4-7(4)中，∠GEF＝∠DEG-∠1． 3）角的平分线 从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线． 如图4-4-9所示，射线OC是∠BOA的平分线，则∠BOC＝∠COA＝∠BOA,∠BOA＝2∠BOC＝2∠COA． 4）方向的表示 ①方位角：是指南北方向线与目标方向所成的小于900的水平角。 注意表示方向时要先写北或南，再写偏东或偏西，最后写多少度．如图4-4-2所示，OA是表示北偏东30°的一条射线．特别地，射线OC表示北偏西45。或写成西北方向． ②仰角和俯角：如图：在用上标上仰角和俯角 七、余角、补角、对顶角 1）余角定义：如果两个角的和是一个直角，这两个角叫做互为余角，简称互余，其中一个角是另一个角的余角。 用数学语言表示：如果∠α+∠β=90°，那么∠α与∠β余角；反过来，如果∠α与∠β互余，那么∠α+∠β=90° 2）补角定义：如果两个角的和是一个平角，这两个角叫做互为补角，简称互补，其中一个角是另一个角的补角。 用数学语言表示：如果∠α+∠β=180°，那么∠α与∠β互补；反过来如果∠α与∠β互补，那么∠α+∠β=180° 3）余角（补角）定理：同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等。 4）对顶角的定义：一对角，如果它们的顶点重合，两条边互为反向延长线，我们把这样的两个角叫做互为对顶角，其中一个角叫做另一个角的对顶角。 注：对顶角是成对出现的，它们有公共的顶点；只有两条直线相交时才能形成对顶角。 5）对顶角的性质：对顶角相等。 说明：如图，∠1和∠4是对顶角，∠2和∠3是对顶角，即∠1=∠4，∠2=∠3 1 2 3 4 八、平行与垂直 1、平行 1）同一平面两条直线间的关系： = 1 \* GB3 ①平行； = 2 \* GB3 ②相交 2）平行线概念：在同一平面内，不相交的两条直线 注： ①平行的概念，必须加前提条件“在同一平面内”； ②必须是两条直线间的关系（非“射线”、“线段”） 3）平行公理：经过线外一点，有且仅有一条直线与这条直线平行 注：与垂线性质较相似，也存在不同的地方。相同点：过一点都有且仅能作一条线与已知直线平行（垂直）；不同点：垂直性质中，这个点可以在直线外，也可以在直线上，但在平行公理中，这个点必须在直线外。 4）平行线的传递性：若l1∥l3，l2∥l3，则l1∥l2（用共面知识可证明，此处不证） 2、垂直 1）垂线的概念：当两条直线相交所形成的四个角中，有一个角为直角时，就称这两条直线相互垂直。（实际上，四个角都为直角） 2）如下图，两条垂线的交点M叫作“垂足”，两条直线用“⊥”符号表示，读作“垂直”，表示为：AB⊥CD，读作：AB垂直于CD 3）垂线的性质1 ①在同一平面内，过一点（直线内或直线外）有且只有一条直线与已知直线垂直 注：（1）垂线的性质中，有2点需要格外 ： = 1 \* GB3 ①必须强调在同一平面内； = 2 \* GB3 ②点可在直线外，也可在直线上。（2）同一平面内，两条直线只有相交和平行两种关系，其中垂直是特殊的相交。 ②连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短（简称为：垂线段最短） 4）点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度。