2022-2023学年江西省南昌外国语学校高一（下）联考数学试卷（3月份）（含解析）

这是一份2022-2023学年江西省南昌外国语学校高一（下）联考数学试卷（3月份）（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知α∈R，则“csα=−12”是“α=2kπ+2π3，k∈Z”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
2.为了解某校老年、中年和青年教师的身体状况，已知老、中、青人数之比为3：7：5，现用分层抽样的方法抽取容量为n的样本，其中老年教师有18人，则样本容量n=( )
A. 54B. 90C. 45D. 126
3.一个扇形的圆心角为150°，面积为5π3，则该扇形半径为( )
A. 4B. 1C. 2D. 2
4.已知事件A，B，C两两互斥，若P(A)=15，P(C)=13，P(A∪B)=815，则P(B∪C)=( )
A. 815B. 23C. 715D. 13
5.某学校高一年级有300名男生，200名女生，通过分层随机抽样的方法调查数学考试成绩，抽取总样本量为50，男生平均成绩为120分，女生平均成绩为110分，那么可以推测高一年级学生的数学平均成绩约为( )
A. 110分B. 115分C. 116分D. 120分
6.某店主为装饰店面打算做一个两色灯牌，从黄、白、蓝、红4种颜色中任意挑选2种颜色，则所选颜色中含有白色的概率是( )
A. 23B. 12C. 14D. 16
7.已知a=(12)13，b=(53)−13，c=lg3252，则a，b，c的大小关系为( )
A. a8.已知f(x)=lga( x2+1+x)+1，其中a>0且a≠1，则f(2)+f(−2)=( )
A. 0B. 4C. 2D. lga4
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知x∈R，则下列等式恒成立的是( )
A. sin(−x)=sinxB. sin(3π2−x)=csx
C. cs(π2+x)=−sinxD. cs(x−π)=−csx
10.下列叙述正确的是( )
A. 某人射击1次，“射中7环”与“射中8环”是互斥事件
B. 甲、乙两人各射击1次，“至少有1人射中目标”与“没有人射中目标”是对立事件
C. 抛掷一枚硬币，连续出现4次正面向上，则第5次出现反面向上的概率大于12
D. 若甲、乙两位同学5次测试成绩的方差分别为0.3和0.5，则乙同学成绩比较稳定
11.为了更好地支持“中小型企业”的发展，某市决定对部分企业的税收进行适当的减免，现调查了当地的100家中小型企业年收入情况，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图，则下面结论正确的是( )
A. 样本在区间[500,700]内的频数为18
B. 如果规定年收入在300万元以内的企业才能享受减免税政策，估计有30%的当地中小型企业能享受到减免税政策
C. 样本的中位数小于350万元
D. 可估计当地的中小型企业年收入的平均数超过400万元(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)
12.关于函数f(x)=(14)− x2+2x，下列说法正确的是( )
A. f(x)的定义域为(−∞,−2]∪[0,+∞)B. f(x)的值域为[1,+∞)
C. f(x)是偶函数D. f(x)在(−∞,−1]单调递减
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知角α的始边与x轴的正半轴重合，顶点在坐标原点，角α终边上的一点P到原点的距离为 2，若α=π4，则点P的坐标为______．
14.数据x1，x2，x3的方差为13(x12+x22+x32)−9，则数据2x1+1，2x2+1，2x3+1的平均数为______．
15.奇函数f(x)满足f(x+π2)=f(x)，当x∈(−π4,0)时f(x)= 3csx，则f(−17π6)的值为______．
16.已知函数f(x)=x2+2x−3,x≤0−2+lnx,x>0，方程f(x)=k有两个实数解，则k的范围是 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知α=−1920°．
(1)将α写成β+2kπ(k∈Z,0≤β<2π)的形式，并指出它是第几象限角；
(2)求与α终边相同的角θ，满足−4π≤θ<0．
18.(本小题12分)
某居民小区有两个相互独立的安全防范系统，简称系统A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为110和15．
(1)求在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率；
(2)求系统B在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率．
19.(本小题12分)
如图，以Ox为始边作角α与β(0<β<α<π)，它们的终边分别与单位圆相交于点P，Q，已知点P的坐标为(− 55,2 55)．
(1)求3sinα−2csα2sinα+3csα的值；
(2)若OP⊥OQ，求sinβcsβ的值．
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=1x+1−x(x∈[0,+∞))．
(1)证明：函数f(x)是减函数；
(2)若不等式(a+x)(x+1)>1对x∈[0,+∞)恒成立，求实数a的取值范围．
21.(本小题12分)
从学校随机抽取100名学生，测得它们的身高(单位：cm)，按照区间[160,165)，[165,170)，[170,175)，[175,180)，[180,185]分组，得到样本身高的频率分布直方图，如图所示．
(1)求频率分布直方图中x的值；
(2)估计该校学生身高的平均数(每组数据以区间中点值为代表)；
(3)估计该校学生身高的75%分位数．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=b⋅2x+c2x+b，g(x)=lnx−2x+b，g(x)的定义域关于原点对称，且f(0)=4．
(1)求b，c的值，判断函数g(x)的奇偶性并说明理由；
(2)若关于x的方程[f(x)]2−(m−1)f(x)−2=0有解，求实数m的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查了三角方程的解法，以及充分条件、必要条件的判定，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．
先根据三角方程的解法求出满足方程csα=−12的α，然后根据充分条件、必要条件的定义进行判定即可．
【解答】
解：由csα=−12，解得α=2kπ±2π3,k∈Z，
“α=2kπ+2π3，k∈Z”可以推出“csα=−12”，满足必要性，
“csα=−12”不能推出“α=2kπ+2π3，k∈Z”，不满足充分性，
所以“csα=−12”是“α=2kπ+2π3，k∈Z”的必要不充分条件．
故选：B．
2.【答案】B
【解析】解：由分层抽样的定义可知，18n=33+7+5，
解得n=90．
故选：B．
根据分层抽样的定义求解．
本题主要考查了分层抽样的定义，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：设扇形的半径为R，
则150π×R2360=5π3，解得R=2．
故选：D．
根据扇形的面积公式即可求解．
本题主要考查了扇形的面积公式的应用，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：因为事件A，B，C两两互斥，所以P(B)=P(A∪B)−P(A)=815−15=13，
所以P(B∪C)=P(B)+P(C)=13+13=23．
故选：B．
根据事件A，B，C两两互斥，求出P(B)=13，进而利用P(B∪C)=P(B)+P(C)求出答案．
本题考查互斥事件的计算公式，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：由题意，应抽取男生50×300300+200=30(人)，
应抽取女生50×200300+200=20(人)，
所以推测高一年级学生的数学平均成绩约为120×30+110×2030+20=116(分)．
故选：C．
根据分层抽样求出应抽取男生和女生的人数，求出平均数即可．
本题考查平均数的定义，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
从黄、白、蓝、红4种颜色中任意选2种颜色，利用列举法能求出所选颜色中含有白色的概率．
【解答】
解：从黄、白、蓝、红4种颜色中任意选2种颜色的所有基本事件有：
黄白，黄蓝，黄红，白蓝，白红，蓝红，共6种．
其中包含白色的有3种，
∴所选颜色中含有白色的概率为p=36=12．
故选：B．
7.【答案】A
【解析】【分析】
先由幂函数以及对数函数的性质，判断a，b，c与1的大小关系，再结合幂函数的单调性即可得出a，b，c的大小关系．
本题考查了指数函数、对数函数和幂函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题．
【解答】
解：∵lg3252>lg3232=1，(12)13<(35)13=(53)−13<(53)0=1，
∴a故选：A．
8.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查了函数的奇偶性，考查了奇函数的性质以及对数的运算性质，是基础题．
令g(x)=f(x)−1=lga( x2+1+x)，由g(−x)=−g(x)可知函数g(x)为奇函数，再利用奇函数的性质即可求出结果．
【解答】
解：令g(x)=f(x)−1=lga( x2+1+x)，
易知函数g(x)的定义域为R，
又∵g(−x)=lga( x2+1−x)=lga1 x2+1+x
=−lga( x2+1+x)=−g(x)，
∴函数g(x)为奇函数，
∴g(2)+g(−2)=0，
∴f(2)−1+f(−2)−1=0，
∴f(2)+f(−2)=2，
故选：C．
9.【答案】CD
【解析】解：根据诱导公式可知：
因为sin(−x)=−sinx，所以A不正确；
因为sin(3π2−x)=−csx，所以B不正确；
因为cs(π2+x)=−sinx，所以C正确；
因为cs(x−π)=−csx，所以D正确．
故选：CD．
利用诱导公式，判断各个选项中的式子是否成立，从而得出结论．
本题主要考查诱导公式的应用，属于基础题．
10.【答案】AB
【解析】解：某人射击1次，“射中7环”与“射中8环”不可能同时发生，是互斥事件，故A正确；
甲、乙两人各射击1次，“至少有1人射中目标”与“没有人射中目标”不可能同时发生，但一定有一个发生，是对立事件，故B正确；
抛掷一枚硬币，连续出现4次正面向上，则第5次出现反面向上的概率与出现正面向上的概率相等，都为12，故C错误；
由于方差越小，数据越稳定，故甲同学成绩比较稳定，故D错误．
故选：AB．
由互斥事件的概念判断A；由对立事件的概念判断B；由随机事件的概率判断C；根据方差意义判断D．
本题考查命题的真假判断与应用，考查互斥事件与对立事件的概念，随机事件的概率与独立重复试验概率的求法，方差的意义等基础知识，属于中档题．
11.【答案】AB
【解析】解：由频率分布直方图可得，100×(0.001+0.002+0.0026×2+a+0.0004)=1，解得a=0.0014，
所以样本在区间[500,700]内的频数为100×(0.0014+0.0004)×100=18，故选项A正确；
年收入在300万元以内的企业的频率为100×(0.001+0.002)=0.3，故选项B正确；
100×(0.001+0.002+0.0026)=0.56>0.5，故中位数再[300,400]之间，设中位数为x，
则有(x−300)×0.0026=0.2，解得x≈377>350，故选项C错误；
收入的平均数为150×0.1+250×0.2+350×0.26+450×0.26+550×0.14+650×0.04=376<400，故选项D错误．
故选：AB．
由频率分布直方图的数据，先求出样本在区间[500,700]内的频率，再利用样本容量、频率、频数的关系求解，即可判断选项A，求出年收入在300万元以内的企业的频率，即可判断选项B，利用频率分布直方图中位数的求解方法，求出中位数，即可判断选项C，利用频率分布直方图中平均数的求解方法，求出平均数，即可判断选项D．
本题考查了频率分布直方图的理解和应用，主要考查了利用频率分布直方图求解频率、频数、平均数、中位数等，属于基础题．
12.【答案】AB
【解析】解：对于A，由x2+2x≥0，解得x≥0或x≤−2，故A正确；
对于B，由− x2+2x≤0，所以函数f(x)的值域为[1,+∞)，故B正确；
对于C，∵f(−x)=(14)− x2−2x≠f(x)，且定义域也不对称，
∴f(x)不是偶函数，故C错误；
对于D，在函数定义域内，函数y=x2+2x在(−∞,−2]上单调递减，在[0,+∞)上单调递增，
根据复合函数的单调性满足“同增异减”，得到f(x)=(14)− x2+2x在(−∞,−2]上单调递减，在[0,+∞)上单调递增，故D错误．
故选：AB．
A选项，根据x2+2x≥0求出定义域；B选项，根据指数函数单调性求出值域；C选项，根据函数奇偶性定义进行判断；D选项，利用复合函数的单调性满足“同增异减”得到单调性．
本题主要考查了函数定义域，值域的求解，还考查了函数奇偶性及单调性的判断，属于中档题．
13.【答案】(1,1)
【解析】解：设点P的坐标为(x,y)，则由三角函数的定义得，sinπ4=y 2csπ4=x 2，
解得x=1，y=1，
故点P的坐标为(1,1)．
故答案为：(1,1)．
根据三角函数的定义列出方程组，求出点P的坐标．
本题主要考查了三角函数的定义，属于基础题．
14.【答案】7或−5
【解析】解：∵数据x1，x2，x3的方差为13(x12+x22+x32)−9，
∴13[(x1−x−)2+(x2−x−)2+(x3−x−)2]=13(x12+x22+x32)−9，即13[x12+x22+x32+3x−2−2x−(x1+x2+x3)]=13(x12+x22+x32)−9，
∵x−=13(x1+x2+x3)，
∴13[x12+x22+x32+3x−2−6x−2]=13(x12+x22+x32)−9，即x−2=9，解得x−=±3，
∴数据2x1+1，2x2+1，2x3+1的平均数为2x−+1，即2×3+1=7或2×(−3)+1=−5．
故答案为：7或−5．
根据已知条件，结合平均数和方差的公式，即可求解．
本题主要考查平均数和方差的公式，属于基础题．
15.【答案】−32
【解析】解：由f(x+π2)=f(x)可知奇函数f(x)的周期为π2，
所以f(−17π6)=f(−17π6+6×π2)=f(π6)，
因为该函数为奇函数，所以f(−x)=−f(x)，
令x∈(0,π4)，则−x∈(−π4,0)，
所以f(−x)= 3cs(−x)= 3csx=−f(x)，
即−f(x)= 3csx，
所以f(x)=− 3csx，x∈(0,π4)，
所以f(−17π6)=f(π6)=− 3csπ6=−32．
故答案为：−32．
求出f(x)的周期，得到f(−17π6)=f(π6)，利用该函数为奇函数，求出x∈(0,π4)时，函数的解析式，代入求值即可．
本题主要考查了函数的奇偶性及周期性在函数求值中的应用，属于中档题．
16.【答案】{k|k=−4或k>−3}
【解析】【分析】
本题考查分段函数的图象及应用，方程的解的个数问题，考查数形结合的思想方法，属于基础题．
画出函数f(x)的图象，作出直线y=k，观察图象，即可得解．
【解答】
解：函数f(x)=x2+2x−3,x≤0−2+lnx,x>0的图象如图，
作出直线y=k，观察图象，k=−4或k>−3时，直线y=k与函数f(x)有两个交点，即方程f(x)=k有两个实数解，
故实数k的取值范围是{k|k=−4或k>−3}．
故答案为：{k|k=−4或k>−3}．
17.【答案】解：(1)∵−1920°=240°−360°×6=−12π+4π3，π<4π3<3π2，
∴将α写成β+2kπ(k∈Z,0≤β<2π)的形式：−1920°=4π3−12π，
它是第三象限的角．
(2)∵θ与α的终边相同，
∴令θ=2kπ+4π3，k∈Z，
k=−1，k=−2满足题意，
得到θ=−2π3或θ=−83π.
【解析】本题考查终边相同角的表示方法，属于基础题．
(1)利用终边相同的角的表示方法，将α写成β+2kπ(k∈Z,0≤β<2π)的形式，即可得解；
(2)利用终边相同的角的表示方法，通过k的取值，求出θ，且−4π≤θ<0．
18.【答案】解：(1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件C，
那么在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为：
1−P(C)=1−110×15=4950；
(2)设“系统B在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数”为事件D，
则3次检测中有1次发生故障或0次发生故障，
系统B在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率为：
P(D)=3×15×(1−15)2+(1−15)3=112125．
【解析】本题考查相互独立事件概率乘法公式、对立事件概率计算公式和互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
(1)利用相互独立事件概率乘法公式和对立事件概率计算公式能求出在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率；
(2)利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式能求出结果．
19.【答案】解：(1)以Ox为始边作角α与β(0<β<α<π)，它们的终边分别与单位圆相交于点P，Q，
∵点P的坐标为(− 55,2 55)，∴csα=− 55，sinα=2 55，tanα=sinαcsα=−2，
∴3sinα−2csα2sinα+3csα=3tanα−22tanα+3=8．
(2)若OP⊥OQ，则α=β+π2，∴sinβcsβ=sin(α−π2)cs(α−π2)=12sin(2α−π)=−12sin2α=−sinαcsα=25．
【解析】(1)由题意，利用任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．
(2)由题意可得α=β+π2，再利用诱导公式，求得sinβcsβ的值．
本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式，属于基础题．
20.【答案】解：(1)证明：任取x1，x2∈[0,+∞)，且x1则f(x1)−f(x2)=1x1+1−x1−(1x2+1−x2)=x2−x1(x1+1)(x2+1)−(x1−x2)=(x2−x1)[1(x1+1)(x2+1)+1]，
又0≤x10,1(x1+1)(x2+1)>0,1(x1+1)(x2+1)+1>0，
所以f(x1)−f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
所以函数f(x)是减函数；
(2)不等式(a+x)(x+1)>1对x∈[0,+∞)恒成立，即a>1x+1−x对x∈[0,+∞)恒成立，
所以a>(1x+1−x)max，
由(1)可知，f(x)=1x+1−x在[0,+∞)上单调递减，
则f(x)max=f(0)=1，
所以a>1，即实数a的取值范围为(1,+∞)．
【解析】(1)利用函数单调性的定义直接证明即可；
(2)转化可得a>1x+1−x对x∈[0,+∞)恒成立，即a>(1x+1−x)max，结合(1)可得答案．
本题考查函数单调性的证明及其运用，考查推理论证能力以及运算求解能力，属于基础题．
21.【答案】解：(1)由频率分布直方图可知
5×(0.01+0.02+0.04+x+0.07)=1，
解之得x=0.06；
(2)x−=5×(162.5×0.01+167.5×0.07+172.5×0.06+177.5×0.04+182.5×0.02)=172.25；
(3)[180,185]的人数占比为5×0.02=10%，[175,180]的人数占比为5×0.04=20%，
∴该校100名生学身高的75%分位数落在[175,180]，
设该校100名生学身高的75%分位数为x，
则0.04(180−x)+0.1=25%，解得x=176.25，
故该校生学身高的75%分位数为176.25．
【解析】本题主要考查了频率分布直方图的性质，以及平均值的求法，需要学生很强的综合能力，属于中档题．
(1)由频率和为1求出x的值，再计算身高在170 cm以上的学生人数；
(2)直接由平均数公式求平均数；
(3)根据已知条件，结合分位数公式，即可求解．
22.【答案】解：(1)根据题意，g(x)=lnx−2x+b，则有x−2x+b>0，变形可得(x−2)(x+b)>0，
又由g(x)的定义域关于原点对称，必有b=2，
函数f(x)=b⋅2x+c2x+b=2⋅2x+c2x+2，
又由f(0)=4，即f(0)=2+c1+2=4，解可得c=10，
对于g(x)=lnx−2x+2，有x−2x+2>0，解可得x<−2或x>2，即函数的定义域为(−2,2)，
g(−x)=ln−x−2−x+2=−lnx−2x+2=−g(x)，即函数g(x)为奇函数；
(2)根据题意，f(x)=2⋅2x+102x+2=2(1+32x+2)，
又由2x+2>2，则0<32x+2<32，则有2设t=f(x)，则t∈(2,5)，
方程[f(x)]2−(m−1)f(x)−2=0，即t2−(m−1)t−2=0，变形可得m=t2−2t+1=t−2t+1，
设h(t)=t−2t+1，t∈(2,5)，易得h(t)在(2,5)上为增函数，
则有2若方程[f(x)]2−(m−1)f(x)−2=0有解，即方程m=t2−2t+1=t−2t+1在(2,5)上有解，
必有2故m的取值范围(2,285).
【解析】(1)根据题意，由对数函数的性质分析函数g(x)的定义域，可得b的值，由f(0)=4分析c的值，进而分析g(x)的奇偶性，即可得答案；
(2)根据题意，先分析函数f(x)的值域，设t=f(x)，原方程变形可得m=t2−2t+1=t−2t+1，设h(t)=t−2t+1，t∈(2,5)，再分析h(t)的值域，由此分析可得答案．
本题考查函数与方程的应用，涉及函数奇偶性的判断，属于中档题．