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2024届高考物理一轮复习热点题型归类训练专题13动力学和能量观点的综合应用(原卷版+解析)
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这是一份2024届高考物理一轮复习热点题型归类训练专题13动力学和能量观点的综合应用(原卷版+解析)，共59页。试卷主要包含了多运动组合问题，“传送带”模型综合问题，“滑块－木板”模型综合问题等内容，欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc18780" 题型一 多运动组合问题 PAGEREF _Tc18780 \h 1
\l "_Tc20309" 题型二 “传送带”模型综合问题 PAGEREF _Tc20309 \h 13
\l "_Tc21438" 类型1 水平传送带问题 PAGEREF _Tc21438 \h 13
\l "_Tc6648" 类型2 倾斜传送带 PAGEREF _Tc6648 \h 26
\l "_Tc18836" 题型三 “滑块－木板”模型综合问题 PAGEREF _Tc18836 \h 35
题型一 多运动组合问题
【解题指导】1．分析思路
(1)受力与运动分析：根据物体的运动过程分析物体的受力情况，以及不同运动过程中力的变化情况；
(2)做功分析：根据各种力做功的不同特点，分析各种力在不同运动过程中的做功情况；
(3)功能关系分析：运用动能定理、机械能守恒定律或能量守恒定律进行分析，选择合适的规律求解．
2．方法技巧
(1)“合”——整体上把握全过程，构建大致的运动情景；
(2)“分”——将全过程进行分解，分析每个子过程对应的基本规律；
(3)“合”——找出各子过程之间的联系，以衔接点为突破口，寻求解题最优方案．
【例1】（2023·重庆沙坪坝·高三重庆八中阶段练习）如图甲所示，由弹丸发射器、固定在水平面上的37°斜面以及放置在水平地面上的光滑半圆形挡板墙（挡板墙上分布有多个力传感器）构成的游戏装置，半圆形挡板的半径0.2m，斜面高度，弹丸的质量为0.2kg。游戏者调节发射器，弹丸到B点时速度沿斜面且大小为5m/s，接着他将半圆形挡板向左平移使C、D两端重合且DO与BC垂直。挡板墙上各处的力传感器收集到的侧压力F与弹丸在墙上转过的圆心角θ之间的关系如图乙所示。弹丸受到的摩擦力均视为滑动摩擦力，g取。下列说法正确的是（ ）
A．弹丸到C点的速度为7m/s
B．弹丸与地面的动摩擦因数为0.6
C．弹丸与地面的动摩擦因数为0.06
D．弹丸与斜面的动摩擦因数为0.5
【例2】．（2023·高三课时练习）如图所示，斜面和水平面相交于B点，是竖直放置的半径为的光滑半圆轨道，与相切于C点，E点与圆心O点等高。质量为m的小球从离水平面h处由静止释放，经过水平面后并滑上半圆轨道，已知小球与水平地面及与斜面间的动摩擦因数都为，斜面的倾角，BC长，取，如果让小球进入半圆轨道后不脱离半圆轨道，则h的取值可能为（ ）
A．B．C．D．
【例3】．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，B、M、N分别为竖直光滑圆轨道上的三个点，B点和圆心等高，M点与O点在同一竖直线上，N点和圆心O的连线与竖直方向的夹角为α=45°现从B点的正上方某处A点由静止释放一个质量为m的小球，经圆轨道飞出后沿水平方向通过与O点等高的C点，已知圆轨道半径为R，重力加速度为g，则以下结论正确的是（ ）
A．A、B两点间的高度差为
B．C到N的水平距离为2R
C．小球在M点对轨道的压力大小为
D．小球从N点运动到C点的时间为
【例4】．（2023·广东汕头·统考一模）我国将于2022年举办冬奥会，跳台滑雪是其中最具观赏性的项目之一，如图所示为简化跳台滑雪的雪道示意图，助滑坡由长度55m的斜面AB（倾角θ＝37°）和半径25m的光滑圆弧BC组成，两者相切于B点，过圆弧最低点C的切线水平．CD为着陆坡（倾角α＝30°）．一运动员连同滑板（整体可视为质点）从A点由静止滑下，到C点以vc＝26m/s的速度水平飞出，不计空气阻力，重力加速度g＝10m/s2，sin37°＝0.6，关于该运动员，下列说法正确的是
A．经过C处时对轨道的压力约为其重力的2.7倍
B．在B点的速度大小为24m/s
C．在斜面AB上的运动时间约为4.6s
D．运动员落在着陆坡时的速度大小与C点速度vc大小成正比
【例5】（2023·重庆·统考模拟预测）如图所示，足够长的光滑倾斜轨道倾角为，圆形管道半径为R、内壁光滑，倾斜轨道与圆形管道之间平滑连接，相切于B点，C、D分别为圆形管道的最高点和最低点，整个装置固定在竖直平面内，一小球质量为m，小球直径略小于圆形管道内径，圆形管道内径远小于R，重力加速度为g，，。
（1）将圆形管道的上面三分之一部分（PDQ段）取下来，并保证剩余圆弧管道的P、Q两端等高，为使小球滑下后，在圆形管道内运动通过P点时，管道内壁对小球的作用力恰好为0，从倾斜轨道上距离C点多高的位置A由静止释放小球；
（2）若将圆形管道的DQB段取下来，改变小球在倾斜轨道上由静止释放的位置，小球从D点飞出后落到倾斜轨道时的动能也随之改变，求小球从D点飞出后落到倾斜轨道上动能的最小值（只考虑小球落到倾斜轨道上的第一落点）。
【例6】．（2023春·湖南衡阳·高三校考阶段练习）如图所示，固定在地面上、表面光滑的平台ABCOK由斜面AB和水平面BC组成，倾角为θ的斜面体ODE固定在地面上，O点在C点的正下方，AB与BC在B处通过一小段圆弧平滑连接。均可视为质点的a、b两小球质量分别为km、m，把小球b放置在C点，让a球从A点由静止开始下滑，两球在C点发生弹性碰撞，碰后b球做平抛运动，落到OD上。已知m = 0.5kg，，CO的高度为h = 1.2m，AK的高度为H = 1.65m。不计空气阻力。
（1）求a、b发生碰撞前的瞬间，a的速度v0的大小；
（2）a、b碰撞后的瞬间，若b的动能是a的动能的8倍，求k的值；
（3）求b落到斜面OD前瞬间的动能Ek与平抛运动竖直下落位移y之间的函数关系式（用Ek、mg、h、y来表示），并讨论Ek的最小值以及相对应的k值。
【例7】．（2023·山东·模拟预测）如图所示，桌面右侧的水平地面有一竖直放置的半径为R的光滑圆弧轨道为其竖直直径，桌面与圆弧轨道MNP中间有一光滑管道Q，其右端与P相切平滑连接，管道内径略大于小球直径，桌面到水平地面的竖直距离也为R，劲度系数为k的轻质弹簧放置在光滑的水平桌面上，一端固定在光滑桌面左端的挡板上。一质量为m、可视为质点的小球与弹簧不粘连，现移动小球压缩弹簧后由静止释放小球，小球到达圆弧的C点时刚好脱离轨道。已知弹簧压缩量为s，弹簧弹性势能的表达式为（x为弹簧的形变量），不计其他阻力及小球在管道Q和圆弧轨道中运动的能量损耗，重力加速度为g。
（1）求C点与O点的高度差h；
（2）若只改变小球的质量，使小球运动过程中不脱离圆弧轨道，求小球质量的取值范围。
【例8】．（2023·浙江金华·统考模拟预测）小丁同学设计了一个玩具遥控赛车的轨道装置，轨道的主要部分可简化为如图所示的模型，水平轨道AB和倾斜轨道OD分别与圆轨道相切于B点和D点，弯曲轨道AE与水平轨道平滑连接，E点切线方向恰好水平。O点固定一弹射装置，刚开始时装置处于锁定状态。当赛车从A点出发经过圆轨道进入OD轨道，到达O点时恰好可以触发弹射装置将赛车原路弹回，最终进入回收装置F。测得赛车与弹射装置碰撞时机械能损失，每次弹射后装置可自动锁定到初始时的弹性势能值。已知赛车质量为，电动机功率恒为，圆轨道半径为，E点离水平轨道高度和与F点间水平距离均为，AB轨道长，赛车在水平轨道上运动时所受阻力等于其对轨道压力的0.25倍，赛车在轨道其余部分上所受摩擦力可忽略，赛车看成质点。
（1）若赛车恰好能过C点，求赛车经过H点时对轨道的压力大小；
（2）若某次测试时，赛车电动机工作，经过一次弹射后恰好落入回收装置之中，则此次测试中给弹射装置设置的弹性势能为多大？
（3）若某次测试时，赛车电动机工作，最终停在水平轨道AB上，且运动过程中赛车不能脱轨，求弹射装置的弹性势能取值范围。
题型二 “传送带”模型综合问题
【解题指导】1．计算摩擦力对物块做的功和摩擦力对传送带做的功要用动能定理，计算摩擦产生的热量要用Q＝Ffx相对或能量守恒定律.
2.电机做的功一部分增加物块的机械能，一部分转化为因摩擦产生的热量．
【核心归纳】1．设问的角度
(1)动力学角度：首先要正确分析物体的运动过程，做好受力分析，然后利用运动学公式结合牛顿第二定律求物体及传送带在相应时间内的位移，找出物体和传送带之间的位移关系。
(2)能量角度：求传送带对物体所做的功、物体和传送带由于相对滑动而产生的热量、因放上物体而使电动机多消耗的电能等，常依据功能关系或能量守恒定律求解。
2．功能关系分析
(1)功能关系分析：W＝ΔEk＋ΔEp＋Q。
(2)对W和Q的理解
①传送带克服摩擦力做的功：W＝Ffx传；
②产生的内能：Q＝Ffx相对。
类型1 水平传送带问题
【例1】（2023·海南海口·海南华侨中学校考模拟预测）如图所示，质量为m的物体在水平传送带上由静止释放，传送带由电动机带动，始终保持以速度v匀速运动，物体与传送带间的动摩擦因数为μ，物体过一会儿能保持与传送带相对静止，对于物体从静止释放到相对静止这一过程中，下列说法正确的是（ ）
A．摩擦力对物体做的功为mv2
B．电动机多做的功为
C．系统产生的内能为
D．传送带克服摩擦力做的功为
【例2】（2023·山东·高三专题练习）我国物流市场规模连续七年位列全球第一。某物流分拣中心为转运货物安装有水平传送带，传送带空载时保持静止，一旦有货物置于传送带上，传送带就会以的加速度向前加速运行。在传送带空载的某时刻，某质量为20kg的货物向前以3m/s的初速度滑上传送带。已知传送带长为6m，货物和传送带之间的动摩擦因数为0.2，取，求：
（1）货物用多长时间到达传送带末端；
（2）整个过程传送带对货物做的功；
（3）传送带与货物由于摩擦产生的热量。
【例3】（2023·全国·二模）如图所示，一质量的物块以的速度从B端进入水平传送带，最后能从C点水平抛出，已知水平传送带长，该物块与传送带间的动摩擦因数，传送带以速度为v顺时针方向转动，物块可视为质点且不考虑传送带滑轮大小。重力加速度。求：
（1）当传送带的速度时，将物块从B传送到C过程中物块与传送带间因摩擦而产生的热量是多少？
（2）若在传送带右侧加装一个收集装置，如图所示，其内边界截面为四分之一圆弧，C点为圆心，半径为。调节传送带速度大小，使该物块从C点抛出后，落到收集装置时动能最小，则该物块落到收集装置时最小动能是多少？
【例4】．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，一个工作台由水平传送带与倾角θ = 37°的斜面体组成，传送带AB间的长度L = 1.7m，传送带顺时针匀速转动，现让质量m = 1kg的物块以水平速度v0 = 5m/s从A点滑上传送带，恰好能滑到斜面上高度h = 1.08m的C点，物块与斜面体和传送带之间的动摩擦因数均为μ = 0.5，传送带与斜面平滑连接，g取10m/s2。（sin37° = 0.6，cs37° = 0.8）
（1）求物块由A运动到B时的速度大小vB；
（2）求物块由A运动到C所需要的时间t；
（3）若改变传送带转速，物块以初动能Ekx从A点水平滑上传送带，滑上斜面后恰好能返回出发点A，求物块初动能Ekx的取值范围。
【例5】（2023·江苏·高三专题练习）如图所示，水平传送带AB长l=5m，以10m/s的速度顺时针传输。质量m=1kg的滑块可以视作为质点。放在与AB等高的平台BC上，距离B点为L=4m。滑块在B点右侧始终受到水平向左的恒定外力F=6N。已知滑块和AB、BC间的动摩擦因素分别为μ1=0.20、μ2=0.40.
（1）滑块第一次运动到B点时的动能Ek0；
（2）滑块第一次从B点滑上传送带到再次返回B处所用的时间t；
（3）滑块运动全过程中在BC上因摩擦产生的总热量。
【例6】．（2023·江苏徐州·高三专题练习）如图所示，水平轨道OC的右端C贴近同高度的水平传送带轨道的左端，其中OB段光滑，BC段粗糙，传送带与竖直面内的光滑半圆形轨道DE相切于D点，已知BC＝CD＝L＝2m，圆轨道半径R＝0.4m，弹簧左端固定在墙壁上，自由放置时其右端在B点。一个质量m＝0.5kg的物块（视为质点）将弹簧压缩到A点并锁定，物块与水平轨道BC、传送带间的动摩擦因数均为，重力加速度。
（1）若传送带逆时针转动，要使物块始终不脱离轨道，解除锁定前弹簧的弹性势能多大？
（2）若传送带顺时针转动，锁定前弹簧的弹性势能取第（1）问中的最大值，若要使物块在半圆轨道上运动的过程中不脱离轨道，试计算传送带的速度范围；
（3）在第（1）问的情形下，且弹簧的弹性势能取最大值，试写出物块最后的静止位置到C点的间距d与传送带速度v间的定量关系。
【例7】．（2023·新疆阿勒泰·高三校考阶段练习）如图所示为某建筑工地所用的水平放置的运输带，在电动机的带动下运输带始终以恒定的速度顺时针传动。建筑工人将质量为的建筑材料静止地放到运输带的最左端，同时建筑工人以的速度向右匀速运动。已知建筑材料与运输带之间的动摩擦因数为，运输带的长度为，重力加速度大小为。求：
（1）建筑工人比建筑材料早到右端的时间；
（2）因运输建筑材料电动机多消耗的能量；
（3）运输带对建筑材料做的功。
【例8】．（2023·宁夏石嘴山·高三石嘴山市第三中学校考期中）如图所示，在光滑水平面AB、CD之间连接一长度为L=2m的传送带，圆心为O、半径为R=0.2m的竖直光滑半圆轨道DEG与水平面AD在D点平滑连接，其中FG段为光滑圆管，E和圆心O等高，∠EOF=。可视为质点的小物块从A点以v0=2.5m/s的初速度向右滑动，已知小物块的质量m=1kG，与传送带间的摩擦因数μ=0.1，重力加速度G取10m/s2。
（1）若传送带不转，求小物块滑到圆轨道D点时的速度大小；
（2）若传送带以v=2m/s的速率顺时针方向转动，求小物块能到达圆轨道的最大高度；
（3）若要求小物块在半圆轨道内运动中始终不脱轨且不从G点飞出，求传送带顺时针转动速度大小的可调范围。
类型2 倾斜传送带
【例2】(多选)6月份是收割小麦的季节，如图甲所示，粮库工作人员通过传送带把小麦堆积到仓库内．其简化模型如图乙所示，工作人员把一堆小麦轻轻地放在倾斜传送带的底端，小麦经过加速和匀速两个过程到达传送带顶端，然后被抛出落到地上．已知传送带与地面的夹角为θ，两轴心间距为L，传送带以恒定的速度v顺时针转动，忽略空气阻力，重力加速度为g，以地面为零势能面，对于其中一颗质量为m的麦粒P(如图所示)的说法正确的是( )
A．在匀速阶段，其他麦粒对麦粒P不做功
B．在传送带上运动时，其他麦粒对麦粒P做的功为eq \f(1,2)mv2＋mgLsin θ
C．麦粒P离开传送带后(未落地)的机械能为eq \f(1,2)mv2＋2mgLsin θ
D．麦粒P克服重力做功的最大值为mgLsin θ＋eq \f(mv2sin2θ,2)
【例2】（2023·内蒙古包头·统考二模）如图，高为h倾角为的粗糙传送带以速率顺时针运行，将质量为m的小物块轻放到皮带底端，同时施以沿斜面向上的拉力使物块做匀加速直线运动，不考虑轮的大小，物块运动到斜面顶端时速率为，物块与传送带之间的动摩擦因数为，重力加速度为g，则下列说法正确的是（ ）
A．摩擦力对物块所做的功为
B．整个过程皮带与物块间产生的热量为
C．拉力所做的功为
D．皮带因传送物块多消耗的电能为
【例3】（2023春·辽宁朝阳·高三统考开学考试）如图甲所示，向飞机上装货时，通常用到可移动式皮带输送机，简化模型如图乙所示，皮带输送机倾角为，顺时针匀速转动，每隔2s在输送带下端A点无初速放入一件货物（货物足够多）。每件货物从下端A点运动到上端B点的过程中，其机械能E与位移s的关系图像（以A位置为零势能参考面）如图丙所示。已知货物均可视为质点，质量均为，重力加速度g取10，。则（ ）
A．货物与输送带间的动摩擦因数为0.875
B．输送带A、B两端点间的距离为8m
C．每件货物从下端A点运动到上端B点的时间为9s
D．皮带输送机因运送一件货物而多消耗的能量为515J
【例4】（2023·河北沧州·河北省吴桥中学校考模拟预测）如图所示，绷紧的传送带与水平面所成的角为37°，在电动机的带动下，传送带以2m/s的恒定速率顺时针运行，现将一质量为20kg的货物（可视为质点）轻轻放在传送带底端，货物被传送到h=3m的高处，货物与传送带间的动摩擦因数为μ=0.8，sin37°=0.6，cs37°=0.8，重力加速度g取10m/s2，下列说法正确的是（ ）
A．货物先受到滑动摩擦力作用，后受到静摩擦力作用
B．货物在传送带上运动的时间为6s
C．货物的机械能增加了1280J
D．货物与传送带间由于摩擦产生的热量为640J
【例5】（2023·贵州黔东南·凯里一中校考模拟预测）如图所示为某小型购物商场的电梯，长L＝7.0m，倾角θ＝37°。在某次搬运货物时，售货员将质量为m＝50kg的货物无初速度放在电梯的最下端，然后启动电机，电梯先以a0＝1m/s2的加速度向上做匀加速运动，速度达到v0＝2m/s后匀速运动。已知货物与电梯表面的动摩擦因数μ＝0.8，重力加速度g＝10m/s2，不计空气阻力。求：
（1）货物从电梯底端运动到顶端所用的时间；
（2）电机因运送该货物多做的功（忽略电梯自身动能的变化）。
【例6】（2023秋·山东青岛·高三统考期末）如图甲，为机场工作人员利用倾斜传送带向飞机货仓装载行李的场景，传送带保持恒定速率向上运行。工作人员将行李箱间隔相同时间连续无初速度地放在传送带底端，所有行李箱在进入飞机货舱前都已做匀速运动，且相邻两个行李箱间不发生碰撞。如图乙，A、B、C、D是传送带上4个进入货仓前匀速运动的行李箱，其中A与B、B与C间的距离均为d，C与D间的距离小于d。已知传送带运行的速率为，倾角为，传送带的长度为L，重力加速度为g，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法正确的是（ ）．
A．A、B、C、D与传送带间动摩擦因数相同，均满足
B．A、B、C与传送带间动摩擦因数大于D与传送带间动摩擦因数
C．工作人员往传送带底端放置行李箱的时间间隔
D．若A的质量为m，则由于传送A，驱动传送带的电机额外消耗的电能
【例7】（2023·安徽·校联考三模）如图1所示，光滑的六分之一圆弧轨道竖直放置，底端通过光滑轨道与一倾斜传送带连接，倾斜传送带的倾角为，小物块b静止于Q点，一质量为的小物块a从圆弧轨道最高点P以初速度沿圆弧轨道运动，到最低点Q时与另一质量为的小物块b发生弹性正碰（碰撞时间极短）。碰撞后两物块的速率均为，且碰撞后小物块b沿传送带方向运动，物块b通过光滑轨道滑上传送带时无能量损失。已知圆弧轨道半径为，传送带顺时针匀速转动，物块b在传送带上运动时，物块b相对传送带的速度v如图2所示，规定沿传送带向下为正方向，重力加速度取，求：
（1）碰撞前瞬时小物块a的速度大小；
（2）碰撞后小物块a能上升的最大高度及在最高点对圆弧轨道的压力大小；
（3）物块b与传送带间的摩擦因数及传送带的长度。
题型三 “滑块－木板”模型综合问题
【解题指导】1．分析滑块与木板间的相对运动情况，确定两者间的速度关系、位移关系，注意两者速度相等时摩擦力可能变化.
2.用公式Q＝Ff·x相对或动能定理、能量守恒求摩擦产生的热量．
【核心归纳】“滑块—木板”模型问题的分析方法
(1)动力学分析：分别对滑块和木板进行受力分析，根据牛顿第二定律求出各自的加速度；从放上滑块到二者速度相等，所用时间相等，由t＝eq \f(Δv2,a2)＝eq \f(Δv1,a1)，可求出共同速度v和所用时间t，然后由位移公式可分别求出二者的位移．
(2)功和能分析：对滑块和木板分别运用动能定理，或者对系统运用能量守恒定律．如图所示，要注意区分三个位移：
①求摩擦力对滑块做功时用滑块对地的位移x滑；
②求摩擦力对木板做功时用木板对地的位移x板；
③求摩擦生热时用相对位移Δx.
【例1】（2023秋·天津和平·高三统考期末）如图所示，一张薄木板放在光滑水平面上，其右端放有小木块，小木块与薄木板的接触面粗糙，原来系统静止。薄木板突然受到一水平向右的瞬间冲量作用开始运动，直到小木块从薄木板上掉下来。上述过程中下列说法正确的是（ ）
A．木板对木块的摩擦力水平向左
B．摩擦力对木块做的功一定等于木块增加的动能
C．开始运动后， 木板减小的动能等于木块增加的动能
D．木块动能的增加一定小于系统摩擦产生的热能
【例2】．（2023·黑龙江哈尔滨·高三期中）质量为、长度为的小车静止在光滑的水平面上，质量为的小物块放在小车的最左端。现用一水平力作用在小物块上，小物块与小车之间的摩擦力为，经过一段时间小车运动的位移为，小物块刚好滑到小车的右端，则下列说法中正确的是（ ）
A．此时物块的动能为
B．此时小车的动能为
C．这一过程中，物块和小车增加的机械能为
D．这一过程中，系统因摩擦而损失的机械能为
【例3】．（2023·河北衡水·高三校联考阶段练习）如图所示，倾角为的粗糙斜面固定在水平地面上，斜面底端固定一与斜面垂直的弹性挡板C。长度为、质量为的长木板A置于斜面上，质量为的物块B（可视为质点）置于长木板上端，物块B与长木板A之间的动摩擦因数为，长木板A与斜面之间的动摩擦因数为，长木板A下端与挡板C的距离为。同时由静止释放长木板A和物块B，长木板A与挡板C碰撞后原速率返回。，重力加速度取。下列说法正确的是（ ）
A．长木板A刚开始沿斜面向下运动的加速度大小为
B．物块B在长木板A上运动的时间为
C．物块B在长木板A上运动的过程中，系统产生的内能为
D．物块B从长木板A上滑下后，A将不再沿斜面下滑
【例3】（2023·安徽芜湖·高三芜湖一中阶段练习）如图甲所示，质量m1 = 1kg的小物块A静止在一质量m2 = 0.5kg的足够长的木板B的左端。当小物块A受到一个水平向右的外力F作用时，测得A与B间摩擦力f随外力F的变化关系如图乙所示。现对小物块A施加水平向右的拉力F = 15N，作用2s后撤去。重力加速度取g = 10m/s2，各接触面间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力。求：
（1）物块A与木板B间的动摩擦因数μ1和木板B与地面间的动摩擦因数μ2；
（2）从拉力F开始作用到物块A和木板B均停止的时间t；
（3）物块A与木板B之间因摩擦而产生的热量Q和物块A对木板B做的功。
【例4】．（2023·福建福州·高三校联考期中）如图所示，木板L=5m，质量为M=2kg的平板车在粗糙水平面上向右滑行，当其速度为v=9m/s时，在其右端轻轻放上一个质量为m=1kg的滑块，已知滑块与木板间的动摩擦因数为μ1=0.2，木板与地面间的动摩擦因数为μ2=0.4，最大静摩擦力可视为等于滑动摩擦力，求：
（1）滑块与木板取得相同的速度前各自的加速度大小；
（2）从开始至最终停止，滑块与木板间因摩擦产生的热量Q；
（3）从开始至木板刚停止时，滑块、木板和地面组成的系统增加的内能U。
【例5】．（2023·重庆·一模）如图甲，物体A的质量m1= 1kg，静止在光滑水平面上的木板B的质量m2= 2kg，某时刻A以v0= 6m/s的初速度从左端滑上木板B的上表面，在A滑上B的同时，给B施加一个水平方向的拉力，随时间变化如图乙，共作用1.5s，以水平向右为正方向；已知A与B之间的动摩擦因数，木板B足够长（忽略物体A的大小）。求：
（1）0 ~ 1s内，物体A和木板B的加速度分别为多大；
（2）1.5s末，A、B的速度分别为多大；
（3）最终，物体A和木板B由于摩擦产生的热量（用分数表示）。
专题13 动力学和能量观点的综合应用
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc18780" 题型一 多运动组合问题 PAGEREF _Tc18780 \h 1
\l "_Tc20309" 题型二 “传送带”模型综合问题 PAGEREF _Tc20309 \h 13
\l "_Tc21438" 类型1 水平传送带问题 PAGEREF _Tc21438 \h 13
\l "_Tc6648" 类型2 倾斜传送带 PAGEREF _Tc6648 \h 26
\l "_Tc18836" 题型三 “滑块－木板”模型综合问题 PAGEREF _Tc18836 \h 35
题型一 多运动组合问题
【解题指导】1．分析思路
(1)受力与运动分析：根据物体的运动过程分析物体的受力情况，以及不同运动过程中力的变化情况；
(2)做功分析：根据各种力做功的不同特点，分析各种力在不同运动过程中的做功情况；
(3)功能关系分析：运用动能定理、机械能守恒定律或能量守恒定律进行分析，选择合适的规律求解．
2．方法技巧
(1)“合”——整体上把握全过程，构建大致的运动情景；
(2)“分”——将全过程进行分解，分析每个子过程对应的基本规律；
(3)“合”——找出各子过程之间的联系，以衔接点为突破口，寻求解题最优方案．
【例1】（2023·重庆沙坪坝·高三重庆八中阶段练习）如图甲所示，由弹丸发射器、固定在水平面上的37°斜面以及放置在水平地面上的光滑半圆形挡板墙（挡板墙上分布有多个力传感器）构成的游戏装置，半圆形挡板的半径0.2m，斜面高度，弹丸的质量为0.2kg。游戏者调节发射器，弹丸到B点时速度沿斜面且大小为5m/s，接着他将半圆形挡板向左平移使C、D两端重合且DO与BC垂直。挡板墙上各处的力传感器收集到的侧压力F与弹丸在墙上转过的圆心角θ之间的关系如图乙所示。弹丸受到的摩擦力均视为滑动摩擦力，g取。下列说法正确的是（ ）
A．弹丸到C点的速度为7m/s
B．弹丸与地面的动摩擦因数为0.6
C．弹丸与地面的动摩擦因数为0.06
D．弹丸与斜面的动摩擦因数为0.5
【答案】B
【详解】A．由图可知，在D点，挡板对弹丸的支持力为32.2N，由牛顿第二定律有
32.2 = m
代入数据有
v = m/s
由题知C、D两端重合，则C点的速度等于D点的速度，A错误；
D．弹丸从B到C过程由动能定理得
mgh - μ1mgcs37° = mv2 - mv2
代入数据有
μ1= 0.3
D错误；
BC．设弹丸与地面之间的动摩擦因数为μ2，设转过3rad后的速度为v，由动能定理得
- μ2mg3 × R = mv2 - mv2
在转过3rad后挡板对弹丸的支持力为25N，由牛顿第二定律得
25 = m
联立解得
μ1= 0.6
B正确、C错误。
故选B。
【例2】．（2023·高三课时练习）如图所示，斜面和水平面相交于B点，是竖直放置的半径为的光滑半圆轨道，与相切于C点，E点与圆心O点等高。质量为m的小球从离水平面h处由静止释放，经过水平面后并滑上半圆轨道，已知小球与水平地面及与斜面间的动摩擦因数都为，斜面的倾角，BC长，取，如果让小球进入半圆轨道后不脱离半圆轨道，则h的取值可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【详解】小球不脱离半圆轨道的临界条件有两个：
一是恰好从D点飞出，小球刚好能从D点飞出应满足
得
二是小球在半圆形导轨在E点减到速度为零，由动能定理
得
小球能进入半圆轨道有
得
，
故选AC。
【例3】．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，B、M、N分别为竖直光滑圆轨道上的三个点，B点和圆心等高，M点与O点在同一竖直线上，N点和圆心O的连线与竖直方向的夹角为α=45°现从B点的正上方某处A点由静止释放一个质量为m的小球，经圆轨道飞出后沿水平方向通过与O点等高的C点，已知圆轨道半径为R，重力加速度为g，则以下结论正确的是（ ）
A．A、B两点间的高度差为
B．C到N的水平距离为2R
C．小球在M点对轨道的压力大小为
D．小球从N点运动到C点的时间为
【答案】AC
【详解】A．从A点到C点,由动能定理得
从A点到N点
其中
联立解得
A正确；
BD．N到C的时间，根据速度与加速度的关系可得
则C到N的水平距离为
解得
BD错误；
C．从A到M点，由动能定理得
在M点，受力分析有
解得
C正确。
故选AC。
【例4】．（2023·广东汕头·统考一模）我国将于2022年举办冬奥会，跳台滑雪是其中最具观赏性的项目之一，如图所示为简化跳台滑雪的雪道示意图，助滑坡由长度55m的斜面AB（倾角θ＝37°）和半径25m的光滑圆弧BC组成，两者相切于B点，过圆弧最低点C的切线水平．CD为着陆坡（倾角α＝30°）．一运动员连同滑板（整体可视为质点）从A点由静止滑下，到C点以vc＝26m/s的速度水平飞出，不计空气阻力，重力加速度g＝10m/s2，sin37°＝0.6，关于该运动员，下列说法正确的是
A．经过C处时对轨道的压力约为其重力的2.7倍
B．在B点的速度大小为24m/s
C．在斜面AB上的运动时间约为4.6s
D．运动员落在着陆坡时的速度大小与C点速度vc大小成正比
【答案】BCD
【详解】A、在C点，有： ，代入数据得：，有牛顿第三定律得：，故A错误；
B、由B运动到C，由动能定理得：，代入数据得：，故B正确；
C、由A运动到B，由运动学公式得：，得：；由动量定理得：，解得：，故C正确；
D、运动员从C点飞出后，在空中做平抛运动落在斜面上的D点，位移偏向角为，则有，解得：；又，，联立解得：，即，故D正确．
【例5】（2023·重庆·统考模拟预测）如图所示，足够长的光滑倾斜轨道倾角为，圆形管道半径为R、内壁光滑，倾斜轨道与圆形管道之间平滑连接，相切于B点，C、D分别为圆形管道的最高点和最低点，整个装置固定在竖直平面内，一小球质量为m，小球直径略小于圆形管道内径，圆形管道内径远小于R，重力加速度为g，，。
（1）将圆形管道的上面三分之一部分（PDQ段）取下来，并保证剩余圆弧管道的P、Q两端等高，为使小球滑下后，在圆形管道内运动通过P点时，管道内壁对小球的作用力恰好为0，从倾斜轨道上距离C点多高的位置A由静止释放小球；
（2）若将圆形管道的DQB段取下来，改变小球在倾斜轨道上由静止释放的位置，小球从D点飞出后落到倾斜轨道时的动能也随之改变，求小球从D点飞出后落到倾斜轨道上动能的最小值（只考虑小球落到倾斜轨道上的第一落点）。
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）小球在圆形管道内运动通过P点时，管道内壁对小球的作用力恰好为0，则重力沿圆心方向的分力提供向心力
解得
小球从A点到P点，由动能定理得
解得
（2）将圆形管道的DQB段取下来，小球离开D点后做平抛运动，设小球落到斜面上时竖直位移为y，水平位移为x，落到倾斜轨道的动能为Ek，如图所示
竖直方向的位移
水平位移
小球从D点飞出后落到倾斜轨道上动能
根据几何关系可知
解得
小球动能有最小值时
动能最小值为
【例6】．（2023春·湖南衡阳·高三校考阶段练习）如图所示，固定在地面上、表面光滑的平台ABCOK由斜面AB和水平面BC组成，倾角为θ的斜面体ODE固定在地面上，O点在C点的正下方，AB与BC在B处通过一小段圆弧平滑连接。均可视为质点的a、b两小球质量分别为km、m，把小球b放置在C点，让a球从A点由静止开始下滑，两球在C点发生弹性碰撞，碰后b球做平抛运动，落到OD上。已知m = 0.5kg，，CO的高度为h = 1.2m，AK的高度为H = 1.65m。不计空气阻力。
（1）求a、b发生碰撞前的瞬间，a的速度v0的大小；
（2）a、b碰撞后的瞬间，若b的动能是a的动能的8倍，求k的值；
（3）求b落到斜面OD前瞬间的动能Ek与平抛运动竖直下落位移y之间的函数关系式（用Ek、mg、h、y来表示），并讨论Ek的最小值以及相对应的k值。
【答案】（1）3m/s；（2）0.5或2；（3）见解析
【详解】（1）小球a从A到C的过程由机械能守恒定律可得
解得
v0 = 3m/s
（2）设碰撞后瞬间a、b速度分别为v1和v2，由动量守恒定律可得
由能量守恒定律可得
综合解得
，
由题意可得
综合可得
则有
解得
k = 0.5或k = 2
（3）设b平抛运动的时间为t，水平位移为x，由平抛运动的规律可得
，
由几何关系可得
b落到斜面OD上时的动能为
综合可得
由数学知识可得
时，Ek取最小值
再结合
综合解得
（另一解舍去）
【例7】．（2023·山东·模拟预测）如图所示，桌面右侧的水平地面有一竖直放置的半径为R的光滑圆弧轨道为其竖直直径，桌面与圆弧轨道MNP中间有一光滑管道Q，其右端与P相切平滑连接，管道内径略大于小球直径，桌面到水平地面的竖直距离也为R，劲度系数为k的轻质弹簧放置在光滑的水平桌面上，一端固定在光滑桌面左端的挡板上。一质量为m、可视为质点的小球与弹簧不粘连，现移动小球压缩弹簧后由静止释放小球，小球到达圆弧的C点时刚好脱离轨道。已知弹簧压缩量为s，弹簧弹性势能的表达式为（x为弹簧的形变量），不计其他阻力及小球在管道Q和圆弧轨道中运动的能量损耗，重力加速度为g。
（1）求C点与O点的高度差h；
（2）若只改变小球的质量，使小球运动过程中不脱离圆弧轨道，求小球质量的取值范围。
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）小球到达圆弧的C点时刚好脱离轨道，则小球在C点只有重力沿方向的分力提供向心力，设重力方向与的夹角为θ，由牛顿第二定律有
由几何关系有
从静止释放到C点，由能量守恒定律有
联立解得
（2）小球在运动过程中不脱离轨道，可知小球能通过M点，则应有
从静止释放到M点，由能量守恒定律有
解得
【例8】．（2023·浙江金华·统考模拟预测）小丁同学设计了一个玩具遥控赛车的轨道装置，轨道的主要部分可简化为如图所示的模型，水平轨道AB和倾斜轨道OD分别与圆轨道相切于B点和D点，弯曲轨道AE与水平轨道平滑连接，E点切线方向恰好水平。O点固定一弹射装置，刚开始时装置处于锁定状态。当赛车从A点出发经过圆轨道进入OD轨道，到达O点时恰好可以触发弹射装置将赛车原路弹回，最终进入回收装置F。测得赛车与弹射装置碰撞时机械能损失，每次弹射后装置可自动锁定到初始时的弹性势能值。已知赛车质量为，电动机功率恒为，圆轨道半径为，E点离水平轨道高度和与F点间水平距离均为，AB轨道长，赛车在水平轨道上运动时所受阻力等于其对轨道压力的0.25倍，赛车在轨道其余部分上所受摩擦力可忽略，赛车看成质点。
（1）若赛车恰好能过C点，求赛车经过H点时对轨道的压力大小；
（2）若某次测试时，赛车电动机工作，经过一次弹射后恰好落入回收装置之中，则此次测试中给弹射装置设置的弹性势能为多大？
（3）若某次测试时，赛车电动机工作，最终停在水平轨道AB上，且运动过程中赛车不能脱轨，求弹射装置的弹性势能取值范围。
【答案】（1）6N；（2）2.3J；（3）
【详解】（1）赛车恰好过C点，根据牛顿第二定律
解得
从H到C，由动能定理有
解得
根据指向圆心方向合力提供向心力有
解得
根据牛顿第三定律在H点对轨道压力；
（2）赛车从E到F做平抛运动，有
解得
对赛车，从A出发最终到E的过程中，根据功能关系可得
代入数据解得
（3）题中所述赛车最终停在水平轨道AB上，有两种临界情况
①假设赛车第一次弹回时，恰好能过C点，此时最小，由上分析可知
小车从出发到第二次经过C点，根据能量守恒定律
解得
设赛车最高到达A点右侧弯曲轨道上高度h处，从C点到高度h处，根据动能定理
可得
所以赛车不会从E点飞出，有
②假设赛车第一次弹回时，恰好能运动到E点，从E点滑下到左侧圆轨道，根据动能定理
可得
则
赛车要脱离轨道。所以赛车从AE轨道返回时最多运动到H点，设赛车从AE返回时恰能到达H点，从出发到从AE返回恰运动到H点的过程，根据能量守恒定律
解得
综上，当
时可满足要求。
题型二 “传送带”模型综合问题
【解题指导】1．计算摩擦力对物块做的功和摩擦力对传送带做的功要用动能定理，计算摩擦产生的热量要用Q＝Ffx相对或能量守恒定律.
2.电机做的功一部分增加物块的机械能，一部分转化为因摩擦产生的热量．
【核心归纳】1．设问的角度
(1)动力学角度：首先要正确分析物体的运动过程，做好受力分析，然后利用运动学公式结合牛顿第二定律求物体及传送带在相应时间内的位移，找出物体和传送带之间的位移关系。
(2)能量角度：求传送带对物体所做的功、物体和传送带由于相对滑动而产生的热量、因放上物体而使电动机多消耗的电能等，常依据功能关系或能量守恒定律求解。
2．功能关系分析
(1)功能关系分析：W＝ΔEk＋ΔEp＋Q。
(2)对W和Q的理解
①传送带克服摩擦力做的功：W＝Ffx传；
②产生的内能：Q＝Ffx相对。
类型1 水平传送带问题
【例1】（2023·海南海口·海南华侨中学校考模拟预测）如图所示，质量为m的物体在水平传送带上由静止释放，传送带由电动机带动，始终保持以速度v匀速运动，物体与传送带间的动摩擦因数为μ，物体过一会儿能保持与传送带相对静止，对于物体从静止释放到相对静止这一过程中，下列说法正确的是（ ）
A．摩擦力对物体做的功为mv2
B．电动机多做的功为
C．系统产生的内能为
D．传送带克服摩擦力做的功为
【答案】C
【详解】A．根据动能定理有，摩擦力对物体做的功为
故A错误；
B．电动机多做的功转化为物体的动能和内能，所以电动机多做的功一定大于，故B错误；
CD．设共速前物体相对地面的位移为，传送带相等地面的位移为则有
，
可知
可知传送带克服摩擦力做的功为摩擦力对物体做功的二倍，即为，则系统产生的内能为
故C正确，D错误。
故选C。
【例2】（2023·山东·高三专题练习）我国物流市场规模连续七年位列全球第一。某物流分拣中心为转运货物安装有水平传送带，传送带空载时保持静止，一旦有货物置于传送带上，传送带就会以的加速度向前加速运行。在传送带空载的某时刻，某质量为20kg的货物向前以3m/s的初速度滑上传送带。已知传送带长为6m，货物和传送带之间的动摩擦因数为0.2，取，求：
（1）货物用多长时间到达传送带末端；
（2）整个过程传送带对货物做的功；
（3）传送带与货物由于摩擦产生的热量。
【答案】（1）3s；（2）0；（3）60J
【详解】（1）对货物受力分析，由牛顿第二定律可知
解得
设经时间t1两者共速，则
解得
故货物运动1s后两者共速。此时的速度大小
货物的位移
由题意知，两者共速后，一起以加速度a做匀加速直线运动，设两者共速后，货物再运动时间t2到达传送带末端，则
解得
所以货物到达传送带末端所用的时间
（2）设货物到达传送带末端的速度大小为，则
解得
货物从被推上传送带至到达传送带末端的过程，由动能定理得
解得
（3）货物和传送带之间的相对位移
所以整个过程因摩擦产生的热量
【例3】（2023·全国·二模）如图所示，一质量的物块以的速度从B端进入水平传送带，最后能从C点水平抛出，已知水平传送带长，该物块与传送带间的动摩擦因数，传送带以速度为v顺时针方向转动，物块可视为质点且不考虑传送带滑轮大小。重力加速度。求：
（1）当传送带的速度时，将物块从B传送到C过程中物块与传送带间因摩擦而产生的热量是多少？
（2）若在传送带右侧加装一个收集装置，如图所示，其内边界截面为四分之一圆弧，C点为圆心，半径为。调节传送带速度大小，使该物块从C点抛出后，落到收集装置时动能最小，则该物块落到收集装置时最小动能是多少？
【答案】（1）2J；（2）7.5J
【详解】（1）小物块的加速度
小物块的加速时间
小物块匀加速的位移
则小物块先加速后匀速，传送带的位移
二者的相对位移
产生的热量
（2）令小物块从C点飞出后速度为，水平方向有
竖直方向有
根据几何关系有
根据动能定理有
解得
由数学知识可知，当时，最小，解得
【例4】．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，一个工作台由水平传送带与倾角θ = 37°的斜面体组成，传送带AB间的长度L = 1.7m，传送带顺时针匀速转动，现让质量m = 1kg的物块以水平速度v0 = 5m/s从A点滑上传送带，恰好能滑到斜面上高度h = 1.08m的C点，物块与斜面体和传送带之间的动摩擦因数均为μ = 0.5，传送带与斜面平滑连接，g取10m/s2。（sin37° = 0.6，cs37° = 0.8）
（1）求物块由A运动到B时的速度大小vB；
（2）求物块由A运动到C所需要的时间t；
（3）若改变传送带转速，物块以初动能Ekx从A点水平滑上传送带，滑上斜面后恰好能返回出发点A，求物块初动能Ekx的取值范围。
【答案】（1）6m/s；（2）0.9s；（3）34J ≤ Ekx ≤ 51J
【详解】（1）物块从B运动到C过程，由动能定理可得
－mgh－μmgcs37°· = 0－mvB2
解得
vB = 6m/s
（2）设物块从A运动到B过程中速度从v0到vB的位移是x，由动能定理可得
mvB2－mv02 = μmgx
解得
x = 1.1m < L
即物块在传送带上先匀加速到vB，然后在传送带上匀速运动。设物块在传送带上匀加速时间为t1，有
vB = v0＋at1
a = μg
解得
t1 = 0.2s
设物块在传送带上匀速时间为t2，有
L－x = vBt2
解得
t2 = 0.1s
设物块从B运动到C所用时间为t3，由牛顿第二定律可得
mgsin37°＋μmgcs37° = ma′
又
0 = vB－a′t3
联立可得
t3 = 0.6s
物块由A运动到C所需要的时间为
t = t1＋t2＋t3 = 0.9s
（3）根据题意，要让物块滑上斜面后恰好能返回出发点A，则设物块滑上斜面上滑距离s后返回，且经皮带减速刚好回到A点速度为零，故物块从开始沿斜面下滑到达A点过程，根据动能定理可
mgs∙sin37°－μmgcs37°∙s－μmgL = 0
解得
s = 4.25m
当物块滑上传送带后第一次到B点的过程中，传送带对物块的摩擦力一直对物块做负功，且物块能够沿斜面上滑距离s，此时物块的初动能最大，且有
－μmgcs37°∙2s－μmg∙2L = 0－Ekmax
解得
Ekmax = 51J
当物块滑上传送带后第一次到B点的过程中，传送带对物块的摩擦力一直对物块做正功，且物块能够沿斜面上滑距离s，此时物块的初动能最小，且有
μmgL－μmgcs37°∙2s－μmgL = 0－Ekmin
解得
Ekmin = 34J
综上可得
34J ≤ Ekx ≤ 42.5J
【例5】（2023·江苏·高三专题练习）如图所示，水平传送带AB长l=5m，以10m/s的速度顺时针传输。质量m=1kg的滑块可以视作为质点。放在与AB等高的平台BC上，距离B点为L=4m。滑块在B点右侧始终受到水平向左的恒定外力F=6N。已知滑块和AB、BC间的动摩擦因素分别为μ1=0.20、μ2=0.40.
（1）滑块第一次运动到B点时的动能Ek0；
（2）滑块第一次从B点滑上传送带到再次返回B处所用的时间t；
（3）滑块运动全过程中在BC上因摩擦产生的总热量。
【答案】（1）8J；（2）4s；（3）24J
【详解】（1）滑块从开始至第一次到B点，由动能定理得
FL-μ= Ek0
解之得
Ek0=8J
（2）从B点向左减速过程
得
x=4m因此向左减速时间
t1==2s
又
v=4m/s<10m/s
所以返回到B的时间
t2=t1=2s
t总=4s
（3）滑块运动全过程中在BC上因摩擦产生的总热量
Q=FL=24J
【例6】．（2023·江苏徐州·高三专题练习）如图所示，水平轨道OC的右端C贴近同高度的水平传送带轨道的左端，其中OB段光滑，BC段粗糙，传送带与竖直面内的光滑半圆形轨道DE相切于D点，已知BC＝CD＝L＝2m，圆轨道半径R＝0.4m，弹簧左端固定在墙壁上，自由放置时其右端在B点。一个质量m＝0.5kg的物块（视为质点）将弹簧压缩到A点并锁定，物块与水平轨道BC、传送带间的动摩擦因数均为，重力加速度。
（1）若传送带逆时针转动，要使物块始终不脱离轨道，解除锁定前弹簧的弹性势能多大？
（2）若传送带顺时针转动，锁定前弹簧的弹性势能取第（1）问中的最大值，若要使物块在半圆轨道上运动的过程中不脱离轨道，试计算传送带的速度范围；
（3）在第（1）问的情形下，且弹簧的弹性势能取最大值，试写出物块最后的静止位置到C点的间距d与传送带速度v间的定量关系。
【答案】（1）；（2）或；（3）见解析
【详解】（1）若传送带逆时针转动，要使物块始终不脱离轨道，物块最多上升到半圆轨道与圆心等高处，则根据能量守恒定律，解除锁定前弹簧弹性势能的最大值为
所以解除锁定前弹簧弹性势能
（2）若物块刚好能通过半圆轨道的最高点E，则根据牛顿第二定律有
解得
物块从D到E的过程中，根据机械能守恒定律有
解得
物块被弹簧弹出滑到C点的过程中，根据能量守恒定律有
解得
若传送带以速度顺时针转动，设物块向右加速运动的位移为x，根据动能定理有
解得
若物块只能上升到与圆心等高处，根据机械能守恒定律有
解得
设物块在传送带上向右减速到的位移为，根据动能定理有
解得
所以传送带可以逆时针转动且速度任意大小，传送带也可以顺时针转动且速度
或
（3）设物块返回传送带后一直向左加速运动，根据动能定理有
解得
设物块沿水平轨道刚好减速到B点，根据动能定理有
解得
①若传送带速度，则物块在传送带上一直加速到，然后滑上水平轨道，先向左减速运动，被弹簧弹回后再向右减速运动，其总路程为s，根据动能定理有
解得
物块静止位置在C点的左侧与C点的间距为
②若传送带的速度，则物块在传送带上向左减速到与传送带共速；
若传送带的速度，则物块在传送带上向左加速到与传送带共速
上述两种情况下，物块在水平轨道上向左减速到静止，减速路程为d，根据动能定理有
物块静止位置在C点的左侧与C点的间距为
③传送带的速度，物块向左加速到与传送带共速，然后滑上水平轨道，先向左减速运动，被弹簧弹回后再向右减速运动，其总路程为s，根据动能定理有
物块静止位置在C点的左侧与C点的间距为
【例7】．（2023·新疆阿勒泰·高三校考阶段练习）如图所示为某建筑工地所用的水平放置的运输带，在电动机的带动下运输带始终以恒定的速度顺时针传动。建筑工人将质量为的建筑材料静止地放到运输带的最左端，同时建筑工人以的速度向右匀速运动。已知建筑材料与运输带之间的动摩擦因数为，运输带的长度为，重力加速度大小为。求：
（1）建筑工人比建筑材料早到右端的时间；
（2）因运输建筑材料电动机多消耗的能量；
（3）运输带对建筑材料做的功。
【答案】（1）0.5s；（2）2J；（3）1J
【详解】（1）建筑工人匀速运动到右端，所需时间
假设建筑材料先加速再匀速运动，加速时的加速度大小为
加速的时间为
加速运动的位移为
假设成立，因此建筑材料先加速运动再匀速运动，匀速运动的时间为
因此建筑工人比建筑材料早到达右端的时间为
（2）（3）建筑材料与运输带在加速阶段因摩擦产生热量，该过程中运输带的位移为
则因摩擦而产生的热量为
由动能定理可知，运输带对建筑材料做的功为
可得因运输建筑材料电动机多消耗的能量为
【例8】．（2023·宁夏石嘴山·高三石嘴山市第三中学校考期中）如图所示，在光滑水平面AB、CD之间连接一长度为L=2m的传送带，圆心为O、半径为R=0.2m的竖直光滑半圆轨道DEG与水平面AD在D点平滑连接，其中FG段为光滑圆管，E和圆心O等高，∠EOF=。可视为质点的小物块从A点以v0=2.5m/s的初速度向右滑动，已知小物块的质量m=1kG，与传送带间的摩擦因数μ=0.1，重力加速度G取10m/s2。
（1）若传送带不转，求小物块滑到圆轨道D点时的速度大小；
（2）若传送带以v=2m/s的速率顺时针方向转动，求小物块能到达圆轨道的最大高度；
（3）若要求小物块在半圆轨道内运动中始终不脱轨且不从G点飞出，求传送带顺时针转动速度大小的可调范围。
【答案】（1）； （2）； （3）或
【详解】（1）A到D过程，对小物块由动能定理
（2）B到C过程，先减速运动，加速度大小为，则有
解得
假设物块能减速到与传送带共速，有
解得
因此小物块在传送带上先减速再匀速，到达C点时的速度为
假设物块能到达圆轨道的最大高度h时速度可以减为0，则C到圆轨道某点，速度减为0过程，对小物块由动能定理
解得
即物块刚好到达圆轨道E点。
（3）若刚好到达E点不脱轨，由第（1）、（2）问可知
所以
若刚好到达F点不脱轨，在F点有
C到F过程，对小物块由动能定理
解得
若刚好到达G点不脱轨，在G点有
C到G过程，对小物块由动能定理
解得
要保证小物块在段圆弧运动中不脱轨且不从G点飞出，从C点滑出的速度应满足
若物块在传送带上全程加速，有
解得
综上所述，传送带顺时针方向转动的速度应满足
或
类型2 倾斜传送带
【例2】(多选)6月份是收割小麦的季节，如图甲所示，粮库工作人员通过传送带把小麦堆积到仓库内．其简化模型如图乙所示，工作人员把一堆小麦轻轻地放在倾斜传送带的底端，小麦经过加速和匀速两个过程到达传送带顶端，然后被抛出落到地上．已知传送带与地面的夹角为θ，两轴心间距为L，传送带以恒定的速度v顺时针转动，忽略空气阻力，重力加速度为g，以地面为零势能面，对于其中一颗质量为m的麦粒P(如图所示)的说法正确的是( )
A．在匀速阶段，其他麦粒对麦粒P不做功
B．在传送带上运动时，其他麦粒对麦粒P做的功为eq \f(1,2)mv2＋mgLsin θ
C．麦粒P离开传送带后(未落地)的机械能为eq \f(1,2)mv2＋2mgLsin θ
D．麦粒P克服重力做功的最大值为mgLsin θ＋eq \f(mv2sin2θ,2)
【答案】 BD
【解析】 选麦粒P为研究对象，在匀速阶段，根据动能定理W－WG＝0，其他麦粒对麦粒P做功，A错误；在传送带上运动时，根据动能定理W＋WG＝eq \f(1,2)mv2－0，WG＝－mgLsin θ，解得W＝eq \f(1,2)mv2＋mgLsin θ，B正确；麦粒P刚离开传送带时，机械能为E＝mgLsin θ＋eq \f(1,2)mv2，在抛出过程机械能守恒，则麦粒P离开传送带后(未落地)的机械能为eq \f(1,2)mv2＋mgLsin θ，C错误；麦粒P离开传送带做斜抛运动，竖直分速度为vy＝vsin θ，则麦粒P上升的高度为vy2＝2gh，解得h＝eq \f(v2sin2 θ,2g)，则麦粒P克服重力做功的最大值W＝mg(Lsin θ＋h)＝mgLsin θ＋eq \f(mv2sin2 θ,2)，D正确．
【例2】（2023·内蒙古包头·统考二模）如图，高为h倾角为的粗糙传送带以速率顺时针运行，将质量为m的小物块轻放到皮带底端，同时施以沿斜面向上的拉力使物块做匀加速直线运动，不考虑轮的大小，物块运动到斜面顶端时速率为，物块与传送带之间的动摩擦因数为，重力加速度为g，则下列说法正确的是（ ）
A．摩擦力对物块所做的功为
B．整个过程皮带与物块间产生的热量为
C．拉力所做的功为
D．皮带因传送物块多消耗的电能为
【答案】BC
【详解】A．物块向上做匀加速直线运动，则有
物块与皮带达到同速之前，物块所受摩擦力方向沿皮带向上，此过程的位移
物块与皮带达到同速之后，物块所受摩擦力方向沿皮带向下，此过程的位移
解得
，
则摩擦力对物块所做的功为
解得
A错误；
C．根对物块，根据动能定理有
解得
C正确；
B．物块与皮带达到同速之前经历的时间
结合上述解得
物块与皮带达到同速之后经历的时间
结合上述解得
则前后过程的相对位移分别为
，
则整个过程皮带与物块间产生的热量为
B正确；
D．传送带通过摩擦力对物块做功消耗能量，根据上述，摩擦力对物块所做的功为，即表明物块对传送带做正功，则传送带并没有多消耗能量，D错误。
故选BC。
【例3】（2023春·辽宁朝阳·高三统考开学考试）如图甲所示，向飞机上装货时，通常用到可移动式皮带输送机，简化模型如图乙所示，皮带输送机倾角为，顺时针匀速转动，每隔2s在输送带下端A点无初速放入一件货物（货物足够多）。每件货物从下端A点运动到上端B点的过程中，其机械能E与位移s的关系图像（以A位置为零势能参考面）如图丙所示。已知货物均可视为质点，质量均为，重力加速度g取10，。则（ ）
A．货物与输送带间的动摩擦因数为0.875
B．输送带A、B两端点间的距离为8m
C．每件货物从下端A点运动到上端B点的时间为9s
D．皮带输送机因运送一件货物而多消耗的能量为515J
【答案】AC
【详解】A．由图像可知，货物从开始运动到与传送带相对静止，可知
解得
μ=
A正确；
B．由图像可知，物块沿传送带向上运动后与传送带相对静止，此后物块的动能不变，重力势能增加，则
解得
则输送带A、B两端点间的距离为
B错误；
C．加速阶段的加速度大小为
传送带的速度大小为
则加速的时间为
匀速的时间为
共用时间为
C正确；
D．每一件货物从低端到顶端要消耗的能量为
D错误。
故选AC。
【例4】（2023·河北沧州·河北省吴桥中学校考模拟预测）如图所示，绷紧的传送带与水平面所成的角为37°，在电动机的带动下，传送带以2m/s的恒定速率顺时针运行，现将一质量为20kg的货物（可视为质点）轻轻放在传送带底端，货物被传送到h=3m的高处，货物与传送带间的动摩擦因数为μ=0.8，sin37°=0.6，cs37°=0.8，重力加速度g取10m/s2，下列说法正确的是（ ）
A．货物先受到滑动摩擦力作用，后受到静摩擦力作用
B．货物在传送带上运动的时间为6s
C．货物的机械能增加了1280J
D．货物与传送带间由于摩擦产生的热量为640J
【答案】D
【详解】A．货物刚放在传送带上时，对货物有
解得
达到与传送带等速需要的时间为
此过程货物运动的位移的大小为
刚好到达传递带顶端，所以货物在传送带上一直做匀加速直线运动，一直受到滑动摩擦力作用，故A错误；
B．货物在传送带上运动的时间为5s，故B错误；
C．货物的机械能增加了
故C错误；
D．货物与传送带间由于摩擦产生的热量为
故D正确。
故选D。
【例5】（2023·贵州黔东南·凯里一中校考模拟预测）如图所示为某小型购物商场的电梯，长L＝7.0m，倾角θ＝37°。在某次搬运货物时，售货员将质量为m＝50kg的货物无初速度放在电梯的最下端，然后启动电机，电梯先以a0＝1m/s2的加速度向上做匀加速运动，速度达到v0＝2m/s后匀速运动。已知货物与电梯表面的动摩擦因数μ＝0.8，重力加速度g＝10m/s2，不计空气阻力。求：
（1）货物从电梯底端运动到顶端所用的时间；
（2）电机因运送该货物多做的功（忽略电梯自身动能的变化）。
【答案】（1）6s；（2）3160J
【详解】（1）对货物进行受力分析，货物受到重力、支持力和沿斜面向上的摩擦力，当摩擦力是最大静摩擦力时，货物获得的加速度最大
解得
所以货物先做加速度为0.4 m/s2的加速度向上做匀加速运动，当速度与传送带速度相等时再做匀速直线运动。根据匀变速直线运动规律，货物加速阶段的位移为
匀加速运动所需要的时间为
之后做匀速直线运动，匀速运动的时间为
货物从电梯底端运动到顶端所用的时间
（2）根据功能关系，可知电机因运送该货物多做的功等于货物增加的动能和重力势能以及在皮带上产生的热量
联立解得
W＝3160J
【例6】（2023秋·山东青岛·高三统考期末）如图甲，为机场工作人员利用倾斜传送带向飞机货仓装载行李的场景，传送带保持恒定速率向上运行。工作人员将行李箱间隔相同时间连续无初速度地放在传送带底端，所有行李箱在进入飞机货舱前都已做匀速运动，且相邻两个行李箱间不发生碰撞。如图乙，A、B、C、D是传送带上4个进入货仓前匀速运动的行李箱，其中A与B、B与C间的距离均为d，C与D间的距离小于d。已知传送带运行的速率为，倾角为，传送带的长度为L，重力加速度为g，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法正确的是（ ）．
A．A、B、C、D与传送带间动摩擦因数相同，均满足
B．A、B、C与传送带间动摩擦因数大于D与传送带间动摩擦因数
C．工作人员往传送带底端放置行李箱的时间间隔
D．若A的质量为m，则由于传送A，驱动传送带的电机额外消耗的电能
【答案】C
【详解】AB．传送带运行的速率为，工作人员将行李箱间隔相同时间连续无初速度地放在传送带底端，则行李箱放在传送带上的初始位置间的距离相同，行李箱放在传送带上后，先加速，后匀速，设加速时间为t，加速过程的位移为x1，则对行李箱有
行李箱加速时，传送带的位移为x2，则
行李箱加速时，与传送带的相对位移为
A与B、B与C间的距离均为d，C与D间的距离小于d，则A、B、C与传送带间动摩擦因数相同，D与传送带间动摩擦因数大于A、B、C与传送带间动摩擦因数，且A、B、C、D与传送带间动摩擦因数均满足，AB错误；
C．由以上分析知，A、B、C释放的初始位置间距等于它们匀速后的位置间距d，则工作人员往传送带底端放置行李箱的时间间隔为
C正确；
D．根据能量守恒定律知，驱动传送带的电机额外消耗的电能转化为了A的机械能和摩擦产生的热能，有
D错误。
故选C。
【例7】（2023·安徽·校联考三模）如图1所示，光滑的六分之一圆弧轨道竖直放置，底端通过光滑轨道与一倾斜传送带连接，倾斜传送带的倾角为，小物块b静止于Q点，一质量为的小物块a从圆弧轨道最高点P以初速度沿圆弧轨道运动，到最低点Q时与另一质量为的小物块b发生弹性正碰（碰撞时间极短）。碰撞后两物块的速率均为，且碰撞后小物块b沿传送带方向运动，物块b通过光滑轨道滑上传送带时无能量损失。已知圆弧轨道半径为，传送带顺时针匀速转动，物块b在传送带上运动时，物块b相对传送带的速度v如图2所示，规定沿传送带向下为正方向，重力加速度取，求：
（1）碰撞前瞬时小物块a的速度大小；
（2）碰撞后小物块a能上升的最大高度及在最高点对圆弧轨道的压力大小；
（3）物块b与传送带间的摩擦因数及传送带的长度。
【答案】（1）；（2），；（3），
【详解】（1）对小物块a由P到Q由动能定理得
代入数据解得
（2）由题意可知，碰撞后物块a和物块b的速率均为，且由动量守恒可知，物块a碰后的速度方向向左。设碰撞后小物块a能上升的最大高度为h，由动能定理得
代入数据解得
设小物块a上升到最大高度处与O点连线与竖直方向的夹角为，由几何关系可知
在最高点由平衡可得
联立解得
（3）由题意可知，传送带的速度大小为，则有
且
小物块b在传送带上运动时由牛顿第二定律可得
联立解得
对第一阶段小物块b有
同理第二阶段有
联立解得
题型三 “滑块－木板”模型综合问题
【解题指导】1．分析滑块与木板间的相对运动情况，确定两者间的速度关系、位移关系，注意两者速度相等时摩擦力可能变化.
2.用公式Q＝Ff·x相对或动能定理、能量守恒求摩擦产生的热量．
【核心归纳】“滑块—木板”模型问题的分析方法
(1)动力学分析：分别对滑块和木板进行受力分析，根据牛顿第二定律求出各自的加速度；从放上滑块到二者速度相等，所用时间相等，由t＝eq \f(Δv2,a2)＝eq \f(Δv1,a1)，可求出共同速度v和所用时间t，然后由位移公式可分别求出二者的位移．
(2)功和能分析：对滑块和木板分别运用动能定理，或者对系统运用能量守恒定律．如图所示，要注意区分三个位移：
①求摩擦力对滑块做功时用滑块对地的位移x滑；
②求摩擦力对木板做功时用木板对地的位移x板；
③求摩擦生热时用相对位移Δx.
【例1】（2023秋·天津和平·高三统考期末）如图所示，一张薄木板放在光滑水平面上，其右端放有小木块，小木块与薄木板的接触面粗糙，原来系统静止。薄木板突然受到一水平向右的瞬间冲量作用开始运动，直到小木块从薄木板上掉下来。上述过程中下列说法正确的是（ ）
A．木板对木块的摩擦力水平向左
B．摩擦力对木块做的功一定等于木块增加的动能
C．开始运动后， 木板减小的动能等于木块增加的动能
D．木块动能的增加一定小于系统摩擦产生的热能
【答案】BD
【详解】A．薄木板受到水平向右的瞬间冲量作用开始向右运动，小木块相对木板向左运动，则木板对木块的摩擦力水平向右，选项A错误；
B．根据动能定理可知摩擦力对木块做的功一定等于木块增加的动能，选项B正确；
C．根据能量守恒可知开始运动后，木板减小的动能等于木块增加的动能和系统摩擦产生的热能之和，选项C错误；
D．做出运动情景如图：
小木块掉下来时有
，
即
，
联立解得
所以
对于系统，摩擦产生的热能
对于小木块，根据动能定理有
故
即木块动能的增加一定小于系统摩擦产生的热能，选项D正确。
故选BD。
【例2】．（2023·黑龙江哈尔滨·高三期中）质量为、长度为的小车静止在光滑的水平面上，质量为的小物块放在小车的最左端。现用一水平力作用在小物块上，小物块与小车之间的摩擦力为，经过一段时间小车运动的位移为，小物块刚好滑到小车的右端，则下列说法中正确的是（ ）
A．此时物块的动能为
B．此时小车的动能为
C．这一过程中，物块和小车增加的机械能为
D．这一过程中，系统因摩擦而损失的机械能为
【答案】BD
【详解】A．根据动能定理，物块的动能为
A错误；
B．小车的动能为
B正确；
C．物块和小车增加的机械能等于外力做功与摩擦生热之差
C错误；
D．系统因摩擦而损失的机械能为
D正确。
故选BD。
【例3】．（2023·河北衡水·高三校联考阶段练习）如图所示，倾角为的粗糙斜面固定在水平地面上，斜面底端固定一与斜面垂直的弹性挡板C。长度为、质量为的长木板A置于斜面上，质量为的物块B（可视为质点）置于长木板上端，物块B与长木板A之间的动摩擦因数为，长木板A与斜面之间的动摩擦因数为，长木板A下端与挡板C的距离为。同时由静止释放长木板A和物块B，长木板A与挡板C碰撞后原速率返回。，重力加速度取。下列说法正确的是（ ）
A．长木板A刚开始沿斜面向下运动的加速度大小为
B．物块B在长木板A上运动的时间为
C．物块B在长木板A上运动的过程中，系统产生的内能为
D．物块B从长木板A上滑下后，A将不再沿斜面下滑
【答案】AC
【详解】A．对物块B由牛顿第二定律得
解得
对长木板A由牛顿第二定律得
解得
A正确；
B．由匀变速直线运动规律得长木板A运动到挡板所用的时间满足
解得
此时物块B运动的位移为
长木板A沿斜面向上运动，由牛顿第二定律得
解得
由匀变速直线运动规律得
解得
物块B在长木板A上运动的时间为
B错误；
C．物块B在长木板A上运动产生的内能为
长木板A在斜面上运动产生的内能为
系统产生的内能为
C正确；
D．物块B从长木板A上滑下时，长木板A的速度为
由于
长木板A会沿斜面下滑，D错误。
故选AC。
【例3】（2023·安徽芜湖·高三芜湖一中阶段练习）如图甲所示，质量m1 = 1kg的小物块A静止在一质量m2 = 0.5kg的足够长的木板B的左端。当小物块A受到一个水平向右的外力F作用时，测得A与B间摩擦力f随外力F的变化关系如图乙所示。现对小物块A施加水平向右的拉力F = 15N，作用2s后撤去。重力加速度取g = 10m/s2，各接触面间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力。求：
（1）物块A与木板B间的动摩擦因数μ1和木板B与地面间的动摩擦因数μ2；
（2）从拉力F开始作用到物块A和木板B均停止的时间t；
（3）物块A与木板B之间因摩擦而产生的热量Q和物块A对木板B做的功。
【答案】（1）0.60；（2）10s；（3）45J，225J
【详解】（1）根据A与B间摩擦力f随外力F的变化关系可得A与B间滑动摩擦力为
B与地面的滑动摩擦力为
则有
解得
（2）拉力F = 15N开始作用在物块A时，对物块A分析，根据牛顿第二定律得
对木板B分析，根据牛顿第二定律得
解得
拉力F作用2s时物块A和木板B的速度分别为
解得
撤去拉力F直到物块A和木板B共速的过程中，物块A的加速度大小满足
物块A和木板B的共速时满足
解得
物块A和木板B共速后直到停止的过程中，整体的加速度大小满足
解得
减速的时间
所以从拉力F开始作用到物块A和木板B均停止的时间
（3）从拉力F开始作用到物块A和木板B共速的过程中，物块和木板的相对位移
因此物块A与木板B因摩擦而产生的热量
解得
物块A与木板B发生相对运动的过程中，木板B的位移
物块A与木板B间发生相对运动的过程中滑动摩擦力对木板B做的功
Wf1 = f1x
解得
Wf1 = 112.5J
物块A与木板B共速后一起运动的过程中静摩擦力对木板B做的功
Wf2 = f2x2
物块A与木板B共速过程中木板B受到A给他的摩擦力为
f2 = m1a = 2N
物块A与木板B共速过程的位移为
解得
Wf2 = 112.5J
则整个过程中物块A对木板B做的功
W = Wf1＋Wf2 = 225J
【例4】．（2023·福建福州·高三校联考期中）如图所示，木板L=5m，质量为M=2kg的平板车在粗糙水平面上向右滑行，当其速度为v=9m/s时，在其右端轻轻放上一个质量为m=1kg的滑块，已知滑块与木板间的动摩擦因数为μ1=0.2，木板与地面间的动摩擦因数为μ2=0.4，最大静摩擦力可视为等于滑动摩擦力，求：
（1）滑块与木板取得相同的速度前各自的加速度大小；
（2）从开始至最终停止，滑块与木板间因摩擦产生的热量Q；
（3）从开始至木板刚停止时，滑块、木板和地面组成的系统增加的内能U。
【答案】（1）2m/s2，7m/s2；（2）10.2J；（3）80.28J
【详解】（1）滑块与木板取得相同的速度前，对滑块和木板根据牛顿第二定律分别有
解得
，
（2）设经过t1时间两者速度相等，根据运动学规律有
解得
此时两者的共同速度为
到达共同速度前，滑块和木板的位移分别为
两者相对位移为
到达共同速度后，假设两者可以以相同的加速度做匀减速运动，根据牛顿第二定律有
解得
此时滑块所受摩擦力大小为
即假设不成立，所以到达共同速度后两者做加速度不同的匀减速运动，对滑块和木板分别有
解得
，
易知木板先停止运动，从达到共速到各自停下的过程中，滑块和木板的位移分别为
两者相对位移为
根据功能关系可得
（3）两者共速后，设木板经t2停止运动，则
木板停下时，滑块的速度为
从开始至木板刚停止时，根据能量守恒定律有
解得
【例5】．（2023·重庆·一模）如图甲，物体A的质量m1= 1kg，静止在光滑水平面上的木板B的质量m2= 2kg，某时刻A以v0= 6m/s的初速度从左端滑上木板B的上表面，在A滑上B的同时，给B施加一个水平方向的拉力，随时间变化如图乙，共作用1.5s，以水平向右为正方向；已知A与B之间的动摩擦因数，木板B足够长（忽略物体A的大小）。求：
（1）0 ~ 1s内，物体A和木板B的加速度分别为多大；
（2）1.5s末，A、B的速度分别为多大；
（3）最终，物体A和木板B由于摩擦产生的热量（用分数表示）。
【答案】（1）m/s2，m/s2；（2）v3 = 3m/s，v4 = 2.5m/s；（3）J
【详解】（1）0 ~ 1s内，若A一直做匀减速运动，B一直做匀加速运动，根据牛顿第二定律，对A有
对B有
解得
m/s2，m/s2
（2）1s时A的速度为
m/s
1s时B的速度为
m/s
1s后力反向，若一起减速，根据牛顿第二定律
解得
m/s2
A做匀减速运动的最大加速度为m/s2，即A以m/s2做匀减速运动，对B分析
解得
m/s2
1.5s时，A的速度为
m/s
1.5s时，B的速度为
m/s
（3）0 ~ 1s内，物体A和木板B相对位移为
m
1s ~ 1.5s内，物体A和木板B相对位移为
m
1.5s后A做匀减速运动的加速度为
m/s2
B做匀加速运动，根据牛顿第二定律
解得
m/s2
共速时
解得
s
物体A和木板B相对位移为
m
之后，A和B一起做匀速运动，物体A和木板B由于摩擦产生的热量为
解得
J
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc18780" 题型一 多运动组合问题 PAGEREF _Tc18780 \h 1
\l "_Tc20309" 题型二 “传送带”模型综合问题 PAGEREF _Tc20309 \h 13
\l "_Tc21438" 类型1 水平传送带问题 PAGEREF _Tc21438 \h 13
\l "_Tc6648" 类型2 倾斜传送带 PAGEREF _Tc6648 \h 26
\l "_Tc18836" 题型三 “滑块－木板”模型综合问题 PAGEREF _Tc18836 \h 35
题型一 多运动组合问题
【解题指导】1．分析思路
(1)受力与运动分析：根据物体的运动过程分析物体的受力情况，以及不同运动过程中力的变化情况；
(2)做功分析：根据各种力做功的不同特点，分析各种力在不同运动过程中的做功情况；
(3)功能关系分析：运用动能定理、机械能守恒定律或能量守恒定律进行分析，选择合适的规律求解．
2．方法技巧
(1)“合”——整体上把握全过程，构建大致的运动情景；
(2)“分”——将全过程进行分解，分析每个子过程对应的基本规律；
(3)“合”——找出各子过程之间的联系，以衔接点为突破口，寻求解题最优方案．
【例1】（2023·重庆沙坪坝·高三重庆八中阶段练习）如图甲所示，由弹丸发射器、固定在水平面上的37°斜面以及放置在水平地面上的光滑半圆形挡板墙（挡板墙上分布有多个力传感器）构成的游戏装置，半圆形挡板的半径0.2m，斜面高度，弹丸的质量为0.2kg。游戏者调节发射器，弹丸到B点时速度沿斜面且大小为5m/s，接着他将半圆形挡板向左平移使C、D两端重合且DO与BC垂直。挡板墙上各处的力传感器收集到的侧压力F与弹丸在墙上转过的圆心角θ之间的关系如图乙所示。弹丸受到的摩擦力均视为滑动摩擦力，g取。下列说法正确的是（ ）
A．弹丸到C点的速度为7m/s
B．弹丸与地面的动摩擦因数为0.6
C．弹丸与地面的动摩擦因数为0.06
D．弹丸与斜面的动摩擦因数为0.5
【例2】．（2023·高三课时练习）如图所示，斜面和水平面相交于B点，是竖直放置的半径为的光滑半圆轨道，与相切于C点，E点与圆心O点等高。质量为m的小球从离水平面h处由静止释放，经过水平面后并滑上半圆轨道，已知小球与水平地面及与斜面间的动摩擦因数都为，斜面的倾角，BC长，取，如果让小球进入半圆轨道后不脱离半圆轨道，则h的取值可能为（ ）
A．B．C．D．
【例3】．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，B、M、N分别为竖直光滑圆轨道上的三个点，B点和圆心等高，M点与O点在同一竖直线上，N点和圆心O的连线与竖直方向的夹角为α=45°现从B点的正上方某处A点由静止释放一个质量为m的小球，经圆轨道飞出后沿水平方向通过与O点等高的C点，已知圆轨道半径为R，重力加速度为g，则以下结论正确的是（ ）
A．A、B两点间的高度差为
B．C到N的水平距离为2R
C．小球在M点对轨道的压力大小为
D．小球从N点运动到C点的时间为
【例4】．（2023·广东汕头·统考一模）我国将于2022年举办冬奥会，跳台滑雪是其中最具观赏性的项目之一，如图所示为简化跳台滑雪的雪道示意图，助滑坡由长度55m的斜面AB（倾角θ＝37°）和半径25m的光滑圆弧BC组成，两者相切于B点，过圆弧最低点C的切线水平．CD为着陆坡（倾角α＝30°）．一运动员连同滑板（整体可视为质点）从A点由静止滑下，到C点以vc＝26m/s的速度水平飞出，不计空气阻力，重力加速度g＝10m/s2，sin37°＝0.6，关于该运动员，下列说法正确的是
A．经过C处时对轨道的压力约为其重力的2.7倍
B．在B点的速度大小为24m/s
C．在斜面AB上的运动时间约为4.6s
D．运动员落在着陆坡时的速度大小与C点速度vc大小成正比
【例5】（2023·重庆·统考模拟预测）如图所示，足够长的光滑倾斜轨道倾角为，圆形管道半径为R、内壁光滑，倾斜轨道与圆形管道之间平滑连接，相切于B点，C、D分别为圆形管道的最高点和最低点，整个装置固定在竖直平面内，一小球质量为m，小球直径略小于圆形管道内径，圆形管道内径远小于R，重力加速度为g，，。
（1）将圆形管道的上面三分之一部分（PDQ段）取下来，并保证剩余圆弧管道的P、Q两端等高，为使小球滑下后，在圆形管道内运动通过P点时，管道内壁对小球的作用力恰好为0，从倾斜轨道上距离C点多高的位置A由静止释放小球；
（2）若将圆形管道的DQB段取下来，改变小球在倾斜轨道上由静止释放的位置，小球从D点飞出后落到倾斜轨道时的动能也随之改变，求小球从D点飞出后落到倾斜轨道上动能的最小值（只考虑小球落到倾斜轨道上的第一落点）。
【例6】．（2023春·湖南衡阳·高三校考阶段练习）如图所示，固定在地面上、表面光滑的平台ABCOK由斜面AB和水平面BC组成，倾角为θ的斜面体ODE固定在地面上，O点在C点的正下方，AB与BC在B处通过一小段圆弧平滑连接。均可视为质点的a、b两小球质量分别为km、m，把小球b放置在C点，让a球从A点由静止开始下滑，两球在C点发生弹性碰撞，碰后b球做平抛运动，落到OD上。已知m = 0.5kg，，CO的高度为h = 1.2m，AK的高度为H = 1.65m。不计空气阻力。
（1）求a、b发生碰撞前的瞬间，a的速度v0的大小；
（2）a、b碰撞后的瞬间，若b的动能是a的动能的8倍，求k的值；
（3）求b落到斜面OD前瞬间的动能Ek与平抛运动竖直下落位移y之间的函数关系式（用Ek、mg、h、y来表示），并讨论Ek的最小值以及相对应的k值。
【例7】．（2023·山东·模拟预测）如图所示，桌面右侧的水平地面有一竖直放置的半径为R的光滑圆弧轨道为其竖直直径，桌面与圆弧轨道MNP中间有一光滑管道Q，其右端与P相切平滑连接，管道内径略大于小球直径，桌面到水平地面的竖直距离也为R，劲度系数为k的轻质弹簧放置在光滑的水平桌面上，一端固定在光滑桌面左端的挡板上。一质量为m、可视为质点的小球与弹簧不粘连，现移动小球压缩弹簧后由静止释放小球，小球到达圆弧的C点时刚好脱离轨道。已知弹簧压缩量为s，弹簧弹性势能的表达式为（x为弹簧的形变量），不计其他阻力及小球在管道Q和圆弧轨道中运动的能量损耗，重力加速度为g。
（1）求C点与O点的高度差h；
（2）若只改变小球的质量，使小球运动过程中不脱离圆弧轨道，求小球质量的取值范围。
【例8】．（2023·浙江金华·统考模拟预测）小丁同学设计了一个玩具遥控赛车的轨道装置，轨道的主要部分可简化为如图所示的模型，水平轨道AB和倾斜轨道OD分别与圆轨道相切于B点和D点，弯曲轨道AE与水平轨道平滑连接，E点切线方向恰好水平。O点固定一弹射装置，刚开始时装置处于锁定状态。当赛车从A点出发经过圆轨道进入OD轨道，到达O点时恰好可以触发弹射装置将赛车原路弹回，最终进入回收装置F。测得赛车与弹射装置碰撞时机械能损失，每次弹射后装置可自动锁定到初始时的弹性势能值。已知赛车质量为，电动机功率恒为，圆轨道半径为，E点离水平轨道高度和与F点间水平距离均为，AB轨道长，赛车在水平轨道上运动时所受阻力等于其对轨道压力的0.25倍，赛车在轨道其余部分上所受摩擦力可忽略，赛车看成质点。
（1）若赛车恰好能过C点，求赛车经过H点时对轨道的压力大小；
（2）若某次测试时，赛车电动机工作，经过一次弹射后恰好落入回收装置之中，则此次测试中给弹射装置设置的弹性势能为多大？
（3）若某次测试时，赛车电动机工作，最终停在水平轨道AB上，且运动过程中赛车不能脱轨，求弹射装置的弹性势能取值范围。
题型二 “传送带”模型综合问题
【解题指导】1．计算摩擦力对物块做的功和摩擦力对传送带做的功要用动能定理，计算摩擦产生的热量要用Q＝Ffx相对或能量守恒定律.
2.电机做的功一部分增加物块的机械能，一部分转化为因摩擦产生的热量．
【核心归纳】1．设问的角度
(1)动力学角度：首先要正确分析物体的运动过程，做好受力分析，然后利用运动学公式结合牛顿第二定律求物体及传送带在相应时间内的位移，找出物体和传送带之间的位移关系。
(2)能量角度：求传送带对物体所做的功、物体和传送带由于相对滑动而产生的热量、因放上物体而使电动机多消耗的电能等，常依据功能关系或能量守恒定律求解。
2．功能关系分析
(1)功能关系分析：W＝ΔEk＋ΔEp＋Q。
(2)对W和Q的理解
①传送带克服摩擦力做的功：W＝Ffx传；
②产生的内能：Q＝Ffx相对。
类型1 水平传送带问题
【例1】（2023·海南海口·海南华侨中学校考模拟预测）如图所示，质量为m的物体在水平传送带上由静止释放，传送带由电动机带动，始终保持以速度v匀速运动，物体与传送带间的动摩擦因数为μ，物体过一会儿能保持与传送带相对静止，对于物体从静止释放到相对静止这一过程中，下列说法正确的是（ ）
A．摩擦力对物体做的功为mv2
B．电动机多做的功为
C．系统产生的内能为
D．传送带克服摩擦力做的功为
【例2】（2023·山东·高三专题练习）我国物流市场规模连续七年位列全球第一。某物流分拣中心为转运货物安装有水平传送带，传送带空载时保持静止，一旦有货物置于传送带上，传送带就会以的加速度向前加速运行。在传送带空载的某时刻，某质量为20kg的货物向前以3m/s的初速度滑上传送带。已知传送带长为6m，货物和传送带之间的动摩擦因数为0.2，取，求：
（1）货物用多长时间到达传送带末端；
（2）整个过程传送带对货物做的功；
（3）传送带与货物由于摩擦产生的热量。
【例3】（2023·全国·二模）如图所示，一质量的物块以的速度从B端进入水平传送带，最后能从C点水平抛出，已知水平传送带长，该物块与传送带间的动摩擦因数，传送带以速度为v顺时针方向转动，物块可视为质点且不考虑传送带滑轮大小。重力加速度。求：
（1）当传送带的速度时，将物块从B传送到C过程中物块与传送带间因摩擦而产生的热量是多少？
（2）若在传送带右侧加装一个收集装置，如图所示，其内边界截面为四分之一圆弧，C点为圆心，半径为。调节传送带速度大小，使该物块从C点抛出后，落到收集装置时动能最小，则该物块落到收集装置时最小动能是多少？
【例4】．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，一个工作台由水平传送带与倾角θ = 37°的斜面体组成，传送带AB间的长度L = 1.7m，传送带顺时针匀速转动，现让质量m = 1kg的物块以水平速度v0 = 5m/s从A点滑上传送带，恰好能滑到斜面上高度h = 1.08m的C点，物块与斜面体和传送带之间的动摩擦因数均为μ = 0.5，传送带与斜面平滑连接，g取10m/s2。（sin37° = 0.6，cs37° = 0.8）
（1）求物块由A运动到B时的速度大小vB；
（2）求物块由A运动到C所需要的时间t；
（3）若改变传送带转速，物块以初动能Ekx从A点水平滑上传送带，滑上斜面后恰好能返回出发点A，求物块初动能Ekx的取值范围。
【例5】（2023·江苏·高三专题练习）如图所示，水平传送带AB长l=5m，以10m/s的速度顺时针传输。质量m=1kg的滑块可以视作为质点。放在与AB等高的平台BC上，距离B点为L=4m。滑块在B点右侧始终受到水平向左的恒定外力F=6N。已知滑块和AB、BC间的动摩擦因素分别为μ1=0.20、μ2=0.40.
（1）滑块第一次运动到B点时的动能Ek0；
（2）滑块第一次从B点滑上传送带到再次返回B处所用的时间t；
（3）滑块运动全过程中在BC上因摩擦产生的总热量。
【例6】．（2023·江苏徐州·高三专题练习）如图所示，水平轨道OC的右端C贴近同高度的水平传送带轨道的左端，其中OB段光滑，BC段粗糙，传送带与竖直面内的光滑半圆形轨道DE相切于D点，已知BC＝CD＝L＝2m，圆轨道半径R＝0.4m，弹簧左端固定在墙壁上，自由放置时其右端在B点。一个质量m＝0.5kg的物块（视为质点）将弹簧压缩到A点并锁定，物块与水平轨道BC、传送带间的动摩擦因数均为，重力加速度。
（1）若传送带逆时针转动，要使物块始终不脱离轨道，解除锁定前弹簧的弹性势能多大？
（2）若传送带顺时针转动，锁定前弹簧的弹性势能取第（1）问中的最大值，若要使物块在半圆轨道上运动的过程中不脱离轨道，试计算传送带的速度范围；
（3）在第（1）问的情形下，且弹簧的弹性势能取最大值，试写出物块最后的静止位置到C点的间距d与传送带速度v间的定量关系。
【例7】．（2023·新疆阿勒泰·高三校考阶段练习）如图所示为某建筑工地所用的水平放置的运输带，在电动机的带动下运输带始终以恒定的速度顺时针传动。建筑工人将质量为的建筑材料静止地放到运输带的最左端，同时建筑工人以的速度向右匀速运动。已知建筑材料与运输带之间的动摩擦因数为，运输带的长度为，重力加速度大小为。求：
（1）建筑工人比建筑材料早到右端的时间；
（2）因运输建筑材料电动机多消耗的能量；
（3）运输带对建筑材料做的功。
【例8】．（2023·宁夏石嘴山·高三石嘴山市第三中学校考期中）如图所示，在光滑水平面AB、CD之间连接一长度为L=2m的传送带，圆心为O、半径为R=0.2m的竖直光滑半圆轨道DEG与水平面AD在D点平滑连接，其中FG段为光滑圆管，E和圆心O等高，∠EOF=。可视为质点的小物块从A点以v0=2.5m/s的初速度向右滑动，已知小物块的质量m=1kG，与传送带间的摩擦因数μ=0.1，重力加速度G取10m/s2。
（1）若传送带不转，求小物块滑到圆轨道D点时的速度大小；
（2）若传送带以v=2m/s的速率顺时针方向转动，求小物块能到达圆轨道的最大高度；
（3）若要求小物块在半圆轨道内运动中始终不脱轨且不从G点飞出，求传送带顺时针转动速度大小的可调范围。
类型2 倾斜传送带
【例2】(多选)6月份是收割小麦的季节，如图甲所示，粮库工作人员通过传送带把小麦堆积到仓库内．其简化模型如图乙所示，工作人员把一堆小麦轻轻地放在倾斜传送带的底端，小麦经过加速和匀速两个过程到达传送带顶端，然后被抛出落到地上．已知传送带与地面的夹角为θ，两轴心间距为L，传送带以恒定的速度v顺时针转动，忽略空气阻力，重力加速度为g，以地面为零势能面，对于其中一颗质量为m的麦粒P(如图所示)的说法正确的是( )
A．在匀速阶段，其他麦粒对麦粒P不做功
B．在传送带上运动时，其他麦粒对麦粒P做的功为eq \f(1,2)mv2＋mgLsin θ
C．麦粒P离开传送带后(未落地)的机械能为eq \f(1,2)mv2＋2mgLsin θ
D．麦粒P克服重力做功的最大值为mgLsin θ＋eq \f(mv2sin2θ,2)
【例2】（2023·内蒙古包头·统考二模）如图，高为h倾角为的粗糙传送带以速率顺时针运行，将质量为m的小物块轻放到皮带底端，同时施以沿斜面向上的拉力使物块做匀加速直线运动，不考虑轮的大小，物块运动到斜面顶端时速率为，物块与传送带之间的动摩擦因数为，重力加速度为g，则下列说法正确的是（ ）
A．摩擦力对物块所做的功为
B．整个过程皮带与物块间产生的热量为
C．拉力所做的功为
D．皮带因传送物块多消耗的电能为
【例3】（2023春·辽宁朝阳·高三统考开学考试）如图甲所示，向飞机上装货时，通常用到可移动式皮带输送机，简化模型如图乙所示，皮带输送机倾角为，顺时针匀速转动，每隔2s在输送带下端A点无初速放入一件货物（货物足够多）。每件货物从下端A点运动到上端B点的过程中，其机械能E与位移s的关系图像（以A位置为零势能参考面）如图丙所示。已知货物均可视为质点，质量均为，重力加速度g取10，。则（ ）
A．货物与输送带间的动摩擦因数为0.875
B．输送带A、B两端点间的距离为8m
C．每件货物从下端A点运动到上端B点的时间为9s
D．皮带输送机因运送一件货物而多消耗的能量为515J
【例4】（2023·河北沧州·河北省吴桥中学校考模拟预测）如图所示，绷紧的传送带与水平面所成的角为37°，在电动机的带动下，传送带以2m/s的恒定速率顺时针运行，现将一质量为20kg的货物（可视为质点）轻轻放在传送带底端，货物被传送到h=3m的高处，货物与传送带间的动摩擦因数为μ=0.8，sin37°=0.6，cs37°=0.8，重力加速度g取10m/s2，下列说法正确的是（ ）
A．货物先受到滑动摩擦力作用，后受到静摩擦力作用
B．货物在传送带上运动的时间为6s
C．货物的机械能增加了1280J
D．货物与传送带间由于摩擦产生的热量为640J
【例5】（2023·贵州黔东南·凯里一中校考模拟预测）如图所示为某小型购物商场的电梯，长L＝7.0m，倾角θ＝37°。在某次搬运货物时，售货员将质量为m＝50kg的货物无初速度放在电梯的最下端，然后启动电机，电梯先以a0＝1m/s2的加速度向上做匀加速运动，速度达到v0＝2m/s后匀速运动。已知货物与电梯表面的动摩擦因数μ＝0.8，重力加速度g＝10m/s2，不计空气阻力。求：
（1）货物从电梯底端运动到顶端所用的时间；
（2）电机因运送该货物多做的功（忽略电梯自身动能的变化）。
【例6】（2023秋·山东青岛·高三统考期末）如图甲，为机场工作人员利用倾斜传送带向飞机货仓装载行李的场景，传送带保持恒定速率向上运行。工作人员将行李箱间隔相同时间连续无初速度地放在传送带底端，所有行李箱在进入飞机货舱前都已做匀速运动，且相邻两个行李箱间不发生碰撞。如图乙，A、B、C、D是传送带上4个进入货仓前匀速运动的行李箱，其中A与B、B与C间的距离均为d，C与D间的距离小于d。已知传送带运行的速率为，倾角为，传送带的长度为L，重力加速度为g，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法正确的是（ ）．
A．A、B、C、D与传送带间动摩擦因数相同，均满足
B．A、B、C与传送带间动摩擦因数大于D与传送带间动摩擦因数
C．工作人员往传送带底端放置行李箱的时间间隔
D．若A的质量为m，则由于传送A，驱动传送带的电机额外消耗的电能
【例7】（2023·安徽·校联考三模）如图1所示，光滑的六分之一圆弧轨道竖直放置，底端通过光滑轨道与一倾斜传送带连接，倾斜传送带的倾角为，小物块b静止于Q点，一质量为的小物块a从圆弧轨道最高点P以初速度沿圆弧轨道运动，到最低点Q时与另一质量为的小物块b发生弹性正碰（碰撞时间极短）。碰撞后两物块的速率均为，且碰撞后小物块b沿传送带方向运动，物块b通过光滑轨道滑上传送带时无能量损失。已知圆弧轨道半径为，传送带顺时针匀速转动，物块b在传送带上运动时，物块b相对传送带的速度v如图2所示，规定沿传送带向下为正方向，重力加速度取，求：
（1）碰撞前瞬时小物块a的速度大小；
（2）碰撞后小物块a能上升的最大高度及在最高点对圆弧轨道的压力大小；
（3）物块b与传送带间的摩擦因数及传送带的长度。
题型三 “滑块－木板”模型综合问题
【解题指导】1．分析滑块与木板间的相对运动情况，确定两者间的速度关系、位移关系，注意两者速度相等时摩擦力可能变化.
2.用公式Q＝Ff·x相对或动能定理、能量守恒求摩擦产生的热量．
【核心归纳】“滑块—木板”模型问题的分析方法
(1)动力学分析：分别对滑块和木板进行受力分析，根据牛顿第二定律求出各自的加速度；从放上滑块到二者速度相等，所用时间相等，由t＝eq \f(Δv2,a2)＝eq \f(Δv1,a1)，可求出共同速度v和所用时间t，然后由位移公式可分别求出二者的位移．
(2)功和能分析：对滑块和木板分别运用动能定理，或者对系统运用能量守恒定律．如图所示，要注意区分三个位移：
①求摩擦力对滑块做功时用滑块对地的位移x滑；
②求摩擦力对木板做功时用木板对地的位移x板；
③求摩擦生热时用相对位移Δx.
【例1】（2023秋·天津和平·高三统考期末）如图所示，一张薄木板放在光滑水平面上，其右端放有小木块，小木块与薄木板的接触面粗糙，原来系统静止。薄木板突然受到一水平向右的瞬间冲量作用开始运动，直到小木块从薄木板上掉下来。上述过程中下列说法正确的是（ ）
A．木板对木块的摩擦力水平向左
B．摩擦力对木块做的功一定等于木块增加的动能
C．开始运动后， 木板减小的动能等于木块增加的动能
D．木块动能的增加一定小于系统摩擦产生的热能
【例2】．（2023·黑龙江哈尔滨·高三期中）质量为、长度为的小车静止在光滑的水平面上，质量为的小物块放在小车的最左端。现用一水平力作用在小物块上，小物块与小车之间的摩擦力为，经过一段时间小车运动的位移为，小物块刚好滑到小车的右端，则下列说法中正确的是（ ）
A．此时物块的动能为
B．此时小车的动能为
C．这一过程中，物块和小车增加的机械能为
D．这一过程中，系统因摩擦而损失的机械能为
【例3】．（2023·河北衡水·高三校联考阶段练习）如图所示，倾角为的粗糙斜面固定在水平地面上，斜面底端固定一与斜面垂直的弹性挡板C。长度为、质量为的长木板A置于斜面上，质量为的物块B（可视为质点）置于长木板上端，物块B与长木板A之间的动摩擦因数为，长木板A与斜面之间的动摩擦因数为，长木板A下端与挡板C的距离为。同时由静止释放长木板A和物块B，长木板A与挡板C碰撞后原速率返回。，重力加速度取。下列说法正确的是（ ）
A．长木板A刚开始沿斜面向下运动的加速度大小为
B．物块B在长木板A上运动的时间为
C．物块B在长木板A上运动的过程中，系统产生的内能为
D．物块B从长木板A上滑下后，A将不再沿斜面下滑
【例3】（2023·安徽芜湖·高三芜湖一中阶段练习）如图甲所示，质量m1 = 1kg的小物块A静止在一质量m2 = 0.5kg的足够长的木板B的左端。当小物块A受到一个水平向右的外力F作用时，测得A与B间摩擦力f随外力F的变化关系如图乙所示。现对小物块A施加水平向右的拉力F = 15N，作用2s后撤去。重力加速度取g = 10m/s2，各接触面间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力。求：
（1）物块A与木板B间的动摩擦因数μ1和木板B与地面间的动摩擦因数μ2；
（2）从拉力F开始作用到物块A和木板B均停止的时间t；
（3）物块A与木板B之间因摩擦而产生的热量Q和物块A对木板B做的功。
【例4】．（2023·福建福州·高三校联考期中）如图所示，木板L=5m，质量为M=2kg的平板车在粗糙水平面上向右滑行，当其速度为v=9m/s时，在其右端轻轻放上一个质量为m=1kg的滑块，已知滑块与木板间的动摩擦因数为μ1=0.2，木板与地面间的动摩擦因数为μ2=0.4，最大静摩擦力可视为等于滑动摩擦力，求：
（1）滑块与木板取得相同的速度前各自的加速度大小；
（2）从开始至最终停止，滑块与木板间因摩擦产生的热量Q；
（3）从开始至木板刚停止时，滑块、木板和地面组成的系统增加的内能U。
【例5】．（2023·重庆·一模）如图甲，物体A的质量m1= 1kg，静止在光滑水平面上的木板B的质量m2= 2kg，某时刻A以v0= 6m/s的初速度从左端滑上木板B的上表面，在A滑上B的同时，给B施加一个水平方向的拉力，随时间变化如图乙，共作用1.5s，以水平向右为正方向；已知A与B之间的动摩擦因数，木板B足够长（忽略物体A的大小）。求：
（1）0 ~ 1s内，物体A和木板B的加速度分别为多大；
（2）1.5s末，A、B的速度分别为多大；
（3）最终，物体A和木板B由于摩擦产生的热量（用分数表示）。
专题13 动力学和能量观点的综合应用
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc18780" 题型一 多运动组合问题 PAGEREF _Tc18780 \h 1
\l "_Tc20309" 题型二 “传送带”模型综合问题 PAGEREF _Tc20309 \h 13
\l "_Tc21438" 类型1 水平传送带问题 PAGEREF _Tc21438 \h 13
\l "_Tc6648" 类型2 倾斜传送带 PAGEREF _Tc6648 \h 26
\l "_Tc18836" 题型三 “滑块－木板”模型综合问题 PAGEREF _Tc18836 \h 35
题型一 多运动组合问题
【解题指导】1．分析思路
(1)受力与运动分析：根据物体的运动过程分析物体的受力情况，以及不同运动过程中力的变化情况；
(2)做功分析：根据各种力做功的不同特点，分析各种力在不同运动过程中的做功情况；
(3)功能关系分析：运用动能定理、机械能守恒定律或能量守恒定律进行分析，选择合适的规律求解．
2．方法技巧
(1)“合”——整体上把握全过程，构建大致的运动情景；
(2)“分”——将全过程进行分解，分析每个子过程对应的基本规律；
(3)“合”——找出各子过程之间的联系，以衔接点为突破口，寻求解题最优方案．
【例1】（2023·重庆沙坪坝·高三重庆八中阶段练习）如图甲所示，由弹丸发射器、固定在水平面上的37°斜面以及放置在水平地面上的光滑半圆形挡板墙（挡板墙上分布有多个力传感器）构成的游戏装置，半圆形挡板的半径0.2m，斜面高度，弹丸的质量为0.2kg。游戏者调节发射器，弹丸到B点时速度沿斜面且大小为5m/s，接着他将半圆形挡板向左平移使C、D两端重合且DO与BC垂直。挡板墙上各处的力传感器收集到的侧压力F与弹丸在墙上转过的圆心角θ之间的关系如图乙所示。弹丸受到的摩擦力均视为滑动摩擦力，g取。下列说法正确的是（ ）
A．弹丸到C点的速度为7m/s
B．弹丸与地面的动摩擦因数为0.6
C．弹丸与地面的动摩擦因数为0.06
D．弹丸与斜面的动摩擦因数为0.5
【答案】B
【详解】A．由图可知，在D点，挡板对弹丸的支持力为32.2N，由牛顿第二定律有
32.2 = m
代入数据有
v = m/s
由题知C、D两端重合，则C点的速度等于D点的速度，A错误；
D．弹丸从B到C过程由动能定理得
mgh - μ1mgcs37° = mv2 - mv2
代入数据有
μ1= 0.3
D错误；
BC．设弹丸与地面之间的动摩擦因数为μ2，设转过3rad后的速度为v，由动能定理得
- μ2mg3 × R = mv2 - mv2
在转过3rad后挡板对弹丸的支持力为25N，由牛顿第二定律得
25 = m
联立解得
μ1= 0.6
B正确、C错误。
故选B。
【例2】．（2023·高三课时练习）如图所示，斜面和水平面相交于B点，是竖直放置的半径为的光滑半圆轨道，与相切于C点，E点与圆心O点等高。质量为m的小球从离水平面h处由静止释放，经过水平面后并滑上半圆轨道，已知小球与水平地面及与斜面间的动摩擦因数都为，斜面的倾角，BC长，取，如果让小球进入半圆轨道后不脱离半圆轨道，则h的取值可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【详解】小球不脱离半圆轨道的临界条件有两个：
一是恰好从D点飞出，小球刚好能从D点飞出应满足
得
二是小球在半圆形导轨在E点减到速度为零，由动能定理
得
小球能进入半圆轨道有
得
，
故选AC。
【例3】．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，B、M、N分别为竖直光滑圆轨道上的三个点，B点和圆心等高，M点与O点在同一竖直线上，N点和圆心O的连线与竖直方向的夹角为α=45°现从B点的正上方某处A点由静止释放一个质量为m的小球，经圆轨道飞出后沿水平方向通过与O点等高的C点，已知圆轨道半径为R，重力加速度为g，则以下结论正确的是（ ）
A．A、B两点间的高度差为
B．C到N的水平距离为2R
C．小球在M点对轨道的压力大小为
D．小球从N点运动到C点的时间为
【答案】AC
【详解】A．从A点到C点,由动能定理得
从A点到N点
其中
联立解得
A正确；
BD．N到C的时间，根据速度与加速度的关系可得
则C到N的水平距离为
解得
BD错误；
C．从A到M点，由动能定理得
在M点，受力分析有
解得
C正确。
故选AC。
【例4】．（2023·广东汕头·统考一模）我国将于2022年举办冬奥会，跳台滑雪是其中最具观赏性的项目之一，如图所示为简化跳台滑雪的雪道示意图，助滑坡由长度55m的斜面AB（倾角θ＝37°）和半径25m的光滑圆弧BC组成，两者相切于B点，过圆弧最低点C的切线水平．CD为着陆坡（倾角α＝30°）．一运动员连同滑板（整体可视为质点）从A点由静止滑下，到C点以vc＝26m/s的速度水平飞出，不计空气阻力，重力加速度g＝10m/s2，sin37°＝0.6，关于该运动员，下列说法正确的是
A．经过C处时对轨道的压力约为其重力的2.7倍
B．在B点的速度大小为24m/s
C．在斜面AB上的运动时间约为4.6s
D．运动员落在着陆坡时的速度大小与C点速度vc大小成正比
【答案】BCD
【详解】A、在C点，有： ，代入数据得：，有牛顿第三定律得：，故A错误；
B、由B运动到C，由动能定理得：，代入数据得：，故B正确；
C、由A运动到B，由运动学公式得：，得：；由动量定理得：，解得：，故C正确；
D、运动员从C点飞出后，在空中做平抛运动落在斜面上的D点，位移偏向角为，则有，解得：；又，，联立解得：，即，故D正确．
【例5】（2023·重庆·统考模拟预测）如图所示，足够长的光滑倾斜轨道倾角为，圆形管道半径为R、内壁光滑，倾斜轨道与圆形管道之间平滑连接，相切于B点，C、D分别为圆形管道的最高点和最低点，整个装置固定在竖直平面内，一小球质量为m，小球直径略小于圆形管道内径，圆形管道内径远小于R，重力加速度为g，，。
（1）将圆形管道的上面三分之一部分（PDQ段）取下来，并保证剩余圆弧管道的P、Q两端等高，为使小球滑下后，在圆形管道内运动通过P点时，管道内壁对小球的作用力恰好为0，从倾斜轨道上距离C点多高的位置A由静止释放小球；
（2）若将圆形管道的DQB段取下来，改变小球在倾斜轨道上由静止释放的位置，小球从D点飞出后落到倾斜轨道时的动能也随之改变，求小球从D点飞出后落到倾斜轨道上动能的最小值（只考虑小球落到倾斜轨道上的第一落点）。
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）小球在圆形管道内运动通过P点时，管道内壁对小球的作用力恰好为0，则重力沿圆心方向的分力提供向心力
解得
小球从A点到P点，由动能定理得
解得
（2）将圆形管道的DQB段取下来，小球离开D点后做平抛运动，设小球落到斜面上时竖直位移为y，水平位移为x，落到倾斜轨道的动能为Ek，如图所示
竖直方向的位移
水平位移
小球从D点飞出后落到倾斜轨道上动能
根据几何关系可知
解得
小球动能有最小值时
动能最小值为
【例6】．（2023春·湖南衡阳·高三校考阶段练习）如图所示，固定在地面上、表面光滑的平台ABCOK由斜面AB和水平面BC组成，倾角为θ的斜面体ODE固定在地面上，O点在C点的正下方，AB与BC在B处通过一小段圆弧平滑连接。均可视为质点的a、b两小球质量分别为km、m，把小球b放置在C点，让a球从A点由静止开始下滑，两球在C点发生弹性碰撞，碰后b球做平抛运动，落到OD上。已知m = 0.5kg，，CO的高度为h = 1.2m，AK的高度为H = 1.65m。不计空气阻力。
（1）求a、b发生碰撞前的瞬间，a的速度v0的大小；
（2）a、b碰撞后的瞬间，若b的动能是a的动能的8倍，求k的值；
（3）求b落到斜面OD前瞬间的动能Ek与平抛运动竖直下落位移y之间的函数关系式（用Ek、mg、h、y来表示），并讨论Ek的最小值以及相对应的k值。
【答案】（1）3m/s；（2）0.5或2；（3）见解析
【详解】（1）小球a从A到C的过程由机械能守恒定律可得
解得
v0 = 3m/s
（2）设碰撞后瞬间a、b速度分别为v1和v2，由动量守恒定律可得
由能量守恒定律可得
综合解得
，
由题意可得
综合可得
则有
解得
k = 0.5或k = 2
（3）设b平抛运动的时间为t，水平位移为x，由平抛运动的规律可得
，
由几何关系可得
b落到斜面OD上时的动能为
综合可得
由数学知识可得
时，Ek取最小值
再结合
综合解得
（另一解舍去）
【例7】．（2023·山东·模拟预测）如图所示，桌面右侧的水平地面有一竖直放置的半径为R的光滑圆弧轨道为其竖直直径，桌面与圆弧轨道MNP中间有一光滑管道Q，其右端与P相切平滑连接，管道内径略大于小球直径，桌面到水平地面的竖直距离也为R，劲度系数为k的轻质弹簧放置在光滑的水平桌面上，一端固定在光滑桌面左端的挡板上。一质量为m、可视为质点的小球与弹簧不粘连，现移动小球压缩弹簧后由静止释放小球，小球到达圆弧的C点时刚好脱离轨道。已知弹簧压缩量为s，弹簧弹性势能的表达式为（x为弹簧的形变量），不计其他阻力及小球在管道Q和圆弧轨道中运动的能量损耗，重力加速度为g。
（1）求C点与O点的高度差h；
（2）若只改变小球的质量，使小球运动过程中不脱离圆弧轨道，求小球质量的取值范围。
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）小球到达圆弧的C点时刚好脱离轨道，则小球在C点只有重力沿方向的分力提供向心力，设重力方向与的夹角为θ，由牛顿第二定律有
由几何关系有
从静止释放到C点，由能量守恒定律有
联立解得
（2）小球在运动过程中不脱离轨道，可知小球能通过M点，则应有
从静止释放到M点，由能量守恒定律有
解得
【例8】．（2023·浙江金华·统考模拟预测）小丁同学设计了一个玩具遥控赛车的轨道装置，轨道的主要部分可简化为如图所示的模型，水平轨道AB和倾斜轨道OD分别与圆轨道相切于B点和D点，弯曲轨道AE与水平轨道平滑连接，E点切线方向恰好水平。O点固定一弹射装置，刚开始时装置处于锁定状态。当赛车从A点出发经过圆轨道进入OD轨道，到达O点时恰好可以触发弹射装置将赛车原路弹回，最终进入回收装置F。测得赛车与弹射装置碰撞时机械能损失，每次弹射后装置可自动锁定到初始时的弹性势能值。已知赛车质量为，电动机功率恒为，圆轨道半径为，E点离水平轨道高度和与F点间水平距离均为，AB轨道长，赛车在水平轨道上运动时所受阻力等于其对轨道压力的0.25倍，赛车在轨道其余部分上所受摩擦力可忽略，赛车看成质点。
（1）若赛车恰好能过C点，求赛车经过H点时对轨道的压力大小；
（2）若某次测试时，赛车电动机工作，经过一次弹射后恰好落入回收装置之中，则此次测试中给弹射装置设置的弹性势能为多大？
（3）若某次测试时，赛车电动机工作，最终停在水平轨道AB上，且运动过程中赛车不能脱轨，求弹射装置的弹性势能取值范围。
【答案】（1）6N；（2）2.3J；（3）
【详解】（1）赛车恰好过C点，根据牛顿第二定律
解得
从H到C，由动能定理有
解得
根据指向圆心方向合力提供向心力有
解得
根据牛顿第三定律在H点对轨道压力；
（2）赛车从E到F做平抛运动，有
解得
对赛车，从A出发最终到E的过程中，根据功能关系可得
代入数据解得
（3）题中所述赛车最终停在水平轨道AB上，有两种临界情况
①假设赛车第一次弹回时，恰好能过C点，此时最小，由上分析可知
小车从出发到第二次经过C点，根据能量守恒定律
解得
设赛车最高到达A点右侧弯曲轨道上高度h处，从C点到高度h处，根据动能定理
可得
所以赛车不会从E点飞出，有
②假设赛车第一次弹回时，恰好能运动到E点，从E点滑下到左侧圆轨道，根据动能定理
可得
则
赛车要脱离轨道。所以赛车从AE轨道返回时最多运动到H点，设赛车从AE返回时恰能到达H点，从出发到从AE返回恰运动到H点的过程，根据能量守恒定律
解得
综上，当
时可满足要求。
题型二 “传送带”模型综合问题
【解题指导】1．计算摩擦力对物块做的功和摩擦力对传送带做的功要用动能定理，计算摩擦产生的热量要用Q＝Ffx相对或能量守恒定律.
2.电机做的功一部分增加物块的机械能，一部分转化为因摩擦产生的热量．
【核心归纳】1．设问的角度
(1)动力学角度：首先要正确分析物体的运动过程，做好受力分析，然后利用运动学公式结合牛顿第二定律求物体及传送带在相应时间内的位移，找出物体和传送带之间的位移关系。
(2)能量角度：求传送带对物体所做的功、物体和传送带由于相对滑动而产生的热量、因放上物体而使电动机多消耗的电能等，常依据功能关系或能量守恒定律求解。
2．功能关系分析
(1)功能关系分析：W＝ΔEk＋ΔEp＋Q。
(2)对W和Q的理解
①传送带克服摩擦力做的功：W＝Ffx传；
②产生的内能：Q＝Ffx相对。
类型1 水平传送带问题
【例1】（2023·海南海口·海南华侨中学校考模拟预测）如图所示，质量为m的物体在水平传送带上由静止释放，传送带由电动机带动，始终保持以速度v匀速运动，物体与传送带间的动摩擦因数为μ，物体过一会儿能保持与传送带相对静止，对于物体从静止释放到相对静止这一过程中，下列说法正确的是（ ）
A．摩擦力对物体做的功为mv2
B．电动机多做的功为
C．系统产生的内能为
D．传送带克服摩擦力做的功为
【答案】C
【详解】A．根据动能定理有，摩擦力对物体做的功为
故A错误；
B．电动机多做的功转化为物体的动能和内能，所以电动机多做的功一定大于，故B错误；
CD．设共速前物体相对地面的位移为，传送带相等地面的位移为则有
，
可知
可知传送带克服摩擦力做的功为摩擦力对物体做功的二倍，即为，则系统产生的内能为
故C正确，D错误。
故选C。
【例2】（2023·山东·高三专题练习）我国物流市场规模连续七年位列全球第一。某物流分拣中心为转运货物安装有水平传送带，传送带空载时保持静止，一旦有货物置于传送带上，传送带就会以的加速度向前加速运行。在传送带空载的某时刻，某质量为20kg的货物向前以3m/s的初速度滑上传送带。已知传送带长为6m，货物和传送带之间的动摩擦因数为0.2，取，求：
（1）货物用多长时间到达传送带末端；
（2）整个过程传送带对货物做的功；
（3）传送带与货物由于摩擦产生的热量。
【答案】（1）3s；（2）0；（3）60J
【详解】（1）对货物受力分析，由牛顿第二定律可知
解得
设经时间t1两者共速，则
解得
故货物运动1s后两者共速。此时的速度大小
货物的位移
由题意知，两者共速后，一起以加速度a做匀加速直线运动，设两者共速后，货物再运动时间t2到达传送带末端，则
解得
所以货物到达传送带末端所用的时间
（2）设货物到达传送带末端的速度大小为，则
解得
货物从被推上传送带至到达传送带末端的过程，由动能定理得
解得
（3）货物和传送带之间的相对位移
所以整个过程因摩擦产生的热量
【例3】（2023·全国·二模）如图所示，一质量的物块以的速度从B端进入水平传送带，最后能从C点水平抛出，已知水平传送带长，该物块与传送带间的动摩擦因数，传送带以速度为v顺时针方向转动，物块可视为质点且不考虑传送带滑轮大小。重力加速度。求：
（1）当传送带的速度时，将物块从B传送到C过程中物块与传送带间因摩擦而产生的热量是多少？
（2）若在传送带右侧加装一个收集装置，如图所示，其内边界截面为四分之一圆弧，C点为圆心，半径为。调节传送带速度大小，使该物块从C点抛出后，落到收集装置时动能最小，则该物块落到收集装置时最小动能是多少？
【答案】（1）2J；（2）7.5J
【详解】（1）小物块的加速度
小物块的加速时间
小物块匀加速的位移
则小物块先加速后匀速，传送带的位移
二者的相对位移
产生的热量
（2）令小物块从C点飞出后速度为，水平方向有
竖直方向有
根据几何关系有
根据动能定理有
解得
由数学知识可知，当时，最小，解得
【例4】．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，一个工作台由水平传送带与倾角θ = 37°的斜面体组成，传送带AB间的长度L = 1.7m，传送带顺时针匀速转动，现让质量m = 1kg的物块以水平速度v0 = 5m/s从A点滑上传送带，恰好能滑到斜面上高度h = 1.08m的C点，物块与斜面体和传送带之间的动摩擦因数均为μ = 0.5，传送带与斜面平滑连接，g取10m/s2。（sin37° = 0.6，cs37° = 0.8）
（1）求物块由A运动到B时的速度大小vB；
（2）求物块由A运动到C所需要的时间t；
（3）若改变传送带转速，物块以初动能Ekx从A点水平滑上传送带，滑上斜面后恰好能返回出发点A，求物块初动能Ekx的取值范围。
【答案】（1）6m/s；（2）0.9s；（3）34J ≤ Ekx ≤ 51J
【详解】（1）物块从B运动到C过程，由动能定理可得
－mgh－μmgcs37°· = 0－mvB2
解得
vB = 6m/s
（2）设物块从A运动到B过程中速度从v0到vB的位移是x，由动能定理可得
mvB2－mv02 = μmgx
解得
x = 1.1m < L
即物块在传送带上先匀加速到vB，然后在传送带上匀速运动。设物块在传送带上匀加速时间为t1，有
vB = v0＋at1
a = μg
解得
t1 = 0.2s
设物块在传送带上匀速时间为t2，有
L－x = vBt2
解得
t2 = 0.1s
设物块从B运动到C所用时间为t3，由牛顿第二定律可得
mgsin37°＋μmgcs37° = ma′
又
0 = vB－a′t3
联立可得
t3 = 0.6s
物块由A运动到C所需要的时间为
t = t1＋t2＋t3 = 0.9s
（3）根据题意，要让物块滑上斜面后恰好能返回出发点A，则设物块滑上斜面上滑距离s后返回，且经皮带减速刚好回到A点速度为零，故物块从开始沿斜面下滑到达A点过程，根据动能定理可
mgs∙sin37°－μmgcs37°∙s－μmgL = 0
解得
s = 4.25m
当物块滑上传送带后第一次到B点的过程中，传送带对物块的摩擦力一直对物块做负功，且物块能够沿斜面上滑距离s，此时物块的初动能最大，且有
－μmgcs37°∙2s－μmg∙2L = 0－Ekmax
解得
Ekmax = 51J
当物块滑上传送带后第一次到B点的过程中，传送带对物块的摩擦力一直对物块做正功，且物块能够沿斜面上滑距离s，此时物块的初动能最小，且有
μmgL－μmgcs37°∙2s－μmgL = 0－Ekmin
解得
Ekmin = 34J
综上可得
34J ≤ Ekx ≤ 42.5J
【例5】（2023·江苏·高三专题练习）如图所示，水平传送带AB长l=5m，以10m/s的速度顺时针传输。质量m=1kg的滑块可以视作为质点。放在与AB等高的平台BC上，距离B点为L=4m。滑块在B点右侧始终受到水平向左的恒定外力F=6N。已知滑块和AB、BC间的动摩擦因素分别为μ1=0.20、μ2=0.40.
（1）滑块第一次运动到B点时的动能Ek0；
（2）滑块第一次从B点滑上传送带到再次返回B处所用的时间t；
（3）滑块运动全过程中在BC上因摩擦产生的总热量。
【答案】（1）8J；（2）4s；（3）24J
【详解】（1）滑块从开始至第一次到B点，由动能定理得
FL-μ= Ek0
解之得
Ek0=8J
（2）从B点向左减速过程
得
x=4m
t1==2s
又
v=4m/s<10m/s
所以返回到B的时间
t2=t1=2s
t总=4s
（3）滑块运动全过程中在BC上因摩擦产生的总热量
Q=FL=24J
【例6】．（2023·江苏徐州·高三专题练习）如图所示，水平轨道OC的右端C贴近同高度的水平传送带轨道的左端，其中OB段光滑，BC段粗糙，传送带与竖直面内的光滑半圆形轨道DE相切于D点，已知BC＝CD＝L＝2m，圆轨道半径R＝0.4m，弹簧左端固定在墙壁上，自由放置时其右端在B点。一个质量m＝0.5kg的物块（视为质点）将弹簧压缩到A点并锁定，物块与水平轨道BC、传送带间的动摩擦因数均为，重力加速度。
（1）若传送带逆时针转动，要使物块始终不脱离轨道，解除锁定前弹簧的弹性势能多大？
（2）若传送带顺时针转动，锁定前弹簧的弹性势能取第（1）问中的最大值，若要使物块在半圆轨道上运动的过程中不脱离轨道，试计算传送带的速度范围；
（3）在第（1）问的情形下，且弹簧的弹性势能取最大值，试写出物块最后的静止位置到C点的间距d与传送带速度v间的定量关系。
【答案】（1）；（2）或；（3）见解析
【详解】（1）若传送带逆时针转动，要使物块始终不脱离轨道，物块最多上升到半圆轨道与圆心等高处，则根据能量守恒定律，解除锁定前弹簧弹性势能的最大值为
所以解除锁定前弹簧弹性势能
（2）若物块刚好能通过半圆轨道的最高点E，则根据牛顿第二定律有
解得
物块从D到E的过程中，根据机械能守恒定律有
解得
物块被弹簧弹出滑到C点的过程中，根据能量守恒定律有
解得
若传送带以速度顺时针转动，设物块向右加速运动的位移为x，根据动能定理有
解得
若物块只能上升到与圆心等高处，根据机械能守恒定律有
解得
设物块在传送带上向右减速到的位移为，根据动能定理有
解得
所以传送带可以逆时针转动且速度任意大小，传送带也可以顺时针转动且速度
或
（3）设物块返回传送带后一直向左加速运动，根据动能定理有
解得
设物块沿水平轨道刚好减速到B点，根据动能定理有
解得
①若传送带速度，则物块在传送带上一直加速到，然后滑上水平轨道，先向左减速运动，被弹簧弹回后再向右减速运动，其总路程为s，根据动能定理有
解得
物块静止位置在C点的左侧与C点的间距为
②若传送带的速度，则物块在传送带上向左减速到与传送带共速；
若传送带的速度，则物块在传送带上向左加速到与传送带共速
上述两种情况下，物块在水平轨道上向左减速到静止，减速路程为d，根据动能定理有
物块静止位置在C点的左侧与C点的间距为
③传送带的速度，物块向左加速到与传送带共速，然后滑上水平轨道，先向左减速运动，被弹簧弹回后再向右减速运动，其总路程为s，根据动能定理有
物块静止位置在C点的左侧与C点的间距为
【例7】．（2023·新疆阿勒泰·高三校考阶段练习）如图所示为某建筑工地所用的水平放置的运输带，在电动机的带动下运输带始终以恒定的速度顺时针传动。建筑工人将质量为的建筑材料静止地放到运输带的最左端，同时建筑工人以的速度向右匀速运动。已知建筑材料与运输带之间的动摩擦因数为，运输带的长度为，重力加速度大小为。求：
（1）建筑工人比建筑材料早到右端的时间；
（2）因运输建筑材料电动机多消耗的能量；
（3）运输带对建筑材料做的功。
【答案】（1）0.5s；（2）2J；（3）1J
【详解】（1）建筑工人匀速运动到右端，所需时间
假设建筑材料先加速再匀速运动，加速时的加速度大小为
加速的时间为
加速运动的位移为
假设成立，因此建筑材料先加速运动再匀速运动，匀速运动的时间为
因此建筑工人比建筑材料早到达右端的时间为
（2）（3）建筑材料与运输带在加速阶段因摩擦产生热量，该过程中运输带的位移为
则因摩擦而产生的热量为
由动能定理可知，运输带对建筑材料做的功为
可得因运输建筑材料电动机多消耗的能量为
【例8】．（2023·宁夏石嘴山·高三石嘴山市第三中学校考期中）如图所示，在光滑水平面AB、CD之间连接一长度为L=2m的传送带，圆心为O、半径为R=0.2m的竖直光滑半圆轨道DEG与水平面AD在D点平滑连接，其中FG段为光滑圆管，E和圆心O等高，∠EOF=。可视为质点的小物块从A点以v0=2.5m/s的初速度向右滑动，已知小物块的质量m=1kG，与传送带间的摩擦因数μ=0.1，重力加速度G取10m/s2。
（1）若传送带不转，求小物块滑到圆轨道D点时的速度大小；
（2）若传送带以v=2m/s的速率顺时针方向转动，求小物块能到达圆轨道的最大高度；
（3）若要求小物块在半圆轨道内运动中始终不脱轨且不从G点飞出，求传送带顺时针转动速度大小的可调范围。
【答案】（1）； （2）； （3）或
【详解】（1）A到D过程，对小物块由动能定理
（2）B到C过程，先减速运动，加速度大小为，则有
解得
假设物块能减速到与传送带共速，有
解得
因此小物块在传送带上先减速再匀速，到达C点时的速度为
假设物块能到达圆轨道的最大高度h时速度可以减为0，则C到圆轨道某点，速度减为0过程，对小物块由动能定理
解得
即物块刚好到达圆轨道E点。
（3）若刚好到达E点不脱轨，由第（1）、（2）问可知
所以
若刚好到达F点不脱轨，在F点有
C到F过程，对小物块由动能定理
解得
若刚好到达G点不脱轨，在G点有
C到G过程，对小物块由动能定理
解得
要保证小物块在段圆弧运动中不脱轨且不从G点飞出，从C点滑出的速度应满足
若物块在传送带上全程加速，有
解得
综上所述，传送带顺时针方向转动的速度应满足
或
类型2 倾斜传送带
【例2】(多选)6月份是收割小麦的季节，如图甲所示，粮库工作人员通过传送带把小麦堆积到仓库内．其简化模型如图乙所示，工作人员把一堆小麦轻轻地放在倾斜传送带的底端，小麦经过加速和匀速两个过程到达传送带顶端，然后被抛出落到地上．已知传送带与地面的夹角为θ，两轴心间距为L，传送带以恒定的速度v顺时针转动，忽略空气阻力，重力加速度为g，以地面为零势能面，对于其中一颗质量为m的麦粒P(如图所示)的说法正确的是( )
A．在匀速阶段，其他麦粒对麦粒P不做功
B．在传送带上运动时，其他麦粒对麦粒P做的功为eq \f(1,2)mv2＋mgLsin θ
C．麦粒P离开传送带后(未落地)的机械能为eq \f(1,2)mv2＋2mgLsin θ
D．麦粒P克服重力做功的最大值为mgLsin θ＋eq \f(mv2sin2θ,2)
【答案】 BD
【解析】 选麦粒P为研究对象，在匀速阶段，根据动能定理W－WG＝0，其他麦粒对麦粒P做功，A错误；在传送带上运动时，根据动能定理W＋WG＝eq \f(1,2)mv2－0，WG＝－mgLsin θ，解得W＝eq \f(1,2)mv2＋mgLsin θ，B正确；麦粒P刚离开传送带时，机械能为E＝mgLsin θ＋eq \f(1,2)mv2，在抛出过程机械能守恒，则麦粒P离开传送带后(未落地)的机械能为eq \f(1,2)mv2＋mgLsin θ，C错误；麦粒P离开传送带做斜抛运动，竖直分速度为vy＝vsin θ，则麦粒P上升的高度为vy2＝2gh，解得h＝eq \f(v2sin2 θ,2g)，则麦粒P克服重力做功的最大值W＝mg(Lsin θ＋h)＝mgLsin θ＋eq \f(mv2sin2 θ,2)，D正确．
【例2】（2023·内蒙古包头·统考二模）如图，高为h倾角为的粗糙传送带以速率顺时针运行，将质量为m的小物块轻放到皮带底端，同时施以沿斜面向上的拉力使物块做匀加速直线运动，不考虑轮的大小，物块运动到斜面顶端时速率为，物块与传送带之间的动摩擦因数为，重力加速度为g，则下列说法正确的是（ ）
A．摩擦力对物块所做的功为
B．整个过程皮带与物块间产生的热量为
C．拉力所做的功为
D．皮带因传送物块多消耗的电能为
【答案】BC
【详解】A．物块向上做匀加速直线运动，则有
物块与皮带达到同速之前，物块所受摩擦力方向沿皮带向上，此过程的位移
物块与皮带达到同速之后，物块所受摩擦力方向沿皮带向下，此过程的位移
解得
，
则摩擦力对物块所做的功为
解得
A错误；
C．根对物块，根据动能定理有
解得
C正确；
B．物块与皮带达到同速之前经历的时间
结合上述解得
物块与皮带达到同速之后经历的时间
结合上述解得
则前后过程的相对位移分别为
，
则整个过程皮带与物块间产生的热量为
B正确；
D．传送带通过摩擦力对物块做功消耗能量，根据上述，摩擦力对物块所做的功为，即表明物块对传送带做正功，则传送带并没有多消耗能量，D错误。
故选BC。
【例3】（2023春·辽宁朝阳·高三统考开学考试）如图甲所示，向飞机上装货时，通常用到可移动式皮带输送机，简化模型如图乙所示，皮带输送机倾角为，顺时针匀速转动，每隔2s在输送带下端A点无初速放入一件货物（货物足够多）。每件货物从下端A点运动到上端B点的过程中，其机械能E与位移s的关系图像（以A位置为零势能参考面）如图丙所示。已知货物均可视为质点，质量均为，重力加速度g取10，。则（ ）
A．货物与输送带间的动摩擦因数为0.875
B．输送带A、B两端点间的距离为8m
C．每件货物从下端A点运动到上端B点的时间为9s
D．皮带输送机因运送一件货物而多消耗的能量为515J
【答案】AC
【详解】A．由图像可知，货物从开始运动到与传送带相对静止，可知
解得
μ=
A正确；
B．由图像可知，物块沿传送带向上运动后与传送带相对静止，此后物块的动能不变，重力势能增加，则
解得
则输送带A、B两端点间的距离为
B错误；
C．加速阶段的加速度大小为
传送带的速度大小为
则加速的时间为
匀速的时间为
共用时间为
C正确；
D．每一件货物从低端到顶端要消耗的能量为
D错误。
故选AC。
【例4】（2023·河北沧州·河北省吴桥中学校考模拟预测）如图所示，绷紧的传送带与水平面所成的角为37°，在电动机的带动下，传送带以2m/s的恒定速率顺时针运行，现将一质量为20kg的货物（可视为质点）轻轻放在传送带底端，货物被传送到h=3m的高处，货物与传送带间的动摩擦因数为μ=0.8，sin37°=0.6，cs37°=0.8，重力加速度g取10m/s2，下列说法正确的是（ ）
A．货物先受到滑动摩擦力作用，后受到静摩擦力作用
B．货物在传送带上运动的时间为6s
C．货物的机械能增加了1280J
D．货物与传送带间由于摩擦产生的热量为640J
【答案】D
【详解】A．货物刚放在传送带上时，对货物有
解得
达到与传送带等速需要的时间为
此过程货物运动的位移的大小为
刚好到达传递带顶端，所以货物在传送带上一直做匀加速直线运动，一直受到滑动摩擦力作用，故A错误；
B．货物在传送带上运动的时间为5s，故B错误；
C．货物的机械能增加了
故C错误；
D．货物与传送带间由于摩擦产生的热量为
故D正确。
故选D。
【例5】（2023·贵州黔东南·凯里一中校考模拟预测）如图所示为某小型购物商场的电梯，长L＝7.0m，倾角θ＝37°。在某次搬运货物时，售货员将质量为m＝50kg的货物无初速度放在电梯的最下端，然后启动电机，电梯先以a0＝1m/s2的加速度向上做匀加速运动，速度达到v0＝2m/s后匀速运动。已知货物与电梯表面的动摩擦因数μ＝0.8，重力加速度g＝10m/s2，不计空气阻力。求：
（1）货物从电梯底端运动到顶端所用的时间；
（2）电机因运送该货物多做的功（忽略电梯自身动能的变化）。
【答案】（1）6s；（2）3160J
【详解】（1）对货物进行受力分析，货物受到重力、支持力和沿斜面向上的摩擦力，当摩擦力是最大静摩擦力时，货物获得的加速度最大
解得
所以货物先做加速度为0.4 m/s2的加速度向上做匀加速运动，当速度与传送带速度相等时再做匀速直线运动。根据匀变速直线运动规律，货物加速阶段的位移为
匀加速运动所需要的时间为
之后做匀速直线运动，匀速运动的时间为
货物从电梯底端运动到顶端所用的时间
（2）根据功能关系，可知电机因运送该货物多做的功等于货物增加的动能和重力势能以及在皮带上产生的热量
联立解得
W＝3160J
【例6】（2023秋·山东青岛·高三统考期末）如图甲，为机场工作人员利用倾斜传送带向飞机货仓装载行李的场景，传送带保持恒定速率向上运行。工作人员将行李箱间隔相同时间连续无初速度地放在传送带底端，所有行李箱在进入飞机货舱前都已做匀速运动，且相邻两个行李箱间不发生碰撞。如图乙，A、B、C、D是传送带上4个进入货仓前匀速运动的行李箱，其中A与B、B与C间的距离均为d，C与D间的距离小于d。已知传送带运行的速率为，倾角为，传送带的长度为L，重力加速度为g，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法正确的是（ ）．
A．A、B、C、D与传送带间动摩擦因数相同，均满足
B．A、B、C与传送带间动摩擦因数大于D与传送带间动摩擦因数
C．工作人员往传送带底端放置行李箱的时间间隔
D．若A的质量为m，则由于传送A，驱动传送带的电机额外消耗的电能
【答案】C
【详解】AB．传送带运行的速率为，工作人员将行李箱间隔相同时间连续无初速度地放在传送带底端，则行李箱放在传送带上的初始位置间的距离相同，行李箱放在传送带上后，先加速，后匀速，设加速时间为t，加速过程的位移为x1，则对行李箱有
行李箱加速时，传送带的位移为x2，则
行李箱加速时，与传送带的相对位移为
A与B、B与C间的距离均为d，C与D间的距离小于d，则A、B、C与传送带间动摩擦因数相同，D与传送带间动摩擦因数大于A、B、C与传送带间动摩擦因数，且A、B、C、D与传送带间动摩擦因数均满足，AB错误；
C．由以上分析知，A、B、C释放的初始位置间距等于它们匀速后的位置间距d，则工作人员往传送带底端放置行李箱的时间间隔为
C正确；
D．根据能量守恒定律知，驱动传送带的电机额外消耗的电能转化为了A的机械能和摩擦产生的热能，有
D错误。
故选C。
【例7】（2023·安徽·校联考三模）如图1所示，光滑的六分之一圆弧轨道竖直放置，底端通过光滑轨道与一倾斜传送带连接，倾斜传送带的倾角为，小物块b静止于Q点，一质量为的小物块a从圆弧轨道最高点P以初速度沿圆弧轨道运动，到最低点Q时与另一质量为的小物块b发生弹性正碰（碰撞时间极短）。碰撞后两物块的速率均为，且碰撞后小物块b沿传送带方向运动，物块b通过光滑轨道滑上传送带时无能量损失。已知圆弧轨道半径为，传送带顺时针匀速转动，物块b在传送带上运动时，物块b相对传送带的速度v如图2所示，规定沿传送带向下为正方向，重力加速度取，求：
（1）碰撞前瞬时小物块a的速度大小；
（2）碰撞后小物块a能上升的最大高度及在最高点对圆弧轨道的压力大小；
（3）物块b与传送带间的摩擦因数及传送带的长度。
【答案】（1）；（2），；（3），
【详解】（1）对小物块a由P到Q由动能定理得
代入数据解得
（2）由题意可知，碰撞后物块a和物块b的速率均为，且由动量守恒可知，物块a碰后的速度方向向左。设碰撞后小物块a能上升的最大高度为h，由动能定理得
代入数据解得
设小物块a上升到最大高度处与O点连线与竖直方向的夹角为，由几何关系可知
在最高点由平衡可得
联立解得
（3）由题意可知，传送带的速度大小为，则有
且
小物块b在传送带上运动时由牛顿第二定律可得
联立解得
对第一阶段小物块b有
同理第二阶段有
联立解得
题型三 “滑块－木板”模型综合问题
【解题指导】1．分析滑块与木板间的相对运动情况，确定两者间的速度关系、位移关系，注意两者速度相等时摩擦力可能变化.
2.用公式Q＝Ff·x相对或动能定理、能量守恒求摩擦产生的热量．
【核心归纳】“滑块—木板”模型问题的分析方法
(1)动力学分析：分别对滑块和木板进行受力分析，根据牛顿第二定律求出各自的加速度；从放上滑块到二者速度相等，所用时间相等，由t＝eq \f(Δv2,a2)＝eq \f(Δv1,a1)，可求出共同速度v和所用时间t，然后由位移公式可分别求出二者的位移．
(2)功和能分析：对滑块和木板分别运用动能定理，或者对系统运用能量守恒定律．如图所示，要注意区分三个位移：
①求摩擦力对滑块做功时用滑块对地的位移x滑；
②求摩擦力对木板做功时用木板对地的位移x板；
③求摩擦生热时用相对位移Δx.
【例1】（2023秋·天津和平·高三统考期末）如图所示，一张薄木板放在光滑水平面上，其右端放有小木块，小木块与薄木板的接触面粗糙，原来系统静止。薄木板突然受到一水平向右的瞬间冲量作用开始运动，直到小木块从薄木板上掉下来。上述过程中下列说法正确的是（ ）
A．木板对木块的摩擦力水平向左
B．摩擦力对木块做的功一定等于木块增加的动能
C．开始运动后， 木板减小的动能等于木块增加的动能
D．木块动能的增加一定小于系统摩擦产生的热能
【答案】BD
【详解】A．薄木板受到水平向右的瞬间冲量作用开始向右运动，小木块相对木板向左运动，则木板对木块的摩擦力水平向右，选项A错误；
B．根据动能定理可知摩擦力对木块做的功一定等于木块增加的动能，选项B正确；
C．根据能量守恒可知开始运动后，木板减小的动能等于木块增加的动能和系统摩擦产生的热能之和，选项C错误；
D．做出运动情景如图：
小木块掉下来时有
，
即
，
联立解得
所以
对于系统，摩擦产生的热能
对于小木块，根据动能定理有
故
即木块动能的增加一定小于系统摩擦产生的热能，选项D正确。
故选BD。
【例2】．（2023·黑龙江哈尔滨·高三期中）质量为、长度为的小车静止在光滑的水平面上，质量为的小物块放在小车的最左端。现用一水平力作用在小物块上，小物块与小车之间的摩擦力为，经过一段时间小车运动的位移为，小物块刚好滑到小车的右端，则下列说法中正确的是（ ）
A．此时物块的动能为
B．此时小车的动能为
C．这一过程中，物块和小车增加的机械能为
D．这一过程中，系统因摩擦而损失的机械能为
【答案】BD
【详解】A．根据动能定理，物块的动能为
A错误；
B．小车的动能为
B正确；
C．物块和小车增加的机械能等于外力做功与摩擦生热之差
C错误；
D．系统因摩擦而损失的机械能为
D正确。
故选BD。
【例3】．（2023·河北衡水·高三校联考阶段练习）如图所示，倾角为的粗糙斜面固定在水平地面上，斜面底端固定一与斜面垂直的弹性挡板C。长度为、质量为的长木板A置于斜面上，质量为的物块B（可视为质点）置于长木板上端，物块B与长木板A之间的动摩擦因数为，长木板A与斜面之间的动摩擦因数为，长木板A下端与挡板C的距离为。同时由静止释放长木板A和物块B，长木板A与挡板C碰撞后原速率返回。，重力加速度取。下列说法正确的是（ ）
A．长木板A刚开始沿斜面向下运动的加速度大小为
B．物块B在长木板A上运动的时间为
C．物块B在长木板A上运动的过程中，系统产生的内能为
D．物块B从长木板A上滑下后，A将不再沿斜面下滑
【答案】AC
【详解】A．对物块B由牛顿第二定律得
解得
对长木板A由牛顿第二定律得
解得
A正确；
B．由匀变速直线运动规律得长木板A运动到挡板所用的时间满足
解得
此时物块B运动的位移为
长木板A沿斜面向上运动，由牛顿第二定律得
解得
由匀变速直线运动规律得
解得
物块B在长木板A上运动的时间为
B错误；
C．物块B在长木板A上运动产生的内能为
长木板A在斜面上运动产生的内能为
系统产生的内能为
C正确；
D．物块B从长木板A上滑下时，长木板A的速度为
由于
长木板A会沿斜面下滑，D错误。
故选AC。
【例3】（2023·安徽芜湖·高三芜湖一中阶段练习）如图甲所示，质量m1 = 1kg的小物块A静止在一质量m2 = 0.5kg的足够长的木板B的左端。当小物块A受到一个水平向右的外力F作用时，测得A与B间摩擦力f随外力F的变化关系如图乙所示。现对小物块A施加水平向右的拉力F = 15N，作用2s后撤去。重力加速度取g = 10m/s2，各接触面间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力。求：
（1）物块A与木板B间的动摩擦因数μ1和木板B与地面间的动摩擦因数μ2；
（2）从拉力F开始作用到物块A和木板B均停止的时间t；
（3）物块A与木板B之间因摩擦而产生的热量Q和物块A对木板B做的功。
【答案】（1）0.60；（2）10s；（3）45J，225J
【详解】（1）根据A与B间摩擦力f随外力F的变化关系可得A与B间滑动摩擦力为
B与地面的滑动摩擦力为
则有
解得
（2）拉力F = 15N开始作用在物块A时，对物块A分析，根据牛顿第二定律得
对木板B分析，根据牛顿第二定律得
解得
拉力F作用2s时物块A和木板B的速度分别为
解得
撤去拉力F直到物块A和木板B共速的过程中，物块A的加速度大小满足
物块A和木板B的共速时满足
解得
物块A和木板B共速后直到停止的过程中，整体的加速度大小满足
解得
减速的时间
所以从拉力F开始作用到物块A和木板B均停止的时间
（3）从拉力F开始作用到物块A和木板B共速的过程中，物块和木板的相对位移
因此物块A与木板B因摩擦而产生的热量
解得
物块A与木板B发生相对运动的过程中，木板B的位移
物块A与木板B间发生相对运动的过程中滑动摩擦力对木板B做的功
Wf1 = f1x
解得
Wf1 = 112.5J
物块A与木板B共速后一起运动的过程中静摩擦力对木板B做的功
Wf2 = f2x2
物块A与木板B共速过程中木板B受到A给他的摩擦力为
f2 = m1a = 2N
物块A与木板B共速过程的位移为
解得
Wf2 = 112.5J
则整个过程中物块A对木板B做的功
W = Wf1＋Wf2 = 225J
【例4】．（2023·福建福州·高三校联考期中）如图所示，木板L=5m，质量为M=2kg的平板车在粗糙水平面上向右滑行，当其速度为v=9m/s时，在其右端轻轻放上一个质量为m=1kg的滑块，已知滑块与木板间的动摩擦因数为μ1=0.2，木板与地面间的动摩擦因数为μ2=0.4，最大静摩擦力可视为等于滑动摩擦力，求：
（1）滑块与木板取得相同的速度前各自的加速度大小；
（2）从开始至最终停止，滑块与木板间因摩擦产生的热量Q；
（3）从开始至木板刚停止时，滑块、木板和地面组成的系统增加的内能U。
【答案】（1）2m/s2，7m/s2；（2）10.2J；（3）80.28J
【详解】（1）滑块与木板取得相同的速度前，对滑块和木板根据牛顿第二定律分别有
解得
，
（2）设经过t1时间两者速度相等，根据运动学规律有
解得
此时两者的共同速度为
到达共同速度前，滑块和木板的位移分别为
两者相对位移为
到达共同速度后，假设两者可以以相同的加速度做匀减速运动，根据牛顿第二定律有
解得
此时滑块所受摩擦力大小为
即假设不成立，所以到达共同速度后两者做加速度不同的匀减速运动，对滑块和木板分别有
解得
，
易知木板先停止运动，从达到共速到各自停下的过程中，滑块和木板的位移分别为
两者相对位移为
根据功能关系可得
（3）两者共速后，设木板经t2停止运动，则
木板停下时，滑块的速度为
从开始至木板刚停止时，根据能量守恒定律有
解得
【例5】．（2023·重庆·一模）如图甲，物体A的质量m1= 1kg，静止在光滑水平面上的木板B的质量m2= 2kg，某时刻A以v0= 6m/s的初速度从左端滑上木板B的上表面，在A滑上B的同时，给B施加一个水平方向的拉力，随时间变化如图乙，共作用1.5s，以水平向右为正方向；已知A与B之间的动摩擦因数，木板B足够长（忽略物体A的大小）。求：
（1）0 ~ 1s内，物体A和木板B的加速度分别为多大；
（2）1.5s末，A、B的速度分别为多大；
（3）最终，物体A和木板B由于摩擦产生的热量（用分数表示）。
【答案】（1）m/s2，m/s2；（2）v3 = 3m/s，v4 = 2.5m/s；（3）J
【详解】（1）0 ~ 1s内，若A一直做匀减速运动，B一直做匀加速运动，根据牛顿第二定律，对A有
对B有
解得
m/s2，m/s2
（2）1s时A的速度为
m/s
1s时B的速度为
m/s
1s后力反向，若一起减速，根据牛顿第二定律
解得
m/s2
A做匀减速运动的最大加速度为m/s2，即A以m/s2做匀减速运动，对B分析
解得
m/s2
1.5s时，A的速度为
m/s
1.5s时，B的速度为
m/s
（3）0 ~ 1s内，物体A和木板B相对位移为
m
1s ~ 1.5s内，物体A和木板B相对位移为
m
1.5s后A做匀减速运动的加速度为
m/s2
B做匀加速运动，根据牛顿第二定律
解得
m/s2
共速时
解得
s
物体A和木板B相对位移为
m
之后，A和B一起做匀速运动，物体A和木板B由于摩擦产生的热量为
解得
J
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