山西省部分学校2023-2024学年高一上学期期末数学试题

这是一份山西省部分学校2023-2024学年高一上学期期末数学试题，共11页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分，本卷命题范围，下列区间为函数的增区间的是，已知，则，函数的图象大致是，下列各式中值为1的是，若，则下列关系正确的是等内容，欢迎下载使用。

1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．
4．本卷命题范围：人教版必修第一册．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知扇形的圆心角为，半径为4，则扇形的弧长为（ ）
A．B．2C．4D．8
3．不等式的解集为（ ）
A．B．C． D．
4．函数的零点所在区间为（ ）
A．B．C．D．
5．下列区间为函数的增区间的是（ ）
A．B．C．D．
6．已知，则（ ）
A．B．C．D．
7．函数的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
8．已知函数在R上是奇函数，当时，，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．下列各式中值为1的是（ ）
A．B．
C．D．
10．若，则下列关系正确的是（ ）
A．B．C．D．
11．若，且，则下列不等式恒成立的是（ ）
A．B．C．D．
12．已知函数，若，则（ ）
A．B．
C．D．在上无最值
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若是定义域为的幂函数，则______．
14．函数的图像关于原点对称，则______．
15．已知函数若存在且，使得，则的取值范围为______．
16．函数在区间上的最小值为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
（1）已知为第二象限角，求的值；
（2）化简：．
18．（本小题满分12分）
已知集合．
（1）若，求；
（2）若是的必要条件，求实数的取值范围．
19．（本小题满分12分）
已知关于的不等式的解集为或．
（1）求的值；
（2）当时，求关于的不等式的解集（用表示）．
20．（本小题满分12分）
已知函数．
（1）若，且为奇函数，求的值；
（2）若，且的最小值为，求的最小值．
21．（本小题满分12分）
据国家气象局消息，今年各地均出现了极端高温天气．漫漫暑期，某制冷杯成了畅销商品．该制冷杯根据物体的降温遵循牛顿冷却定律，即如果某液体的初始温度为（单位：），那么经过分钟后，温度满足，其中为室温，为参数．为模拟观察制冷杯的降温效果，小明把一杯的茶水放在的房间，10分钟后茶水降温至．（参考数据：）
（1）若欲将这杯茶水继续降温至，大约还需要多少分钟？（保留整数）
（2）某企业生产制冷杯每月的成本（单位：万元）由两部分构成：①固定成本（与生产产品的数量无关）：20万元；②生产所需材料成本：万元，（单位：万套）为每月生产产品的套数．
（i）该企业每月产量为何值时，平均每万套的成本最低？一万套的最低成本为多少？
（ii）若每月生产万套产品，每万套售价为：万元，假设每套产品都能够售出，则该企业应如何制定计划，才能确保该制冷杯每月的利润不低于520万元？
22．（本小题满分12分）
如图，已知函数的图象与轴相交于点，图象的一个最高点为．
（1）求的解析式；
（2）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，求函数的所有零点之和．
2023~2024学年高一上学期期末测试·数学
参考答案、提示及评分细则
1．C由，得．故选C．
2．D因为扇形的圆心角为，半径为4，所以由弧长公式得扇形的弧长为．故选D．
3．A原不等式可化为，解集为．故选A．
4．C易知在上是增函数，且，，所以的零点所在区间为故选C．
5．B逐个检验，易得B正确．故选B．
6．A方法一：．故选A．
方法二：的终边落在第一象限，的终边落在第一或第三象限，即，．故选A．
7．C函数的定义域为，且，则函数为奇函数，故排除D项；又因为当时，，故排除A项；当时，，故排除B项．故选C．
8．B根据题意，作出的图象，如图所示．
由得，即，则或观察图象得或所以或，即不等式的解集是故选B．
9．CD 对选项A，，错误；对选项B，，错误；对选项C，，正确；对选项D，，正确．故选CD．
10．ABD对于A，由题意得，设，易得为增函数，又，故，故A正确；对于B，因为，函数在定义域上单调递增，则，故B正确；对于，令，则满足，但无意义，故C错误；对于D，因为，故，故D正确．故选ABD．
11．AD 对于A，因为，所以，得，则，当且仅当，即时取等号，所以，故A正确；对于B，由及，得，解得，当且仅当时取等号，故B错误；对于C，，当且仅当时取等号，故C错误；对于D，，当且仅当时取等号，故D正确．故选AD．
12．ABC ，因为在处取得最大值，所以，即，所以，故A正确；因为，解得，又，所以，故C正确；，故B正确；易验证，当时，在处取得最大值，故D错误．故选ABC．
13．2 因为是幕函数，则有，解得，又因为函数的定义域为，所以．
14． 函数的图象关于原点对称，则．
15．作出函数的图象，如图所示，由图可知，且，所以，则，所以，故的取值范围为．
16．1 f，由，得，所以，令，则在上单调递减，所以时取最小值1，故的最小值为1．
17．解：（1）为第二象限角，
，
所以．
（2）因为，，，
所以原式．
18．解：（1），则，
若，则，所以．
（2）若是的必要条件，则．
当，即时，，符合题意；
当，即时，，要满足，可得，
解得，综上，实数的取值范围为或．
19．解：（1）因为关于的不等式的解集为或，
所以1，2是方程的两根，所以解得
（2）由（1）知关于的不等式，即为，
令得或，
①时，不等式的解集为；
②时，不等式的解集为；
③时，不等式的解集为．
20．解：（1）当时，，
因为是奇函数，所以，
即，得，可得．
（2）令，则，
所以，即，
当且仅当，即时等号成立，所以，
由题意，，所以．所以，
当且仅当时等号成立，由解得，所以的最小值为4．
21．解：（1）由题意可得，解得，
设经过分钟，这杯茶水由降温至，
则，解得，故欲将这杯茶水继续降温至，大约还需要7分钟．
（2）（i）设平均每一万套所需的成本费用为万元，
则有，
当且仅当，即时取等号，
所以该企业每月产量20万套时，一万套的成本最低，一万套的最低成本为12万元；
（ii）设月利润为万元，
则有，
解得（舍去）或，
所以该企业每月至少生产20万套产品，才能确保该制冷杯每月的利润不低于520万元．
22．解：（1）设的最小正周期为，则，
所以，所以，又因为函数的图象的一个最高点为，
所以，所以，
所以，因为，所以，所以．
（2）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，
所以，
令，得，
考虑与图象的所有交点的横坐标之和，
函数与的图象都关于点对称，
令，解得，
函数与的图象如图所示：
故两函数的图象有且仅有9个交点，
所以，故函数的所有零点之和为9．