陕西省咸阳实验中学2023-2024学年九年级下学期月考数学试题

这是一份陕西省咸阳实验中学2023-2024学年九年级下学期月考数学试题，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的）
1. 的倒数是（ ）
A. ﹣7B. 7C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据乘积为1的两个数互为倒数进行作答即可．
【详解】的倒数是，
故选：A．
【点睛】本题考查了倒数的定义，熟练掌握知识点是解题的关键．
2. 如图是某个几何体的展开图，则这个几何体是（ ）
A. 圆柱B. 圆锥C. 三棱柱D. 正方体
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查棱柱的展开与折叠，掌握棱柱展开图的特征是正确判断的关键．通过展开图的面数，展开图的各个面的形状进行判断即可．
【详解】解：从展开图可知，该几何体有五个面，两个三角形的底面，三个长方形的侧面，
因此该几何体是三棱柱．
故选：C．
3. 如图，直线，的顶点B在直线上，若，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平行线性质，根据平行线的性质得，进而可求解，熟练掌握：“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．
【详解】解：，，
，
，
，
故选B．
4. 下列运算中，错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了合并同类项的法则，单项式的乘除法，积的乘方，幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则，利用排除法求解．
【详解】解：A、，计算正确，故不符合题意；
B、，计算错误，故符合题意；
C、，计算正确，故不符合题意；
D、，计算正确，故不符合题意；
故选：B．
5. 一次函数（k、b为常数，且）的图象如图所示，则点可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查一次函数图象的性质，根据一次函数的性质，，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．与y轴交于，当时，在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当时，在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．据此求解即可．
【详解】解：由函数图象得：y随x的增大而增大，与y轴交于负半轴，
，
四个选项中只有符合点的性质，
故选：C．
6. 如图，在中，的平分线交于点E，过点C作，垂足为点F，若，，则的长为（ ）
A. 16B. 14C. 13D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，角平分线的定义等等，先由平行四边形的性质得到，进而由平行线的性质和角平分线的定义得到，即可证明，由三线合一定理得到，再利用勾股定理求出的长即可得到答案．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵的平分线交于点E，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
7. 如图，为的直径，延长至点M，使得，过点M作的切线，C为切点，连接，若的半径为2，则的长度为（ ）
A. B. C. 4D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查切线的性质，直角三角形的特征及勾股定理．连接，由切线的性质和圆周角的性质得到，结合，得到点B为的中点，即可得到，最后利用勾股定理即可求出的长．
【详解】解：连接，
是的切线，切点为C，为的直径，
，
，
，
点B为的中点，
的半径为2，
，，
，
故选：D．
8. 将抛物线沿x轴向右平移m（）个单位得到一条新抛物线，若点，在新抛物线上，且，则m的值可以是（ ）
A. 3B. 4C. 8D. 9
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数的性质得到关于m的不等式是解题的关键．根据平移规律得到新抛物线为，即可得到抛物线开口向上，对称轴为直线，由点，在新抛物线上，且，即可得到关于m的不等式，解不等式即可．
【详解】解：∵，
∴将抛物线向右平移m（）个单位得到一条新抛物线为，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，
∵点，在新抛物线上，且，
∴，
∴，
故选：D．
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9. 因式分解： ________________．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了提取公因式法与公式法的综合运用，正确运用平方差公式是解题关键．首先提取公因式3，再利用平方差公式分解因式即可．
【详解】解：原式
．
故答案为：．
10. 如图所示的正六边形，连接，则的度数是______．
【答案】##30度
【解析】
【分析】首先求得正六边形的内角的度数，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：∵在正六边形ABCDEF中，，
∴，，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了正多边形和圆．等腰三角形的性质，此题难度不大，注意数形结合思想的应用．
11. 中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位．学习了勾股定理后，小明绘制了一幅“赵爽弦图”，如图①所示，已知他绘制的图①的大正方形的面积是，且图中四个全等的直角三角形与中间的小正方形恰好能拼成如图②所示的矩形，则的长为 _____．

【答案】10
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，设直角三角形的较长直角边长度为，较短直角边长度为，则中间的小正方形长度为，根据图形得，再根据两图形的面积相等即可求出的值，根据即可求解，注意利用图形之间的关系进行求解是解题的关键．
【详解】解：如图，设直角三角形的较长直角边长度为，较短直角边长度为，则中间的小正方形长度为，
由图2可得，小正方形的边长为，
，即，
围成的矩形长为：，
围成的矩形面积为：，
矩形的面积与大正方形的面积相等，
，
解得 或（舍去），
，
故答案为：10．
12. 如图，点P在反比例函数的图象上，过点P作轴于点H，点A在y轴的正半轴上，若的面积为4，则k的值是 _____．

【答案】
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，设点，利用的面积为，即可得到点P的坐标，再根据反比例函数的图象在第二象限，即可得到k的值．
【详解】解：设点，
，的面积为4，
，
，
，
反比例函数的图象在第二象限，
，
，
故答案为：．
13. 如图，在菱形中，点P为对角线上的动点（不与端点重合）．过点P作于点M，于点N，连接，已知，，则的最小值等于 _____．
【答案】##
【解析】
【分析】过点P作，垂足为，过点D作，垂足为，交于点，连接，交于点，连接，根据菱形的性质，得到，，由，，结合，推出点三点共线，即是定值，当点三点共线时，即点G，M重合，有最小值，最小值为的长，进而得到有最小，最小值为，根据，，求出，利用菱形的面积公式即可求出，由菱形的性质，易证，利用三角形的性质得到，即可求解．
【详解】解：过点P作，垂足为，过点作，垂足为，交于点，，连接，交于点，
是菱形，，，
，，
，，，
三点共线，即定值，
当点三点共线时，即点G，M重合，有最小值，最小值为的长，
有最小，最小值为，
，，
，，
，，
，
菱形的面积为：，
，
，，
，
，
，
，
，即，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了菱形性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，对称的性质，正确做出辅助线证明三角形相似是解题的关键．
三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程）
14. 计算：．
【答案】0
【解析】
【分析】本题考查实数综合运算，解题的关键是化简零次幂，牢记特殊角三角函数值，掌握去绝对值法则．代入特殊角三角函数值，化简负整数指数幂，零次幂，去绝对值，计算即可得答案．
【详解】解：原式
．
15. 解不等式组：．
【答案】
【解析】
【分析】分别求出两个不等式的解集，即可求解．
【详解】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
原不等式组的解集为：．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小大小小大中间找，大大小小找不到（无解）是解题的关键．
16. 解方程：
【答案】
【解析】
【分析】两边应同时乘以最简公分母，可得，解得，再进行检验即可．
【详解】解：两边同时乘以得：，
解得：，
经检验：是原方程的解，
∴原方程的解为．
【点睛】题主要考查分式方程的解法，解题的关键是找准最简公分母，将原分式方程化为整式方程．
17. 如图，在中，D是边上的一点，且．请用尺规作图法在边上找一点M，使得（保留作图痕迹，不写作法）．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了尺规作图——角平分线，作出的角平分线交于，则点到的距离与到的距离相等，根据进而可得，即可求解，熟练掌握尺规作图作角平分线的方法是解题的关键．
【详解】解：作出的角平分线交于，
点到的距离与到的距离相等，
，
，
如图所示，点M即所求：
18. 如图，在和中，，求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题主要考查全等三角形的判定，解答的关键是熟记全等三角形的判定定理并灵活运用．由题意可求得，利用即可判定，即可得到结论．
【详解】证明：，
，
，
在与中，
，
∴，
．
19. 百年变局之下，科技创新是“关键变量”，也是高质量发展的“最大增量”．为了让同学们进一步了解中国科技的快速发展，某中学九（）班团支部组织了一次手抄报比赛，该班每位同学从．“中国天眼”； ．“空间太阳能电站”； ．“深地工程”； ．“神州火箭”四个主题中任选一个主题．
（1）九（1）班的小芳从四个主题中随机选择一个，则恰好选择主题B的概率为 ；
（2）在手抄报比赛中，九（1）班甲、乙两位同学各自从这四个主题中随机选一个，请用画树状图或列表的方法求出他们的手抄报主题不相同的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了简单概率计算及列表法或树状图法求概率：
（1）利用概率公式即可求解；
（2）先根据题意画出树状图，再利用概率公式即可求解；
熟练掌握概率公式及会根据题意画出树状图是解题的关键．
【小问1详解】
解：依题意得：共有4种等可能情况，其中小芳从四个主题中恰好选择主题B的有1种情况，
小芳恰好选择主题B的概率为，
故答案为：．
【小问2详解】
画出树状图如图所示：

则共有16种等可能情况，其中甲、乙两位同学选择的手抄报主题不相同的有12种情况，
甲、乙两位同学的手抄报主题不相同的概率．
20. 如图，周长为的矩形，把长截去剩余的面积刚好比把宽截去剩余的面积多，求原矩形的面积．
【答案】原矩形的面积是
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确列出方程是关键．设矩形的长是，则宽是，根据把长截去剩余的面积刚好比把宽截去剩余的面积多，即可列方程求得x的值，进而求得宽，则面积即可求解．
【详解】解：设矩形的长是，则宽是，根据题意得：
，
整理得：，
解得：，
则，
原矩形的面积为：，
答：原矩形的面积是．
21. 西安人民大厦是我国著名的大型庭院式园林宾馆之一，其整体建筑采用中国古典院落的中轴对称布局，又完美结合欧式古典建筑手法，是西安近现代建筑的经典之作．某校科技小组开展了测量该大厦高度的实践活动，请你帮他们完成下面的实践报告．
请你根据实践报告求出该大厦的高度．（参考数据）
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，延长交于E，设，先证明，再解得到，解得到，进而得到方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：如图所示，延长交于E，
设，
∵，
∴，
由题意得，，
在中，，
在中，，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴该大厦的高度为．

22. 如图，，分别表示甲物质和乙物质在水里的溶解度（克）、（克）与温度x（）之间的对应关系，请回答下列问题：
（1）分别求出，与x之间的函数关系式；
（2）温度在什么范围内，甲物质的溶解度大于乙物质的溶解度？
【答案】（1），
（2）当时，甲物质的溶解度大于乙物质的溶解度
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式、一次函数与一元一次不等式：
（1）设、与x之间的函数关系式分别为、，利用待定系数法即可求解；
（2）联立方程组：，解得，找出直线在直线上方部分即可；
熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．
【小问1详解】
解：设、与x之间的函数关系式分别为、，
由图得：，，
解得：，，
，．
【小问2详解】
联立方程组：，
解得：，
当时，甲物质的溶解度大于乙物质的溶解度．
23. 调查背景：
陕西的秦岭山区、渭北早塬都是核桃优质产地，这里得天独厚的条件，让每株核桃树吸收了天地之灵气，日月之精华．小明的爸爸在这里承包了一个果园，种植了100棵核桃树，今年已进入收获期，小明想帮爸爸分析收成情况．
调查发现：
收获时，随机选取了部分核桃树作为样本，对所选取的每棵树上的核桃产量进行统计，并将得到的结果绘制了如图统计图．
实践探究：
分析数据如下：
问题解决：
（1）通过计算补全条形统计图，并求m的值；
（2）填空：上述表中 ， ；
（3）求表中a的值，并估算小明的爸爸种植的这100棵核桃树的总产量．
【答案】（1）统计图见解析，
（2）65；60 （3）；
【解析】
【分析】本题主要考查了求平均数，众数，中位数，用样本估计总体，扇形统计图与条形统计图信息相关联：
（1）用产量为的核桃树数量除以其数量占比求出选取的核桃树，进而求出产量为的核桃树，再根据频率频数总数求出m的值，进而补全统计图即可；
（2）根据中位数和众数的定义求解即可；
（3）先根据加权平均数的定义求出a的值，进而求出总产量即可．
【小问1详解】
解：棵，
∴一共选取了20棵核桃树，
∴产量为的核桃树有棵，
∴，
∴，
补全统计图如下：
【小问2详解】
解：∵产量为的核桃树最多，
∴众数，
将这20棵核桃树的产量从低到高排列，处在第10名和第11名的产量分别是、，
∴中位数，
故答案为：65；60；
【小问3详解】
解：由题意得，，
，
∴估算小明的爸爸种植的这100棵核桃树的总产量为．
24. 如图，是的外接圆，点D在上，且为的直径，H在上，连接，且．
（1）求证：；
（2）若，求的半径．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了圆周角，相似三角形的判定和性质，圆的有关知识．
（1）根据同弧所对圆周角相等，得到，由，利用三角形内角和定理得到，再根据直径所对圆周角是直角，即可得出结论；
（2）根据题意，易证，利用相似三角形的性质，即可得出，即可得出的半径．
【小问1详解】
证明：（同弧所对圆周角相等），，
，
，
为的直径，
，
，
；
【小问2详解】
解：由（1）知（同弧所对圆周角相等），，
，
，
，
，
的半径15．
25. 中国跳水队之所以被称为“梦之队”，不只因为赛场上取得的成绩，更在于每个运动员身上凝聚的为国争光的不懈追求．在2024年多哈世锦赛即将来临之际，中国跳水队积极备赛世锦赛，把每个动作都练到极致，向全球展现中国跳水事业的无限活力和潜力．跳水运动员在进行跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的抛物线．已知跳板的长为3米，距水面的高为10米，C为入水点，某运动员在训练时，在离起跳点B水平距离1米时达到距水面最大高度11米，分别以所在直线为横轴和纵轴，点O为坐标原点建立平面直角坐标系．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）求入水处C距池边O的水平距离．（结果保留根号）
【答案】（1）
（2）运动员落水点与点C的距离为米
【解析】
【分析】此题主要考查了二次函数的应用，根据题意利用顶点式求出二次函数解析式是解题基础，判断入水的位置对应的抛物线上点的坐标特点是解题关键．
（1）由题意得抛物线顶点坐标，可设抛物线解析为：，将点代入可得；
（2）在（1）中函数解析式中令，求出x即可．
【小问1详解】
解：根据题意，可得：抛物线顶点坐标，，
设抛物线解析为：，
则，
解得：，
故抛物线解析式为：；
【小问2详解】
解：由题意可得：当，则，即
解得：，
在入水处C在x轴的正半轴，
，
，
答：运动员落水点与点C的距离为米．
26. 问题提出：
（1）如图1，在正方形中，，点E在边上．将沿折叠，使点B落在点处，连接，则的最小值为 ；
问题探究：
（2）如图2，在矩形中，，E为的中点，于点F，连接，过点F作的垂线交边于点G．求证：；
问题解决：
（3）如图3，某公园有一块形状为四边形的空地，管理人员规划修两条互相垂直的小路和（小路的宽度忽略不计，两条小路交于点G），并沿修建地下水管，为了节约成本，要使得最小．已测出．，管理人员的想法能否实现，若能，请求出的最小值，若不能，请说明理由．
【答案】（1）（2）见解析（3）的最小值为
【解析】
【分析】（1）连接，根据折叠的性质得到是定值，由，当点三点共线时，有最小值，最小值为，根据正方形的性质结合勾股定理求出，即可求解结果；
（2）由结合矩形的性质，易证，得到，根据矩形的性质结合，得到点四点共圆，推出，
进而得到，根据，矩形的性质，得到，证明，得到，即可证明；
（3）过点C作垂足为点P，作点G关于的对称点，分别取的中点，连接，先证明，求出，然后利用勾股定理求出，进而得到，根据四边形对角互补得到点四点共圆，由为四点共圆的半径为定值，当三点共线时，有最小值，再根据题意易证，得到，利用勾股定理即可求出，即可求出的最小值．
【详解】（1）解：连接，
由折叠的性质得：是定值，
，
当点三点共线时，有最小值，最小值为，
是正方形，
，
，即可求解结果；
，
的最小值为，
故答案为：；
（2）证明：，是矩形，
，
，
，
，
，
，E为的中点，
，，
，
，
，
，
，
点四点共圆，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：如图，过点C作垂足为点P，作点G关于的对称点，分别取的中点，连接，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
点是的中点，
，
，
，
点四点共圆，
为四点共圆的半径为定值，即，
当三点共线时，有最小值，
，
，
，
，
，
，
的最小值为：．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的边角关系定理，翻折的性质，四边形外接圆，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．活动课题
测量西安人民大厦的高度
活动目的
运用三角函数解决实际问题
活动工具
测角仪、皮尺等测量工具
方案示意图

测量过程
如图，无人机在空中水平飞行，当飞行到点A时测得大厦尖C的俯角，无人机沿方向飞过大厦到达点B时，测得大厦尖C的俯角
测量数据
无人机在A处时到地面的距离为61米，米，
说明
与地面平行，，点A，B，C，D，M，N均在同一平面内
平均数
中位数
众数
a
b
c