浙教版八年级下册2.1 一元二次方程同步训练题

这是一份浙教版八年级下册2.1 一元二次方程同步训练题，共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．方程的解是（ ）
A．2或0B．±2或0C．2D．－2或0
2．方程 的正确解法是（ ）
A．化为 B． ​
C．化为 D．化为 ​
3．方程x3+x﹣1＝0的实数根所在的范围是（ ）
A．＜x＜0B．0＜x＜C．＜x＜1D．1＜x＜
4．根据下列表格的对应值：判断方程x2+x﹣1＝0一个解的取值范围是（ ）
A．0.59＜x＜0.60B．0.60＜x＜0.61C．0.61＜x＜0.62D．0.62＜x＜0.63
5．已知，是方程的两根，则代数式的值是（ ）
A．B．C．D．
6．P（x．y）为第二象限上的点．且x+y＝﹣．已知OP=1．则的值为（ ）
A．B．C．D．或
7．如果方程有两个不同的实数解，那么p的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．已知，则m2+n2的值是（ ）
A．3B．3或-2C．2或-3D．2
9． 如图，点A的坐标为(1，0)，点B在直线y=－x上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为 （ ）
A．（0，0）B．（－，）C．（，－）D．（，－）
10．两个关于的一元二次方程和，其中，，是常数，且，如果是方程的一个根，那么下列各数中，一定是方程的根的是（ ）
A．2020B．C．-2020D．
二、填空题
11．已知a，b是一元二次方程x2+x﹣1＝0的两根，则3a2﹣b的值是_____．
12．等边三角形的边长是关于x的一元二次方程 的根，则等边三角形的面积为___________．
13．关于x的方程a（x+m）2+b=0的解是x1=﹣3，x2=1（a、b、m均为常数，a≠0），则方程a（x+m﹣1）2+b=0的解是________．
14．已知下面三个关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝1，bx2+cx+a＝﹣3，cx2+ax+b＝2恰好有一个相同的实数根，则a+b+c的值为 _____．
15．已知关于x的一元二次方程的两个整数根恰好比方程的两个根都大1，则的值是______．
16．如果方程的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数的取值范围是___．
17．已知实数， 满足等式，，则的值是______．
18．如图，已知AGCF，AB⊥CF，垂足为 B，AB=BC=3 ，点 P 是射线AG 上的动点 （点 P 不与点 A 重合），点 Q是线段 CB上的动点，点 D是线段 AB的中点，连接 PD 并延长交BF于点 E，连接PQ，设AP=2t ，CQ=t，当△PQE 是以 PE为腰的等腰三角形时，t的值为_____．
三、解答题
19．解下列关于的方程．
(1) ；(2) ．
20．根据要求解答下列问题
(1) ①方程的解为
②方程的解为
③方程的解为
根据以上方程特征及解的特征猜想：方程的解为 ，并用配方法解方程进行验证；
根据以上探究得出一般结论：关于的方程的解为 ．
21．已知关于x的一元二次方程．
(1) 若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围．
(2) 从－4，－2，0，2，4中任选一个数字作为k代入原方程，求选取的数字能令方程有实数根的概率．
22．在中，，a、b、c分别是∠A，∠B、∠C的对边，若关于x的方程的两根平方和为10，求的值．
23．我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．
例：已知可取任何实数，试求二次三项式最小值．
解：
无论取何实数，总有．
，即的最小值是．
即无论取何实数，的值总是不小于的实数．
问题：
（1）已知，求证是正数．
知识迁移：
（2）如图，在中，，，，点在边上，从点向点以的速度移动，点在边上以的速度从点向点移动．若点，同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，设的面积为，运动时间为秒，求的最大值．
24．某运动品牌销售一款运动鞋，已知每双运动鞋的成本价为60元，当售价为100元时，平均每天能售出200双；经过一段时间销售发现，平均每天售出的运动鞋数量y（双）与降低价格x（元）之间存在如图所示的函数关系．
(1) 求出y与x的函数关系式；
(2) 公司希望平均每天获得的利润达到8910元，且优惠力度最大，则每双运动鞋的售价应该定为多少？
(3) 为了保证每双运动鞋的利润不低于成本价的50%，公司每天能否获得9000元的利润？若能，求出定价；若不能，请说明理由．
参考答案
1．B
【分析】首先提公因式，再根据平方差公式分解因式，即可得出结论．
解：∵，
∴，
∴或或，
故选：B．
【点拨】本题考查了高次方程，运用类比思想将高次方程转化为二次方程或一次方程是解题的关键．
2．C
解：根据因式分解法解一元二次方程的解法，先移项为，然后提公因式（x+1）可得（x+1）（x+1-1）=0.
故选C.
点睛：此题主要考查了一元二次方程的解法——因式分解法，解题时先把（x+1）看做一个整体，然后移项后提公因式即可把方程化为ab=0的形式求解即可解决，解题关键是整体思想的应用.
3．C
【分析】当时，方程无解，可知，方程两边都除以x，得，根据可得的范围，从而得到缩小的x的范围，进一步根据，再得到缩小的的范围，进而可确定x的更小范围．
解：将代入方程得，
∴x≠0，
∴原方程可化为，
∵，
∴，
∴，
当时，，
∴，
∴，
∴，
故选C．
【点拨】本题考查了高次方程根的估计方法．两边除以x，得到降次的方程是本题的关键．
4．C
【分析】观察表格中数据，可发现在0.61和0.62之间有一个x的值能使x2+x-1的值为0，即可得到答案．
解：∵x＝0.61时，x2+x﹣1＝﹣0.0179；x＝0.62时，x2+x﹣1＝0.0044，
∴方程x2+x﹣1＝0一个解x的范围为0.61＜x＜0.62．
故选：C．
【点拨】本题考查了一元二次方程的近似解的取值范围，当x的值代入后方程两边结果越接近，则未知数的值越接近方程的根，即可找到方程近似解的范围．
5．D
【分析】由根与系数的关系可得：a+b=1，再由a与b是方程的两根可得a2=a+1，b2=b+1，把a3与b3采用降次的方法即可求得结果的值．
解：∵a与b是方程的两根
∴a+b=1，a2-a-1=0，b2-b-1=0
∴a2=a+1，b2=b+1
∵，同理：
∴
故选：D．
【点拨】本题考查了一元二次方程的解的概论、一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值，灵活进行整式的运算是解题的关键．
6．C
【分析】根据P（x．y）为第二象限上的点，可知0，y＞0，根据OP=1，可知，则，根据x+y＝﹣，可得，且x＝﹣y﹣进而可得，则，则，
解得：或（舍去），进而可知，则可求出的值．
解：∵P（x．y）为第二象限上的点，
∴x＜0，y＞0，
∵OP=1，
∴，则，
∵x+y＝﹣，
∴，且x＝﹣y﹣
∴，
∴，
∴，化简得：，
则，解得：或（舍去），
∴，
∴，
故选：C．
【点拨】本题查平面直角坐标系中点的坐标特征，点到原点的距离，完全平方公式的变形，解一元二次方程，能够熟练掌握数形结合思想是解决本题的关键 ．
7．D
【分析】先将无理方程化为一元二次方程，根据根的判别式可求得，再根据根与系数关系可求得，由此可得p的取值范围．
解：∵，
∴，，
∵方程有两个不同的实数解，
∴，
解得：．
又∵方程的两根，
∴，即，
∴，
故选：D．
【点拨】本题考查无理方程，一元二次方程根的判别式，根与系数关系．需注意本题中容易忽略由一个数的算术平方根是非负数，得出，从而根据根与系数关系得出．
8．A
解：，，，，∴或（舍去）．故选A．
9．D
解：∵B在直线y=-x上，∴设B坐标为（a，-a），
则
所以，当 a=即B（，）时，AB最短,故选D.
10．C
【分析】根据一元二次方程的定义以及一元二次方程的解法即可求出答案．
解：∵，，a+c=0
∴，
∵ax2+bx+c=0 和cx2+bx+a=0，
∴，，
∴，，
∵是方程的一个根，
∴是方程的一个根，
∴是方程的一个根，
即是方程的一个根
故选：C．
【点拨】本题考查了一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的定义以及方程的解的概念．
11．8．
【分析】由根与系数的关系及根的定义可知a+b＝﹣1，ab＝﹣1，a2+a＝1，据此对3a2﹣b进行变形计算可得结果.
解：由题意可知：a+b＝﹣1，ab＝﹣1，a2+a＝1，
∴原式＝3（1﹣a）﹣b+
＝3﹣3a﹣b+
＝3﹣2a﹣（a+b）+
＝3﹣2a+1+
＝4﹣2a+
＝4+
＝4+
＝4+4
＝8，
故答案为：8．
【点拨】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系及根的定义，利用性质对式子进行降次变形是解题关键.
12．
【分析】先根据题意可知该一元二次方程有两个相等的实数根，根据根的判别式可求m的值，进而确定该方程并求解的x，进而得到等边三角形的边长；然后根据勾股定理求得等边三角形的高，最后运用三角形的面积公式即可解答．
解：∵等边三角形的边长是关于x的一元二次方程的根
∴关于x的一元二次方程有两个相等的实数根
∴，
解得
∴原方程可化为，
解得
∴等边三角形的三边边长都为3
∴等边三角形的高为：
∴等边三角形的面积为．
故答案为．
【点拨】本题主要考查了一元二次方程根的判别式、等边三角形的性质、勾股定理等知识点，掌握当一元二次方程有两个相等的实数根时，根的判别式为零是解题关键．
13．x1＝﹣2，x2＝2
【分析】把后面一个方程中的x－1看作整体，相当于前面一个方程中的x求解．
解：∵关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1=﹣3，x2=1，（a，m，b均为常数，a≠0），∴方程a（x+m﹣1）2+b=0变形为a[（x－1）+m]2+b＝0，即此方程中x－1＝－3或x－1＝1，解得：x1＝﹣2，x2＝2．
故答案为x1＝﹣2，x2＝2．
【点拨】本题考查了方程解的定义．注意由两个方程的特点进行简便计算．
14．0
【分析】设这个相同的实数根为t，把x＝t代入3个方程得出a•t2+bt+c＝0，bt2+ct+a＝0，ct2+a•t+b＝0，3个方程相加即可得出（a+b+c）（t2+t+1）＝0，即可求出答案．
解：设这个相同的实数根为t，
把x＝t代入ax2+bx+c＝0，bx2+cx+a＝0，cx2+ax+b＝0得：
a•t2+bt+c＝0，bt2+ct+a＝0，ct2+a•t+b＝0
相加得：（a+b+c）t2+（b+c+a）t+（a+b+c）＝0，
（a+b+c）（t2+t+1）＝0，
∵t2+t+1＝（t）20，
∴a+b+c＝0，
故答案是：0．
【点拨】本题考查了一元二次方程的解，使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解．
15．-3或29
【分析】设方程的两个根为，其中为整数，且≤，则方程的两根为，根据题意列出式子，再进行变形即可求出．
解：设方程的两个根为，其中为整数，且≤，则方程的两根为，由题意得
，
两式相加得，
即，
所以或
解得或
又因为
所以；或者，
故或29．
故答案为-3或29
【点拨】主要考查一元二次方程的整数根与有理根，一元二次方程根与系数关系的应用；利用根与系数的关系得到两根之间的关系是解决本题的关键；
16．
【分析】首先根据题意得出方程的一个根为1，然后设另一个一元二次方程的两个根为m和n，再根据根的判别式、完全平方公式、三角形三边的关系m−n<1＜m+n即可求得k的取值范围．
解：由题意得：，
∴
设的两根分别是、；则，；
∴；
根据三角形三边关系定理，得：，即；
，解得．
故答案为．
【点拨】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、完全平方公式、三角形的三边关系等知识点，灵活运用根与系数的关系成为解答本题的关键．
17．
【分析】根据已知判断出m，n是方程的两实数根，然后利用根与系数关系即可求解．
解：∵实数， 满足等式，，
∴m，n是方程的两实数根，
∴，，
∴，
故答案为：
【点拨】本题考查了方程的解以及一元二次方程的根与系数关系，能熟练利用方程解的定义得到m，n是方程的两实数根是解题的关键．
18．或
【分析】以B为原点、直线CF为x轴，直线AB为y轴，建立直角坐标系，先证明AP=BE，即可得E点坐标为(2t,0)，CQ=t，BQ=3-t，P点坐标为(-2t,3)，C点坐标为(-3,0)，A点坐标为(0,3)，Q点坐标为(t-2,0)，根据Q点在线段BC上，P点不与A点重合，可得0＜t＜3，进而有BE=2t，BQ=3-t，QE=BQ+EB=3+t，利用勾股定理有：，，，根据△PQE是以 PE为腰的等腰三角形，分类讨论：当PQ=PE时，当QE=PE时两种情况，即可求解．
解：以B为原点、直线CF为x轴，直线AB为y轴，建立直角坐标系，如图，
∵，AB⊥CF，
∴AB⊥AG，
∴∠GAB=∠ABF=90°，
∵D点为AB中点，
∴AD=BD，
∴结合∠ADP=∠BDE可得△APD≌△BED，
∴AP=BE，
∵AP=2t，
∴BE=2t，
∴E点坐标为(2t,0)，
∵AB=BC=3，
∴CQ=t，即BQ=3-t，P点坐标为(-2t,3)，C点坐标为(-3,0)，A点坐标为(0,3)，
∴Q点坐标为(t-3,0)，
∵Q点在线段BC上，P点不与A点重合，
∴0＜t＜3，
∵BE=2t，BQ=3-t，
∴QE=BQ+EB=3+t，
∴利用勾股定理有：，，，
根据△PQE是以为腰的等腰三角形，分类讨论：
当PQ=PE时，有，
整理：，
解得（负值舍去），
当QE=PE时，有，
整理：，
解得（0舍去），
综上所述：t的值可以为，．
故答案为：，．
【点拨】本题考查了等腰三角形的性质、构建直角坐标系、勾股定理、全等三角形的判定与性质、一元二次方程的应用等知识，构建直角坐标系是快速解答此题的关键．解答时，需注意分类讨论的思想．
19．(1) ，(2) ，
【分析】（1）直接利用开平方的方法解方程即可；
（2）利用公式法求解即可．
（1）解：移项，得．
开方得：，
解得，．
（2）解：∵
∴，，．
∴．
∴方程有两个不等的实数根
∴，
解得，．
【点拨】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．
20．(1) ①； ②； ③；(2) ，验证见分析；(3) ．
【分析】（1）利用因式分解法解各方程即可；
（2）利用配方法解方程可判断猜想结论的正确；
（3）根据前面发现的规律即可完成此问．
（1）解：①，
，
解得，
即方程的解为；
②，
，
解得，
即方程的解为；
③，
，
解得，
即方程的解为，
故答案为：①； ②； ③；
（2）解：，
，
，
；
故答案为：；
解：，
，
．
故答案为：．
【点拨】本题考查了解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，也考查了因式分解法-十字相乘法解一元二次方程．
21．(1) 且(2)
【分析】（1）方程有两个不相等的实数根，即判别式大于0且二次项系数不为0，求解即可；
（2）方程有实数根，即判别式大于等于0且二次项系数不为0，求解即可．
解：（1）∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，且，
即，且，
∴且．
（2）若要方程有实数根，则，且；
即且，
∴给定的5个数字中，－4，－2，0能令方程有实数根，
故选取的数字能令方程有实数根的概率为．
【点拨】本题考查一元二次方程根与判别式的关系，熟练掌握两者间的判定条件即可，注意不要遗漏二次项系数不为0这个要素．
22．
【分析】将方程转化为一般式，利用根与系数的关系，以及勾股定理进行求解即可．
解：原方程整理为，
设是方程的两个根，则，即，
∵，
∴，即，
由勾股定理得：，代入以上方程整理后有
．
∵c是斜边，
∴，两边开平方，得，
两边同时平方得，
，
再次将勾股定理代入得：，
，
∴．
【点拨】本题考查一元二次方程根与系数的关系，以及勾股定理．熟练掌握，以及勾股定理，是解题的关键．
23．（1）见分析;（2）当时，有最大值
【分析】（1）根据题意对进行配方，即可求出最值；
（2）先求，再根据题意进行配方即可求得最值．
解：（1）证明：
．
．
．
．
是正数．
（2）解：由题意得：，，．
．
．
．
又∵
当时，有最大值．
【点拨】本题考查利用配方法求最值，正确进行配方是求解本题的关键．
24．(1) y与x的函数关系式为y=10x＋200；(2) 当每双运动鞋的售价为87元时，企业每天获得的销售利润达到8910元并且优惠力度最大.(3) 降价10元时，公司每天能获得9000元的利润，且每双运动鞋的利润不低于成本价的50%.
【分析】（1）由题意，设y与x的函数关系式为y＝kx＋b，然后由待定系数法求解析式，即可得到答案；
（2）根据题意，列出一元二次方程，然后解方程，即可求出方程的解；
（3）由题意，列出一元一次不等式，求出不等式的解集，然后列一元二次方程，即可求出答案．
解：（1）解：设y与x的函数关系式为y＝kx＋b (k≠0)，
由图可知其函数图象经过点（0 , 200）和（10 , 300），
将其代入y=kx+b 得
解得
∴ y与x的函数关系式为y=10x＋200；
（2）解：由题意得 （10x＋200)(100－x－60)＝8910，
整理得 x2－20x＋91＝0，
解得：x1＝7, x2＝13；
当x＝7时，售价为100－7＝93（元），
当x＝13时，售价为100－13＝87（元），
∵优惠力度最大，
∴取x＝13，
答：当每双运动鞋的售价为87元时，企业每天获得的销售利润达到8910元并且优惠力度最大；
（3）解：公司每天能获得9000元的利润，理由如下：
∵要保证每双运动鞋的利润率不低于成本价的50%，
∴100－60－x ≥ 60×50%,
解得：x≤10；
依题意，得 (100－60－x)(10x＋200)＝9000，
整理得 x2－20x＋100＝0，
解得：x1＝x2＝10；
∴降价10元时，公司每天能获得9000元的利润，且每双运动鞋的利润不低于成本价的50%.
【点拨】本题考查了一次函数的性质，一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是熟练掌握题意，正确的列出方程，从而进行解题．x
0.59
0.60
0.61
0.62
0.63
x2+x﹣1
﹣0.061
﹣0.04
﹣0.017
0.0044
0.027