专题二　第2讲　三角恒等变换与解三角形--2024年高考数学复习二轮讲义

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考点一 三角恒等变换
核心提炼
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
(1)sin(α±β)＝sin αcs β±cs αsin β；
(2)cs(α±β)＝cs αcs β∓sin αsin β；
(3)tan(α±β)＝eq \f(tan α±tan β,1∓tan αtan β).
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)sin 2α＝2sin αcs α；
(2)cs 2α＝cs2α－sin2α＝2cs2α－1＝1－2sin2α；
(3)tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α).
例1 (1)(2023·南宁模拟)已知α∈(0，π)，且3cs 2α－4cs α＋1＝0，则sin 2α等于( )
A．－eq \f(4\r(5),9) B．－eq \f(4\r(2),9) C．－eq \f(2\r(5),9) D．－eq \f(2\r(2),9)
(2)(2023·新高考全国Ⅰ)已知sin(α－β)＝eq \f(1,3)，cs αsin β＝eq \f(1,6)，则cs(2α＋2β)等于( )
A.eq \f(7,9) B.eq \f(1,9) C．－eq \f(1,9) D．－eq \f(7,9)
规律方法 三角恒等变换的“4大策略”
(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin2θ＋cs2θ＝tan 45°等．
(2)项的拆分与角的配凑：如sin2α＋2cs2α＝(sin2α＋cs2α)＋cs2α，α＝(α－β)＋β等．
(3)降幂与升幂：正用二倍角公式升幂，逆用二倍角公式降幂．
(4)弦、切互化：一般是切化弦．
跟踪演练1 (1)(2023·济宁模拟)已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝eq \f(\r(3),3)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α－\f(π,6)))等于( )
A．－eq \f(2,3) B.eq \f(2,3) C．－eq \f(1,3) D.eq \f(1,3)
(2)已知函数f(x)＝sin x－2cs x，若当x＝θ时，f(x)取得最大值，则cs θ＝________.
考点二 正弦定理、余弦定理及综合应用
核心提炼
1．正弦定理：在△ABC中，eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝2R(R为△ABC的外接圆半径)．
变形：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，sin A＝eq \f(a,2R)，sin B＝eq \f(b,2R)，sin C＝eq \f(c,2R)，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C等．
2．余弦定理：在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccs A.
变形：b2＋c2－a2＝2bccs A，cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc).
3．三角形的面积公式：S＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(1,2)bcsin A.
考向1 正弦定理、余弦定理
例2 (1)(2023·红河模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为eq \f(1,2)b(bsin B－asin A－csin C)，则B等于( )
A.eq \f(π,6) B.eq \f(5π,6) C.eq \f(π,3) D.eq \f(2π,3)
(2)(2023·全国甲卷)在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝2，BC＝eq \r(6)，∠BAC的角平分线交BC于D，则AD＝________.
考向2 解三角形中的最值与范围问题
例3 (2023·大连模拟)从下列条件中选择一个条件补充到题目中：
①S＝eq \f(\r(3),4)(b2＋c2－a2)，其中S为△ABC的面积；②eq \f(a＋b,sin C)＝eq \f(c－b,sin A－sin B)；③eq \r(3)sin C＋cs C＝eq \f(c＋b,a).
在△ABC中，角A，B，C对应边分别为a，b，c，________.
(1)求角A；
(2)若D为边AB的中点，CD＝2eq \r(3)，求b＋c的最大值．
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规律方法 解三角形中常见的求最值与范围问题的解题策略
(1)利用余弦定理，找三角形三边之间的关系，利用基本不等式将a＋b与ab相互转化求最值范围．
(2)利用正弦定理，将边化成角的正弦，利用三角恒等变换进行化简；利用三角函数的性质求最值、范围．
跟踪演练2 (1)(2023·宝鸡模拟)在△ABC中，AB＝5，AC＝7，D为BC的中点，AD＝5，则BC等于( )
A．2eq \r(3) B．4eq \r(3) C．2eq \r(2) D．4eq \r(2)
(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cs Asineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B－\f(π,6)))＝cs C.
①求角A的大小；
②若a＝2，求△ABC的周长的取值范围．
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考点三 解三角形的实际应用
核心提炼
解三角形应用题的常考类型
(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．
(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．
例4 (1)(2023·洛阳模拟)某班课外学习小组利用“镜面反射法”来测量学校内建筑物的高度．步骤如下：①将镜子(平面镜)置于平地上，人后退至从镜中能看到房顶的位置，测量出人与镜子的距离；②将镜子后移，重复①中的操作；③求建筑物高度．如图所示，前后两次人与镜子的距离分别为a1 m，a2 m(a2>a1)，两次观测时镜子间的距离为a m，人的“眼高”为h m，则建筑物的高度为( )
A.eq \f(ah,a2－a1) m B.eq \f(aa2－a1,h) m
C.eq \f(a2－a1h,a) m D.eq \f(ah2,a2－a1) m
(2)(2023·济南模拟)山东省科技馆新馆目前成为济南科教新地标(如图1)，其主体建筑采用与地形吻合的矩形设计，将数学符号“∞”完美嵌入其中，寓意无限未知、无限发展、无限可能和无限的科技创新．如图2，为了测量科技馆最高点A与其附近一建筑物楼顶B之间的距离，无人机在点C测得点A和点B的俯角分别为75°，30°，随后无人机沿水平方向飞行600米到点D，此时测得点A和点B的俯角分别为45°和60°(A，B，C，D在同一铅垂面内)，则A，B两点之间的距离为________米．
规律方法 解三角形实际问题的步骤
跟踪演练3 (1)(2023·湖州、衢州、丽水质检)喜来登月亮酒店是浙江省湖州市地标性建筑，某学生为测量其高度，在远处选取了与该建筑物的底端B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得∠BCD＝45°，∠BDC＝105°，CD＝100米，在点C处测得酒店顶端A的仰角∠ACB＝28°，则酒店的高度约是( )
(参考数据：eq \r(2)≈1.4，eq \r(6)≈2.4，tan 28°≈0.53)
A．91米 B．101米 C．111米 D．121米
(2)(2023·广州模拟)海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得CD＝35 m，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，则A，B两点间的距离为________ m.