2024年新高考数学培优专练32 利用均值和方差解决风险评估和决策型问题（原卷版+解析）

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1．某赛季甲、乙两名篮球运动员各6场比赛得分情况用茎叶图记录，下列四个结论中，正确的是（ ）
A．甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差
B．甲运动员得分的中位数大于乙运动员得分的中位数
C．甲运动员得分的平均值大于乙运动员得分的平均值
D．甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定
【答案】ABC
【分析】
对各个选项分别加以判断：根据极差的定义结合图中的数据，可得出A正确；根据中位数的定义结合图中的数据，可得出B正确；通过计算平均数的公式结合图中的数据，可得出C正确；通过计算方差的公式，结合图中的数据，可得出D不正确．由此可以得出答案．
【详解】
首先将茎叶图的数据还原：
甲运动员得分：18 20 35 33 47 41
乙运动员得分：17 19 19 26 27 29
对于选项A，极差是数据中最大值与最小值的差，
由图中的数据可得甲运动员得分的极差为，
乙运动员得分的极差为，
得甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差，故A正确；
对于选项B，甲数据从小到大排列：18 20 33 35 41 47
处于中间的数是33、35，所以甲运动员得分的中位数是34，
同理求得乙数据的中位数是22.5，
因此甲运动员得分的中位数大于乙运动员得分的中位数，故B正确；
对于选项C，甲运动员的得分平均值约为
，
乙运动员的得分平均值为
，
因此甲运动员的得分平均值大于乙运动员的得分平均值，故C正确；
对于选项D，分别计算甲、乙两个运动员得分的方差，方差小的成绩更稳定.
可以算出甲的方差为：
，
同理，得出乙的方差为：
因为乙的方差小于甲的方差，所以乙运动员的成绩比甲运动员的成绩稳定，
故D不正确.
故选：ABC.
【点睛】
本题考查了茎叶图、极差、平均数与方差等统计中常的几个知识点，属于中档题．值得注意的是数据的稳定性与数据的方差有关，方差越小的数据稳定性越好．
二、解答题
2．2020年五一期间，银泰百货举办了一次有奖促销活动，消费每超过600元(含600元)，均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种.方案一：从装有10个形状､大小完全相同的小球(其中红球2个，白球1个，黑球7个)的抽奖盒中，一次性摸出3个球其中奖规则为：若摸到2个红球和1个白球，享受免单优惠；若摸出2个红球和1个黑球则打5折；若摸出1个白球2个黑球，则打7折；其余情况不打折.方案二：从装有10个形状､大小完全相同的小球(其中红球3个，黑球7个)的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减200元.
（1）若两个顾客均分别消费了600元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率；
（2）若某顾客消费恰好满1000元，试从概率角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？
【答案】（1）；（2）选择第二种方案更合算.
【分析】
（1）选择方案一，利用积事件的概率公式计算出两位顾客均享受到免单的概率；
（2）选择方案一，计算所付款金额的分布列和数学期望值，选择方案二，计算所付款金额的数学期望值，比较得出结论.
【详解】
（1）选择方案一若享受到免单优惠，则需要摸出三个红球，
设顾客享受到免单优惠为事件，则，
所以两位顾客均享受到免单的概率为；
（2）若选择方案一，设付款金额为元，则可能的取值为、、、.
，，
，.
故的分布列为，
所以（元）.
若选择方案二，设摸到红球的个数为，付款金额为，则，
由已知可得，故，
所以（元）.
因为，所以该顾客选择第二种抽奖方案更合算.
【点睛】
方法点睛：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，解题步骤如下：
（1）判断随机变量的可能取值；
（2）说明随机变量取各值的意义（即表示什么事件）并求出取该值的概率；
（3）列表写出随机变量的分布列；
（4）利用期望公式求值
3．某蔬菜种植基地有一批蔬菜需要两天内采摘完毕，天气预报显示这两天每天是否有雨相互独立，无雨的概率都为0.8.现有两种方案可以选择：
方案一：基地人员自己采摘，不额外聘请工人，需要两天完成，两天都无雨收益为2万元，只有一天有雨收益为1万元，两天都有雨收益为0.75万元.
方案二：基地额外聘请工人，只要一天就可以完成采摘.当天无雨收益为2万元，有雨收益为1万元.额外聘请工人的成本为万元.
问：（1）若不额外聘请工人，写出基地收益的分布列及基地的预期收益；
（2）该基地是否应该外聘工人？请说明理由.
【答案】（1）分布列见解析；期望为万元；（2）答案不唯一，具体见解析.
【分析】
（1）求出每种收益情况的概率，列出分布列，最后根据数学期望公式进行求解即可；
（2）根据题意求出基地额外聘请工人情况下的数学期望，结合（1）中数据，利用比较法分类讨论进行判断即可.
【详解】
（1）基地收益的可能值为2，1，0.75，
因为两天每天无雨的概率都为0.8，所以两天每天有雨的概率都为，
则，
，
，
故的分布列为
则.
（2）设基地额外聘请工人时的收益为万元，则其预期收益
，
，
当时，即时，不外聘工人；
当时，即时，外聘工人；
当时，即时，是否外聘工人均可以，
综上可得，当额外聘请工人的成本高于0.17万元时，不外聘工人，
当成本低于0.17万元时，外聘工人，
当成本恰为0.17万元时，是否外聘工人均可以.
【点睛】
本题考查了离散型随机变量分布列，考查了数学期望的应用，考查了数学阅读能力和数学运算能力.
4．目前，新冠病毒引发的肺炎疫情在全球肆虐．在党中央的正确领导下，通过全国人民的齐心协力，特别是全体一线医护人员的奋力救治，我国的“新冠肺炎”疫情在今年二月份已得到控制．甲、乙两个地区采取防护措施后，统计了从2月7日到2月13日一周的新增“新冠肺炎”确诊人数，绘制成如下图所示的折线图：
（1）根据图中甲、乙两个地区折线图的信息，分别从均值与方差的角度比较甲乙两地新增确诊人数的统计结论（不用计算数据，给出判断即可）；
（2）治疗“新冠肺炎”药品的研发成了当务之急，某药企计划对甲地区的项目或乙地区的项目投入研发资金．经过评估，对于项目，每投资十万元，一年后利润是1.38万元，1.17万元，1.16万元的概率分别为，，；对于项目，产品价格在一年内需进行2次独立的调整，每次价格调整中，产品价格下调的概率都是，且产品价格的下调次数为0，1，2时，每投资十万元，一年后相应利润是1.4万元，1.25万元，0.6万元．对项目投资十万元，一年后利润的随机变量记为，对项目投资十万元，一年后利润的随机变量记为．
（ⅰ）求，的分布列和数学期望，；
（ⅱ）如果你是该企业投资决策者，将做出怎样的决策？请写出决策理由．
【答案】（1）甲地区比乙地区的新增人数的均值小；甲地区比乙地区的方差大；（2）（ⅰ）分布列见解析，；；（ⅱ）当时，投资项目，当时，两个项目都可以，当时，投资项目．
【分析】
（1）甲地区比乙地区的新增人数的均值小；甲地区比乙地区的方差大；
（2）（ⅰ）根据数据直接列出分布列，再由期望公式计算出期望；
（ⅱ）比较和的大小可得结论．
【详解】
解：（1）甲地区比乙地区的新增人数的均值小；甲地区比乙地区的方差大；
（2）（ⅰ）由题意得的概率分布列为：
所以，
所以的概率分布列为：
所以，
（ⅱ）当时，得，即，
解得；
当时，；
当时，；
所以，当时，投资项目，当时，两个项目都可以，当时，投资项目．
【点睛】
本题考查统计图表的认识，考查随机变量的概率分布列和数学期望，考查统计数据的应用，旨在考查学生的数据处理能力，运算求解能力．
5．疫情过后，为了增加超市的购买力，营销人员采取了相应的推广手段，每位顾客消费达到100元以上可以获得相应的积分，每花费100积分可以参与超市的抽奖游戏，游戏规则如下：抽奖箱中放有2张奖券，3张白券，每次任取两张券，每个人有放回的抽取三次，即完成一轮抽奖游戏；若摸出的结果是“2张奖券”三次，则获得10100积分，若摸出的结果是“2张奖券”一次或两次，则获得300积分，若摸出“2张奖券”的次数为零，则获得0积分；获得的积分扣除花费的100积分，则为该顾客所得的最终积分；最终积分若达到一定的标准，可以兑换电饭锅.洗衣机等生活用品.
（1）求一轮抽奖游戏中，甲摸出“2张奖券”的次数为零的概率；
（2）记一轮抽奖游戏中，甲摸出“2张奖券”的次数为，求的分布列以及数学期望；
（3）试用概率与统计的相关知识，从数学期望的角度进行分析，多次参与抽奖游戏后，甲的最终积分情况.
【答案】（1）；（2）分布列答案见解析，数学期望：；（3）多次参与抽奖活动后，可以估计中的最终积分会越来越少.
【分析】
（1）先求出摸出“2张奖券”的概率，再根据重复实验的概率公式可计算；
（2）可知的可能取值为0，1，2，3，分别求出概率即可得出分布列，求出数学期望；
（3）记一轮抽奖游戏后，甲的最终积分为，则可得出分布列，求出的期望，可得期望为负，从而判断最终积分会越来越少.
【详解】
（1）每次抽取，摸出“2张奖券”的概率，
故一轮游戏中，甲摸出“2张奖券”的次数为零的概率.
（2）依题意，的可能取值为0，1，2，3，故，，，，
故的分布列为：
故.
（3）记一轮抽奖游戏后，甲的最终积分为，则的分布列为
故，
可知一轮游戏过后，甲的最终积分的期望为负数，
故多次参与抽奖活动后，可以估计中的最终积分会越来越少.
【点睛】
本题考查独立重复事件概率的求法，考查分布列和数学期望的求法，属于中档题.
6．某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，记其质量指标值为，当时，产品为一级品；当时，产品为二级品；当时，产品为三级品.现用两种新配方（分别称为配方和配方）做实验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：
配方的频数分布表
配方的频数分布表
（1）从配方生产的产品中按等级分层抽样抽取5件产品，再从这5件产品中任取3件，求恰好取到1件二级品的频率；
（2）若这种新产品的利润率与质量指标满足如下条件：，其中，请分别计算两种配方生产的产品的平均利润率，如果从长期来看，你认为投资哪种配方的产品平均利润率较大?
【答案】（1）（2）配方生产的产品平均利润率为，配方生产的产品平均利润率为，投资配方的产品平均利润率较大
【分析】
（1）按分层抽样抽取的5件产品中有2件为二级品，记为，，有3件为一级品，记为，，，可得从这5件产品中任取3件的取法及恰好取到1件的取法，可得答案；
（2）分别将与用表示，计算出的值，由可得哪种配方的产品平均利润率较大.
【详解】
解：（1）由题知，按分层抽样抽取的5件产品中有2件为二级品，记为，，有3件为一级品，记为，，，
从5件产品中任取3件共有10种取法，枚举如下：，，，，，，，，，
其中恰好取到1件二级品共有6种取法，所以恰好取到1件二级品的概率为.
（2）由题知配方生产的产品平均利润率，
配方生产的产品平均利润率，
所以，
因为，所以，所以投资配方的产品平均利润率较大.
【点睛】
本题主要考查概率的求法，考查了离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，属于中档题.
7．某企业拥有三条相同的且相互独立的生产线．据统计，每条生产线每月出现故障的概率为，且至多可能出现一次故障．
（1）求该企业每月有且只有条生产线出现故障的概率；
（2）在正常生产的情况下，每条生产线每月的利润是万元；如果一条生产线出现故障能及时维修，还能创造万元的利润；如果出现故障不能及时维修，该生产线就没有利润．为提高生产效益，企业决定安排维修工人对出现故障的生产线进行维修．如果一名维修工人每月只能及时维修一条生产线，且一名工人每月所需费用为万元，以该企业每月实际利润的期望值为决策依据，你选择安排几名维修工？（实际利润生产线创造利润维修工人费用）
【答案】（1）；（2）安排二名维修工.
【分析】
（1）由题知服从二项分布，直接利用二项分布的概率计算公式.
（2）分类讨论思想，分别计算安排1名，2名，3名维修工时，每月的实际获利润期望值，并比较，选出安排几名维修工合适．
【详解】
（1）设3条生产线中出现故障的条数为，则服从二项分布
因此该企业每月有且只有1条生产线出现故障的概率：．
（2）①若安排一名维修工时，设该企业每月的实际获利为万元．
若，则；
若，则；
若，则；
若，则；
又，
， ，
此时，实际获利的均值.
②若安排二名维修工时，设该企业每月的实际获利为万元．
若，则；
若，则；
若，则；
若，则；
此时，实际获利的均值，
可知．
③若安排三名维修工时，设该企业每月的实际获利为万元．
若，则；
若，则；
若，则；
若，则；
此时，实际获利的均值，
可知.
由于利润期望值最大化是决策的依据，在上述情形中最大，由计算过程易知安排三名以上的维修工时利润还会下降，故选择安排二名维修工，此时实际利润最大
【点睛】
（1）考查了二项分布的判定及概率的计算.
（2）离散型随机变量的期望与方差的应用，是高考的重要考点，不仅考查学生的理解能力与计算能力，而且不断创新问题情境，突出学生运用概率，期望和方差解决实际问题的能力，属于中档题.
8．已知6名某疾病病毒密切接触者中有1名感染病毒，其余5名健康，需要通过化验血液来确定感染者．血液化验结果呈阳性的即为感染者，呈阴性即为健康．
（1）若从这6名密切接触者中随机抽取3名，求抽到感染者的概率；
（2）血液化验确定感染者的方法有：①逐一化验；②平均分组混合化验：先将血液样本平均分成若干组，对组内血液混合化验，若化验结果呈阴性，则该组血液不含病毒；若化验结果呈阳性，则对该组的备份血液逐一化验，直至确定感染者．
（i）采取逐一化验，求所需化验次数的分布列及数学期望；
（ii）采取平均分组混合化验（每组血液份数相同），求不同分组方法所需化验次数的数学期望．你认为选择哪种化验方案更合理？请说明理由．
【答案】（1）；（2）（i）分布列见解析，数学期望为；（ii）分类讨论，答案见解析．
【分析】
（1）总数为，抽到感染者，则从余下5名某疾病病毒密切接触者中，再抽2人，有，从而求得抽到感染者的概率；
（2）分别求出方案（i）和方案（ii）的分布列和均值，注意方案（ii）采取平均分组混合化验，又平均分成3组和平均分成2组两种情况，再通过对比得出结论.
【详解】
（1）6名密切接触者中随机抽取3名共有种方法，
抽取3名中有感染者的抽法共有种方法，
所以抽到感染者的概率 ；
（2）（i）按逐一化验法，的可能取值是1，2，3，4，5，
， ， ，
， ，
表示第5次化验呈阳性或前5次化验都呈阴性（即不检验可确定第6个样本为阳性），
分布列如下：
所以；
（ii）平均分组混合化验，6个样本可按平均分成2组，或者按分成3组．
如果按分2组，所需化验次数为，的可能取值是2，3，
，，
分布列如下：

如果按分3组，所需化验次数为，的可能取值是2，3，
，，
分布列如下：

因为，
所以我认为平均分组混合化验法较好，按或分组进行化验均可．
【点睛】
本题主要考查了随机事件概率的计算,以及离散型随机变量的分布列的均值与方差,属于中档题.
9．某厂加工的零件按箱出厂，每箱有个零件，在出厂之前需要对每箱的零件作检验，人工检验方法如下：先从每箱的零件中随机抽取个零件，若抽取的零件都是正品或都是次品，则停止检验；若抽取的零件至少有1个至多有个次品，则对剩下的个零件逐一检验．已知每个零件检验合格的概率为，每个零件是否检验合格相互独立，且每个零件的人工检验费为元．
（1）设1箱零件人工检验总费用为元，求的分布列；
（2）除了人工检验方法外还有机器检验方法，机器检验需要对每箱的每个零件作检验，每个零件的检验费为元，现有箱零件需要检验，以检验总费用的数学期望为依据，在人工检验与机器检验中，应该选择哪一个？说明你的理由．
【答案】（1）分布列见解析；（2）人工检验，详见解析．
【分析】
（1）根据题意，工人抽查的5个零件中，分别计算出5个都是正品或者都是次品，5个不全是次品的人工费用，得出的可能值，利用二项分布分别求出概率，即可列出的分布列；
（2）由（1）求出的数学期望，根据条件分别算出1000箱零件的人工检验和机器检验总费用的数学期望，比较即可得出结论.
【详解】
（1）的可能取值为，，
，
，
则的分布列为
（2）由（1）知，，
∴1000箱零件的人工检验总费用的数学期望为元．
∵1000箱零件的机器检验总费用的数学期望为元，
且，∴应该选择人工检验．
【点睛】
该题考查离散型随机变量的实际应用，求离散型随机变量概率、分布列和数学期望，属于简单题目.
10．已知6名某疾病病毒密切接触者中有1名感染病毒，其余5名未感染，需要通过化验血液来确定感染者.血液化验结果呈阳性的即为感染者，呈阴性即为未感染者.
（1）若从这6名密切接触者中随机抽取2名，求抽到感染者的概率；
（2）血液化验确定感染者的方法有：方法一是逐一化验；方法二是平均分组混合化验，先将血液样本平均分成若干组，对组内血液混合化验，若化验结果呈阴性，则该组血液不含病毒，若化验结果呈阳性，则对该组的备份血液逐一化验，直至确定感染者.
（i）采取逐一化验，求所需化验次数的分布列及数学期望；
（ii）采取平均分成三组混合化验（每组血液份数相同），求该分组方法所需化验次数的数学期望.你认为选择哪种化验方案更合理？请说明理由.
【答案】（1）；（2）（i）分布列见解析，；（ii），按平均分组法较合理，理由见解析.
【分析】
（1）由超几何分布的概率公式运算即可得解；
（2）（i）先计算出分别取1，2，3，4，5时的概率，进而可得的分布列，由数学期望的公式即可得的数学期望；
（ii）分别计算出时的概率，进而可得的分布列与数学期望，比较、的大小即可选出方案.
【详解】
（1）由题意，抽到感染者的概率；
（2）（i）按逐一化验法，的可能取值为1，2，3，4，5，
，，，
，，
所以所需化验次数的分布列为
所以数学期望；
（ii）平均分成三组即按分组，记所需化验次数为，则，
，，
所以的分布列为
所以数学期望，
因为，所以按平均分组法较合理.
【点睛】
本题考查了超几何分布概率公式的应用，考查了离散型随机变量分布列、数学期望的求解与应用，属于中档题.
11．某校从高三年级中选拔一个班级代表学校参加“学习强国知识大赛”，经过层层选拔，甲、乙两个班级进入最后决赛，规定回答1相关问题做最后的评判选择由哪个班级代表学校参加大赛．每个班级4名选手，现从每个班级4名选手中随机抽取2人回答这个问题．已知这4人中，甲班级有3人可以正确回答这道题目，而乙班级4人中能正确回答这道题目的概率每人均为，甲、乙两班级每个人对问题的回答都是相互独立，互不影响的．
（1）求甲、乙两个班级抽取的4人都能正确回答的概率；
（2）设甲、乙两个班级被抽取的选手中能正确回答题目的人数分别为，，求随机变量，的期望，和方差，，并由此分析由哪个班级代表学校参加大赛更好？
【答案】（1）；（2），，，，由甲班级代表学校参加大赛更好．
【分析】
（1）根据相互独立事件的概率计算公式即可求出答案；
（2）结合超几何分布和二项分布，根据数学期望和方差的定义依次求出，，，，由此可求出答案．
【详解】
解：（1）甲、乙两个班级抽取的4人都能正确回答的概率；
（2）甲班级能正确回答题目人数为，的取值分别为1，2，
，，
则，，
乙班级能正确回答题目人数为，的取值分别为0，1，2，
∵，∴，，
由，可知，由甲班级代表学校参加大赛更好．
【点睛】
本题主要考查超几何分布与二项分布的应用，属于基础题．
12．某汽车租赁公司为了调查A型汽车与B型汽车的出租情况，现随机抽取这两种车各50辆，分别统计每辆车在某个星期内的出租天数，统计数据如下表：
A型汽车
B型汽车
（1）试根据上面的统计数据，判断这两种车在某个星期内的出租天数的方差的大小关系（只需写出结果）；
（2）如果A型汽车与B型汽车每辆车每天出租获得的利润相同，该公司需要购买一辆汽车，请你根据所学的统计知识，给出建议应该购买哪一种车，并说明你的理由.
【答案】（1）B型汽车在某个星期内出租天数的方差较大；（2）答案详见解析.
【分析】
（1）根据数据的离散程度可得到结果；
（2）从利润均值和方差两方面来进行决策都是正确的.
【详解】
（1）由数据的离散程度，可以看出B型汽车在某个星期内出租天数的方差较大.
（2）50辆A型汽车出租天数的平均数为
，
50辆B型汽车出租天数的平均数为
，
方案一：A型汽车在某个星期内出租天数的平均值为4.62，B型汽车在某个星期内出租天数的平均值为4.8，选择B型汽车的出租车的利润较大，应该购买B型汽车.
方案二：A型汽车在某个星期内出租天数的平均值为4.62，B型汽车在某个星期内出租天数的平均值为4.8，而B型汽车出租天数的方差较大，所以应该购买A型汽车.（任选其一）.
【点睛】
本题考查了数据方差和均值的计算，以及涉及了决策问题.
13．受电视机在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每台电视机的利润与该电视机首次出现故障的时间有关.某电视机制造厂生产甲、乙两种型号电视机，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种型号电视机中各随机抽取50台，统计数据如下：
将频率视为概率，解答下列问题：
（1）从该厂生产的甲种型号电视机中随机抽取一台，求首次出现故障发生在保修期内的概率；
（2）该厂预计今后这两种型号电视机销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种型号电视机，若从经济效益的角度考虑，你认为应该产生哪种型号电视机？说明理由.
【答案】（1）；（2）选择生产甲汽车.
【分析】
根据保修期为2年，可知甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内的轿车数量为，由此可求其概率；求出生产两种汽车的收益的分布列和期望，比较即得解.
【详解】
设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件，
则（A）.
依题意得，生产甲汽车的效益的分布列为
生产乙汽车的效益的分布列为
所以（万元
（万元
，
应生产甲品牌轿车．
【点睛】
本题考查概率的求解，考查分布列与期望，解题的关键是求出概率，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．
14．
随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件.已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元．设1件产品的利润(单位：万元)为．
（1）求的分布列；
（2）求1件产品的平均利润(即的数学期望)；
（3）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品提高为70%.如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？
【答案】（1）的分布列见解析；（2）4.34；（3）.
【分析】
本题考查的是随机变量的分布列及期望的实际运用．对于（１）可先将的各种可能值对应的概率求出，然后代入公式可得（２）的答案
【详解】
（１）的可能取值有;
故的分布列为
（2）
（3）设技术革新后的三等品率为x，则此时１件产品的平均利润
，
依题意，
所以三等品率最多是.
15．某高校设计了一个实验学科的实验考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作.规定：至少正确完成其中2题的便可提交通过.已知6道备选题中考生甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响.
（1）分别写出甲、乙两考生正确完成题数的数学期望；
（2）试从两位考生正确完成题数的数学期望及甲，乙能通过提交的概率，分析比较两位考生的实验操作能力.
【答案】（1）数学期望分别为2，2；（2）答案见解析.
【分析】
（1）设考生甲、乙正确完成实验操作的题数分别为，，则的取值分别为1、2、3，的取值分别，0、1、2、3，分别求出相应的概率，由此能求出甲、乙两考生正确完成题数的数学期望.
（2）因为，从做对题的数学期望考察，两人水平相当；从至少正确完成2题的概率考察，甲通过的可能性大，因此可以判断甲的实验操作能力较强.
【详解】
（1）设考生甲、乙正确完成实验操作的题数分别为，，
则的取值分别为1、2、3，的取值分别，0、1、2、3，
，
，
，
所以考生甲正确完成实验操作的题数的概率分布列为：
.
因为，所以考生乙正确完成实验操作的题数的期望.
（2）因为，
，所以，
从做对题的数学期望考察，两人水平相当；
从至少正确完成2题的概率考察，甲通过的可能性大，
因此可以判断甲的实验操作能力较强.
【点睛】
本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，考查两人实验操作能力的判断，是中档题，解题时要注意二项分布的合理运用.
16．某水果批发商经销某种水果（以下简称水果），购入价为150元/箱，并以180元/箱的价格售出，若前8小时内所购进的水果没有售完，则批发商将没售完的水果以110元/箱的价格低价处理完毕（根据经验，2小时内完全能够把水果低价处理完，且当天不再购进）.该水果批发商根据往年的销量，统计了100天水果在每天的前8小时内的销售量，制成如图所示的频数分布条形图.现以记录的100天的水果在每天的前8小40时内的销售量的频率作为水果在一天的前8小时内的销售量的概率，记表示水果一天前8小时内的销售量，表示水果批发商一天批发水果的箱数.
（Ⅰ）求的分布列；
（Ⅱ）以日利润的期望值为决策依据，在与中选其一，应选用哪个？
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.
【分析】
（Ⅰ）由题意求得、、、，即可得解；
（Ⅱ）分别计算出、时，日利润的数学期望，比较即可得解.
【详解】
（Ⅰ）由题意可取、、、，
且，，，
，
所以的分布列如下：
（Ⅱ）当时，设日利润为，
则的可能取值为、，
且，，
所以的数学期望；
当时，设日利润为，
则可能取值为、、
，
且，，，
则的数学期望；
因为，故选.
【点睛】
本题考查了离散型随机变量分布列的求解，考查了数学期望的应用及运算求解能力，属于中档题.
17．2020年初，新型冠状病毒肺炎爆发时，我国政府迅速采取强有力措施抗击疫情，赢得了国际社会的高度评价，在这期间，为保证抗疫物资的质量，我国也加大了质量检查的力度．某市2020年初新增加了甲、乙两家专门生产消毒液的工厂，质检部门现从这两家工厂中各随机抽取了100瓶消毒液，检测其质量，得到甲厂所生产的消毒液的质量指标值的频率分布直方图如图所示，乙厂所生产的消毒液质量指标值的频数分布表如表所示（同一组数据用该组数据的区间中点值作代表，视频率为概率）
（1）规定：消毒液的质量指标值越高，消毒液的质量越好．已求得甲厂所生产的消毒液的质量指标值的中位数为，乙厂所生产的消毒液的质量指标值的平均数为26.5，分别求甲厂所生产的消毒液的质量指标值的平均数以及乙厂所生产的消毒液的质量指标值的中位数，并针对这两家工厂所生产的消毒液的质量情况写出两条统计结论；
（2）甲厂生产的消毒液的质量指标值近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，并已求得．该厂决定将消毒液分为，，级三个等级，其中质量指标值不高于2.6的为级，高于38.45的为级，其余为级，请利用该正态分布模型解决下列问题：
（ⅰ）甲厂近期生产了10万瓶消毒液，试估计其中级消毒液的总瓶数；
（ⅱ）已知每瓶消毒液的等级与出厂价（单位：元/瓶）的关系如下表所示：
假定甲厂半年消毒液的生产量为1000万瓶，且消毒液全都能销售出去．若每瓶消毒液的成本为20元，工厂的总投资为4千万元（含引进生产线、兴建厂房等一切费用在内），问：甲厂能否在半年之内收回投资？试说明理由．
附：若，则，，．
【答案】（1）26.5；；答案见解析；（2）（ⅰ）级消毒液有81860瓶；（ⅱ）甲厂能在半年之内收回投资．理由见解析.
【分析】
（1）根据频率分布直方图和频率分布表求出平均数、众数，然后对两家工厂生产的消毒液质量指标值作比较得出方案；
（2）根据模型可求出；
（3）列出的分布列，可求出期望，然后再作比较可得答案.
【详解】
（1）甲厂所生产的消毒液的质量指标值的平均数为
．
设乙厂生产的消毒液的质量指标值的中位数为，
则，解得．
统计结论：（答案不唯一，任意两个即可，其他答案如果叙述正确也给分）
①两家工厂生产的消毒液质量指标值的平均数相等，从这个角度看这两家工厂生产的消毒液质量基本相当；
②由数据波动的情况可知，乙厂生产的消毒液质量的方差大于甲厂生产的消毒液质量的方差，说明甲厂生产的消毒液比乙厂生产的消毒液的质量更稳定．
③两家工厂生产的消毒液质量指标值的平均数相同，但乙厂生产的消毒液质量的方差大于甲厂生产的消毒液质量的方差，所以甲厂生产的消毒液更好．
④两家工厂所生产的消毒液的质量指标值的众数均等于25．
⑤两家工厂所生产的消毒液的质量指标值的中位数均为．
⑥甲厂生产的消毒液质量集中在平均数附近，乙厂生产的消毒液中质量指标值特别小和质量指标值特别大的较多．
（2）（ⅰ）
，
因为，所以可估计甲厂所生产的这10万瓶消毒液中，级消毒液有81860瓶．
（ⅱ）设每瓶消毒液的利润为元，则的可能取值为10，5，，
，
由（ⅰ）知，
所以，故的分布列为
所以每瓶消毒液的平均利润为（元），
故生产半年消毒液所获利润为（千万元），
而5．5885（千万元）4（千万元），所以甲厂能在半年之内收回投资．
【点睛】
本题考查了根据频率分布直方图、频率分布表求平均数、中位数，正态分布的性质及随机变量的分布列.
18．2019年3月5日，国务院总理李克强在做政府工作报告时说，打好精准脱贫攻坚战.围绕这个目标，福建省正着力加快增收步伐，提高救助水平，改善生活条件，打好产业扶贫、保障扶贫、安居扶贫三场攻坚战.为响应国家政策，小型杂货店店主老张在报社的帮助下代售某报纸.据长期统计分析，老张的杂货店中该报纸每天的需求量的频率分布如下表所示：
已知该报纸进价为每份1.5元，售价为每份2元.若供大于求，则每份报纸以每份1.2 元的价格退回报社.以频率估计概率，回答下面问题：
（1）根据统计结果，老张在每日报纸进货量为9，10，11份之间犹豫不决，为了使收益最大，请为老张选择最合适的报纸进货量，并说明理由；
（2）若老张以（1）中的最合适方案确定每天的进货量，在一个月（以30天计）中，多少天将报纸销售完的概率最大？
【答案】（1）每日进10份报纸；（2）21天.
【分析】
(1) 设老张在每日报纸进货量为9， 10， 11份时的收益分别为X，Y，Z，分别求出，比较大小可得出为了使收益最大，老张选择最合适的报纸进货量；
(2)老张选择最合适的报纸进货量为每日进10份报纸，由老张的杂货店中该报纸每天的需求量的频率分布表知每日剩余一张的概率为0.3，卖完的概率为0.7，由此能求出在一个月(以30天计) 中，多少天将报纸销售完的概率最大.
【详解】
解： (1) 设老张在每日报纸进货量为9， 10， 11份时的收益分别为X，Y，Z，
当老张在每日报纸进货量为9份时，，
当老张在每日报纸进货量为10份时，
若需求量为9份时，，，
当需求量不小于10份时，，，
；
当老张在每日报纸进货量为11份时，
需求量为9份时，，
需求量为10份时，，
当需求量不小于11份时，，
，所以，
为了使收益最大，老张选择最合适的报纸进货量为每日进10份报纸.
(2)由(1) 知老张选择最合适的报纸进货量为每日进10份报纸，
由老张的杂货店中该报纸每天的需求量的频率分布表知：每日剩余一张的概率为0.3，卖完的概率为0.7，
所以在一个月(以30 天计)中，天将报纸销售完的概率最大.
【点睛】
本题考查离散型分布列和数学期望在实际生活中的应用，属于中档题.
19．某企业生产一种液体化工产品，其年产量受气温影响，该液体化工产品中含有制造高精端仪器所需的稀有金属，且提取该稀有金属后，不影响液体化工产品的销售和用途.根据以往市场经验，制造的该液体化工产品和提取的稀有金属都能完全销售.在此之前，该企业无稀有金属提取设备，经企业研究决定安装，但由于条件限制，最多能安装6台.根据最近20年统计的生产资料数据，每年至少生产该液体化工产品40吨，且得到液体化工产品年产量的数据如下表：
（Ⅰ）对于液体化工产品，如果年产量不低于100吨，则称该年度为“优质年”，每位职工发放一等年终奖金；如果年产量不足100吨，则称该年度为“均衡年”，每位职工发放二等年终奖金.其中一名工人在统计的20年中有5年在该企业工作，问该工人恰有三年得到一等年终奖金的概率是多少？（最后结果保留分数形式）
（Ⅱ）若液体化工产品年产量相互独立，且把液体化工产品年产量在相应段的频率作为概率.
（ⅰ）试求未来3年中，至少有一年液体化工产品年产量不低于100吨的概率；（最后结果保留分数形式）
（ⅱ）企业希望安装的稀有金属提取设备尽可能多地运行，但每年稀有金属提取设备运行的台数受液体化工产品年产量的限制，并有如下关系：
对于每台提取设备，若正常运行，则可获年利润约50万元，否则年亏损10万元.问应安装多少台稀有金属提取设备，可使该企业在稀有金属提取项目中获得最大总利润？并说明理由.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（ⅰ）；（ⅱ）5台，理由见解析.
【分析】
（Ⅰ）由题意知，该工厂得到一等年终奖金的年数服从超几何分布，可直接求出概率；
（Ⅱ）（ⅰ）可以求出年产量不低于100吨的概率为，则年产量不低于100吨的年数为服从，则可计算概率；
（ⅱ）要使获得利润尽量大，应至少安装3台提取设备，分别分情况讨论总利润.
【详解】
（Ⅰ）；
（Ⅱ）（ⅰ），，所以，所以年产量不低于100吨的概率为，低于100吨的概率为，记未来3年中该液体化工产品年产量不低于100吨的年数为，则，所以在未来3年中至少有一年年产量不低于100吨的概率；
（ⅱ）记该企业在稀有金属提取项目中所得总利润为（单位：万元）.
由题得，要使获得利润尽量大，应至少安装3台提取设备，
①若安装3台提取设备，则在稀有金属提取项目中所得最大总利润万元，
②由题知，液体化工产品年产量的概率为，此时可运行3台设备，年产量的概率为，此时可运行4台.若安装4台提取设备，则3台运行，1台不运行的概率为，4台运行的概率为，所以离散型随机变量的分布列为
此时在稀有金属提取项目中所得最大总利润万元.
③若安装5台提取设备，同理可得离散型随机变量的分布列为
此时在稀有金属提取项目中所得最大总利润万元.
④若安装6台提取设备，同理可得离散型随机变量的分布列为
此时在稀有金属提取项目中所得最大总利润万元.
综上，当安装5台提取设备时，稀有金属提取项目所获总利润为205万元，大于其他情况，所以安装5台稀有金属提取设备能获得该项目的最大总利润.
【点睛】
本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，属于综合题.
20．某县为了帮助农户脱贫致富，鼓励农户利用荒地山坡种植果树，某农户考察了三种不同的果树苗、、．经过引种实验发现，引种树苗的自然成活率为，引种树苗、的自然成活率均为．
（1）任取树苗、、各一棵，估计自然成活的棵数为，求的分布列及其数学期望；
（2）将（1）中的数学期望取得最大值时的值作为种树苗自然成活的概率．该农户决定引种棵种树苗，引种后没有自然成活的树苗有的树苗可经过人工栽培技术处理，处理后成活的概率为，其余的树苗不能成活．
①求一棵种树苗最终成活的概率；
②若每棵树苗引种最终成活可获利元，不成活的每棵亏损元，该农户为了获利期望不低于万元，问至少要引种种树苗多少棵？
【答案】（1）分布列见解析，；（2）①；②棵.
【分析】
（1）根据题意得出随机变量的可能取值有、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得随机变量的数学期望；
（2）①由（1）知当时，最大，然后分一棵种树苗自然成活和非自然成活两种情况，可求得所求事件的概率；
②记为棵树苗的成活棵数，由题意可知，利用二项分布的期望公式得出，根据题意得出关于的不等式，解出的取值范围即可得解.
【详解】
（1）依题意，的所有可能值为、、、，
则，
，
，
.
所以，随机变量的分布列为：
；
（2）由（1）知当时，取得最大值．
①一棵种树苗最终成活的概率为：，
②记为棵树苗的成活棵数，则，，
，．
所以该农户至少要种植棵树苗，才可获利不低于万元．
【点睛】
本题通过“果树种植”的例子，第（1）问考查了随机变量及其分布列，数学期望等基础知识点，第（2）问考查了考生数学建模的能力，即把实际问题转化为数学问题，再运算求解的能力，对于考生的综合分析能力提出较高要求，属中等题．
21．某种疾病可分为Ⅰ、Ⅱ两种类型，为了解该疾病类型与性别的关系，在某地区随机抽取了患该疾病的病人进行调查，其中男性人数为，女性人数为，男性患Ⅰ型病的人数占男性病人的，女性患Ⅰ型病的人数占女性病人的.
（1）完成联表若在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“所患疾病类型”与“性别”有关，求男性患者至少有多少人？
（2）某药品研发公司欲安排甲乙两个研发团队来研发此疾病的治疗药物，两个团队各至多安排2个接种周期进行试验.每人每次接种花费元.甲团队研发的药物每次接种后产生抗体的概率为，根据以往试验统计，甲团队平均花费为；乙团队研发的药物每次接种后产生抗体的概率为，每个周期必须完成3次接种，若一个周期内至少出现2次抗体，则该周期结束后终止试验，否则进入第二个接种周期.假设两个研发团队每次接种后产生抗体与否均相互独立.若，从两个团队试验的平均花费考虑，该公司应选择哪个团队进行药品研发？
附：.
【答案】（1）列联表见解析，12人；（2）答案见解析.
【分析】
（1）根据题中数据即可补全列联表，计算出卡方值，令，即可求出的取值范围，结合条件可得结果；
（2）设甲研发团队试验总花费为，,设乙研发团队试验总花费为元，则的可能取值为，，分别计算出的概率，然后计算出均值进行比较即可判断.
【详解】
（1）列联表如下：
要使在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“所患疾病类型”与“性别”有关，
则，，
解得，
因为，，所以的最小整数值为12，
所以男性患者至少有12人；
（2）设甲研发团队试验总花费为，,
设乙研发团队试验总花费为元，则的可能取值为，，
所以，
，
所以，
因为，所以
，
①当时，，因为，所以，所以，
乙团队试验的平均花费较少，所以选择乙团队进行研发；
②当时，，因为，所以，所以，
甲团队试验的平均花费较少，所以选择甲团队进行研发；
③当时，，所以，甲团队试验的平均花费和乙团队试验的平均花费相同，从两个团队试验的平均花费考虑，该公司应选择甲团队或乙团队进行研发均可.
【点睛】
本题考查独立性检验，考查了卡方值的计算，考查离散型随机变量的概率分布即均值的求法，考查利用均值进行决策的问题.
22．冠状病毒是一个大型病毒家族，已知可引起感冒以及中东呼吸综合征和严重急性呼吸综合征等较严重疾病. 而今年出现的新型冠状病毒是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株. 人感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症状、发热、咳嗽、气促和呼吸困难等. 在较严重病例中感染可导致肺奖、严重急性呼吸综合征、贤衰竭，甚至死亡.核酸检测是诊断新冠肺炎的重要依据，首先取病人的唾液或咽拭子的样本，再提取唾液或咽拭子样本里的遗传物质，如果有病毒，样本检测会呈现阳性，否则为阴性. 根据统计发现，疑似病例核酸检测呈阳性的概率为，现有例疑似病例，分别对其取样、检测，多个样本检测时，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验，混合样本中只要有病毒，则混合样本化验结果就会呈阳性，若混合样本呈阳性，则将该组中各个样本再逐个化验；若混合样本呈阴性，则该组各个样本均为阴性.现有以下三种方案:
方案一：逐个化验；
方案二：四个样本混在一起化验；
方案三: 平均分成两组化验.
在新冠肺炎爆发初期，由于检查能力不足，化检次数的期望值越小，则方案越“优”.
（1）若，求个疑似病例样本混合化验结果为阳性的概率；
（2）若，现将该例疑似病例样本进行化验，请问：方案一、二、 三中哪个最“优”?
（3）若对例疑似病例样本进行化验，且“方案二”比“方案一”更“优”，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）方案二最“优”，理由见解析；（3）.
【分析】
（1）可求得个疑似病例均为阴性的概率，再利用对立事件的概率公式可求得事件“个疑似病例样本混合化验结果为阳性”的概率；
（2）分别计算出方案一、二、三中将该例疑似病例样本进行化验所需次数的数学期望，比较三种方案中检测次数的期望值大小，可得出最“优”方案；
（3）求出方案二的数学期望，可得出关于的不等式，进而可求得实数的取值范围.
【详解】
（1）由题意可知，个疑似病例均为阴性的概率为，
因此，该混合样本呈阳性的概率为；
（2）方案一：逐个检验，检验次数为；
方案二：混合在一起检测，记检测次数为，则随机变量的可能取值为、，
，，
所以，随机变量的分布列如下表所示：
所以，方案二的期望为；
方案三：由（1）知，每组两个样本检测时，若呈阴性则检测次数为，概率为；若呈阳性则检测次数为，概率为.
设方案三的检测次数为随机变量，则的可能取值为、、，
，，.
所以，随机变量的分布列如下表所示：
所以，方案三的期望为.
比较可得，故选择方案二最“优”；
（3）方案二：记检测次数为，则随机变量的可能取值为、，
，，
随机变量的分布列如下表所示：
所以，随机变量的数学期望为，
由于“方案二”比“方案一”更“优”，则，
可得，即，解得，
故当时，方案二比方案一更“优”.
【点睛】
本题考查事件概率的计算，同时也考查了利用数学期望进行决策，考查计算能力，属于中等题.
23．某花店每天以每枝5元价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理
（1）若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润（单位：元）关于当天需求量（单位：枝，）的函数解析式.
（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：
以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.
（ⅰ）若花店一天购进17枝玫瑰花，表示当天的利润（单位：元），求的分布列，数学期望及方差；
（ⅱ）若花店计划一天购进17枝或18枝玫瑰花，你认为应购进17枝还是18枝？请说明理由.
【答案】（1）
（2）（ⅰ）分布列见解析， ，；（ⅱ）17枝，理由见解析.
【分析】
（1）分和两种情况分别求利润，写成分段函数的形式即可得到所求.
（2）（ⅰ）由题意求出利润可能的取值，求出相应的概率，即可列出分布列，求出期望与方差.（ⅱ）购进18枝玫瑰花时，当天的利润可能为60，70，80，90，分别求出相应的概率，即可得数学期望，比较两个数学期望，即知应购进17枝还是18枝.
【详解】
（1）当时，
当时，
所以当天的利润关于当天需求量的函数解析式：

（ⅰ）可能取值为65，75，85
，
，
的分布列为
，

（ⅱ）购进18枝时，当天的利润可能为60，70，80，90
，，，

由得：应购进17枝.
【点睛】
本题主要考查了概率的相关知识，为概率及随机变量的分布列、期望、方差的综合应用，属于中档题.
24．某地盛产脐橙，该地销售脐橙按照等级分为四类：珍品、特级、优级和一级（每箱重量为5kg），某采购商打算在该地采购一批脐橙销往外地，并从采购的这批脐橙中随机抽取50箱，利用脐橙的等级分类标准得到的数据如表：
（1）用分层抽样的方法从这50箱脐橙中抽取10箱，再从抽取的10箱中随机抽取3箱，ξ表示随机抽取的3箱中是特级的箱数，求的分布列及数学期望；
（2）利用样本估计总体，该地提出两种购销方案供采购商参考：
方案一：不分等级卖出，价格为20元/kg；
方案二：分等级卖出，分等级的脐橙价格如下：
从采购商节约资金的角度考虑，应该采用哪种方案？
【答案】（1）分布列见解析，；（2）采用方案二，理由见解析
【分析】
（1）用分层抽样的方法从这50箱脐橙中抽取10箱，可得特级品的箱数为，非特级品的箱数为，从而可知的取值为，然后分别求出四种情况下的概率，进而可列出分布列并求出数学期望；
（2）设方案二的单价为，可求出的数学期望，进而与方案一的单价相比较，可得出结论.
【详解】
（1）用分层抽样的方法从这50箱脐橙中抽取10箱，特级品的箱数为，非特级品的箱数为，的取值为.
则，，
，，
则的分布列为：
数学期望.
（2）方案一的单价为20元/kg，
设方案二的单价为，则的数学期望为：
，
因为，所以从采购商节约资金的角度考虑，应该采用方案二.
【点睛】
本题考查离散型随机变量的分布列与数学期望，考查最优方案的判断，考查分层抽样，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于中档题.
25．某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售.如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理.
（1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，）的函数解析式；
（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：
以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.
①若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列、数学期望及方差；
②若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由.
【答案】（1）；（2）①分布列详见解析，，；②都有道理，理由详见解析.
【分析】
（1）利润y关于当天需求量n的函数是分段函数，考查了分类讨论思想；
（2）①可取，，，进而求得的分布列、数学期望及方差；
②花店一天应购进16枝还是17枝玫瑰取决于哪个利润更大，在利润相同的情况下，需要再比较方差，方差小的说明其更稳定.
【详解】
（1）当日需求量时，利润.当日需求量时，利润.
所以关于的函数解析式为.
（2）①X可能的取值为60，70，80，并且，，.
X的分布列为
X的数学期望为.
X的方差为.
②答案一：
花店一天应购进16枝玫瑰花.理由如下：
若花店一天购进17枝玫瑰花，Y表示当天的利润（单位：元），那么Y的分布列为
Y的数学期望为.
Y的方差为由以上的计算结果可以看出，，即购进16枝玫瑰花时利润波动相对较小.
另外，虽然，但两者相差不大.故花店一天应购进16枝玫瑰花.
答案二：
花店一天应购进17枝玫瑰花.理由如下：
若花店一天购进17枝玫瑰花，Y表示当天的利涧（单位：元），那么Y的分布列为
Y的数学期望为.
由以上的计算结果可以看出，，即购进17枝玫瑰花时的平均利润大于购进16枝时的平均利润.故花店一天应购进17枝玫瑰花.
【点睛】
本题考查的是概率相关知识，是随机变量的概率分布的综合题.求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：判断取值、探求概率、写分布列、求期望值.
26．某种体育比赛采用“五局三胜制”，具体规则为比赛最多进行五场，当参赛的两方有一方先羸得三场比赛，就由该方获胜而比赛结束，每场比赛都需分出胜负.现A，B双方参加比赛，A方在每一场获胜的概率为，假设每场比赛的结果相互独立.
（1）当时，求A方恰在比赛四场后赢得比赛的概率；
（2）若B方在每一场获胜的概率为q，设比赛场数为.
（i）试求的分布列及数学期望；（用P，q表示）
（ⅱ）求的最大值，并给出能够减少比赛场数的建议.
【答案】（1）；（2）（i）分布列见解析，；（ⅱ），建议A，B双方扩大与对方每一场获胜的概率，可减少比赛场数.
【分析】
（1）根据A方在前三场中有两场获胜，且第四场获胜，可得结果；
（2）（i）取值为3，4，5.求出取各个值的概率即可得分布列；
（ⅱ）根据和可得结果，
【详解】
（1）A方恰在比赛四场后赢得比赛，则A方在前三场中有两场获胜，且第四场获胜，
所以A方恰在比赛四场后赢得比赛的概率为；建议A，B双方扩大与对方每一场获胜的概率，可减少比赛场数.
（2）（i）易知，取值为3，4，5.
，
，
，
故的概率分布列为：
所以点的数学期望为
.
.
（ⅱ），
因为，，所以，所以在，
即时，取得最大值，最大值为.
由数学期望的表达式可知当时，单调递增，
所以接近0时，即当p，q相差较大时，也就是，或者，时，
比赛场数的数学期望相对较小，
故建议A，B双方扩大与对方每一场获胜的概率，可减少比赛场数.
【点睛】
本题考查了独立重复试验的概率公式，考查了离散型随机变量的分布列，考查了离散型随机变量的数学期望，属于中档题.
27．一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得分）.设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立.
（1）设每盘游戏获得的分数为，求的分布列.
（2）玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了，请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因.
【答案】（1）分布列见解析；（2）答案见解析.
【分析】
（1）先写出可能取值有，10，20，100，再利用求概率，最后求得的分布列；
（2）先求每盘游戏获得的分数为的数学期望，再因为每盘游戏平均得分是负分，由概率统计的相关知识可知：许多人经过若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而会减少.
【详解】
解：（1）可能取值有，10，20，100.
则，
，，
故分布列为：
（2）由（1）知，每盘游戏获得的分数为的数学期望是
.
这说明每盘游戏平均得分是负分，由概率统计的相关知识可知：许多人经过若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而会减少.
【点睛】
本题考查随机变量的分布列、独立重复事件的概率、利用数学期望判断分数增减，是基础题.
28．近期，济南公交公司分别推出支付宝和微信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用扫码支付.某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次，用表示活动推出的天数，表示每天使用扫码支付的人次（单位：十人次），统计数据如表所示：表：根据以上数据，绘制了散点图.
（1）根据散点图判断，在推广期内与（，均为大于零的常数）哪一个适宜作为扫码支付的人次关于活动推出天数的回归方程类型？（给出判断，不必说明理由）；
（2）根据（1）的判断结果及表中的数据，建立关于的回归方程，并预测活动推出第8天使用扫码支付的人次；
（3）推广期结束后，车队对乘客的支付方式进行统计，结果如下表：
车队为缓解周边居民出行压力，以80万元的单价购进了一批新车，根据以往的经验可知，每辆车每个月的运营成本约为0.66万元.已知该线路公交车票价为2元，使用现金支付的乘客无优惠，使用乘车卡支付的乘客享受8折优惠，扫码支付的乘客随机优惠，根据统计结果得知，使用扫码支付的乘客中有的概率享受7折优惠，有的概率享受8折优惠，有的概率享受9折优惠，预计该车队每辆车每个月有1万人次乘车，根据所给数据以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，在不考虑其它因素的条件下，按照上述收费标准，假设这批车需要年才能开始盈利，求的值.
参考数据：其中，
参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，.
【答案】（1）；（2），347；（3）7.
【分析】
（1）根据散点近似在指数型函数的图象上，可知，适宜作为扫码支付的人数关于活动推出天数的回归方程类型：
（2）对两边同时取常用对数得：，换元，设，则，再利用最小二乘法求出，由此可得，把代入上式可的结果；
（3）记一名乘客乘车支付的费用为，则的取值可能为：2，1.8，1.6，1.4；
根据题意计算出取每个值的概率，根据期望公式求出一名乘客一次乘车的平均费用，再根据利润大于0列不等式，解得结果即可得解.
【详解】
（1）因为散点近似在指数型函数的图象上，所以适宜作为扫码支付的人数关于活动推出天数的回归方程类型：
（2）∵，两边同时取常用对数得：；
设，∴，
∵，，，
∴，
把样本中心点代入，
得：，∴，∴，
∴关于的回归方程式：；
把代入上式：∴；
活动推出第8天使用扫码支付的人次为347；
（3）记一名乘客乘车支付的费用为，则的取值可能为：2，1.8，1.6，1.4；
；
；
；
所以，一名乘客一次乘车的平均费用为：
（元），
由题意可知：，
，所以，取7；估计这批车大概需要7年才能开始盈利.
【点睛】
本题考查了散点图，考查了求非线性回归方程，考查了离散型随机变量的期望，属于中档题.
29．现有一批货物需出售，现有两种出售方案供你选择，这两种方案的回报如下：方案一：即刻出售可获利2万元；方案二：根据往年的市场规律若一月后出售，获得经济收益10万元的概率为0.6，不赚反亏4万元的概率为0.4.请问你会选择哪种出售方式？
【答案】选择第二种出售
【分析】
第一种出售方式可获利2万元，第二种方式出售，可获利万元，求出的分布列，进而可求出的数学期望，比较与2的大小，可得出答案.
【详解】
第一种出售方式可获利2万元.
第二种方式出售，可获利万元，的分布列为：
第二种方式获利的期望为：（万元）.
因为，所以选择第二种出售的方式.
【点睛】
本题考查期望的实际应用，考查学生的推理能力与计算能力，属于基础题.
30．在中国，不仅是购物，而且从共享单车到医院挂号再到公共缴费，日常生活中几乎全部领域都支持手机支付.出门不带现金的人数正在迅速增加.中国人民大学和法国调查公司益普索合作，调查了腾讯服务的6000名用户，从中随机抽取了60名，统计他们出门随身携带现金(单位：元)如茎叶图如示，规定：随身携带的现金在100元以下(不含100元)的为“手机支付族”，其他为“非手机支付族”.
（1）根据上述样本数据，将2×2列联表补充完整，并判断有多大的把握认为“手机支付族”与“性别”有关?
（2）用样本估计总体，若从腾讯服务的用户中随机抽取3位女性用户，这3位用户中“手机支付族”的人数为，求随机变量的期望；
（3）某商场为了推广手机支付，特推出两种优惠方案，方案一：手机支付消费每满1000元可直减100元；方案二：手机支付消费每满1000元可抽奖2次，每次中奖的概率同为，且每次抽奖互不影响，中奖一次打9折，中奖两次打8.5折.如果你打算用手机支付购买某样价值1200元的商品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析，选择哪种优惠方案更划算?
附：
【答案】（1）答案详见解析，有99%的把握；（2）；（3）方案二.
【分析】
（1）根据已知数据得出列联表，再根据独立性检验得出结论；
（2）有数据可知，女性中“手机支付族”的概率为，知服从二项分布，即，可求得其期望和方差；
（3）若选方案一，则需付款元，若选方案二，设实际付款元，，则的取值为1200，1080，1020，求出实际付款的期望，再比较两个方案中的付款的金额的大小，可得出选择的方案.
【详解】
（1）由已知得出联列表：
所以，
有99%的把握认为“手机支付族”与“性别”有关；
（2）有数据可知，女性中“手机支付族”的概率为，
，

（3）若选方案一，则需付款元
若选方案二，设实际付款元，则的取值为1200，1080，1020，
，，，

选择第二种优惠方案更划算
【点睛】
本题考查独立性检验，二项分布的期望和方差，以及由期望值确定决策方案，属于中档题.
2
1
0.75
0.64
0.32
0.04
1.38
1.17
1.16
1.4
1.25
0.6
0
1
2
3
200
10000
指标值分组
频数
10
30
40
20
指标值分组
频数
5
10
15
30
40
1
2
3
4
5
2
3
2
3
1
2
3
4
5
2
3
出租天数
3
4
5
6
7
车辆数
3
30
5
7
5
出租天数
3
4
5
6
7
车辆数
10
10
15
10
5
品牌
甲
乙
首次出现故障时间x（年）
电视机数量（台）
3
5
42
8
42
每台利润（千元）
1
2
3
1.8
2.8

1
2
3



1.8
2.8


6
2
1
-2
P
0.63
0.25
0.1
0.02
1
2
3
质量指标值
频数
20
10
30
15
25
等级
出厂价
30
25
16
10
5
0.15865
0.8186
002275
需求量
9
10
11
12
13
频率
0.3
0.36
0.18
0.09
0.07
液体化工产品年产量（吨）
年数
3
1
8
6
2
液体化工产品年产量（吨）
提取设备最多可运行台数
3
4
5
6
（单位：万元）
140
200
（单位：万元）
130
190
250
（单位：万元）
120
180
240
300
Ⅰ型病
Ⅱ型病
合计
男
女
合计
0.10
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
Ⅰ型病
Ⅱ型病
合计
男
女
合计
日需求量
15
16
17
18
19
20
频数
15
20
20
18
16
11
65
75
85
0.15
0.2
0.65
等级
珍品
特级
优级
一级
箱数
10
15
15
10
等级
珍品
特级
优级
一级
售价（元/kg）
25
20
15
10
0
1
2
3
日需求量n
14
15
16
17
18
19
20
频数
10
20
16
16
15
13
20
60
70
80
0.1
0.2
0.7
55
65
75
85
0.1
0.2
0.16
0.54
55
65
75
85
0.1
0.2
0.16
0.54
3
4
5
P
10
20
100
1
2
3
4
5
6
7
6
11
21
34
66
101
196
支付方式
现金
乘车卡
扫码
比例
10%
60%
30%
66
1.54
2.711
50.12
3.47
10
-4
0.6
0.4