2023-2024学年重庆一中九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年重庆一中九年级（上）期末数学试卷（含解析），共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.四个有理数−1，2，0，−3，其中最小的是( )
A. −1B. 2C. 0D. −3
2.下列图形是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.两个相似三角形的面积比为1：4，那么这两个三角形的周长比为( )
A. 1：2B. 1：4C. 1：8D. 1：16
4.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，点A在直线l1上.若∠1=10°，l1//l2，则∠2的度数为( )
A. 25°
B. 35°
C. 45°
D. 55°
5.据统计，重庆地区生产总值2021年为2.81万亿元，2023年为3.1万亿元，设2021年至2023年重庆地区生产总值年平均增长率为x，根据题意，以下所列方程正确的是( )
A. 2.81(1+x)2=3.1B. 2.81(1−x)2=3.1
C. 2.81(1+2x)=3.1D. 2.81(1−2x)=3.1
6.估计(2 15− 12)÷ 3的值应在( )
A. 0和1之间B. 1和2之间C. 2和3之间D. 3和4之间
7.用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了3根木棍，第②个图案用了6根木棍，第③个图案用了10根木棍，第④个图案用了15根木棍，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案用的木棍根数是( )
A. 28B. 32C. 36D. 45
8.如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，C为切点，AB的延长线交直线CD于点E，连接AC，BC.若∠ACD=60°，AC=3，则BE的长度是( )
A. 3
B. 32
C. 2 3−2
D. 3 34
9.如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在AD，AB上，满足DE=AF，连接CE，DF，点P，Q分别是DF，CE的中点，连接PQ.若∠ADF=α.则∠PQE可以用α表示为( )
A. α
B. 45°−α
C. 45°−α2
D. 3α−45°
10.a−b，a+b，a−b，a+b，...是由a−b，a+b交替排列的n个多项式，其中a≠b，将这n个多项式中的任意m个多项式中的每一项都改变符号，其余不变，称为第1次操作(1≤m≤n，且m，n均为整数)；在第1次操作的基础之上再将任意m个多项式中的每一项都改变符号，其余不变，称为第2次操作；按此方式操作下去….例如：当n=3，m=2时，第1次操作后可能得到；−a+b，−a−b，a−b或−a+b，a+b，−a+b或a−b，−a−b，−a+b．
下列说法：
①当n为奇数时，无论进行多少次操作，都不可能使得到的n个多项式的和为0；
②当n=6，m=5时，至少需要进行3次操作，才能使得到的6个多项式的和中不含a；
③当n=6，m=3时，3次操作后得到的6个多项式求和，共有8种可能出现的结果．
其中正确的个数是( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分。
11.(π−3.14)0−3−1= ______．
12.一个正多边形的内角和为720°，则这个正多边形的每一个内角等于 ．
13.不透明的盒子中有四个形状、大小、质地完全相同的小球，上面分别标着数字1，2，3，4，将四个小球放入盒中摇匀，从盒中随机取出一个小球，记下数字后放回，摇匀后再从盒中随机取出一个，则两次抽取的小球上的数字之积为奇数的概率为______．
14.如图，菱形ABCD中，分别以点A，C为圆心，AD，CB的长为半径画弧，两弧相交于B，D两点.若AB=2，∠BAD=60°，则图中阴影部分的面积为______.(结果不取近似值)
15.如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，对角线BD的中垂线交BC于点E，交AD于点F，则CE的长为______．
16.如图，在平面直角坐标系中，过原点O的直线交反比例函数y=kx(k≠0)的图象于A，B两点，过点A作AC/​/y点，过点B作BC/​/x轴，AC与BC交于点C.若S△ABC=10，则k的值为______．
17.若关于x的不等式组x2+1≥x+235(x−2)<−x+a−1有且仅有4个整数解，且关于y的分式方程4yy−2−a−72−y=2有非负整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是______．
18.若一个四位自然数M的千位数字与个位数字之和恰好是M的百位数字与十位数字之和的2倍，则称这个四位数M为“好数”.一个“好数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记P(M)=a+b+c+d，G(M)=a−4b+4c−d2c−5.若P(M)15为整数，G(M)是4的倍数，则b+c= ______；所有满足条件的M的最大值和最小值的差为______．
三、解答题：本题共8小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
计算：
(1)4x(x+y)+(x−2y)2；
(2)(a+1a−1+1)÷2aa2−1．
20.(本小题10分)
在学习了角平分线的性质后，小红进行了拓展性探究.她发现在直角梯形中，如果两内角(非直角内角)的角平分线相交于腰上同一点，那么两底边的长度之和等于这两内角夹边的长度.她的解决思路是：将问题转化为证明三角形全等，然后根据全等三角形的对应边相等使问题得到解决，请根据她的思路完成以下作图与填空：
用直尺和圆规，过点E作AD的垂线，垂足为点F(只保留作图痕迹)．
已知：在四边形ABCD中，AB/​/CD，∠B=90°，AE平分∠BAD，DE平分∠ADC．
求证：AB+CD=AD．
证明：∵AE平分∠BAD，
∴ ______．
∵EF⊥AD，
∴∠AFE=90°．
∴∠B=90°，
∴.∠B=∠AFE．
在△ABE和△AFE中，
∠B=∠AFE∠BAE=∠FAE(ㅤㅤ)=(ㅤㅤ)，
∴△ABE≌△AFE(AAS)．
∴ ______．
同理可得：CD=DF
∴AB+CD=AF+DF=AD．
小红再进一步研究发现，只要梯形满足夹同一条腰的两个内角的角平分线相交于另一条腰上同一点，均有此结论.请你依照题意完成下面命题：
如果一个梯形满足夹同一条腰的两个内角的角平分线相交于另一条腰上同一点，那么______．
21.(本小题10分)
猜灯谜是我国独有的富有民族风格的一种文娱活动形式.某校开展了猜灯谜知识竞答活动，从七年级和八年级各随机抽取20名学生的竞答成绩(单位：分)，进行整理、描述和分析(比赛成绩用x表示，共分成4组：A.90≤x≤100，B.80≤x<90，C.70≤x<80，D.60≤x<70).下面给出了部分信息：
七年级学生B组的竞答成绩为：81，81，82，84，82，86，82，86．
八年级被抽取学生的竞答成绩为：83，60，66，62，68，83，71，92，90，76，91，94，83，75，84，83，77，90，91，81．
七八年级抽取的竞答成绩统计表
请根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空：a= ______，b= ______，m= ______；
(2)根据以上数据，你认为哪个年级学生的竞答成绩更好？请说明理由(写出一条理由即可)；
(3)该校七、八年级学生共有1000人，请你估计该校七、八年级学生中竞答成绩不低于90分的有多少人？
22.(本小题10分)
腊味食品深受川渝人的喜爱.春节将至，甲、乙两单位打算为员工购买腊肉和香肠作为新年福利．
(1)2023年12月份，甲单位花费4300元购买了40袋腊肉、50袋香肠，已知10袋腊肉和9袋香肠的售价相同，求2023年12月份每袋腊肉和香肠的售价分别是多少元？
(2)由于市场供不应求，2024年1月份腊肉和香肠的价格均有上涨，其中每袋香肠的售价是每袋腊肉售价的1.2倍，乙单位分别花费了2000元、3600元购买腊肉、香肠，一共购买了100袋，求2024年1月份每袋腊肉的售价．
23.(本小题10分)
已知四边形ABCD是平行四边形，∠DBC=90°，AB=15，BD=9，E为CB延长线上一点，BE=6，动点M，N同时从点D出发，点M以每秒5个单位长度的速度沿折线D→C→E方向运动，点N以每秒3个单位长度的速度沿折线D→B→E方向运动，当点N到达点E时，两者都停止运动.设运动时间为t秒，点M，N的距离为y．
(1)请直接写出y关于t的函数表达式，并注明自变量t的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
(3)当224.(本小题10分)
小明从家A步行前往公园E，已知点E在点A的正东方向，但是由于AE道路施工，小明先沿正北方向走了400米到达B处，再从B处沿北偏东60°方向行走400米到达C处，从C处沿正东方向走了300米到达D处，在D处休息了6分钟，最终沿D−E方向到达E处，已知点E在点D的南偏东45°方向.小明从家出发的同时，爷爷从家选择另一路线A−F−E步行前往E处，已知点F在点A的南偏东60°方向，且点F在点E的正南方向.(参考数据： 2≈1.414， 3≈1.732)
(1)求AE的长度(结果精确到1米)；
(2)已知小明步行速度为80米/分钟，爷爷步行速度为70米/分钟，小明和爷爷始终保持匀速行驶，请计算说明小明和爷爷谁先到达公园？
25.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx−3与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，其中B(3 2,0)，抛物线的对称轴是直线x= 2．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图，点P是直线BC下方抛物线上一动点，点M是线段BC上一动点，直线PM交y轴于点N.若tan∠PNC= 23，求PM的最大值及此时点P的坐标；
(3)另有抛物线y′的顶点E在线段BC上，y′经过点C，将抛物线y′平移得到新的抛物线yn，点E，C平移后的对应点分别是点F，G，连接GE.若GE/​/x轴，点F在x轴上，yn经过点C，写出所有符合条件的点F的坐标，并写出求解点F的坐标的其中一种情况的过程．
26.(本小题10分)
在△ABC中，点D为线段BC上一动点，点E为射线AC上一动点，连接AD，BE．
(1)若AC>AB，AD⊥BC，当点E在线段AC上时，AD，BE交于点F，点F为BE中点．
①如图1，若BF= 10，BD=3，AD=7，求AE的长度；
②如图2，点G为线段AF上一点，连接GE并延长交BC的延长线于点H.若点E为GH中点，∠BAC=60°，∠DAC=2∠EBC，求证：AG+DF=12AB．
(2)如图3，若AC=AB=3，∠BAC=60°.当点E在线段AC的延长线上时，连接DE，将△DCE沿DC所在直线翻折至△ABC所在平面内得到△DCM，连接AM，当AM取得最小值时，△ABC内存在点K，使得∠ABK=∠CAK，当KE取得最小值时，请直接写出AK2的值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：根据有理数比较大小的方法，可得
−3<−1<0<2，
∴四个有理数−1，2，0，−3，其中最小的是−3．
故选：D．
有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．
2.【答案】D
【解析】解：选项A、B、C都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项D能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：D．
根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
3.【答案】A
【解析】解：∵两个相似三角形的面积比是1：4，
∴它们的相似比是1：2，
∴它们的周长比是1：2．
故选：A．
根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出相似比，再根据相似三角形的周长的比等于相似比解答．
本题考查了相似三角形的性质，熟记性质并求出两三角形的相似比是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：∵l1/​/l2，
∴∠2=∠CAD，
∵Rt△ACB中，∠C=90°，AC=BC，
∴∠CAB=45°，
∵∠1=10°，
∴∠2=45°−10°=35°．
故选：B．
根据平行线的性质和等腰直角三角形的性质解答即可．
本题考查的是平行线的性质和等腰直角三角形，熟练掌握平行线的性质和等腰直角三角形的性质是解答此题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：根据题意得：2.81(1+x)2=3.1．
故选：A．
利用2023年重庆地区生产总值=2021年重庆地区生产总值×(1+2021年至2023年重庆地区生产总值年平均增长率)2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：原式=(2 15− 12)×1 3
=2 15 3− 12 3
=2 5−2
= 20−2，
∵ 16< 20< 25，即4< 20<5，
∴2< 20−2<3，
即2<(2 15− 12)÷ 3<3，
故选：C．
先将原式计算得 20−2，再根据算术平方根的定义估算无理数 20的大小，进而得出 20−2的大小即可．
本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的关键．
7.【答案】C
【解析】解：由图可得，图案①有：1+2=3根小木棍，
图案②有：1+2+3=6根小木棍，
图案③有：1+2+3+4=10根小木棍，
…，
∴第⑦个图案有：1++2+3+4+5+6+7+8=36根小木棍，
故选：C．
根据图形可以写出前几个图案需要的小木棍的数量，即可发现小木棍数量的变化规律，从而可以解答本题．
本题考查图形的变化类、列代数式，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
8.【答案】A
【解析】解：连接OC，则OC=OA=OB，
∵CD与⊙O相切于点C，∠ACD=60°，
∴CD⊥OC，
∴∠OCD=∠OCE=90°，
∴∠A=∠OCA=90°−∠ACD=30°，
∴∠BOC=2∠A=60°，
∴∠E=90°−∠BOC=30°=∠A，△BOC是等边三角形，
∴EC=AC=3，BC=OB，∠OBC=60°，
∴∠BCE=∠OBC−∠E=60°−30°=30°=∠E，
∴BE=BC=OB=OC，
∴OE=2BE，
∴EC= OE2−OC2= (2BE)2−BE2= 3BE=3，
∴BE= 3，
故选：A．
连接OC，由切线的性质得CD⊥OC，则∠OCD=∠OCE=90°，所以∠A=∠OCA=90°−∠ACD=30°，则∠BOC=2∠A=60°，可证明∠E=∠A=30°，△BOC是等边三角形，则EC=AC=3，BC=OB，∠OBC=60°，再证明∠BCE=∠E=30°，所以BE=BC=OB=OC，则OE=2BE，由EC= OE2−OC2= 3BE=3，求得BE= 3，于是得到问题的答案．
此题重点考查切线的性质、等腰三角形的性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：连接DQ，如图：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠A=∠CDE=90°，
∵AF=DE，
∴△ADF≌△DCE(SAS)，
∴DF=CE，∠ADF=∠DCE=α，
∵点P，Q分别是DF，CE的中点，
∴PD=12DF=DQ=12CE，
∴∠DPQ=∠DQP，∠CDQ=α，
∴∠PDQ=90°−2α，∠DQE=2α，
∴∠PQD=180°−(90°−2α)2=45°+α，
∴∠PQE=45°+α−2α=45°−α，
故选：B．
连接DQ，根据正方形的性质先证明△ADF≌△DCE，得出∠DCE=α，DF=CE，进而得出DQ=PD，∠PDQ=90°−2α，根据三角形的内角和表示出∠PQD即可求解．
本题考查正方形的性质，全等三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握正方形的性质是解题关键．
10.【答案】D
【解析】解：①n为奇数时，无论经过多少次操作后，得到的n个多项式中a的个数与−a的个数不会相同，①正确，符合题意；
②3次操作后，只需6个多项式中有3个含a，3个含−a，不用考虑b，
原多项式：a，a，a，a，a，a，
第一次操作：−a，−a，−a，−a，−a，a，
第二次操作：a，a，a，a，−a，−a，
第三次操作：−a，−a，−a，此时它们的和为零，
故②正确，符合题意；
③n=6，m=3时
如果对6个a进行3次操作，其结果可能出现：1负5正或3负3正或5负1正，
因为是从6个多项式中任意选出3个添加负号，
由任意性可知，6个多项式进行3次操作后可能出现的结果：其中1个或3个或5个多项式整体添加了负号，
(1)若其中3个添加了负号：3个a+b整体添加负号，其余不变，则和为4a−2b；a−b整体添加负号，其余不变，则和为4a+2b；
(2)若其中3个添加了负号：3个a+b整体添加负号，其余不变，则和为−6b；3个a−b整体添加负号，其余不变，则和为6b；2个a−b和1个a+b整体添加负号，其余不变，则和为2b；2个a+b和1个a−b整体添加负号，其余不变，则和为−2b；
(3)若其中5个添加了负号；若a+b不变，其余均整体添加了负号，则和为−4a+2b；a−b不变其余均整体添加了负号，则和为−4a−2b；
所以有2种可能出现的结果，
故③正确，符合题意；
故选：D．
根据题目所给的规则，对多项式的符号进行分类讨论即可．
本题考查了多项式的加减等知识点，根据题意进行分类讨论是解题的关键．
11.【答案】23
【解析】解：(π−3.14)0−3−1
=1−13
=23，
故答案为：23．
先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了零指数幂，负整数指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．
12.【答案】120°
【解析】【分析】
本题考查根据多边形内角和公式．
正多边形的内角和定义(n−2)×180°，先求出边数，再用内角和除以边数即可求出这个正多边形的每一个内角．
【解答】
解：(n−2)×180°=720°，n−2=4，∴n=6．
则这个正多边形的每一个内角为720°÷6=120°．
故答案为：120°．
13.【答案】14
【解析】解：列表如下：
共有16种等可能的结果，其中两次抽取的小球上的数字之积为奇数的结果有(1,1)，(1,3)，(3,1)，(3,3)，共4种，
∴两次抽取的小球上的数字之积为奇数的概率为416=14．
故答案为：14．
列表可得出所有等可能的结果数以及两次抽取的小球上的数字之积为奇数的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
14.【答案】4π3−2 3
【解析】解：连接BD．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD=2，∠BAD=∠BCD=60°，
∴△ABD，△BDC都是等边三角形，
∴S阴=S扇形ADB+S扇形CDB−S菱形ABCD
=2×60π×22360−2× 34×22
=4π3−2 3．
故答案为：4π3−2 3．
根据S阴=S扇形ADB+S扇形CDB−S菱形ABCD，求解即可．
本题考查扇形的面积．菱形的性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用分割法求阴影部分面积．
15.【答案】74
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=6，AD=BC=8，∠C=90°，
∵EF是BD的垂直平分线，
∴BE=DE，
设CE=x，则DE=BE=8−x，
在Rt△CDE中，由勾股定理得：CD2+CE2=DE2，
即62+x2=(8−x)2，
解得：x=74，
∴CE=74；
故答案为：74．
由矩形的性质得出CD=AB=6，AD=BC=8，∠C=90°，由线段垂直平分线的性质得出BE=DE，设CE=x，则DE=BE=8−x，由勾股定理得出方程，解方程即可．
本题考查的是矩形的性质、线段垂直平分线的性质以及勾股定理的应用，掌握矩形的四个角是直角、对边相等以及线段垂直平分线的定义是解题的关键．
16.【答案】5
【解析】解：∵过原点O的直线交反比例函数y=kx(k≠0)的图象于A，B两点，
∴OA=OB，即OA=12AB，
∵过点A作AC/​/y点，过点B作BC/​/x轴，
∴AC⊥x轴，
∴S△AOD=12k，
∵BC/​/x轴，
∴△AOD∽△ABC，
∴S△AODS△ABC=(OAAB)2，
∴12k10=14，解得k=5，
故答案为：5．
由题意可知AC⊥x轴，根据反比例函数系数k的几何意义得到S△AOD=12k，通过证得△AOD∽△ABC，即可求得k=5．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了反比例函数的对称性，反比例函数向上k的几何意义，三角形相似的判定和性质，熟知反比例函数的对称性是解题的关键．
17.【答案】4
【解析】解：x2+1≥x+23①5(x−2)<−x+a−1②，
解不等式①，得x≥−2，
解不等式②，得x∴原不等式组的解集为−2≤x∵原不等式有且仅有4个整数解，为−2、−1、0或1，
∴1∴−3解分式方程4yy−2−a−72−y=2，得y=3−a2，
∵y=2是原分式方程的增根，
∴a≠−1，
∴原分式方程的解为y=3−a2(a≠−1)，为非负整数；
∵−3∴0≤3−a<6，且3−a≠4，
∵3−a=0或2，
∴a=3或1，
3+1=4，
故答案为：4．
解不等式组，根据其解的情况求出a的取值范围；解分式方程，根据其解的情况确定a的可能值并求和即可．
本题考查分式方程的解，熟练掌握解一元一次不等式组及分式方程的方法是解答本题的关键．
18.【答案】5 8082
【解析】解：
∵a+d=2(b+c)，
∴P(M)=a+b+c+d=3(b+c)，
∴PM15=b+c5为整数，
∴b+c=5，a+d=10，
G(M)=a−4b+4c−d2c−5=a−4(5−c)+4c−(10−a)2c−5=8c−30+2a2c−5=4(2c−5)+2a−102c−5=2a−102c−5+4，
∴2a−10是4的倍数，
∴a=1，5或9，
a=1时，M取到最小值，d=9，2a−10=−8，
∴2c−5=±1，c=3或2，
∴M的最小值为1239，
a=9时，M取到最大值，d=1，2a−10=8，
∴2c−5=±1，c=3或2，
∴M的最大值为9321，
∴9321−1239=8082．
故答案为：5，8082．
根据定义得到P(M)=3(b+c)，进一步得到b+c=5；a+d=10，G(M)=2a−102c−5+4，G(M)是4的倍数，a=1，5或9，进一步计算即可．
本题考查了数字类规律、分式的运算等知识，读懂题意求出b+c=5；a+d=10是解题的关键．
19.【答案】解：(1)4x(x+y)+(x−2y)2
=4x2+4xy+x2+4y2−4xy
=5x2+4y2；
(2)(a+1a−1+1)÷2aa2−1
=a+1+a−1a−1⋅(a+1)(a−1)2a
=2aa−1⋅(a+1)(a−1)2a
=a+1．
【解析】(1)先根据单项式乘多项式的法则、完全平方公式分别计算出各数，再合并同类项即可；
(2)先算括号里面的，再算除法即可．
本题考查的是分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
20.【答案】∠BAE=∠FAE AB=AF 两底边的长度之和等于这两内角夹边的长度．
【解析】解：EF⊥AD，见作图；
证明：∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠FAE，
∵EF⊥AD，
∴∠AFE=90°．
∵∠B=90°，
∴∠B=∠AFE．
在△ABE和△AFE中，
∠B=∠AFE∠BAE=∠FAEAE=AE，
∴△ABE≌△AFE(AAS)，
∴AB=AF，
同理可得：CD=DF，
∴AB+CD=AF+DF=AD．
如果一个梯形满足夹同一条腰的两个内角的角平分线相交于另一条腰上同一点，那么两底边的长度之和等于这两内角夹边的长度．
故答案为：∠BAE=∠FAE，AE=AE，AB=AF；两底边的长度之和等于这两内角夹边的长度．
用尺规作EF⊥AD，见作图；由AAS证明△ABE≌△AFE，得到 AB=AF，同理可得：CD=DF，即可证明问题，如果一个梯形满足夹同一条腰的两个内角的角平分线相交于另一条腰上同一点，那么两底边的长度之和等于这两内角夹边的长度．
本题考查全等三角形的判定和性质，作图−基本作图，直角梯形，角平分线定义，关键是通过作辅助线构造全等三角形．
21.【答案】85 83 40
【解析】解：(1)由题意可知，七年级C、D组人数为20×(20%+20%)=8(人)，
∴把被抽取七年级20名学生的数学竞赛成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别为84，86，
故中位数a=84+862=85；
在被抽取的八年级20名学生的数学竞赛成绩中，83分出现的次数最多，故众数b=83；
m%=8÷20=40%，故m=40．
故答案为：85，83，40；
(2)七年级成绩较好，理由：因为七年级学生成绩的中位数比八年级的高，所以七年级成绩较好；
(3)1000×4+620+20=250(人)，
答：估计该校七、八年级学生中竞答成绩不低于90分的有250人．
(1)分别根据中位数、众数的意义求解即可求出a、b，用“B组”的人数除以20可得m的值；
(2)从平均数、中位数、众数的角度比较得出结论；
(3)用总人数乘七、八年级不低于90分人数所占百分比即可．
本题主要考查统计的知识，熟练根据统计图得出相应的数据是解题的关键．
22.【答案】解：(1)设2023年12月份每袋腊肉的售价是x元，每袋香肠的售价是y元，
由题意得：40x+50y=430010x=9y，
解得：x=45y=50，
答：2023年12月份每袋腊肉的售价是45元，每袋香肠的售价是50元；
(2)设2024年1月份每袋腊肉的售价是m元，则每袋香肠的售价是1.2m元，
由题意得：2000m+36001.2m=100，
解得：m=50，
经检验，m=50是原方程的解，且符合题意，
答：2024年1月份每袋腊肉的售价是50元．
【解析】(1)设2023年12月份每袋腊肉的售价是x元，每袋香肠的售价是y元，根据甲单位花费4300元购买了40袋腊肉、50袋香肠，已知10袋腊肉和9袋香肠的售价相同，列出二元一次方程组，解方程组即可；
(2)设2024年1月份每袋腊肉的售价是m元，则每袋香肠的售价是1.2m元，根据乙单位分别花费了2000元、3600元购买腊肉、香肠，一共购买了100袋，列出分式方程，解方程即可．
本题考查了二元一次方程组的应用以及分式方程的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)找准等量关系，正确列出分式方程．
23.【答案】解：(1)当点M在DC上，点N在DB上时，0≤t≤3，
由题意可知，DMDC=DNDB，
∵∠MDN=∠CDB，
∴△DMN∽△DCB，
∴MNBC=DMDC，
∴y12=5t15，
∴y=4t；
当点M在BC上，点N在BE上时，3∵CM=5t−15，BN=3t−9，BC=12，
∴y=MN=BM+BN
=12−(5t−15)+3t−9
=−2t+18．
∴y关于t的函数表达式为y=4t(0≤t≤3)18−2t(3(2)函数图象如图所示；

当0(2)当2【解析】(1)分两种情况，当点M在DC上，点N在DB上时，0≤t≤3，证明△DMN∽△DCB，得出MNBC=DMDC，求出y=4t；当点M在BC上，点N在BE上时，3(2)描点、连线即可画出图象，再观察y的图象，可以从增减性写出函数的一条性质；
(3)结合图象即可求解．
本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，求一次函数的解析式，根据解析式画一次函数的图象，一次函数及其图象的性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识．
24.【答案】解：(1)如图，由题意可知，AB=BC=400米，CD=300米，∠PBC=60°，∠FAE=90°−30°=60°，∠NDE=45°，
在Rt△PBC中，BC=400米，∠PBC=60°，
∴PB=12BC=200(米)，PC= 32BC=200 3(米)，
∴AP=CM=DN=400+200=600(米)，
在Rt△DEN中，∠NDE=45°，
∴DN=NE=600米，
∴AE=AM+MN+NE
=200 3+300+600
=200 3+900
≈1246(米)，
答：AE的长约为1246米；
(2)在Rt△DEN中，∠NDE=45°，DN=NE=600米，
∴DE= 2DN=600 2(米)，
在Rt△AEF中，∠EAF=30°，AE=(200 3+900)米，
∴EF= 33AE=(200+300 3)米，AF=2EF=(400+600 3)米，
所以小明所走的总路程为AB+BC+CD+DE=400+400+300+600 2≈1948.4(米)，所用的时间为1948.4÷80+6≈30.4(分)，
爷爷所走的总路程为AF+EF=600+900 3≈2158.8(米)，所用的时间为2158.8÷70≈30.84(分)，
由于30.4<30.84，
所以小明先到公园．
【解析】(1)通过作垂线构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系求出CP，DN、DE，进而求出AE即可；
(2)分别求出小明、爷爷所走的路程，再根据速度、路程、时间的关系求出他们所用的时间即可．
本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的关键．
25.【答案】解：(1)∵抛物线的对称轴是直线x= 2，
∴−b2a= 2，即b=−2 2a，
∵B点在抛物线上，
∴18a+3 2b−3=0，
∴18a−12a−3=0，
解得a=12，
∴抛物线的解析式为y=12x2− 2x−3；
(2)连接AC，
当y=0时，12x2− 2x−3=0，
解得x=− 2或x=3 2，
∴A(− 2,0)，
∵OA= 2，OC=3，
∴tan∠ACO= 23，
∵tan∠PNC= 23，
∴∠ACO=∠PNC，
∴AC//PM，
设直线BC的解析式为y=kx−3，
∴3 2k−3=0，
解得k= 22，
∴直线BC的解析式为y= 22x−3，
过P点与BC平行的直线l解析式为y= 22x+m，
当直线y= 22x+m与抛物线有一个交点时，P点到直线BC的距离最大，此时PM的值也最大，
∴12x2− 2x−3= 22x+m，
当Δ=0时，即m=−214，
此时直线的解析式y= 22x−214，与y轴的交点K(0,−214)，
由12x2− 2x−3= 22x−214，解得x=3 22，
∴P(3 22,−154)，
过C作CG⊥l交于G点，过A点作AH⊥BC交于H点，过P点PQ⊥BC交于Q点，
∵CK=214−3=94，sin∠CKG=sin∠OCB=3 23 3= 63，
∴CG=94× 63=3 64，
∴PQ=CG=3 64，
∵S△ABC=12×AB×OC=12×BC×AH，
∴4 2×3=3 3AH，
解得AH=4 63，
在Rt△ACH中，sin∠ACH=AHAC=4 63 11=4 63 11，
∵AC//PM，
∴∠QMP=∠ACH，
∴PM=PQsin∠PMQ=3 644 63 11=9 1116，
∴PM的最大值为9 1116，此时P点坐标为(3 22,−154)；
(3)设E(n, 22n−3)，抛物线y′=a′(x−n)2+ 22n−3，
将点C代入，可得an2+ 22n=0，
解得n=0(舍)或a=− 22n，
∵平移后点E，C平移后的对应点分别是点F，G，GE/​/x轴，
∴G点纵坐标为 22n−3，
∵F点在x轴上，
∴F点纵坐标为0，
∴−3− 22n+3= 22n−3，
解得n=3 22，
∴抛物线y′=−13(x−3 22)2−32，
设平移后F(s,0)，则yn=−13(x−s)2，
将点C代入，可得s=±3，
∴F(3,0)或F(−3,0)．
【解析】(1)根据对称轴的定义，求出b与a的关系，再将点B代入抛物线解析式，从而求出a的值，即可求函数的解析式；
(2)连接AC，根据内错角相等得到AC//PM，过P点与BC平行的直线l解析式为y= 22x+m，当直线y= 22x+m与抛物线有一个交点时，P点到直线BC的距离最大，此时PM的值也最大，建立方程，利用Δ=0，求出m=−214，此时直线的解析式y= 22x−214，与y轴的交点K(0,−214)，P(3 22,−154)，过C作CG⊥l交于G点，过A点作AH⊥BC交于H点，过P点PQ⊥BC交于Q点，利用等积法求AH=4 63，在Rt△ACH中，sin∠ACH4 63 11，则PM=PQsin∠PMQ=9 1116；
(3)设E(n, 22n−3)，抛物线y′=a′(x−n)2+ 22n−3，将点C代入，可得a=− 22n，根据题意可知G点纵坐标为 22n−3，F点纵坐标为0，根据平移的性质可得−3− 22n+3= 22n−3，解得n=3 22，则抛物线y′=−13(x−3 22)2−32，设平移后F(s,0)，则yn=−13(x−s)2，将点C代入，可得s=±3，从而求出F点坐标．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数图象平移的性质，平行线的性质，直角三角形的三角函数值是解题的关键．
26.【答案】(1)①解：如图，过点E作EG⊥AD于点G，

∵AD⊥BC，EG⊥AD，
∴∠BDF=90°，∠EGF=90°，
∴∠BDF=∠EGF，
在Rt△BDF中，∠BDF=90°，BD=3，BF= 10，
∴DF= BF2−BD2= ( 10)2−32=1，
∵点F为BE中点，
∴BF=EF，
在△FDB和△FGE中，
∠BDF=∠EGF∠1=∠2BF=EF，
∴△FDB≌△FGE(AAS)，
∴BD=GE=3，DF=GF=1，
∵AD=7，
∴AG=AD−DF−FG=7−1−1=5，
在Rt△AGE中，∠AGE=90°，
∴AE= AG2+GE2= 52+32= 34．
②证明：如图，延长AC至点K，使EK=EA，连接HK，连接FK交BC于点M，

∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∵点E为GH的中点，
∴GE=HE，
在△AGE和△KHE中，
AE=KE∠1=∠2GE=HE
∴△AGE≌△KHE(SAS)，
∴∠3=∠4．
∴AD//KH，
∴∠CHK=∠ADC=90°，
∵∠DAC=2∠EBC，
设∠EBC=x，∠DAC=2x．
在Rt△BDF中，∠5=90°−∠EBC=90°−x，
∴∠6=∠5=90°−x，
∴∠AEF=180°−∠DAC−∠6=90°−x，
∴∠6=∠AEF．
∴AF=AE，180°−∠6=180°−∠AEF，
即∠7=∠FEK．
∴AF=EK．
∵点F为BE中点．
∴BF=EF，
在△AFB和△KEF中，
AF=KE∠7=∠FEKBF=EF，
∴△AFB≌△KEF(SAS)，
∴AB=FK，∠8=∠9，
∵∠BAC=60°，
∴∠HKM=∠4+∠9=∠3+∠8=60°，
∴∠10=90°−∠HKM=30°，
∴∠11=∠10=30°，
在Rt△MHK中，∠10=30°，
∴HK=12MK，
∴AG=12MK，
在Rt△FDM中，∠11=30°，
∴DF=12FM，
∴12AB=12FK=12(FM+MK)=DF+KH=DF+AG；
(2)解：如图，△DCE沿直线BC翻折后，点E的对应点落在直线CM上，

当AM⊥CM时，AM取得最小值，
由题意可知∠1=60°，AC=3，∠AMC=90°，
∴∠CAM=30°，
∴CM=12AC=32，
∴CE=CM=32，
∴AE=92，
∵∠ABK=∠CAK，∠BAC=60°，
∴∠ABK+∠BAK=60°，
∴∠AKB=120°，
过点A作AC的垂线，过点B作BC垂线相交于点O，
∴点K在以O为圆心，OA为半径的圆上，半径OA= 3，当O，K，E三点共线时，KE取得最小值，
此时OE= OA2+AE2= 932，
∴KE=OE−AO= 932− 3．
过点K作KQ⊥AC于点Q，
∴△EKQ∽△EOA，
∴KEEO=KQOA=QEAE，
∴KQ= 3−2 9331，QE=92−9 3131，
∴AQ=9 3131，
∴AK2=AQ2+KQ2=6−12 3131或186−12 3131．
【解析】(1)①过点E作EG⊥AD于点G，通过勾股定理得到DF的长，证明△FDB≌△FGE(AAS)，利用勾股定理即可求解；
②延长AC至点K，使EK=EA，连接HK，连接FK交BC于点M，证明三角形全等，结合直角三角形的两个锐角互余，三角形内角和等知识即可得证；
(2)△DCE沿直线BC翻折后，点E的对应点落在直线CM上，当AM⊥CM时，AM取得最小值，通过含30°角的直角三角形的特征求出∠AKB=120°，过点A作AC的垂线，过点B作BC垂线相交于点O，点K在以O为圆心，OA为半径的圆上，半径OA= 3，当O，K，E三点共线时，KE取得最小值，利用勾股定理相似三角形的判定与性质即可得出最后结果．
本题考查了几何变换综合应用，涉及全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，折叠性质，直角三角形的性质，勾股定理，三角形内角和定理等知识，添加辅助线构造直角三角形和全等三角形是解答本题的关键．年级
七年级
八年级
平均数
80
80
中位数
a
83
众数
82
b
1
2
3
4
1
(1,1)
(1,2)
(1,3)
(1,4)
2
(2,1)
(2,2)
(2,3)
(2,4)
3
(3,1)
(3,2)
(3,3)
(3,4)
4
(4,1)
(4,2)
(4,3)
(4,4)