【讲通练透】重难点突破10 利用导数解决一类整数问题（四大题型）-2024年高考数学重难点突破精讲

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2、精练习题。复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。
3、加强审题的规范性。每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。
4、重视错题。错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
重难点突破10 利用导数解决一类整数问题
目录
利用导数解决一类整数问题常见技巧有：
1、分离参数、分离函数、半分离
2、直接限制法
3、虚设零点
4、必要性探路
题型一：整数解问题之分离参数、分离函数、半分离
例1．（2023·贵州·校联考一模）已知．
(1)讨论的单调性；
(2)若对恒成立，求整数a的最小值．
【解析】（1）的定义域为，
（ⅰ）当时，，∴在上单调递增；
（ⅱ）当时，令，
令，
∴当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减．
（2）由，可得：，
∵，∴原命题等价于对恒成立．
令，∴，
令，∴，∴在上单调递增．
又，
故存在唯一的，使得．
当时，，∴，
∴在上单调递增，
当时，，∴，
∴在上单调递减．
∴，
∴时，恒成立．
∴，又，∴a的最小整数值为2．
例2．（2023·四川广安·广安二中校考模拟预测）已知函数.
(1)若函数在上有两个零点，求实数的取值范围；
(2)当时，关于的不等式恒成立，求整数的最小值.
【解析】（1），，
当时，，当时，，
则在上单调递减，在上单调递增，
若在上有两个零点，则
解得，故的取值范围是
（2），即，在时恒成立，
令，，
当时，，当时，，
则在上单调递减，在上单调递增，
故，即，当且仅当时等号成立，
令，，
当时，，当时，，
则在单调递增，在上单调递减，
，即，当且仅当时等号成立，
而时，，故
，
当时，不等式为，而时满足题意，
故整数的最小值为
例3．（2023·黑龙江鹤岗·高三鹤岗一中校考阶段练习）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若为整数，且恒成立，求的最大值.
【解析】（1）的定义域为，.
当时，，则在上单调递增；
当时，解，即，得（舍去负值）；
解，即，得，所以在上单调递增；解，即，得，所以在上单调递减.
综上所述，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.
（2）由已知可得，恒成立，，
即在上恒成立.
令，则只需即可.，
令，在上恒成立，所以单调递增.
且，，
所以，，使得，且当时，，当时，.
即，使得，且当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增.
所以，在处取得唯一极小值，也是最小值.
又，则.
所以，
令，，，，
则，当时，，
所以，在上单调递增，
从而在上单调递减，则，
又，，
所以，所以.
又为整数，，所以的最大值为0.
变式1．（2023·辽宁沈阳·高三沈阳二十中校联考期中）已知函数
(1)判断的单调性，并比较与的大小；
(2)当时，不等式恒成立，求整数k的最大值．
【解析】（1）由题意知：函数的定义域为，
，当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增；
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，即，所以，
即，又因为在上单调递增，
所以，
（2）因为，所以，
所以不等式可化为，
因为，所以，
所以不等式等价转化为对任意的恒成立，
令，则，
令，则，
因为，所以对任意的恒成立，
所以在上单调递增，
因为，，
故，使得，
因此当时，，即在上单调递减，
当时，，即在上单调递增，
故，
所以，
故整数的最大值为.
变式2．（2023·天津河北·统考一模）已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论函数的单调性；
(3)若对任意的，都有成立，求整数的最大值.
【解析】（1）函数，求导得，则，而，
所以曲线在点处的切线方程是.
（2）函数的定义域是，，
当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，
所以函数的递减区间是，递增区间是.
（3），，
令，求导得，
由（2）知，在上单调递增，，，
因此存在唯一，使得，即，
当时，，即，当时，，即，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，
于是，则，
所以整数的最大值是3.
变式3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.
(1)若函数在上有两个不同的零点，求实数k的取值范围；
(2)是否存在实数k，使得对任意的，都有函数的图象在的图象的下方？若存在，请求出最大整数k的值；若不存在，请说理由.
（参考数据：）
【解析】（1）因为，
则由题意知方程在上有两个不同的根.
由得令，则，
由解得.
当时，，单调递减；
当时，单调递增，
所以当时，取得最小值为，
又，，
所以，解得.
（2）假设存在实数k满足题意，则不等式对恒成立，
即对恒成立.
令则，
令，则，
因为在上单调递增，，
且的图象在上不间断，所以存在使得
即则，
所以当时，单凋递减；当时，单调递增，
则取到最小值，
当且仅当时，等号成立，
但由于故等号无法取到，则,
所以即在区间内单调递增.
所以，
所以存在实数k满足题意，且最大整数k的值为1.
变式4．（2023·云南·校联考三模）设函数，若存在唯一整数，使得，则的取值范围是________.
【答案】
【解析】由函数，设和
因为存在唯一整数，使得，
所以存在唯一的整数使得在直线的下方，如图所示，
因为，当时，；当时，，
所以在上单调递减，在单调递增，
当时，取得极小值，也为最小值，
且当时，，当时，，
又由直线恒经过原点，斜率为（其中），
所以且，解得，
所以实数的取值范围是.
故答案为：

变式5．（2023·辽宁锦州·渤海大学附属高级中学校考模拟预测）若关于x的不等式的解集中恰有2个整数，则k的取值范围是______．
【答案】
【解析】，不等式可化为，
令，，由解得，由解得，在为增函数，在为减函数，
令，则的图象恒过，若解集恰有个整数，
当时，有无数个整数解，不满足题意；
当时， 如图，则两个整数为1和2，故2满足不等式且3不满足不等式，即且，解得，
故答案为：

变式6．（2023·云南·高三校联考阶段练习）已知函数，满足f（x）＜0恒成立的最大整数m的值为___．
【答案】3
【解析】原不等式等价于，由与的图象平移变换可知，
若满足题意，则只要小于与两个函数相切时的值即可.
设公切点为，则有，所以，
所以，
令，则，故单调递增，
而，
故，使得，所以，
由对勾函数的性质，可得，
故最大整数m取3.
故答案为：3.
变式7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则实数的取值范围是____.
【答案】.
【解析】设，，
由题意知，函数在直线下方的图象中只有一个点的横坐标为整数，
，当时，，
当时，,所以，函数的最小值为.
又，（1），
直线恒过定点且斜率为，
故且，解得.
故答案为：.
变式8．（2023·全国·高三专题练习）若对，关于x的不等式恒成立，则整数m的最小值为___________.
【答案】
【解析】设，，只需保证的图象在的上方即可
易知：在区间上单调递增，且（否则当无限趋近无穷大时，不能成立）
则存在与在某个点处相切，设切点为
可得：
化简可得：
设，易知在区间上单调递增
可得：，
可得：
则，这是与在某个点处相切的范围，当比相切时大，则会在上方，即也满足题意
故的最小整数为
故答案为：2
题型二：整数解问题之直接限制法
例4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若有且仅有两个整数，满足，则实数a的取值范围为__________．
【答案】
【解析】若，即，
因为，所以，即，记，
故只需有且仅有两个整数使得成立即可，
所以，
记，所以，
所以在上单调递增，
因为，，
所以，使得，即，
在上，即，单调递减，
在上，即，单调递增，所以有最小值，
因为，且，
，而，
若使有且仅有两个整数，
只需即可，解得.
故答案为：
例5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.
(1)求函数在区间上的最大值；
(2)若为整数，且关于的不等式恒成立，求整数的最小值.
【解析】（1）若时，在区间上单调递减，
所以.
若，则二次函数图象对称轴，
当，即时，1离对称轴近，2离对称轴远，
所以.
当，即时，1离对称轴远，2离对称轴近，
.
若，对称轴在区间上单调递减，
综上，.
（2）因为恒成立，
即恒成立，
令,
所以,
当时，因为，所以，
所以在上是单调递增函数.
又因为，所以关于的不等式不能恒成立.
当时，,
令得，所以当时，；当时，.
因此函数在上是增函数，在上是减函数.
故函数的最大值为.
令，因为.
又因为在上是减函数，所以当时，,
即关于的不等式恒成立，
所以整数的最小值为2.
例6．（2023·云南·高三云南民族大学附属中学校考期中）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若m为整数，且关于x的不等式恒成立，求整数的最小值.
【解析】（1）由题意知，的定义域为，
对求导，得
当时，恒成立，所以在上单调递增；
当时，由，得，由，得
所以，在上单调递增，在上单调递减；
综上所述：当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
（2）因为恒成立，即，
即恒成立，令.
所以.
当时，因为，所以，所以在上是递增函数.
又因为，所以关于的不等式不能恒成立.
当时，.
令得，所以当时，；当时，.
因此函数在上是增函数，在上是减函数.
故函数的最大值为.
令，因为，.
又因为在上是减函数，所以当时，.
所以整数的最小值为2.
变式9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）求证：曲线在点处的切线不经过原点；
（Ⅲ）设整数使得对恒成立，求整数的最大值.
【解析】（Ⅰ）函数的导数为，由得，
由，得，所以在上单调递增，
由，得，所以在上单调递减.
所以的单调减区间为，增区间为.
（Ⅱ）由（Ⅰ）得曲线在点处的切线为，其中，
假设在点处的切线经过原点.
则有，即，
整理得与矛盾，
则曲线在点处的切线不经过原点；
（Ⅲ）对恒成立等价于当时，恒成立.
令，则.由，得，
随着变化，，的变化情况如下表所示：
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以函数的最小值为，
令，则.
当时，因为的最小值为，
所以恒成立，符合题意；
当时.由，得函数，在上单调递减，所以，
故此时的最小值，不符合题意，
所以整数的最大值是2.
题型三：整数解问题之虚设零点
例7．（2023·贵州·校联考模拟预测）已知函数，.
(1)求函数的单调区间；
(2)若对任意的，不等式在上恒成立，求整数的最大值.
【解析】（1）函数的定义域为，，
令得，，
①当时，若，则；若，则，
故在，上单调递增，在上单调递减；
②当时，若，则；若，则，
故在上单调递增，在，上单调递减.
（2）因为且，所以，
于是原命题等价于不等式对任意的恒成立.
从而对一切恒成立，
令，则，
∵，
令，，则，
∴在上单增，又，，
∴使，即①，
当时，，即在递减；
当时，，即在，递增，
∴，
由①知，∴，
∵函数在上单调递增，
∴即，
∴，
∴，因此整数的最大值是1.
例8．（2023·河北石家庄·高三校联考期末）已知函数的图象在处的切线方程为．
(1)求，的值；
(2)若关于的不等式对于任意恒成立，求整数的最大值．（参考数据：）
【解析】（1）函数，求导得：，
因为函数的图象在处的切线方程为，则，解得，
当时，，则，解得，
所以，.
（2）由（1）知，，，令，，
在上单调递增，当时，，当时，，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，
，，，
于是存在，使得，
当或时，，当时，，
即有函数在上单调递增，在上单调递减，而，，
显然函数在上的最小值为与中最小的，由得，
因此，函数图象对称轴，显然，以下比较到的距离大小：
若，则有，，，
若，则，
从而函数在上，
当时，有，即，显然，
综上，函数在上的最小值在区间内，对于任意恒成立，则有，
所以整数的最大值为3.
例9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．
(1)求函数的极值；
(2)若为整数，且函数有4个零点，求的最小值．
【解析】（1）函数的定义域为，
，令，即，，的关系如下表：
时，的极大值为，无极小值．
（2）由题意得，有4个零点，
即方程在有4个不相等的实根．
令，，
令，可知要使有四个零点，则至少应有三个零点，，
至少有两个零点，，其中，
①当时，，则在上单调递增，至多只有一个零点不合题意；
②当时，时，；，，
在上递减，在上递增，
要使有两个零点，，解得
此时，，
，，，
在存在一个零点，且
下面证明当时，
当时，
令，，令，；
当时，，在上递增，
在上递增，，即
，，
，
在存在一个零点，且，
时，，，，
在和单调递减，和单调递增，
只需，在，，，各有一个零点
其中，，
令，；
在上单调递减，，，
存在，使得，当时，，
又∵是整数，∴的最小值是4．
变式10．（2023·广西桂林·校考模拟预测）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若，且存在整数使得恒成立，求整数的最大值.
（参考数据：，）
【解析】（1），，
若，则，，
当时，，当时，，
所以函数在上递减，在上递增，
若，则，
所以函数在上递增，
若，则，
当或时，，当时，，
所以函数在上递减，在和上递增，
若，则，
当或时，，当时，，
所以函数在上递减，在和上递增，
综上所述，当时，函数在上递减，在上递增，
当时，函数在上递增，
当时，函数在上递减，在和上递增，
当时，函数在上递减，在和上递增；
（2）若，，，
，
令，则，
令，则，
所以函数在上递增，即函数在上递增，
又，则当时，，当时，，
所以函数在上递减，在上递增，
所以，
又，，，
所以函数存在唯一的零点，且，此时，
则当时，，即，当时，，即，
所以函数在上递减，在上递增，
所以，
令，，则，，
所以函数在上递减，
所以，
又，，
所以，
又存在整数使得恒成立，
所以整数的最大值为0.
变式11．（2023·安徽·高三校联考阶段练习）已知函数.
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)若为整数时，当时，恒成立，求的最小值.
（参考数据：，，…）
【解析】（1）当时，，则，
所以，，
所以，曲线在点处的切线方程为，即.
（2）.
且函数的定义域为，，
令，，，，
令，其中，则，
所以，在单调递增，
当，，单调递减，
当时，，单调递增.
①当时，，
在上恒成立，单调递增，
，
记，则，
在区间上单调增递，
，，
故当时，恒成立；
②当时，又，即时，，
因为，，
记，由上可知在上单调递增，
且在单调递减，在单调递增，
，，，
所以，，，，
且当时，，当时，，
所以，在单调递增，在单调递减，在单调递增，
由，
所以，
令，，则，
当时，，，单调递减，
，故当时，；
③当时，，，
记，，，
易知单调递增，在单调递减，单调递增，
，，，
，，当时，，
当时，，
在上单调递增，上单调递减，上单调递增.
因为，当时，，不符合题意，
的最小值为.
题型四：整数解问题之必要性探路
例10．（2023·重庆·重庆南开中学校考模拟预测）对于定义在上的函数，若存在，使得，则称为的一个不动点．设函数，已知为函数的不动点．
(1)求实数的取值范围；
(2)若，且对任意满足条件的成立，求整数的最大值．
（参考数据：，，，，）
【解析】（1）依题意，方程在内有根，且，
令，，求导得，
当时，在，上都递增，而，因此函数在、无零点，
当时，令，，，则函数在，上都递增，
当时，当时，，函数在上递增，无零点，
当时，，则存在，使得，即，
当时，递减，在时，递增，
，而，有，
，
因此存在，使得，即函数在上有零点，则，
当时，当时，，函数在上递减，，无零点，
当时，，则存在，使得，即，
当时，递减，在时，递增，，
，令，求导得，
令，则，即函数在上单调递增，
，函数在上单调递增，
因此存在，使得，即函数在上有零点，则，
所以实数的取值范围是.
（2）依题意，，于是，即
因为，取，有，因此取2，
下证：对任意成立，令，
，当时，递增，当时，递减，
，即对恒成立，当时，，
令，，函数在上递增，，
即，从而成立，
当时，只需证：成立，
令，，只需证，
，令，
，显然在上递增，
，，即存在，使，
且当时，递减，当时，递增，
，整理得，
因为函数在递减，
所以，
所以在恒成立，即在递增，
显然，所以成立.
例11．（2023·全国·高三专题练习）已知，函数，．
(1)若，求证：在上是增函数；
(2)若存在，使得对于任意的成立，求最大的整数的值．
【解析】（1），令，，
令,解得
在上单调递减,单调递增，
，
，
命题得证.
（2）存在,使得对于成立,
等价于存在,使得对于成立，
由于,原题意的必要条件是,对都成立
设,使得,即，
在是减函数,在是增函数,其中,即，
，
显然,
由上图知,，
对都成立的最大整数是2，
以下证明充分性,当时,存在,使得恒成立,
,由上证明知存在大于0的正的最小值,
故存在大于0的,使得恒成立，
当时,设,
故对不恒成立，
存在,使得对于任意的成立,最大的整数的值是2.
例12．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.
(1)当时，求的最小值；
(2)若在上恒成立，求整数a的最小值.
【解析】（1）当时，，则，
令得.
若，则；若，则.
所以；
（2）由，可得，当时，，则，即.
当时，令，则，
则在上单调递增，所以，所以成立.
因此整数a的最小值为1.
变式12．（2023·上海·高三专题练习），对，，求整数的最小值．
【解析】当时，，此时不合题意，
当时，，
，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
函数的最大值为，
即满足题意，
下面证明当时，对恒成立，
由于，
其对称轴为，
故当时，，
综上可得，整数的最小值为1．
﹣
0
+
极小值
0
↗
极大值
↘