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所属成套资源：【讲通练透】2024年高考数学重难点突破精讲
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【讲通练透】重难点突破06 立体几何解答题最全归纳总结（九大题型）-2024年高考数学重难点突破精讲
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这是一份【讲通练透】重难点突破06 立体几何解答题最全归纳总结（九大题型）-2024年高考数学重难点突破精讲，文件包含重难点突破06立体几何解答题最全归纳总结九大题型原卷版docx、重难点突破06立体几何解答题最全归纳总结九大题型解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共173页， 欢迎下载使用。
2、精练习题。复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。
3、加强审题的规范性。每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。
4、重视错题。错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
重难点突破06 立体几何解答题最全归纳总结
目录
题型一：非常规空间几何体为载体
例1．（2023·全国·高三专题练习）已知正四棱台的体积为，其中.
(1)求侧棱与底面所成的角；
(2)在线段上是否存在一点P，使得？若存在请确定点的位置；若不存在，请说明理由.
例2．（2023·全国·高三专题练习）在三棱台中，为中点，，，.
(1)求证：平面；
(2)若，，平面与平面所成二面角大小为，求三棱锥的体积.
例3．（2023·重庆万州·高三重庆市万州第二高级中学校考阶段练习）如图，在正四棱台中，，，，为棱，的中点，棱上存在一点，使得平面．
(1)求；
(2)当正四棱台的体积最大时，求与平面所成角的正弦值．
变式1．（2023·湖北黄冈·浠水县第一中学校考模拟预测）如图，在三棱台中，，，，，．
(1)证明：平面平面；
(2)设是的中点，求平面与平面夹角的余弦值．
变式2．（2023·安徽·高三安徽省定远中学校考阶段练习）如图，圆锥的高为，是底面圆的直径，四边形是底面圆的内接等腰梯形，且，点是母线上一动点.
(1)证明：平面平面；
(2)若二面角的余弦值为，求三棱锥的体积.
变式3．（2023·云南·云南师大附中校考模拟预测）如图，为圆锥的顶点，A，为底面圆上两点，，为中点，点在线段上，且.
(1)证明：平面平面；
(2)若，求直线与平面所成角的正弦值.
变式4．（2023·内蒙古赤峰·校联考三模）如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，四边形是圆的内接四边形，为底面圆的直径，在母线上，且，，．
(1)求证：平面平面；
(2)设点为线段上动点，求直线与平面所成角的正弦值的最大值．
变式5．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）如图，线段是圆柱的母线，是圆柱下底面⊙O的内接正三角形，．
(1)劣弧上是否存在点D，使得平面？若存在，求出劣弧的长度；若不存在，请说明理由．
(2)求平面和平面所成角的正弦值．
题型二：立体几何存在性问题
例4．（2023·全国·高三对口高考）如图，如图1，在直角梯形中，．把沿对角线折起到的位置，如图2所示，使得点P在平面上的正投影H恰好落在线段上，连接，点E，F分别为线段，的中点．
(1)求证：平面//平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)在棱上是否存在一点M，使得M到点四点的距离相等？请说明理由．
例5．（2023·上海长宁·上海市延安中学校考三模）已知和所在的平面互相垂直，，，，，是线段的中点，.
(1)求证：；
(2)设，在线段上是否存在点（异于点），使得二面角的大小为.
例6．（2023·湖南邵阳·邵阳市第二中学校考模拟预测）如图，在中，，为边上一动点，交于点，现将沿翻折至.
(1)证明：平面平面；
(2)若，且，线段上是否存在一点（不包括端点），使得锐二面角的余弦值为，若存在求出的值，若不存在请说明理由.
变式6．（2023·福建厦门·统考模拟预测）筝形是指有一条对角线所在直线为对称轴的四边形．如图，四边形为筝形，其对角线交点为，将沿折到的位置，形成三棱锥．
(1)求到平面的距离；
(2)当时，在棱上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
变式7．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）斜三棱柱的各棱长都为，点在下底面的投影为的中点.
(1)在棱（含端点）上是否存在一点使？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由；
(2)求点到平面的距离.
变式8．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，平面PAD，△PAD为等边三角形，//，，平面PBC交平面PAD直线l，E、F分别为棱PD，PB的中点．
(1)求证：∥；
(2)求平面AEF与平面PAD所成锐二面角的余弦值；
(3)在棱PC上是否存在点G，使得∥平面AEF？若存在，求的值，若不存在，说明理由．
变式9．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）在三棱锥P-ABC中，若已知，，点P在底面ABC的射影为点H，则
(1)证明：
(2)设，则在线段PC上是否存在一点M，使得与平面所成角的余弦值为，若存在，设，求出的值，若不存在，请说明理由.
变式10．（2023·浙江·校联考模拟预测）在四棱锥中，底面为矩形，，为等腰直角三角形，平面平面，为中点.
(1)在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为.若存在，求出的值；若不存在，说明理由；
(2)求二面角的正弦值.
变式11．（2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥中，侧面是边长为2的正三角形，，，分别为的中点，平面与底面的交线为.
(1)证明：平面.
(2)若三棱锥的体积为，试问在直线上是否存在点，使得直线与平面所成角为，异面直线所成角为，且满足？若存在，求出线段的长度；若不存在，请说明理由.
变式12．（2023·安徽淮北·统考二模）如图所示，四棱锥中，底面为菱形，.
(1)证明：面；
(2)线段上是否存在点，使平面与平面夹角的余弦值为？若存在，指出点位置；若不存在，请说明理由.
题型三：立体几何折叠问题
例7．（2023·河南·洛宁县第一高级中学校联考模拟预测）在图1中，为等腰直角三角形，，，为等边三角形，O为AC边的中点，E在BC边上，且，沿AC将进行折叠，使点D运动到点F的位置，如图2，连接FO，FB，FE，使得．
(1)证明：平面．
(2)求二面角的余弦值．
例8．（2023·广东深圳·校考二模）如图1所示，等边的边长为，是边上的高，，分别是，边的中点．现将沿折叠，如图2所示.
(1)证明：；
(2)折叠后若，求二面角的余弦值.
例9．（2023·四川南充·高三阆中中学校考阶段练习）如图甲所示的正方形中，对角线分别交于点，将正方形沿折叠使得与重合，构成如图乙所示的三棱柱
(1)若点在棱上，且，证明：∥平面；
(2)求二面角的余弦值.
变式13．（2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知如图甲所示，直角三角形SAB中，，，C，D分别为SB，SA的中点，现在将沿着CD进行翻折，使得翻折后S点在底面ABCD的投影H在线段BC上，且SC与平面ABCD所成角为，M为折叠后SA的中点，如图乙所示.
(1)证明：平面SBC；
(2)求平面ADS与平面SBC所成锐二面角的余弦值.
变式14．（2023·全国·高三专题练习）如图1，在直角梯形BCDE中，，，A为DE的中点，且，，将沿AB折起，使得点E到达P处（P与D不重合），记PD的中点为M，如图2．
(1)在折叠过程中，PB是否始终与平面ACM平行？请说明理由；
(2)当四棱锥P-ABCD的体积最大时，求CD与平面ACM所成角的正弦值．
变式15．（2023·全国·高三专题练习）如图，四边形中，，E，F分别在，上，，现将四边形沿折起，使．
(1)若，在折叠后的线段上是否存在一点P，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
(2)求三棱锥的体积的最大值，并求出此时点F到平面的距离．
变式16．（2023·全国·高三专题练习）如图，四边形中，是等腰直角三角形，是边长为2的正三角形，以为折痕，将向一方折叠到的位置，使D点在平面内的射影在上，再将向另一方折叠到的位置，使平面平面，形成几何体.
（1）若点F为的中点，求证：平面；
（2）求平面与平面所成角的正弦值.
变式17．（2023·四川泸州·泸县五中校考三模）如图1，在梯形中，，且，是等腰直角三角形，其中为斜边.若把沿边折叠到的位置，使平面平面，如图2.
（1）证明：；
（2）若为棱的中点，求点到平面的距离.
变式18．（2023·湖南长沙·长沙一中校考一模）如图1，四边形为直角梯形，，，，，，为线段上一点，满足，为的中点，现将梯形沿折叠（如图2），使平面平面.
（1）求证：平面平面；
（2）能否在线段上找到一点（端点除外）使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由.
题型四：立体几何作图问题
例10．（2023·云南昆明·高三校考阶段练习）已知正四棱锥中，O为底面ABCD的中心，如图所示．
(1)作出过点O与平面PAD平行的截面，在答题卡上作出该截面与四棱锥表面的交线，写出简要作图过程及理由；
(2)设PD的中点为G，，求AG与平面PAB所成角的正弦值．
例11．（2023·贵州·校联考模拟预测）如图，已知平行六面体的底面是菱形，，，且.
(1)试在平面内过点作直线，使得直线平面，说明作图方法，并证明：直线；
(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
例12．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知平行六面体的底面是菱形，，且.
(1)试在平面内过点作直线，使得直线平面，说明作图方法，并证明：直线；
(2)求点到平面的距离.
变式19．（2023·全国·高三专题练习）如图多面体中，面面，为等边三角形，四边形为正方形，，且，，分别为，的中点.
（1）求二面角的余弦值；
（2）作平面FHG与平面ABCD的交线，记该交线与直线AB交点为P，写出的值（不需要说明理由，保留作图痕迹）.
变式20．（2023·全国·高三专题练习）四棱锥中，底面是边长为2的菱形，.,且平面，，点分别是线段上的中点，在上.且.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求直线与平面的成角的正弦值；
（Ⅲ）请画出平面与四棱锥的表面的交线，并写出作图的步骤.
变式21．（2023·安徽六安·安徽省舒城中学校考模拟预测）如图，已知多面体EABCDF的底面ABCD是边长为2的正方形，，，且.
(1)记线段的中点为，在平面内过点作一条直线与平面平行，要求保留作图痕迹，但不要求证明；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
变式22．（2023·广西·高三统考阶段练习）如图，三棱柱中，侧面为菱形.
(1)（如图1）若点为内任一点，作出与面的交点（作出图象并写出简单的作图过程，不需证明）；
(2)（如图2）若面面，求二面角的余弦值.
变式23．（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）是边长为2的正三角形，P在平面上满足，将沿AC翻折，使点P到达的位置，若平面平面ABC，且．
(1)作平面，使得，且，说明作图方法并证明；
(2)点M满足，求二面角的余弦值．
变式24．（2023·四川绵阳·高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）已知四棱锥的底面是平行四边形，侧棱平面，点在棱上，且，点是在棱上的动点（不为端点）.（如图所示）
(1)若是棱中点，
（i）画出的重心（保留作图痕迹），指出点与线段的关系，并说明理由；
（ii）求证：平面；
(2)若四边形是正方形，且，当点在何处时，直线与平面所成角的正弦值取最大值.
题型五：立体几何建系繁琐问题
例13．（2023·福建福州·福建省福州格致中学校考模拟预测）如图，在四棱台ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，∠ABC=，∠B1BD=，
（1）求证：直线AC⊥平面BDB1；
（2）求直线A1B1与平面ACC1所成角的正弦值.
例14．（2023·全国·模拟预测）如图，在直三棱柱中，侧面为正方形，M，N分别为的中点，．
(1)证明：平面；
(2)若，三棱锥的体积为2，求二面角的余弦值．
例15．（2023·江西抚州·高三校联考阶段练习）如图，在几何体中，，已知平面平面，平面平面，平面ABC，AD⊥DE．
(1)证明：平面；
(2)若，设为棱上的点，且满足，求当几何体的体积取最大值时，与所成角的余弦值．
变式25．（2023·黑龙江佳木斯·高一建三江分局第一中学校考期末）如图，已知三棱柱的底面是正三角形，侧面是矩形，分别为的中点，为上一点，过和的平面交于，交于．
（1）证明：平面；
（2）设为的中心，若平面，且，求直线与平面所成角的正弦值．
变式26．（2023·黑龙江哈尔滨·哈九中校考三模）如图，已知三棱柱的底面是正三角形，侧面是矩形，，分别为，的中点，为上一点，过和的平面交于，交于.
（1）证明：，且平面平面；
（2）设为的中心，若，平面，且，求四棱锥的体积.
变式27．（2023·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考期中）如图，在平行六面体中，每一个面均为边长为2的菱形，平面底面，，分别是，的中点，是的中点.
(1)证明：平面；
(2)若侧棱与底面所成的角为60°，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
变式28．（2023·全国·高三专题练习）已知四棱锥中，平面，，，，，．
(1)求直线与平面所成角的正弦值；
(2)线段上是否存在一点M，使得平面？若存在，请指出点M的位置；若不存在，请说明理由．
变式29．（2023·全国·模拟预测）如图，三棱柱的底面为等边三角形，，点D，E分别为AC，的中点，，．
(1)求点到平面BDE的距离；
(2)求二面角的余弦值．
变式30．（2023·全国·高三专题练习）已知两个四棱锥与的公共底面是边长为4的正方形，顶点，在底面的同侧，棱锥的高，，分别为AB，CD的中点，与交于点E，与交于点F.
(1)求证：点E为线段的中点；
(2)求这两个棱锥的公共部分的体积.
变式31．（2023·全国·高一专题练习）《九章算术》是中国古代的一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一部，成于公元一世纪左右.它是一本综合性的历史著作，是当时世界上最简练有效的应用数学，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系.《九章算术》中将由四个直角三角形组成的四面体称为“鳖臑”，已知在三棱锥中，平面.
（1）从三棱锥中选择合适的两条棱填空：________________，则三棱锥为“鳖臑”；
（2）如图，已知，垂足为，，垂足为，.
（i）证明：平面平面；
（ii）设平面与平面交线为，若，，求二面角的大小.
变式32．（2023·浙江金华·高一浙江金华第一中学校考期末）如图，四面体ABCD中，等边三角形，，且.
(1)记AC中点为M，若面面ABD，求证：面ADC；
(2)当二面角的大小为时，求直线AD与平面BCD所成角的正弦值.
变式33．（2023·河北衡水·高二校考开学考试）已知四面体，，，且平面平面．
(1)求证：；
(2)求直线与平面所成角的大小．
题型六：两角相等（构造全等）的立体几何问题
例16．（2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥中，是等边三角形，，点P是AC的中点，连接BP，DP
证明：平面平面BDP；
若，，求三棱锥的体积．
例17．（2023·高二校考单元测试）如图,在三棱锥中,是等边三角形,,点是的中点,连接．
（1）证明:平面平面;
（2）若,且二面角为,求直线与平面所成角的正弦值．
例18．（2023·全国·高三专题练习）如图，四棱锥中，底面为边长是2的正方形，，分别是，的中点，，，且二面角的大小为.
(1)求证：；
(2)求二面角的余弦值.
变式34．（2023·全国·高三专题练习）如图，四棱锥中，四边形是边长为2的菱形，，.
（1）证明：平面平面；
（2）当直线与平面所成的角为30°时，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
变式35．（2023·广东阳江·高二统考期中）如图，在四面体ABCD中，是正三角形，是直角三角形，，AB=BD．
(1)求证：平面平面ABC；
(2)若，二面角的余弦值为，求m．
变式36．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四面体中，已知，，
(1)求证：；
(2)若平面平面，且，求二面角的余弦值.
题型七：利用传统方法找几何关系建系
例19．（2023·河北·高三河北衡水中学校考阶段练习）如图，在长方体，平面与平面所成角为.
(1)若，求直线与平面所成角的余弦值（用表示）；
(2)将矩形沿旋转度角得到矩形，设平面与平面所成角为，请证明：.
例20．（2023·全国·唐山市第十一中学校考模拟预测）在四棱锥中，，，，，平面平面.
(1)证明：；
(2)若是棱上一点，且二面角的余弦值为，求的大小.
例21．（2023·安徽·高三校联考期末）如图，在四棱锥中，，E是PB的中点．
(1)求CE的长；
(2)设二面角平面角的补角大小为，若，求平面PAD和平面PBC夹角余弦值的最小值．
变式37．（2023·全国·高三专题练习）如图，四棱锥的底面为正方形，底面，是线段的中点，设平面与平面的交线为.
(1)证明∥平面BCM
(2)已知，为上的点，若与平面所成角的正弦值为是，求线段的长.
(3)在（2）的条件下，求二面角的正弦值.
变式38．（2023·江西抚州·高二临川一中校考期中）如图，直线平面，直线平行四边形ABCD，四棱锥P-ABCD的顶点在平面上，，，，，分别是与的中点.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值.
变式39．（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，侧面SAD为等边三角形，，．
(1)证明：平面平面；
(2)侧棱SC上是否存在一点P（P不在端点处），使得直线BP与平面SAC所成角的正弦值等于？若存在，求出点P的位置；若不存在，请说明理由．
变式40．（2023·吉林长春·高二校考期末）如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，，.点在侧棱上，°.
（1）证明：是侧棱的中点；
（2）求二面角的余弦值.
变式41．（2023·四川绵阳·高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）三棱柱的底面是等边三角形，的中点为，底面，与底面所成的角为，点在棱上，且.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的平面角的余弦值.
变式42．（2023·黑龙江齐齐哈尔·高三齐齐哈尔市实验中学校联考阶段练习）如图，三棱锥P-ABC所有棱长都等，PO⊥平面ABC，垂足为O．点，分别在平面PAC，平面PAB内，线段，都经过线段PO的中点D．
(1)证明：平面ABC；
(2)求直线AP与平面所成角的正弦值．
变式43．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知四棱锥中，平面，平面平面，且，，，点在平面内的射影恰为的重心.
（1）证明：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
变式44．（2023·全国·高三专题练习）如图，平面平面，菱形平面，，为平面内一动点.
(1)若平面，间的距离为，设直线，与平面所成的角分别为，，，求动点在平面内的射影的一个轨迹方程；
(2)若点在平面内的射影为，证明：直线与平面所成的角与的大小无关.
题型八：空间中的点不好求
例22．（2023·全国·校联考模拟预测）已知三棱锥ABCD，D在面ABC上的投影为O，O恰好为△ABC的外心．，.
(1)证明：BC⊥AD；
(2)E为AD上靠近A的四等分点，若三棱锥A-BCD的体积为，求二面角的余弦值．
例23．（2023·河南·校联考模拟预测）如图，在四棱锥中，，，，分别为，的中点，点在上，且为三角形的重心.
(1)证明：平面；
(2)若，，四棱锥的体积为，求直线与平面所成角的正弦值.
例24．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）如图，平行六面体中，点P在对角线上，，平面平面．
(1)求证：O，P，三点共线；
(2)若四边形是边长为2的菱形，，，求二面角大小的余弦值．
变式45．（2023·江西·校联考二模）正四棱锥中，，E为中点，，平面平面，平面.
(1)证明：当平面平面时，平面
(2)当时，T为表面上一动点（包括顶点），是否存在正数m，使得有且仅有5个点T满足，若存在，求m的值，若不存在，请说明理由.
变式46．（2023·全国·高三专题练习）如图，在棱长为2的正方体中，点M是正方体的中心，将四棱锥绕直线逆时针旋转后，得到四棱锥．
(1)若，求证：平面平面；
(2)是否存在，使得直线平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
变式47．（2023·全国·模拟预测）已知菱形ABCD中，，四边形BDEF为正方形，满足，连接AE，AF，CE，CF．
(1)证明：；
(2)求直线AE与平面BDEF所成角的正弦值．
题型九：创新定义
例25．（2023·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）魏晋时期数学家刘徽（图a）为研究球体的体积公式，创造了一个独特的立体图形“牟合方盖”，它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一圆柱的侧面上．如图，将两个底面半径为1的圆柱分别从纵横两个方向嵌入棱长为2的正方体时（如图b），两圆柱公共部分形成的几何体（如图c）即得一个“牟合方盖”，图d是该“牟合方盖”的直观图（图中标出的各点，，，，，均在原正方体的表面上）．
(1)由“牟合方盖”产生的过程可知，图d中的曲线为一个椭圆，求此椭圆的离心率；
(2)如图c，点在椭圆弧上，且三棱锥的体积为，求二面角的正弦值．
例26．（2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考一模）蜂房是自然界最神奇的“建筑”之一，如图1所示.蜂房结构是由正六棱柱截去三个相等的三棱锥，，，再分别以，，为轴将，，分别向上翻转，使，，三点重合为点所围成的曲顶多面体（下底面开口），如图2所示.蜂房曲顶空间的弯曲度可用曲率来刻画，定义其度量值等于蜂房顶端三个菱形的各个顶点的曲率之和，而每一顶点的曲率规定等于减去蜂房多面体在该点的各个面角之和（多面体的面角是多面体的面的内角，用弧度制表示）.例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四面体在各顶点的曲率为.
(1)求蜂房曲顶空间的弯曲度；
(2)若正六棱柱底面边长为1，侧棱长为2，设
（i）用表示蜂房（图2右侧多面体）的表面积；
（ii）当蜂房表面积最小时，求其顶点的曲率的余弦值.
例27．（2023·全国·高三专题练习）北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和．例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四面体在各顶点的曲率为，故其总曲率为．
（1）求四棱锥的总曲率；
（2）若多面体满足：顶点数-棱数+面数，证明：这类多面体的总曲率是常数．
变式48．（2023·河北·高三校联考阶段练习）已知，，，定义一种运算：，在平行六面体中，，，.
(1)证明：平行六面体是直四棱柱；
(2)计算，并求该平行六面体的体积，说明的值与平行六面体体积的关系.
变式49．（2023·全国·高三专题练习）（1）如图，对于任一给定的四面体，找出依次排列的四个相互平行的平面，，，，使得，且其中每相邻两个平面间的距离都相等；
（2）给定依次排列的四个相互平行的平面，，，，其中每相邻两个平面间的距离为1，若一个正四面体的四个顶点满足：，求该正四面体的体积．
变式50．（2023·全国·高三专题练习）已知顶点为S的圆锥面（以下简称圆锥S）与不经过顶点S的平面α相交，记交线为C，圆锥S的轴线l与平面α所成角θ是圆锥S顶角（圆S轴截面上两条母线所成角θ的一半，为探究曲线C的形状，我们构建球T，使球T与圆锥S和平面α都相切，记球T与平面α的切点为F，直线l与平面α交点为A，直线AF与圆锥S交点为O，圆锥S的母线OS与球T的切点为M，，．
(1)求证：平面SOA⊥平面α，并指出a，b，关系式；
(2)求证：曲线C是抛物线．
变式51．（2023·湖南·校联考模拟预测）类比于二维平面中的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理；如图1，由射线，，构成的三面角，，，，二面角的大小为，则．
（1）当、时，证明以上三面角余弦定理；
（2）如图2，四棱柱中，平面平面，，，
①求的余弦值；
②在直线上是否存在点，使平面？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由．
2、精练习题。复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。
3、加强审题的规范性。每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。
4、重视错题。错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
重难点突破06 立体几何解答题最全归纳总结
目录
题型一：非常规空间几何体为载体
例1．（2023·全国·高三专题练习）已知正四棱台的体积为，其中.
(1)求侧棱与底面所成的角；
(2)在线段上是否存在一点P，使得？若存在请确定点的位置；若不存在，请说明理由.
例2．（2023·全国·高三专题练习）在三棱台中，为中点，，，.
(1)求证：平面；
(2)若，，平面与平面所成二面角大小为，求三棱锥的体积.
例3．（2023·重庆万州·高三重庆市万州第二高级中学校考阶段练习）如图，在正四棱台中，，，，为棱，的中点，棱上存在一点，使得平面．
(1)求；
(2)当正四棱台的体积最大时，求与平面所成角的正弦值．
变式1．（2023·湖北黄冈·浠水县第一中学校考模拟预测）如图，在三棱台中，，，，，．
(1)证明：平面平面；
(2)设是的中点，求平面与平面夹角的余弦值．
变式2．（2023·安徽·高三安徽省定远中学校考阶段练习）如图，圆锥的高为，是底面圆的直径，四边形是底面圆的内接等腰梯形，且，点是母线上一动点.
(1)证明：平面平面；
(2)若二面角的余弦值为，求三棱锥的体积.
变式3．（2023·云南·云南师大附中校考模拟预测）如图，为圆锥的顶点，A，为底面圆上两点，，为中点，点在线段上，且.
(1)证明：平面平面；
(2)若，求直线与平面所成角的正弦值.
变式4．（2023·内蒙古赤峰·校联考三模）如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，四边形是圆的内接四边形，为底面圆的直径，在母线上，且，，．
(1)求证：平面平面；
(2)设点为线段上动点，求直线与平面所成角的正弦值的最大值．
变式5．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）如图，线段是圆柱的母线，是圆柱下底面⊙O的内接正三角形，．
(1)劣弧上是否存在点D，使得平面？若存在，求出劣弧的长度；若不存在，请说明理由．
(2)求平面和平面所成角的正弦值．
题型二：立体几何存在性问题
例4．（2023·全国·高三对口高考）如图，如图1，在直角梯形中，．把沿对角线折起到的位置，如图2所示，使得点P在平面上的正投影H恰好落在线段上，连接，点E，F分别为线段，的中点．
(1)求证：平面//平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)在棱上是否存在一点M，使得M到点四点的距离相等？请说明理由．
例5．（2023·上海长宁·上海市延安中学校考三模）已知和所在的平面互相垂直，，，，，是线段的中点，.
(1)求证：；
(2)设，在线段上是否存在点（异于点），使得二面角的大小为.
例6．（2023·湖南邵阳·邵阳市第二中学校考模拟预测）如图，在中，，为边上一动点，交于点，现将沿翻折至.
(1)证明：平面平面；
(2)若，且，线段上是否存在一点（不包括端点），使得锐二面角的余弦值为，若存在求出的值，若不存在请说明理由.
变式6．（2023·福建厦门·统考模拟预测）筝形是指有一条对角线所在直线为对称轴的四边形．如图，四边形为筝形，其对角线交点为，将沿折到的位置，形成三棱锥．
(1)求到平面的距离；
(2)当时，在棱上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
变式7．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）斜三棱柱的各棱长都为，点在下底面的投影为的中点.
(1)在棱（含端点）上是否存在一点使？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由；
(2)求点到平面的距离.
变式8．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，平面PAD，△PAD为等边三角形，//，，平面PBC交平面PAD直线l，E、F分别为棱PD，PB的中点．
(1)求证：∥；
(2)求平面AEF与平面PAD所成锐二面角的余弦值；
(3)在棱PC上是否存在点G，使得∥平面AEF？若存在，求的值，若不存在，说明理由．
变式9．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）在三棱锥P-ABC中，若已知，，点P在底面ABC的射影为点H，则
(1)证明：
(2)设，则在线段PC上是否存在一点M，使得与平面所成角的余弦值为，若存在，设，求出的值，若不存在，请说明理由.
变式10．（2023·浙江·校联考模拟预测）在四棱锥中，底面为矩形，，为等腰直角三角形，平面平面，为中点.
(1)在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为.若存在，求出的值；若不存在，说明理由；
(2)求二面角的正弦值.
变式11．（2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥中，侧面是边长为2的正三角形，，，分别为的中点，平面与底面的交线为.
(1)证明：平面.
(2)若三棱锥的体积为，试问在直线上是否存在点，使得直线与平面所成角为，异面直线所成角为，且满足？若存在，求出线段的长度；若不存在，请说明理由.
变式12．（2023·安徽淮北·统考二模）如图所示，四棱锥中，底面为菱形，.
(1)证明：面；
(2)线段上是否存在点，使平面与平面夹角的余弦值为？若存在，指出点位置；若不存在，请说明理由.
题型三：立体几何折叠问题
例7．（2023·河南·洛宁县第一高级中学校联考模拟预测）在图1中，为等腰直角三角形，，，为等边三角形，O为AC边的中点，E在BC边上，且，沿AC将进行折叠，使点D运动到点F的位置，如图2，连接FO，FB，FE，使得．
(1)证明：平面．
(2)求二面角的余弦值．
例8．（2023·广东深圳·校考二模）如图1所示，等边的边长为，是边上的高，，分别是，边的中点．现将沿折叠，如图2所示.
(1)证明：；
(2)折叠后若，求二面角的余弦值.
例9．（2023·四川南充·高三阆中中学校考阶段练习）如图甲所示的正方形中，对角线分别交于点，将正方形沿折叠使得与重合，构成如图乙所示的三棱柱
(1)若点在棱上，且，证明：∥平面；
(2)求二面角的余弦值.
变式13．（2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知如图甲所示，直角三角形SAB中，，，C，D分别为SB，SA的中点，现在将沿着CD进行翻折，使得翻折后S点在底面ABCD的投影H在线段BC上，且SC与平面ABCD所成角为，M为折叠后SA的中点，如图乙所示.
(1)证明：平面SBC；
(2)求平面ADS与平面SBC所成锐二面角的余弦值.
变式14．（2023·全国·高三专题练习）如图1，在直角梯形BCDE中，，，A为DE的中点，且，，将沿AB折起，使得点E到达P处（P与D不重合），记PD的中点为M，如图2．
(1)在折叠过程中，PB是否始终与平面ACM平行？请说明理由；
(2)当四棱锥P-ABCD的体积最大时，求CD与平面ACM所成角的正弦值．
变式15．（2023·全国·高三专题练习）如图，四边形中，，E，F分别在，上，，现将四边形沿折起，使．
(1)若，在折叠后的线段上是否存在一点P，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
(2)求三棱锥的体积的最大值，并求出此时点F到平面的距离．
变式16．（2023·全国·高三专题练习）如图，四边形中，是等腰直角三角形，是边长为2的正三角形，以为折痕，将向一方折叠到的位置，使D点在平面内的射影在上，再将向另一方折叠到的位置，使平面平面，形成几何体.
（1）若点F为的中点，求证：平面；
（2）求平面与平面所成角的正弦值.
变式17．（2023·四川泸州·泸县五中校考三模）如图1，在梯形中，，且，是等腰直角三角形，其中为斜边.若把沿边折叠到的位置，使平面平面，如图2.
（1）证明：；
（2）若为棱的中点，求点到平面的距离.
变式18．（2023·湖南长沙·长沙一中校考一模）如图1，四边形为直角梯形，，，，，，为线段上一点，满足，为的中点，现将梯形沿折叠（如图2），使平面平面.
（1）求证：平面平面；
（2）能否在线段上找到一点（端点除外）使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由.
题型四：立体几何作图问题
例10．（2023·云南昆明·高三校考阶段练习）已知正四棱锥中，O为底面ABCD的中心，如图所示．
(1)作出过点O与平面PAD平行的截面，在答题卡上作出该截面与四棱锥表面的交线，写出简要作图过程及理由；
(2)设PD的中点为G，，求AG与平面PAB所成角的正弦值．
例11．（2023·贵州·校联考模拟预测）如图，已知平行六面体的底面是菱形，，，且.
(1)试在平面内过点作直线，使得直线平面，说明作图方法，并证明：直线；
(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
例12．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知平行六面体的底面是菱形，，且.
(1)试在平面内过点作直线，使得直线平面，说明作图方法，并证明：直线；
(2)求点到平面的距离.
变式19．（2023·全国·高三专题练习）如图多面体中，面面，为等边三角形，四边形为正方形，，且，，分别为，的中点.
（1）求二面角的余弦值；
（2）作平面FHG与平面ABCD的交线，记该交线与直线AB交点为P，写出的值（不需要说明理由，保留作图痕迹）.
变式20．（2023·全国·高三专题练习）四棱锥中，底面是边长为2的菱形，.,且平面，，点分别是线段上的中点，在上.且.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求直线与平面的成角的正弦值；
（Ⅲ）请画出平面与四棱锥的表面的交线，并写出作图的步骤.
变式21．（2023·安徽六安·安徽省舒城中学校考模拟预测）如图，已知多面体EABCDF的底面ABCD是边长为2的正方形，，，且.
(1)记线段的中点为，在平面内过点作一条直线与平面平行，要求保留作图痕迹，但不要求证明；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
变式22．（2023·广西·高三统考阶段练习）如图，三棱柱中，侧面为菱形.
(1)（如图1）若点为内任一点，作出与面的交点（作出图象并写出简单的作图过程，不需证明）；
(2)（如图2）若面面，求二面角的余弦值.
变式23．（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）是边长为2的正三角形，P在平面上满足，将沿AC翻折，使点P到达的位置，若平面平面ABC，且．
(1)作平面，使得，且，说明作图方法并证明；
(2)点M满足，求二面角的余弦值．
变式24．（2023·四川绵阳·高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）已知四棱锥的底面是平行四边形，侧棱平面，点在棱上，且，点是在棱上的动点（不为端点）.（如图所示）
(1)若是棱中点，
（i）画出的重心（保留作图痕迹），指出点与线段的关系，并说明理由；
（ii）求证：平面；
(2)若四边形是正方形，且，当点在何处时，直线与平面所成角的正弦值取最大值.
题型五：立体几何建系繁琐问题
例13．（2023·福建福州·福建省福州格致中学校考模拟预测）如图，在四棱台ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，∠ABC=，∠B1BD=，
（1）求证：直线AC⊥平面BDB1；
（2）求直线A1B1与平面ACC1所成角的正弦值.
例14．（2023·全国·模拟预测）如图，在直三棱柱中，侧面为正方形，M，N分别为的中点，．
(1)证明：平面；
(2)若，三棱锥的体积为2，求二面角的余弦值．
例15．（2023·江西抚州·高三校联考阶段练习）如图，在几何体中，，已知平面平面，平面平面，平面ABC，AD⊥DE．
(1)证明：平面；
(2)若，设为棱上的点，且满足，求当几何体的体积取最大值时，与所成角的余弦值．
变式25．（2023·黑龙江佳木斯·高一建三江分局第一中学校考期末）如图，已知三棱柱的底面是正三角形，侧面是矩形，分别为的中点，为上一点，过和的平面交于，交于．
（1）证明：平面；
（2）设为的中心，若平面，且，求直线与平面所成角的正弦值．
变式26．（2023·黑龙江哈尔滨·哈九中校考三模）如图，已知三棱柱的底面是正三角形，侧面是矩形，，分别为，的中点，为上一点，过和的平面交于，交于.
（1）证明：，且平面平面；
（2）设为的中心，若，平面，且，求四棱锥的体积.
变式27．（2023·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考期中）如图，在平行六面体中，每一个面均为边长为2的菱形，平面底面，，分别是，的中点，是的中点.
(1)证明：平面；
(2)若侧棱与底面所成的角为60°，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
变式28．（2023·全国·高三专题练习）已知四棱锥中，平面，，，，，．
(1)求直线与平面所成角的正弦值；
(2)线段上是否存在一点M，使得平面？若存在，请指出点M的位置；若不存在，请说明理由．
变式29．（2023·全国·模拟预测）如图，三棱柱的底面为等边三角形，，点D，E分别为AC，的中点，，．
(1)求点到平面BDE的距离；
(2)求二面角的余弦值．
变式30．（2023·全国·高三专题练习）已知两个四棱锥与的公共底面是边长为4的正方形，顶点，在底面的同侧，棱锥的高，，分别为AB，CD的中点，与交于点E，与交于点F.
(1)求证：点E为线段的中点；
(2)求这两个棱锥的公共部分的体积.
变式31．（2023·全国·高一专题练习）《九章算术》是中国古代的一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一部，成于公元一世纪左右.它是一本综合性的历史著作，是当时世界上最简练有效的应用数学，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系.《九章算术》中将由四个直角三角形组成的四面体称为“鳖臑”，已知在三棱锥中，平面.
（1）从三棱锥中选择合适的两条棱填空：________________，则三棱锥为“鳖臑”；
（2）如图，已知，垂足为，，垂足为，.
（i）证明：平面平面；
（ii）设平面与平面交线为，若，，求二面角的大小.
变式32．（2023·浙江金华·高一浙江金华第一中学校考期末）如图，四面体ABCD中，等边三角形，，且.
(1)记AC中点为M，若面面ABD，求证：面ADC；
(2)当二面角的大小为时，求直线AD与平面BCD所成角的正弦值.
变式33．（2023·河北衡水·高二校考开学考试）已知四面体，，，且平面平面．
(1)求证：；
(2)求直线与平面所成角的大小．
题型六：两角相等（构造全等）的立体几何问题
例16．（2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥中，是等边三角形，，点P是AC的中点，连接BP，DP
证明：平面平面BDP；
若，，求三棱锥的体积．
例17．（2023·高二校考单元测试）如图,在三棱锥中,是等边三角形,,点是的中点,连接．
（1）证明:平面平面;
（2）若,且二面角为,求直线与平面所成角的正弦值．
例18．（2023·全国·高三专题练习）如图，四棱锥中，底面为边长是2的正方形，，分别是，的中点，，，且二面角的大小为.
(1)求证：；
(2)求二面角的余弦值.
变式34．（2023·全国·高三专题练习）如图，四棱锥中，四边形是边长为2的菱形，，.
（1）证明：平面平面；
（2）当直线与平面所成的角为30°时，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
变式35．（2023·广东阳江·高二统考期中）如图，在四面体ABCD中，是正三角形，是直角三角形，，AB=BD．
(1)求证：平面平面ABC；
(2)若，二面角的余弦值为，求m．
变式36．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四面体中，已知，，
(1)求证：；
(2)若平面平面，且，求二面角的余弦值.
题型七：利用传统方法找几何关系建系
例19．（2023·河北·高三河北衡水中学校考阶段练习）如图，在长方体，平面与平面所成角为.
(1)若，求直线与平面所成角的余弦值（用表示）；
(2)将矩形沿旋转度角得到矩形，设平面与平面所成角为，请证明：.
例20．（2023·全国·唐山市第十一中学校考模拟预测）在四棱锥中，，，，，平面平面.
(1)证明：；
(2)若是棱上一点，且二面角的余弦值为，求的大小.
例21．（2023·安徽·高三校联考期末）如图，在四棱锥中，，E是PB的中点．
(1)求CE的长；
(2)设二面角平面角的补角大小为，若，求平面PAD和平面PBC夹角余弦值的最小值．
变式37．（2023·全国·高三专题练习）如图，四棱锥的底面为正方形，底面，是线段的中点，设平面与平面的交线为.
(1)证明∥平面BCM
(2)已知，为上的点，若与平面所成角的正弦值为是，求线段的长.
(3)在（2）的条件下，求二面角的正弦值.
变式38．（2023·江西抚州·高二临川一中校考期中）如图，直线平面，直线平行四边形ABCD，四棱锥P-ABCD的顶点在平面上，，，，，分别是与的中点.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值.
变式39．（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，侧面SAD为等边三角形，，．
(1)证明：平面平面；
(2)侧棱SC上是否存在一点P（P不在端点处），使得直线BP与平面SAC所成角的正弦值等于？若存在，求出点P的位置；若不存在，请说明理由．
变式40．（2023·吉林长春·高二校考期末）如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，，.点在侧棱上，°.
（1）证明：是侧棱的中点；
（2）求二面角的余弦值.
变式41．（2023·四川绵阳·高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）三棱柱的底面是等边三角形，的中点为，底面，与底面所成的角为，点在棱上，且.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的平面角的余弦值.
变式42．（2023·黑龙江齐齐哈尔·高三齐齐哈尔市实验中学校联考阶段练习）如图，三棱锥P-ABC所有棱长都等，PO⊥平面ABC，垂足为O．点，分别在平面PAC，平面PAB内，线段，都经过线段PO的中点D．
(1)证明：平面ABC；
(2)求直线AP与平面所成角的正弦值．
变式43．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知四棱锥中，平面，平面平面，且，，，点在平面内的射影恰为的重心.
（1）证明：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
变式44．（2023·全国·高三专题练习）如图，平面平面，菱形平面，，为平面内一动点.
(1)若平面，间的距离为，设直线，与平面所成的角分别为，，，求动点在平面内的射影的一个轨迹方程；
(2)若点在平面内的射影为，证明：直线与平面所成的角与的大小无关.
题型八：空间中的点不好求
例22．（2023·全国·校联考模拟预测）已知三棱锥ABCD，D在面ABC上的投影为O，O恰好为△ABC的外心．，.
(1)证明：BC⊥AD；
(2)E为AD上靠近A的四等分点，若三棱锥A-BCD的体积为，求二面角的余弦值．
例23．（2023·河南·校联考模拟预测）如图，在四棱锥中，，，，分别为，的中点，点在上，且为三角形的重心.
(1)证明：平面；
(2)若，，四棱锥的体积为，求直线与平面所成角的正弦值.
例24．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）如图，平行六面体中，点P在对角线上，，平面平面．
(1)求证：O，P，三点共线；
(2)若四边形是边长为2的菱形，，，求二面角大小的余弦值．
变式45．（2023·江西·校联考二模）正四棱锥中，，E为中点，，平面平面，平面.
(1)证明：当平面平面时，平面
(2)当时，T为表面上一动点（包括顶点），是否存在正数m，使得有且仅有5个点T满足，若存在，求m的值，若不存在，请说明理由.
变式46．（2023·全国·高三专题练习）如图，在棱长为2的正方体中，点M是正方体的中心，将四棱锥绕直线逆时针旋转后，得到四棱锥．
(1)若，求证：平面平面；
(2)是否存在，使得直线平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
变式47．（2023·全国·模拟预测）已知菱形ABCD中，，四边形BDEF为正方形，满足，连接AE，AF，CE，CF．
(1)证明：；
(2)求直线AE与平面BDEF所成角的正弦值．
题型九：创新定义
例25．（2023·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）魏晋时期数学家刘徽（图a）为研究球体的体积公式，创造了一个独特的立体图形“牟合方盖”，它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一圆柱的侧面上．如图，将两个底面半径为1的圆柱分别从纵横两个方向嵌入棱长为2的正方体时（如图b），两圆柱公共部分形成的几何体（如图c）即得一个“牟合方盖”，图d是该“牟合方盖”的直观图（图中标出的各点，，，，，均在原正方体的表面上）．
(1)由“牟合方盖”产生的过程可知，图d中的曲线为一个椭圆，求此椭圆的离心率；
(2)如图c，点在椭圆弧上，且三棱锥的体积为，求二面角的正弦值．
例26．（2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考一模）蜂房是自然界最神奇的“建筑”之一，如图1所示.蜂房结构是由正六棱柱截去三个相等的三棱锥，，，再分别以，，为轴将，，分别向上翻转，使，，三点重合为点所围成的曲顶多面体（下底面开口），如图2所示.蜂房曲顶空间的弯曲度可用曲率来刻画，定义其度量值等于蜂房顶端三个菱形的各个顶点的曲率之和，而每一顶点的曲率规定等于减去蜂房多面体在该点的各个面角之和（多面体的面角是多面体的面的内角，用弧度制表示）.例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四面体在各顶点的曲率为.
(1)求蜂房曲顶空间的弯曲度；
(2)若正六棱柱底面边长为1，侧棱长为2，设
（i）用表示蜂房（图2右侧多面体）的表面积；
（ii）当蜂房表面积最小时，求其顶点的曲率的余弦值.
例27．（2023·全国·高三专题练习）北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和．例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四面体在各顶点的曲率为，故其总曲率为．
（1）求四棱锥的总曲率；
（2）若多面体满足：顶点数-棱数+面数，证明：这类多面体的总曲率是常数．
变式48．（2023·河北·高三校联考阶段练习）已知，，，定义一种运算：，在平行六面体中，，，.
(1)证明：平行六面体是直四棱柱；
(2)计算，并求该平行六面体的体积，说明的值与平行六面体体积的关系.
变式49．（2023·全国·高三专题练习）（1）如图，对于任一给定的四面体，找出依次排列的四个相互平行的平面，，，，使得，且其中每相邻两个平面间的距离都相等；
（2）给定依次排列的四个相互平行的平面，，，，其中每相邻两个平面间的距离为1，若一个正四面体的四个顶点满足：，求该正四面体的体积．
变式50．（2023·全国·高三专题练习）已知顶点为S的圆锥面（以下简称圆锥S）与不经过顶点S的平面α相交，记交线为C，圆锥S的轴线l与平面α所成角θ是圆锥S顶角（圆S轴截面上两条母线所成角θ的一半，为探究曲线C的形状，我们构建球T，使球T与圆锥S和平面α都相切，记球T与平面α的切点为F，直线l与平面α交点为A，直线AF与圆锥S交点为O，圆锥S的母线OS与球T的切点为M，，．
(1)求证：平面SOA⊥平面α，并指出a，b，关系式；
(2)求证：曲线C是抛物线．
变式51．（2023·湖南·校联考模拟预测）类比于二维平面中的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理；如图1，由射线，，构成的三面角，，，，二面角的大小为，则．
（1）当、时，证明以上三面角余弦定理；
（2）如图2，四棱柱中，平面平面，，，
①求的余弦值；
②在直线上是否存在点，使平面？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由．
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