第10讲 三角形与全等三角形（易错点梳理+微练习）-【学霸计划】2022年中考数学大复习（知识点·易错点·题型训练·压轴题组）

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易错点梳理
易错点01 对三角形中“三线”位置掌握不好
对三角形中“三线”位置掌握不好，导致出错三角形的角平分线、中线都在三角形内部，而三角形的高不一定在三角形内部.锐角三角形的高在三角形的内部；直角三角形的两条高与直角边重合，斜边上的高在三角形内部；钝角三角形的两条高在三角形外部。
易错点02 误用多边形的内角和公式及三角形外角的性质
n边形的内角和等于(n-2)·180°，而并非为n·180°对三角形外角的性质理解不透彻而出现错误，在应用三角形外角的性质时，不可忽略了“不相邻”这个条件。
易错点03 忽略三角形存在的条件而导致计算错误
进行等腰三角形的边长或周长计算时，一般需要分类讨论，但不可忽略三角形存在的条件，即任意两边之和大于第三边.对出现的情况需要逐一验证，确定取舍。
易错点04 对正多边形的概念理解有误导致判断失误
判断正多边形的两个条件——各个角都相等、各条边都相等，两者缺一不可，不要以为每个内角都相等的多边形便是正多边形。
易错点05 全等三角形的对应关系考虑不全面而出错
用“≌”表示两个三角形全等时，对应点放在对应位置，但用语言描述的两个三角形全等却不需要，不要形成固定思维.解决这类问题要考虑各种对应情况，避免出现考虑不全面，导致结果错误.
易错点06 错用“SSA”进行判定三角形全等
判定一般三角形全等的方法有“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”4种方法，不存在“SSA”的判定方法.
易错点07 运用角平分线的性质和判定时，误将斜线段当作距离
在运用角的平分线的性质和判定时，一定要注意“距离”必须有垂直的条件。
例题分析
考向01 三角形的三边关系
例题1：（2021·广东新丰·九年级期中）三角形的两边长分别是3和6，第三边的长是方程x2-7x +10 = 0的一个根，则这个三角形的周长是（ ）
A．11或14B．14或16C．14D．11
例题2：（2021·江苏·常州外国语学校九年级）如图，⊙O的半径为2，定点P在⊙O上，动点A，B也在⊙O上，且满足∠APB＝30°，C为PB的中点，则点A，B在圆上运动的过程中，线段AC的最大值为（ ）
A．1+B．+2C．2﹣2D．1+
考向02 三角形的高、中线
例题3：（2021·山东安丘·二模）如图，四边形ABCD为菱形，BF∥AC，DF交AC的延长线于点E，交BF于点F，且CE：AC＝1：2．则下列结论不正确的有（ ）
A．△ABE≌△ADE；B．∠CBE＝∠CDF；
C．DE＝FE；D．S△BCE：S四边形ABFD＝1：9
例题4：（2021·安徽包河·九年级期中）如图，在∆ABC中，D、E分别是边、上的点，与相交于点F，若E为的中点，，则的值是（ ）
A．2.5B．3C．4D．2
考向03 三角形的角平分线
例题5：（2021·湖南·常德市第五中学九年级开学考试）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，CD，则BD的长是（ ）
A．2B．2C．3D．3
例题6：（2021·陕西灞桥·一模）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，BE是AC边的中线，CF是∠ACB的角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面说法正确的是（ ）
①△ABE的面积＝△BCE的面积；②∠FAG＝∠FCB；③AF＝AG；④BH＝CH．
A．①②③④B．①②③C．②④D．①③
考向04 三角形的内角和
例题7：（2021·福建·福州十八中九年级期中）如图，∆ODC是由∆OAB绕点O顺时针旋转30°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，则∠A的度数是（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
例题8：（2021·青海互助·九年级期中）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转80°，得到∆ADE，若点D在线段BC的延长线上，则的度数为（ ）
A．60°B．80°C．100°D．120°
考向05 三角形的外角
例题9：（2021·河南大学附属中学九年级期中）如图，在平行四边形ABCD中，E是边CD上一点，将∆ADE沿AE折叠至∆AD＇E处，与CE交于点F，若，，则的度数为（ ）
A．40°B．36°C．50°D．45°
例题10：如图，四边形内接于⊙O，点P为边AD上任意一点（点P不与点 A 、 重合）连接CP，若，则的度数可能为（ ）
A．30°B．54°C．50°D．65°
考向06 全等三角形的性质
例题11：（2021·广西大化·九年级期中）如图，已知，分别是正三角形的边和上的点，且，与交于，则的度数为（ ）
A．45°B．50°C．55°D．60°
例题12：（2021·黑龙江·哈尔滨市第六十九中学校九年级期中）如图△ABC≌△DEC，点A和点D是对应顶点，当B和点E是对应顶点，过点A作AF⊥CD，垂足为点F，若∠BCE＝65°，则∠CAF的度数为（ ）
A．30°B．25°C．35°D．65°
考向07 全等三角形的判定
例题13：（2021·山东·禹城市教育和体育局九年级期中）如图，在边长为6的正方形ABCD内作，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，将∆ADF绕点A顺时针旋转90°得到∆ABG．若，则BE的长为（ ）
A．2B．C．1D．
例题14：（2021·黑龙江·哈尔滨德强学校九年级期中）如图，在∆ABC中，，，将∆ABC绕点A顺时针方向旋转60°到∆AB＇C＇的位置，连接，则的度数为（ ）
A．15°B．20°C．30°D．45°
考向08 角平分线与线段垂直平分线
例题15：如图，正方形的边长为，点从点出发沿着线段向点运动(不与点，重合)，同时点从点出发沿着线段向点运动(不与点，重合)，点与点的运动速度相同．与相交于点，为中点、则有下列结论：
①是定值；
②平分；
③当运动到中点时，；
④当时，四边形的面积是
其中正确的是（ ）
A．①②④B．①②③
C．①③④D．②③④
例题16：（2021·广东·深圳市高级中学九年级期中）如图，在平行四边形 ABCD 中，BC＝2AB＝8，连接 BD，分别以点B，D为圆心，大于BD长为半径作弧，两弧交于点E和点F，作直线EF交AD于点I，交BC于点H，点H恰为BC的中点，连接AH，则AH的长为（ ）
A．B．6C．7D．4
微练习
一、单选题
1．（2021·浙江拱墅·九年级期中）如图，H是△ABC的重心，延长AH交BC于D，延长BH交AC于M，E是DC上一点，且DE∶EC＝5∶2，连结AE交BM于G，则BH∶HG∶GM等于（ ）
A．7∶5∶2B．13∶5∶2C．5∶3∶1D．26∶10∶3
2．（2021·云南鲁甸·九年级期中）已知三角形的两边长为2和5，第三边满足方程，则三角形的周长为（ ）
A．10B．11C．10或11D．以上都不对
3．（2021·吉林·长春市第五十二中学九年级期中）如图，在∆ABC中，．按以下步骤作图：分别以点和为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧相交于点和；作直线交于点，连结．若，则的长可能是（ ）
A．6cmB．7cmC．8cmD．9cm
4．（2021·江苏·宜兴市树人中学九年级期中）下列说法正确的是（ ）
A．三角形三条中线的交点是三角形重心B．等弦所对的圆周角相等
C．长度相等的两条弧是等弧D．三角形的外心到三边的距离相等
5．（2021·浙江·杭州市天杭实验学校九年级期中）如图，⊙O的两条弦AB、CD所在的直线交于点P，AC、BD交于点E，∠AED＝105°，∠P＝55°，则∠ACD等于（ ）
A．60°B．70°C．80°D．90°
6．（2021·辽宁旅顺口·九年级期中）如图，将绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△，连接，若，则的度数是（ ）．
A．10°B．20°C．30°D．40°
7．（2021·陕西师大附中九年级期中）如图所示，在∆ABC中，，，将∆ABC绕点C顺时针旋转得到，点恰好在AB上，交AC于F，在不添加其他线段的情况下，图中与∆AB＇F相似的三角形有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
8．（2021·重庆一中九年级期中）下列命题是真命题的是（ ）
A．三角形的外角大于它的任何一个内角B．边形的外角和为
C．矩形的对角线互相垂直且平分D．三角形的内心到三角形三个项点的距离相等
9．（2021·宁夏·银川市第十五中学九年级期中）如图，在平行四边形中，用直尺和圆规作的平分线交于点E；以点A为圆心，的长为半径画弧交于点F．若，则的长为（ ）
A．16B．15C．14D．13
10．（2021·黑龙江·大庆市第六十九中学九年级）如图，在等边△ABC中，AB＝6，点D，E分别在边BC，AC上，且BD＝CE，连接AD，BE交于点F，连接CF，则CF的最小值是（ ）
A．3B．2C．4D．3
11．（2021·陕西碑林·九年级期中）如图，平行四边形ABCD的周长为16，AC、BD相交于点O，OE⊥AC交AD于E，则△DCE的周长为（ ）
A．4B．6C．8D．10
12．（2021·湖北青山·九年级期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AD，∠BCD＝120°，E、F分别为BC、CD上一点，∠EAF＝30°，EF＝3，DF＝1．则BE的长为（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题
13．（2021·四川恩阳·九年级期中）点G为∆ABC的重心，如果，，，则∆ABC的面积为______．
14．（2021·上海交通大学附属第二中学九年级期中）如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称作为这个平面图形的一条优美线．已知ΔABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点D、E在边BC上，且 BD＝2，E为BC中点，过点D的优美线交过点E的优美线于F，那么线段AF的长等于_____．
15．（2021·湖北·黄石经济技术开发区教研室九年级期中）如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，OA16．（2021·湖南长沙·九年级期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，∠ABC的角平分线BE和∠BAC的外角平分线AD相交于点P，AP与BC的延长线交于点D．过点P作PF⊥AD交AC的延长线于点H，交BC的延长线于点F，连接AF并延长交DH于点G．下列结论中，正确的是______．（填序号）
①∠APB＝45°，②PF＝PA，③DG＝AP+GH，④BD＝AH+AB．
17．（2021·辽宁连山·九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点A、B在x轴上，顶点D在y轴上，点A的坐标为，点C的坐标为．一条直线经过点．且将平行四边形分割成面积相等的两部分，则此直线的表达式是____________．
18．（2021·江苏秦淮·九年级期中）百度百科这样定义凹四边形：把四边形的某边向两方延长，其他各边有不在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凹四边形．关于凹四边形ABCD（如图），以下结论：①∠BCD＝∠A+∠B+∠D；②若AB＝AD，BC＝CD，则AC⊥BD；③若∠BCD＝2∠A，则BC＝CD；④存在凹四边形ABCD，有AB＝CD，AD＝BC．其中所有正确结论的序号是 _____．
19．（2021·江苏·连云港市新海实验中学九年级期中）如图，在△ABC中，AC＝BC＝9，∠ACB＝90°，CD＝BC，过点C作CE⊥AD，垂足为点H，交DB的延长线于点E，BE＝，则BD的长为____________
20．（2021·福建·厦门双十中学九年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，将△ABC绕点B顺时针旋转得到△A′B C′，其中点A，C的对应点分别为点连接，直线交于点D，点E为AC的中点，连接DE．则DE的最小值为_________
三、解答题
21．如图，AD和BC相交于点E，AC∥BD，点F在CD上，AC＝4，BD＝6，，
（1）求EF的长；
（2）已知S△CBD＝25，求△CEF的面积．
22．（2021·黑龙江讷河·九年级期中）如图，在∆ABC中，∠B＝∠C，点D在BC边上，点E在AC边上，且∠ADE＝∠ AED，连接DE．
（1）若∠BAD＝50°，DA＝DB，求∠CDE的度数．
（2）猜想∠CDE与∠BAD的数量关系，并说明理由．
23．如图，已知点D，E分别是△ABC的边BA和BC延长线上的点，作∠DAC的平分线AF，若AF∥BC．
（1）求证：△ABC是等腰三角形
（2）作∠ACE的平分线交AF于点G，若，求∠AGC的度数．
24．（2021·云南·昆明市第三中学模拟预测）如图，已知AB＝CD，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F，BF＝DE，求证：AB∥CD．
25．（2021·吉林永吉·九年级期中）如图，在等边∆ABC中，点是边上一点，连接将绕点顺时针旋转后得到∆ACE，连接．
（1）∆CDE是 三角形；
（2）若，求∆ADE的周长；
（3）求证：．
26．（2021·北京市第十三中学分校九年级期中）如图，D是等边三角形ABC内一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，连接CD，BE．
（1）求证：△AEB ≌△ADC；
（2）连接DE，若∠ADC=105°，求∠BED的度数．
27．（2021·福建仙游·九年级期中）如图1，在等边∆ABC中，，点D，E分别在边上，，连接，点M，P，N分别为的中点．
（1）观察猜想：图1中，线段与的数量关系是 ， ；
（2）探究证明：把∆ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接，则上面题（1）中的两个结论是否依然成立，并说明理由；
（3）拓展延伸：把∆ADE绕点A在平面内自由旋转，若，请直接写出∆PMN周长的最大值．
28．（2021·四川·成都教育科学研究院附属学校九年级期中）如图1，△ABC中，AB＝AC，点D在BA的延长线上，点E在BC上，连接DE、DC，DE交AC于点G，且DE＝DC．
（1）请证明∠ACD＝∠BDE；
（2）若AB＝mAD，求的值（用含m的式子表示）
（3）如图2，将△ABC沿BC翻折，若点A的对应点A'恰好落在DE的延长线上，求的值．
29．（2021·河南郏县·九年级期中）（教材呈现）如图是某版九年级上册数学教材的部分内容．如图1，先把一张矩形纸片ABCD上下对折后展开，折痕为MN；如图2，再把点B叠在折痕线上，得到，过点B向右折纸片后展开，使D，Q，A三点仍保持在一条直线上，折痕为PQ．
（1）求证：．
（2）你认为和相似吗？如果相似，给出证明；如果不相似，请说明理由．
（问题解决）
（1）写出教材中的第一问的证明过程．
（2）小明同学对教材中的第二问进行作答，下面只给出了部分证明过程，请你结合小明的思路填空，将证明过程补充完整．判断：和∆BAE相似．证明：作的斜边AB上的中线QF，如图3所示，则．由题意得，．为______．______°，∵，______°，由翻折可知＝______°．∵，，∴．∴∠______．又∵，∴．
（结论应用）在图2的基础上，将纸片ABCD按图4所示翻折，点C恰好落在直线AB上，得到．若，则CG的长为______．