2022-2023学年江苏省常州市联盟学校高一下学期3月学情调研数学试题

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知向量，且，则x＝（ ）
A. 9B. 6
C. 5D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】由，利用公式求解.
【详解】解：因为向量，且，
所以，
解得x＝6.
故选：B
2. 的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由诱导公式和逆用正弦和角公式求出答案.
【详解】由诱导公式得到：，
故.
故选：A
3. 已知向量，在正方形网格中的位置如图所示，那么向量与的夹角为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据向量的减法法则画出，得到一个等腰直角三角形，求其结果即可.
【详解】如图，，，则，
设最小的小正方形网格长度为1，则，，
所以，
所以三角形是等腰直角三角形，，
向量与的夹角为的补角.
故选：D.
4. 密位制是度量角的一种方法，把一周角等分为6000份，每一份叫做1密位的角．在角的密位制中，单位可省去不写，采用四个数码表示角的大小，在百位数与十位数之间画一条短线，如7密位写成“0－07”，478密位写成“4－78”．如果一个半径为4的扇形，其圆心角用密位制表示为6－25，则该扇形的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意中给定义可知该扇形的圆心角为，结合扇形的面积公式计算即可.
【详解】依题意，该扇形的圆心角为，
故所求扇形的面积为．
故选：C.
5. 已知A（，0），B（0，2），O为坐标原点，点C在∠AOB内，，且∠AOC=，设（），则的值为（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由∠AOC=，从而设，则，利用向量相等的坐标表示可得．
【详解】根据已知条件得：.
设，则，
∵，∴，∴∴.
故选：D.
6. 在平面直角坐标系中，为第四象限角，角的终边与单位圆O交于点，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用三角函数定义和同角的基本关系及两角差的正弦公式即可求出答案.
【详解】因为为第四象限角，所以，
，
由，可得在第三象限，
所以，

故选：C.
7. 已知A是函数的最大值，若存在实数、使得对任意实数总有成立，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用诱导公式及辅助角公式将函数化简，即可求出函数的最小正周期与，则的最小值为，即可得解.
【详解】因为
，
所以，函数的最小正周期，
因为存在实数、使得对任意实数总有成立，
所以的最小值为，
故的最小值为．
故选：B．
8. 在中，内角所对的边分别为，且，则下列结论正确的是（ ）
A. ；B. 若a＝7，b＝8，则只有一解；
C. ，则a的最大值为1；D. ，则为直角三角形.
【答案】D
【解析】
【分析】由三角函数恒等变换化简题中式子得，求得，可判断A；由可判断B；由三角形两边之和大于第三边可判断C；由代入中得：，求得，进而可得，由勾股定理可判断D.
【详解】，
而,故A错误；
若a＝7，b＝8，，则，所以有两解，故B错误；
由三角形两边之和大于第三边，可知，故C错误；
由得将其代入中得：,
进而得,，,故,进而可得:
,所以满足,故为直角三角形,故D正确.
故选：D.
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 下列结论正确的是（ ）
A. 与的终边相同；
B. 若为钝角三角形，则；
C. 函数是偶函数；
D. 函数的图像关于直线对称.
【答案】AC
【解析】
【分析】根据终边相同的角的关系判断选项A；利用余弦定理判断钝角三角形识别选项B；根据诱导公式化简得到的结果判断选项C；把所给对称轴代入验证是否为对称轴判断选项D.
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，为钝角三角形，若为钝角，则，则，故B错误；
对于C，偶函数，故C正确；
对于D，当时，，，不关于直线对称，故D错误.
故选：AC.
10. 下列结论正确的是（ ）
A. 若角的终边上有一点，则；
B. ；
C. 若，则与的夹角θ的范围是；
D. 已知，则向量在方向上投影向量的长度为4.
【答案】BCD
【解析】
【分析】用三角函数的定义判断选项A；逆用两角和的正切公式判断选项B；用向量的数量积公式判断选项C；根据向量在方向上的投影公式判断选项D.
【详解】对于A，角的终边上有一点，则，当时，，故A错误；
对于B，由得，故B正确；
对于C，由得，则与的夹角θ的范围是，故C正确；
对于D，向量在方向上的投影向量的长度为，故D正确.
故选：BCD.
11. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，下列关系式恒成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】由得，结合正弦定理可判断A；由二倍角公式得计算可判断B；由余弦定理化角为边可判断C；由两角和的正切公式化简可判断D.
【详解】，则，结合正弦定理得，故A正确；
，故B正确；
，故C正确；
，故D错误.
故选：ABC.
12. 已知函数，说法正确的是（ ）
A. 在区间上单调递增；
B. 的对称轴是；
C. 若，则；
D. 方程在的解为，且.
【答案】AD
【解析】
【分析】先根据的取值范围去掉绝对值得出分段函数，的周期，
结合函数的图象逐一判断各选项.
【详解】当时，；
当时，.
函数的周期.
如下图，
对于A，在区间上单调递增，故A正确；
对于B， 不是的对称轴，故B错误；
对于C，令，；令，.
满足，，不满足，故C错误；
对于D，方程在的解为.
如下图，
关于直线对称，则；关于直线对称，则，所以，故D正确.
故选：AD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 写出一个同时满足下列三个性质的函数：___________.
①为偶函数； ②为奇函数； ③在上的最大值为2.
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】由为偶函数，可考虑余弦型函数，故可设，然后通过余弦函数的性质求得即可.
【详解】从三角函数入手，由于为偶函数，可考虑余弦型函数，故可设，
由为奇函数，且是向左平移个单位长度得到，所以是的对称中心，
则，即，不妨令，则，
由在上的最大值为2，可得，所以.
故答案为：（答案不唯一）.
14. 已知、是互相垂直的两个单位向量，若向量与向量的夹角是钝角，则实数t的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】利用向量与向量的夹角是钝角得到它们的数量积小于0，并且注意当向量的夹角为时数量积也小于0要排除．
【详解】解：向量与向量的夹角是钝角，，且
由，且，得
令，则，于是
故，，且，即实数t的取值范围是.
故答案为：.
15. 计算：______．
【答案】
【解析】
【分析】利用同角三角函数关系式、诱导公式、三角函数恒等式、二倍角公式直接求解．
【详解】
．
故答案为：.
16. 窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图2，正八边形ABCDEFGH中，若，则的值为________ ；若正八边形ABCDEFGH的边长为2，P是正八边形ABCDEFGH八条边上的动点，则的最小值为______.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立平面直角坐标系，由，列出方程组，求得，从而得到；设，则，由即可求得的最小值.
【详解】
，以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立平面直角坐标系，
正八边形内角和为，则，
所以，,
,
因为，则，
所以，解得，
所以；
设，则，
，则，
所以，当点在线段上时，取最小值.
故答案为：，.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知，且α是第________象限角．
从① 一，② 二，③ 三，④ 四，这四个选项中选择一个你认为恰当的选项填在上面的横线上，并根据你的选择，解答以下问题：
（1）求的值；
（2）化简求值：.
注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据，确定α是第二或第四象限角，故选②或④．根据二倍角公式及正、余弦齐次式的求值方法求解；
（2）利用诱导公式化简求值即可.
【小问1详解】
因为，所以α是第二或第四象限角，故选②或④.
选②或④，分别解答（1）（2）两个问题时，所得结果相同.
，
【小问2详解】
原式＝
.
18. 已知，
（1）若，求；
（2）若向量在向量上的投影向量为，求与的夹角θ；
（3）在（2）的条件下，若，求m的值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）若，则与的夹角为0或，然后根据数量积的定义求解即可；
（2）由题意可得，进而求得；
（3）由题意可得，结合数量积的运算可得关于的方程，求解即可.
【小问1详解】
∵，∴与的夹角为0或.
当与的夹角为0时，；
与的夹角为时，.
∴.
【小问2详解】
由题意知，，
∴，由于，∴.
【小问3详解】
∵，∴
∴即：
∴，∴.
19. （1）已知α，β均为锐角，，求α－β的值；
（2）已知函数，若，求．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）由已知条件求得，结合角的范围得出结果；
（2）利用三角恒等变换化简，由题意可求得，结合角的范围求得，然后由求得结果．
【详解】（1）因为α，β为锐角且，，
所以＝，＝，
所以，
由0＜α＜，0＜β＜，得＜α－β＜，
所以α＋β＝－．
（2）
，
∴．
20. 如图,已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，.
（1）求B；
（2）若AC边上中线，且，求的周长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据余弦定理及向量数量积的定义列出方程即可求解；
（2）由，在与中结合余弦定理求解即可.
【小问1详解】
∵，
由余弦定理可得，
∴，
∴，由，
∴.
【小问2详解】
如图，
由（1）得，，①
由余弦定理知，即，②
在中，由余弦定理得：，
在中，由余弦定理得：，
因为，所以③
由①②③，得，
所以，
所以的周长．
21. 已知梯形中，，，，E为的中点，连接AE.
（1）若，求证：B，F，D三点共线；
（2）求与所成角的余弦值；
（3）若P为以B为圆心、BA为半径的圆弧（包含A，C）上的任意一点，当点在圆弧（包含A，C）上运动时，求的最小值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由题意可得，，从而，即可证得结论；
（2）结合数量积的运算求得，，进而得，然后向量夹角公式求解即可；
（3）设，结合数量积的运算和三角变换求得，由三角函数的性质求得最小值.
【小问1详解】
如图1，∵
∴，∴B，F，D三点共线.
【小问2详解】
如图1，∵
∴
∵
∴
∴
.
【小问3详解】
如图2，∵，
∴
设，则，
∵，，
∴当，即时，取最小值.
22. 已知向量，．设函数，．
（1）求函数的解析式及其单调增区间；
（2）设，若方程在上有两个不同的解，求实数的取值范围，并求的值.
（3）若将的图像上的所有点向左平移个单位，再把所得图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图像．当（其中）时，记函数的最大值与最小值分别为与，设，求函数的解析式.
【答案】（1），
（2），
（3）
【解析】
【分析】（1）根据向量的数量积公式化简得出，再求其单调增区间即可；
（2）当时，方程有两个不同的解x1，x2.，结合函数图象得出实数的取值范围
（3）根据图象变化得出函数，在给定区间上求出函数的最大值与最小值，得到函数即可.
小问1详解】
由题意可知
，.
由，可得，
∴函数的单调增区间为；
【小问2详解】
∵，
∵，，得，，
∴在区间()上单调递增，
同理可求得在区间()上单调递减，
且的图象关于直线，对称，
方程即，
∴当时，方程有两个不同的解x1，x2.，
由单调性知，在区间上单调递增，在区间上单调递减，
且，，，
∴当时，方程有两个不同的解x1，x2.，
∴，实数的取值范围是.
又∵的图象关于直线对称，∴，即，
∴.
【小问3详解】
将的图像上的所有的点向左平移个单位，
可得函数，
再把所得图像上所有的点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），
得到函数，
∴，
∵∴
①若，，，
此时；
②若，，，
此时；
③若，，，
此时；
④若，，，
此时．
∴综上
【点睛】方法点睛：
直线与三角函数在给定区间的交点问题，先求出函数在该区间的单调性，得出函数的图象，数形结合讨论直线与的交点个数.根据具体的交点个数得出相应的参数范围.