2022-2023学年江苏省南京市中华中学高一下学期期中数学试题

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本卷考试时间：120分钟 总分：150分
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上）
1. 已知向量，，则（ ）
A. 5B. 14C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求向量的坐标，再利用数量积的坐标表示求出答案.
【详解】因为，，所以，
所以.
故选：B.
2. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用平方关系可求，结合二倍角公式可得答案.
【详解】因为，所以；
所以.
故选：D.
3. 为了测量垂直于地面的两座塔塔尖之间的距离，某数学建模活动小组构建了如图所示的几何模型.若米，，，，，则塔尖之间的距离为（ ）米.
A. 80B. 120C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求，利用余弦定理求得.
【详解】，
在三角形中，由余弦定理得：
米.
故选：D
4. 在中，，，则（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求出，根据可求答案.
【详解】因为在中，，所以为锐角，且，
所以；
因为，所以，
即，解得.
故选：A.
5. 在中，为线段上一点，且，若，则的最小值为（ ）
A. B. 16C. 48D. 60
【答案】C
【解析】
【分析】先由得出再得出,最后常值代换应用基本不等式可解.
【详解】,
,，又B，D，C三点共线，
,
,当且仅当即当时取最小值.
故选:C.
6. 已知，且，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】结合角的范围，利用同角三角函数基本关系及两角和差的正弦公式即可求解.
【详解】因为所以，
又，所以，
因为，所以，
因为，所以，
所以.
故选：A
7. 记内角 ，，的对边分别为，，.已知，，则周长的最大值为（ ）
A. B. C. 3D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式化简可得，求出角B，利用余弦定理结合基本不等式求出的最大值，即可求得答案.
【详解】由,可得,
即，即，
因为，故，
而，故，
故，即，
解得，当且仅当时取等号，
故周长的最大值为，
故选：C
8. 若,且,,则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求出的范围,再利用和差化积公式对等式两边分别化简,即可求得的正切值,从而求出.
【详解】,
,,
又时,是减函数,,.
由和差化积公式可得:
,
,,,,
,
,又,,
故选:C.
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分.在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上）
9. 在矩形中，，，，分别为，的中点，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】如图建系，应用坐标运算求向量加法及数量积分别判断各个选项即可.
【详解】如图建系，
，
,A选项错误;
,B选项正确;
,C选项错误;
,D选项正确.
故选：BD.
10. 下列代数式的值为1的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】利用倍角公式，辅助角公式和两角差的正切公式逐项求解可得答案.
【详解】对于A，，A正确；
对于B，，B不正确；
对于C，
，C不正确；
对于D，，D正确.
故选：AD.
11. 记的内角，，的对边分别为，，，则下列判断正确的是（ ）
A. 若，，，则是钝角三角形
B. 若，则是等腰三角形
C. 若，则为锐角三角形
D. 若，则为锐角三角形
【答案】AC
【解析】
【分析】利用余弦定理和三角形的性质逐项判断即可得出答案.
【详解】对于A，因为，，，所以为最大角，
，所以是钝角三角形，A正确；
对于B，因为，所以或，
即或，是等腰三角形或直角三角形，B不正确；
对于C，因为，所以均大于零，即为锐角三角形，C正确；
对于D，当时，满足，但是为钝角三角形，D不正确.
故选：AC.
12. 已知，则的值用可以表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】利用诱导公式、两角和公式以及二倍角公式，化简求解即可得到答案.
【详解】
，
又
，
故，得到
故选：AD
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分.请把答案填写在答题卡相应位置上）
13. 向量在向量方向上的投影向量______.
【答案】
【解析】
【分析】根据投影向量的知识求得正确答案.
【详解】向量在向量方向上的投影向量是.
故答案为：
14. 函数的最小值为______.
【答案】
【解析】
【分析】化简的解析式，根据二次函数的性质求得正确答案.
【详解】，
，根据二次函数的性质可知，
当时，取得最小值.
故答案为：
15. 非零向量满足：，,则与夹角的大小为_______
【答案】135°或者
【解析】
【分析】根据题意，设，，则，结合题意分析可得△OAB为等腰直角三角形，结合向量夹角的定义分析可得答案．
【详解】解：根据题意，设，，则，
若||＝||，，即||＝||，且⊥，
则△OAB为等腰直角三角形，
则与的夹角为180°﹣45°＝135°，
故答案为135°．
【点睛】本题考查向量数量积的计算，关键是掌握向量数量积的计算公式．
16. 如图，在中，，，过点向外作等腰直角三角形，且，则当______时，的长度取得最大值，最大值为______.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】利用余弦定理及诱导公式得到，结合，求出最大值及此时的值.
【详解】在中，由余弦定理得，
故，其中，，
因为，，所以，
故
，
因为，所以，
故当，即时，取得最大值，最大值为，
故的最大值为.
故答案为：，
四、解答题（本大题共6小题，共计70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 已知.
（1）求的值域；
（2）若，，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先根据两角和差正弦余弦公式化简解析式，再应用三角函数值域求解即得；
（2）先用已知角表示未知角，结合同角三角函数关系求函数值，再应用两角和差公式求解即可.
【小问1详解】
，
所以的值域为
小问2详解】
由（1）得，
因为，
所以，
所以.
所以
.
18. 已知，.
（1）求的值；
（2）若，，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据二倍角的余弦及正切公式化简求值即可；
（2）结合角的范围解一元二次方程得，然后根据两角和正切公式求出，然后根据角的范围确定角的大小.
【小问1详解】
因为，所以，
所以，所以
【小问2详解】
因为，所以或.
因为，所以，所以.
所以
因为，，所以，所以.
19. 在中，角的对边分别为.已知.
（1）求角的大小；
（2）若线段延长线上一点，且，求.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）由正弦定理边角关系及差角正弦公式可得，结合三角形内角性质即可求的大小；
（2）设，且，在、应用正弦定理列方程求，根据同角三角函数关系、诱导公式即可求的大小.
【小问1详解】
由正弦边角关系得：，
所以
则，即，
所以（舍）或，故 .
【小问2详解】
设，且，
在中，①，
在中，②，
所以，
，
所以.
20. 如图，在平面直角坐标系中，角和的终边与单位圆分别交于，两点.
（1）若，求的值；
（2）若，，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先表示出向量的坐标，利用和差角公式可求答案；
（2）根据求出，根据倍角公式可得答案.
【小问1详解】
因为，，
所以，
所以，
两式平方相加，得，
解得
【小问2详解】
因为，
所以.
因为，所以.
所以
.
21. “我将来要当一名麦田里的守望者，有那么一群孩子在一大块麦地里玩，几千万的小孩子，附近没有一个大人，我是说……除了我”《麦田里的守望者》中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田.假设霍尔顿在一块凸四边形的麦田里成为守望者，为了分割麦田，他将连结，经测量，，.霍尔顿发现无论多长，是定值.霍尔顿还发现麦田的生长与土地面积的平方和相关，记和的面积分别为和，为了更好地规划麦田，霍尔顿需要求出的最大值.请你帮助霍尔顿解决以下问题：
（1）求出的值；
（2）求的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）在两个三角形内分别利用余弦定理求出，化简整理可得答案；
（2）利用面积公式分别表示出，求和，利用换元法求解最值.
【小问1详解】
在中，，，根据余弦定理，
.
同理，在中，.
所以，
所以.
【小问2详解】
由（1）可知；
在中，
，
同理可得，在中，
.
令，则
，
所以当时，取得最大值，最大值为.
所以，当时，的最大值为.
22. 在直角中，，，为的中点，，分别为线段，上异于，的动点，且.
（1）当时，求的长度；
（2）若为的中点，设，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据正弦定理求出，再利用余弦定理可求；
（2）设，由正弦定理用表示出，把转化为，结合三角恒等变换的知识可求范围.
【小问1详解】
在直角中，，，为的中点，
所以，.
在中，，，，
根据正弦定理，得.
在中，，同理，由正弦定理可得.
在中，，，，
根据余弦定理，
得，
所以.
【小问2详解】
在中，，，，
根据正弦定理，得.
同理，在中，.
因为，
所以
， （用积化和差化简不扣分）
因为，所以，所以，
所以，所以，
所以，
所以的取值范围为.