2022-2023学年江苏省宿迁市第一中学高一下学期3月阶段模拟数学试题

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一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 已知平面向量，，且，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】∵向量，，
∴
∵
∴，即
∴
故选B
2. 已知锐角的终边上一点的坐标为，则＝（ ）
A. 40°B. 45°C. 50°D. 55°
【答案】C
【解析】
【分析】利用二倍角公式化简，即可得到，根据三角函数的定义及的范围判断即可；
【详解】解：因为锐角的终边上一点的坐标为，且，，从而有点的坐标为，所以．
故选：C．
3. 设，则的大小是（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】先利用同角三角函数的关系，求解，再由两角和的余弦公式得到，结合的范围即得解
【详解】由题意，故，且
由于，故
故选：C
4. 已知向量的夹角为60°，且，，则向量在方向上的投影向量的模等于（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】由已知及向量数量积的运算律可得，求出向量的模，再由向量在方向上的投影向量的模，即可得结果.
【详解】由题设，，而，
所以，可得或(舍)，
综上，向量在方向上的投影向量的模为.
故选：B
5. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用两角和差余弦公式和辅助角公式可求得，结合二倍角余弦公式可求得结果.
【详解】，，
.
故选：A.
6. 若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足3－－＝，则△ABM与△ABC的面积之比为（ ）
A. 1∶2B. 1∶3C. 1∶4D. 2∶5
【答案】B
【解析】
【分析】由平面向量的加法结合已知可得M为AD的三等分点，然后由等高的三角形面积之比等于底边之比可得.
【详解】如图，D为BC边的中点，
则
因为－－＝
所以，
所以
所以.
故选：B
7. 魏晋南北朝时期，我国数学家祖冲之利用割圆术，求出圆周率π约为，是当时世界上最精确的圆周率结果，直到近千年后这一记录才被打破．若已知π的近似值还可以表示成4sin52°，则的值为（ ）
A. B. C. 8D. ﹣8
【答案】B
【解析】
【分析】将π＝4sin52°代入中，结合三角恒等变换化简可得结果．
【详解】将π＝4sin52°代入中，
得.
故选：B
8. 如图，在，，点P在以B为圆心，1为半径的圆上，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】以点B为坐标原点，直线AB为x轴建立坐标系，借助向量数量积的坐标表示求解作答.
【详解】以点B为圆心，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，如图，
则，设，因此，，，
于是得，其中锐角由确定，
而，则当，即，时，取最小值-1，
所以的最大值为.
故选：B
二､多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.每小题给出的四个选项中，都有多个选项是正确的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，选错或不答的得0分.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
9. 已知O为坐标原点，点A(1，0)，P1(csα，sinα)，P2(csβ，-sinβ)，P3(cs（α + β）， sin（α + β）)，则（ ）
A. OP1 = OP2B. AP1= AP2C. P1P2 = AP3D. P2P3 = AP1
【答案】AC
【解析】
【分析】利用向量的坐标公式，结合同角三角函数的平方关系及三角恒等变换求各选项线段对应向量的模长，判断是否相等即可.
【详解】A：，，则，正确；
B：，，则，，所以、不一定相等，错误；
C：，，则，，所以，正确；
D：，，则，，所以、不一定相等，错误；
故选：AC
10. 下列各式中，值可取的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】BD
【解析】
【分析】利用余弦的二倍角公式化简可判断A；由两角和与差的正弦公式化简可判断BC；.
由正切的两角和的展开公式化简可判断D.
【详解】，故A错误；
，
由得
可得B正确；.
，故C错误；
，
故D正确.
故选：BD.
11. 给出下列命题，其中正确的选项有（ ）
A. 若非零向量满足，则与共线且同向
B. 若非零向量满足，则与的夹角为
C. 若单位向量的夹角为，则当取最小值时，
D. 在中，若，则为等腰三角形
【答案】AD
【解析】
【分析】选项A：把平方得到，然后根据，得出，从而得出；
选项B：根据得到以为三边的三角形为等边三角形，从而得到与的夹角为30°；
选项C：利用平方法得到，从而判断出时取最小值；
选项D：根据题意分析出都为单位向量，从而得到向量所在的直线为角的角平分线，再根据条件，即可判断为等腰三角形.
【详解】选项A：对非零向量，
，
若使成立，即使成立，
则，即，所以与共线且同向，选项A正确；
选项B：非零向量满足，则以为三边的三角形为等边三角形，故与的夹角为30°，选项B错误；
选项C：因为单位向量的夹角为60°，
所以
，所以时，取最小值，故选项C错误；
选项D：因为都为单位向量，所以向量所在的直线为角的角平分线，又因为，即，
所以，即为等腰三角形,所以选项D正确.
故选：AD
12. 已知函数，若且对任意都有，则（ ）
A.
B. 的图像向右平移个单位后，图像关于y轴对称
C. 在区间上单调递增
D. 在区间上的最小值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】由题可求，再结合三角函数的图象和性质即可判断.
【详解】由得，
∵对任意都有，
∴，解得，
∴，A正确；
∴的图像向右平移个单位后，得，图像关于y轴对称，故B正确；
∵，，则，函数不单调，故C错误；
当时，，，所以在区间上的最小值为，故D正确.
故选：ABD
三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.请把答案填写在答题卡相应位置上.
13. 已知，则__________.
【答案】##
【解析】
【分析】结合两角和与差的余弦公式，同角三角函数的基本关系式进行化简，进而即可求解.
【详解】因为①，
由因为②，
①②联立可得，，
则，
故答案为：.
14. 若，则________．
【答案】1
【解析】
【分析】根据三角诱导公式与二倍角公式结合弦切互化公式即可求解．
【详解】，
，所以．
故答案为：1
15. 在中，，点是边上的一点（包括端点），点是的中点，则的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】作出图形，利用解三角形的相关知识及数量积的定义来求平面向量数量积的取值范围.
【详解】依题意，过点作交的延长线于点，
因为，，所以，，，
所以，又因为点是的中点，所以是的中位线，
则，，所以，
因为点是边上的一点（包括端点），
过点作于，
则，
结合图形可知：当点在点位置时，最小，最小为0，
此时；
当点在点位置时，最大，最大值与相等，
此时；
综上，的取值范围是.
故答案为：.
16. 在中，已知是斜边上一动点，点满足，若，若点在边所在的直线上，则的值为__________；的最大值为__________.
【答案】 ①. 1 ②. ##
【解析】
【分析】根据共线定理推论即得；建立直角坐标系，写出直线BC的方程，根据方程设点P坐标，结合条件可得Q的轨迹方程，进而设出点Q坐标，根据已知表示出然后利用三角函数的性质即得.
【详解】因为，若点在边所在的直线上，
则；
以A坐标原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系，
则，，，得直线BC的方程为，
则可设，其中，
由，得点Q在以点P为圆心，2为半径的圆上，
可设，
由，，，
因为，
所以，
所以，即，
则（其中），
所以，
即，故的最大值为.
故答案为：；.
四､解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17. 求值：
（1）；
（2）.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）把分成然后利用两角和余弦展开式化简可得答案；
（2）切化弦，然后利用三角恒等变换化简可得答案.
【小问1详解】
；
【小问2详解】
原式
.
18. 已知单位向量，，的夹角为，向量，向量.
（1）若，求的值；
（2）若，求.
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】（1）由，所以存在唯一实数ｔ，使得，建立方程组可得答案；
（2）由已知求得，再由得，可解得，再利用向量的模的计算方法可求得答案.
【详解】（1）因为，所以存在唯一实数ｔ，使得，即，
所以，解得；
（2）由已知得，由得，即，解得，
所以，所以，所以．
【点睛】本题考查向量平行的条件和向量垂直的条件，以及向量的模的计算，属于中档题.
19. （1）在中，角所对的边分别为，若，，判断的形状；
（2）在中，，角的平分线，求的长.
【答案】（1）等边三角形；（2）
【解析】
【分析】（1）利用余弦定理可得，根据两角和的正切公式结合条件可得，进而即得 ；
（2）根据正弦定理结合条件可得，然后再利用正弦定理即得.
【详解】（1）在中，，
所以，
所以.
又因为为的内角，所以，
由，得
所以，
所以的是等边三角形；
（2）如图，在中，由正弦定理，得，
，
由题意知，
，
，
在中，由正弦定理，得，
.
20 已知函数．
（1）求函数的单调递减区间；
（2）若为锐角，，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用三角变换公式可得，利用整体法可求单调减区间.
（2）利用两角差的余弦可求的值.
【小问1详解】
，
令，则，
故函数的单调递减区间为.
【小问2详解】
由可得，
因为锐角，故，而，
故，所以，
而.
21. 在中，，，，点O为所在平面上一点，满足（且）．
（1）证明：；
（2）若点O为的重心，求m、n的值；
（3）若点O为的外心，求m、n的值．
【答案】（1）证明见解析；（2），；（2）．
【解析】
【分析】（1）根据条件,结合向量的加法运算,化简即可证明.
（2）根据重心的向量表示为,即可求得m、n的值.
（3）根据点O为的外心,求得,,,再根据已知分别求得,,结合平面向量基本定理即可求得m、n的值.
【详解】（1）
即
所以
则
所以；
（2）若点O为的重心
则
因为
所以
则
（3）由O是的外心
得,,,
所以,
即
解得．
【点睛】本题考查了平面向量加法和减法的运算,三角形重心和外心的向量表示,对向量线性运算的化简要熟练掌握,属于中档题.
22. 已知为斜三角形．
（1）证明：；
（2）若为锐角三角形，，求的最小值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用诱导公式结合两角和的正切公式可证得结论成立；
（2）推导出，利用（1）中结论结合基本不等式可求得的最小值.
【小问1详解】
证明：，所以．
因为，所以，所以．
由，可得．
【小问2详解】
解：因为，
所以，可得．
由（1）得
．
因为为锐角三角形，由可知，
设，则，
当且仅当时取等号，再由（1）可得，
此时，解得或时，
即当或时，等号成立，
故的最小值为.