2023-2024学年江苏省南京市鼓楼区七年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省南京市鼓楼区七年级（上）期末数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.−2的倒数是( )
A. −2B. −12C. 12D. 2
2.据南京智慧旅游大数据运行监测平台显示，今年元旦小长假全市景区景点、文博场馆、乡村旅游等监测点接待游客量达4861000人次.用科学记数法表示4861000是( )
A. 4861×103B. 48.61×105C. 4.861×106D. 0.4861×107
3.下列计算结果正确的是( )
A. 2xy−xy=1B. 3a+2b=5abC. 2a2+3a2=5a2D. 2x3+3x3=5x6
4.如图，AC⊥BC，CD⊥AB，垂足分别为C，D.下列说法正确的个数是( )
①点C到线段AB的距离为线段CD的长度；
②∠ACD+∠B=90°；
③∠A=∠BCD；
④将三角形ABC绕线段BC所在直线旋转一周得到的几何体是圆锥．
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
5.有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示.若|a|<|b|，则下列结论一定成立的是( )
A. a−b>0B. a+b>0C. ab>0D. ba<1
6.如图，∠AOB=∠COD=∠EOF=90°，则图中∠1，∠2，∠3三个角的数量关系为( )
A. ∠1+∠2+∠3=90°
B. ∠1+∠2−∠3=90°
C. 2∠1−∠2+∠3=90°
D. ∠1+2∠2−∠3=90°
二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。
7.写出一个负数，使这个数的绝对值小于4 ．
8.已知∠α=25°，则∠α的补角是______ 度．
9.若x=1是关于x的方程(m+2)x−5=0的解，则m的值是______．
10.如图，用剪刀沿直线将一片平整的圆形纸片剪掉一部分，发现剩下纸片的周长比原纸片的周长要小，能正确解释这一现象的基本事实是______．
11.一个正方体的表面展开图如图所示，将它折叠成正方体后“雪”字对面的字是______．
12.如图，将长方形纸片ABCD折叠，使点B落在点B′处，折痕为EF.G为CD上一点，连接FG，若∠GFC=18°，∠B′FC=3∠GFC，则∠EFB′= ______．
13.写出一个x的值，使2x−1大于−3x，则这个x的值可以是______．
14.如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，F为平面上一点，且OF⊥OE，若∠AOC=50°，则∠BOF= ______°.
15.计算2×(12+13+14+15)+4×(13+14+15)+(−6)×(14+15)的结果是______．
16.由图1、图2和图3中正方形个数的关系得到13+23=32.类似地，继续结合图形验证你的猜想，并应用其蕴含的规律可得13+23+33+⋯+1003= ______(结果保留幂的形式)．
三、解答题：本题共10小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
计算：
(1)−32×2+32÷9；
(2)(34+56−89)×36．
18.(本小题8分)
解方程：
(1)2(x−3)=5x；
(2)3x−12=1−5x−74．
19.(本小题5分)
(1)先化简，再求值：5x−8y−[2(x−y)−4]，其中x=5，y=2；
(2)已知x−2y=1，比较代数式5x−8y与2(x−y)−4的大小．
20.(本小题5分)
(1)计算：3333+3+3= ______；7777+7+7= ______．
(2)设aaa−是一个三位数，表示这个三位数每一数位上的数字都是a．
试说明：无论a取何值，aaa−a+a+a的值为定值．
21.(本小题6分)
刘阿姨到超市购买大米，第一次按原价购买了一些.几天后，遇上这种大米8折出售，她又买了一些.若大米的原价每千克7元，两次一共花费245元，购买了40kg大米.第一次购买了多少大米？
22.(本小题6分)
如图，网格纸中每个小正方形的边长为1，线段AB端点在小正方形的格点上．
(1)过点C画CD/​/AB，CE⊥AB，垂足为E；
(2)连接CA，则CE(3)除C点外，网格纸中有______个格点到线段AB所在直线的距离等于线段CE的长度．
23.(本小题6分)
如图，是由一个长方体和圆柱组合而成的几何体，长方体的宽与圆柱底面圆的直径相等，圆柱的高是长方体的高的2倍．
(1)画出该几何体的主视图和左视图；
(2)若长方体的长为10cm，宽为4cm，高为3cm，求该几何体的表面积和体积(π取3)．
24.(本小题8分)
已知∠AOB=120°，射线OC，OD在∠AOB内部，OC平分∠AOB，∠COD=40°．
(1)求∠BOD的大小；
(2)若射线OM平分∠AOC，射线ON平分∠BOD，直接写出∠MON的大小．
25.(本小题7分)
阅读材料，回答问题：
如图1，点A，B在数轴上对应的数分别为a，b.若点C在数轴上，且AC=BC，则点C表示的数为a+b2，理由如下：
设点C表示的数为x．
∵AC=x−a，BC=b−x，AC=BC．
∴x−a=b−x．
∴x=a+b2．
(1)如图2，点C，D在A，B两点之间，对应的数分别为x，y，且AC=CD=DB．
①若a=−1，b=5，则x= ______，y= ______．
②小明同学认为：x=2a+b3，y=a+2b3，你同意吗？若同意，请证明；若不同意，请说明理由．
(2)如图3，点E在A，B两点之间，对应的数为z，且AE：BE=m：n.则z= ______(用含a，b，m，n的代数式表示)．
26.(本小题9分)
如图，射线AB上有一点C，AC=12，一动点P从点C出发，以每秒m个单位的速度沿射线CB的方向运动，同时，射线CB开始绕点C按顺时针方向以每秒30°的速度旋转一周．
(1)当CB第一次转至与AC垂直时，PC= ______；(用含m的代数式表示)
(2)当A、P、C三点中有一个点是另外两个点构成的线段的中点时，求m的值；
(3)如图2，当射线CB绕点C旋转到CB⊥AC时，点P到达射线CB上的点D处.此时，射线DB开始绕点D按顺时针方向以每秒45°的速度一同旋转，旋转一周停止运动.再经过______秒，AC与DB所在直线垂直．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
根据倒数的定义：乘积是1的两个数互为倒数．
本题主要考查倒数的定义，解决本题的关键是熟记乘积是1的两个数互为倒数．
【解答】
解：因为−2×(−12)=1．
所以−2的倒数是−12，
故选：B．
2.【答案】C
【解析】解：4861000=4.861×106．
故选：C．
科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正整数，当原数绝对值小于1时，n是负整数；由此进行求解即可得到答案．
此题考查科学记数法—表示较大的数，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3.【答案】C
【解析】解：∵2xy−xy=xy，
∴选项A不符合题意；
∵3a和2b不是同类项不能合并，
∴选项B不符合题意；
∵2a2+3a2=5a2，
∴选项C符合题意；
∵2x3+3x3=5x3，
∴选项D不符合题意，
故选：C．
运用同类项的定义和合并同类项的方法进行求解、辨别．
此题考查了同类项的定义和合并同类项的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识．
4.【答案】C
【解析】解：①∵点到直线的距离就是这个点到这条直线的垂线段的长度，CD⊥AB，
∴点C到线段AB的距离为线段CD的长度，
故①说法正确；
②∵AC⊥BC，
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠CDB=90°，
∴∠BCD+∠B=90°，
∴∠ACD+∠BCD=90°，
故②说法正确；
③∵AC⊥BC，
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC=90°，
∴∠ACD+∠A=90°，
∴∠A=∠BCD，
故③说法正确；
④∵△ABC是由Rt△ACD和Rt△BCD组成，
∴将三角形ABC绕线段BC所在直线旋转一周得到的几何体是同一个底面的两个圆锥叠在一起的纺锤体，
故④的说法错误；
综上可知，说法正确的是①②③，共3个，
故选：C．
①根据点到直线的距离的定义，结合已知条件进行判断即可；
②③均根据已知条件，直角三角形的性质和余角的性质进行解答即可；
④根据已知条件，找出旋转后的几何体，进行判断即可．
本题主要考查了点、线、面、体，解题关键是熟练掌握点到直线的距离，余角的性质．
5.【答案】B
【解析】解：根据题意得：a<0∴a−b<0，a+b>0，ab<0或ab>0，ba<0或ba>0，
则一定成立的是a+b>0．
故选：B．
利用有理数的加减法，有理数的乘法，绝对值和数轴知识答题即可．
此题考查了有理数的乘法，加减法，数轴，以及绝对值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：∵∠COD=∠EOF=90°，
∴∠COE+∠3+∠BOD=∠3+∠BOD+∠2，
∴∠COE=∠2，
∵∠AOB=90°，
∴∠1+∠COE+∠3=90°，
∴∠1+∠2+∠3=90°．
故选：A．
由∠COE+∠3+∠BOD=∠3+∠BOD+∠2，得出∠COE=∠2，再由∠1+∠COE+∠3=90°，得出正确答案．
本题主要考查互余的概念，关键是掌握余角的性质．
7.【答案】−1(答案不唯一)
【解析】【分析】
此题主要考查了绝对值，掌握绝对值的性质是解题的关键．
首先根据一个负数的绝对值小于4，可得这个负数大于−4且小于0；然后根据绝对值的含义和求法，求出这个数是多少即可．
【解答】
解：满足题意的数是绝对值小于4的负数，故该数在−4和0之间，
故答案为：−1(答案不唯一，在−4和0之间即可)．
8.【答案】155
【解析】解：∵∠α=25°，
∴∠α的补角=180°−∠α=180°−25°=155°．
故答案为：155．
根据互为补角的两个角的和等于180°列式计算即可得解．
本题考查了余角和补角，主要利用了互为补角的两个角的和等于180°，需熟记．
9.【答案】3
【解析】解：∵x=1是关于x的方程(m+2)x−5=0的解，
∴m+2−5=0，
∴m=3．
故答案为：3．
把x=1代入方程，求出m的值即可．
本题考查一元一次方程的解，关键是掌握：一元一次方程的解的定义．
10.【答案】两点之间线段最短
【解析】解：用剪刀沿直线将一片平整的圆形纸片剪掉一部分，发现剩下纸片的周长比原纸片的周长要小，能正确解释这一现象的基本事实是：两点之间线段最短，
故答案为：两点之间线段最短．
利用线段的性质进行解答即可．
此题主要考查了线段的性质，关键是掌握两点之间线段最短．
11.【答案】年
【解析】解：将它折叠成正方体后“雪”字对面的字是“年”．
故答案为：年．
根据正方体的表面展开图找相对面的方法，“Z”字两端是对面，判断即可．
本题考查了正方体相对两个面上的文字，熟练掌握根据正方体的表面展开图找相对面的方法是解题的关键．
12.【答案】63°
【解析】解：∵∠GFC=18°，∠B′FC=3∠GFC，
∴∠B′FC=54°，
∴∠BFB′=180°−∠B′FC=126°，
由折叠的性质得：∠EFB′=∠EFB=12∠BFB′=63°．
故答案为：63°．
由∠B′FC=3∠GFC，求出∠B′FC=54°，由邻补角的性质得到∠BFB′=126°，由折叠的性质即可得到∠EFB′=∠EFB=12∠BFB′=63°．
本题考查折叠的性质，关键是由折叠的性质得到∠EFB′=∠EFB．
13.【答案】1(答案不唯一)
【解析】解：由题意可得，
2x−1>−3x，
解得x>15，
∴x可以是1，
故答案为：1(答案不唯一)．
根据题意可以得到不等式2x−1>−3x，然后求解，再写出一个符合题意的x的值即可．
本题考查解一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的不等式．
14.【答案】115或65
【解析】解：∵∠AOC=50°，
∴∠AOC=∠BOD=50°，
∵OE平分∠BOD，
∴∠BOE=12∠BOD=25°，
∵OF⊥OE，
∴∠FOE=90°，
分两种情况：
当射线OF在OE的上方时，如图：
∵∠EOF=90°，∠BOE=25°，
∴∠BOF=∠EOF+∠BOE=115°；
当射线OF在OE的下方时，如图：
∵∠EOF=90°，∠BOE=25°，
∴∠BOF=∠EOF−∠BOE=65°；
综上所述：∠BOF的度数为115°或65°，
故答案为：115或65
根据对顶角相等可得∠AOC=∠BOD=50°，从而利用角平分线的定义可得∠BOE=25°，再根据垂直定义可得∠FOE=90°，然后分两种情况：当射线OF在OE的上方时；当射线OF在OE的下方时；从而进行计算即可解答．
本题考查了垂线，角平分线的定义，对顶角、邻补角，分两种情况讨论是解题的关键．
15.【答案】3
【解析】解：设14+15=a，
则原式=2(12+13+a)+4(13+a)−6a
=1+23+2a+43+4a−6a
=3，
故答案为：3．
先设14+15=a，然后将题目中的式子变形，再计算即可．
本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
16.【答案】50502
【解析】解：有所给图形可知，
13+23=(1+2)2=32，
13+23+33=(1+2+3)2=62，
13+23+33+43=(1+2+3+4)2=102，
…，
所以13+23+33+…+n3=(1+2+3+…+n)2(n是正整数)，
当n=100时，
13+23+33+…+1003=(1+2+3+…+100)2=50502．
故答案为：50502．
结合图形，发现规律即可解决问题．
本题考查数字变化的规律，能根据所给图形发现13+23+33+…+n3=(1+2+3+…+n)2(n是正整数)是解题的关键．
17.【答案】解：(1)−32×2+32÷9
=−9×2+9÷9
=−18+1
=−17；
(2)(34+56−89)×36
=34×36+56×36−89×36
=27+30−32
=25．
【解析】(1)先算乘方，再算乘除法，最后算加法即可；
(2)根据乘法分配律计算即可．
本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键，注意乘法分配律的应用．
18.【答案】解：(1)去括号，得2x−6=5x，
移项，得2x−5x=6，
合并同类项，得−3x=6，
系数化为1，得x=−2；
(2)去分母，得2(3x−1)=4−(5x−7)，
去括号，得6x−2=4−5x+7，
移项，得6x+5x=4+2+7，
合并同类项，得11x=13，
系数化为1，得x=1311．
【解析】(1)通过去括号、移项、合并同类项和系数化为1等步骤进行求解；
(2)通过去分母、去括号、移项、合并同类项和系数化为1等步骤进行求解．
此题考查了一元一次方程的求解能力，关键是能准确确定计算方法和顺序，并进行正确地计算．
19.【答案】解：(1)原式=5x−8y−2(x−y)+4
=5x−8y−2x+2y+4
=3x−6y+4，
当x=5，y=2时，
原式=3×5−6×2+4=15−12+4=7；
(2)由(1)可得5x−8y−[2(x−y)−4]
=3x−6y+4
=3(x−2y)+4
=3+4
=7>0，
∴5x−8y>2(x−y)−4．
【解析】(1)原式去括号合并得到最简结果，把x和y的值代入计算即可求出值；
(2)由(1)可得5x−8y−[2(x−y)−4]=3(x−2y)+4=3+4=7>0，即可得出答案．
此题考查了对整式加减的综合运用能力，关键是能准确计算整式的加减，并代入求值．
20.【答案】37 37
【解析】解：(1)3333+3+3=3×1113×3=1113=37，
7777+7+7=7×1117×3=1113=37，
故答案为：37；
(2)证明：∵aaa−a+a+a=a×111a×3=1113=37，
∴无论a取何值，aaa−a+a+a的值为定值37．
(1)运用乘法的意义和约分知识进行求解；
(2)结合(1)题的求解方法进行计算、推理．
此题考查了有理数的运算、推理能力，关键是能准确理解并运用乘法的意义和约分知识进行求解、证明．
21.【答案】解：设第一次购买了x千克大米，则第二次购买了(40−x)千克大米，
根据题意得：7x+7×80%(40−x)=245，
解得：x=15．
答：第一次购买了15千克大米．
【解析】设第一次购买了x千克大米，则第二次购买了(40−x)千克大米，利用总价=单价×数量，结合两次一共花费245元，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
22.【答案】垂线段最短 4
【解析】解：(1)如图，直线CD，直线CE即为所求；
(2)连接CA，则CE故答案为：垂线段最短；
(3)除C点外，网格纸中有4个格点到线段AB所在直线的距离等于线段CE的长度(见图中黑点)．
故答案为：4．
(1)根据平行线，垂线的定义画出图形；
(2)根据垂线段最短解决问题；
(3)在图中画出满足条件的黑点，可得结论．
本题考查作图−应用与设计作图，垂线段最短，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，正确作出图形．
23.【答案】解：(1)如图所示：

(2)几何体的表面积为2×(10×4+4×3+10×3)+6×4×3=236(cm2)；
几何体的体积为10×4×3+2×3×6=156(cm3).
【解析】(1)从前面看几何体，上面、下面两部分都是长方形，且下方的长方形较长、上面长方形的宽等于下面长方形的宽；该结合体的左视图由两个相同的长方形组成，自己分析俯视图并画出三视图．
(2)根据几何体的表面积和体积公式计算即可．
本题考查的是作图−三视图，几何体的表面积，正确地找出图形是解题的关键．．
24.【答案】解：(1)∵∠AOB=120°，OC平分∠AOB，
∴∠AOC=∠BOC=12∠AOB=60°，
如图1①，当OD在∠AOC内部时，∠BOD=∠BOC+∠COD=60°+40°=100°，
如图1②，当OD在∠BOC内部时，∠BOD=∠BOC−∠COD=60°−40°=20°，

∴∠BOD的大小为20°或100°；
(2)如图2①，当OD在∠AOC内部时，∠BOD=100°，∠AOC=60°，
∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，
∴∠AOM=12∠AOC=30°，∠BON=12∠BOD=50°，
∴∠MON=∠AOB−∠AOM−∠BON=120°−30°−50°=40°；

如图2②，当OD在∠BOC内部时，∠BOD=20°，∠AOC=60°，
∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，
∴∠AOM=12∠AOC=30°，∠BON=12∠BOD=10°，
∴∠MON=∠AOB−∠AOM−∠BON=120°−30°−10°=80°；
综上所述，∠MON的大小为40°或80°．
【解析】(1)分两种情况：①OD在∠AOC内部；②OD在∠BOC内部．先根据OC平分∠AOB求出∠BOC的度数，然后用∠BOC的度数加上或者减去∠COD的度数即可求出∠BOD的大小；
(2)分别画出图形，
本题主要考查角的计算和角平分线定义，熟练掌握角的计算方法和角平分线的定义是解决问题的关键．
25.【答案】1 3 an+mbm+n
【解析】解；(1)①AB=5−(−1)=6，
∵AC=CD=DB，
∴x=−1+6÷3=1，y=5−6÷3=3；
故答案为：1，3；
②同意，证明如下；
∵AC=CD=DB
∴x=a+y2，y=x+b2
∴2y=x+b=a+y2+b，
化简可得y=a+2b3，
将y=a+2b3代入x=a+y2可得x=2a+b3；
(2)∵AB=b−a且AE=BE=m=n，
∴AE=m(b−a)m=n，
∴z=a+m(b−a)m+n=an+mbm+n，
故答案为：an+mbm+n．
(1)①先推AB等于6，根据线段相等可推每段距离为2，利用数轴上的数与两点之间距离即可推出x与y；
②利用题目所给的结论可推x=a+y2，y=x+b2，将x=a+y2，y=x+b2化简可得y=a+2b3，同理可推x=2a+b3；
(2)首先推出A与B之间的距离，其次根据线段的比例关系AE=m(b−a)m=n，最后利用a和AE的长度即可推出z．
本题主要考查了数轴的相关知识点，利用题目中所给的结论结合数轴相关知识是解题的关键．
26.【答案】3m 2.4或4.8或7.2
【解析】解：(1)当射线CB第一次转至与AC垂直时，所用时间为：90°÷30°=3(s)．
∵点P的速度是每秒m个单位，
∴PC=3m．
故答案为：3m．
(2)当A、P、C三点中有一个点是另外两个点构成的线段的中点时，点A、P、C在同一条直线．
①射线CB开始绕点C按顺时针方向旋转180°，所用时间为：180°÷30°=6(s)．
∵点P的速度是每秒m个单位，
∴PC=6m．
Ⅰ、点P为AC的中点．
∵AC=12
∴PC=12AC=6．
∴6m=6．
解得：m=1．
Ⅱ、点A为PC的中点．
∴PC=24．
∴6m=24．
解得：m=4．
②射线CB开始绕点C按顺时针方向旋转360°，所用时间为：360°÷30°=12(s)．
∵点P的速度是每秒m个单位，
∴PC=12m．
如图：
点C为AP的中点，
∴PC=12
∴12m=12．
解得：m=1．
综上：m=1或4．
(3)∵射线CB绕点C按顺时针方向以每秒30°的速度旋转，射线DB开始绕点D按顺时针方向以每秒45°的速度一同旋转，
∴射线DB的旋转速度为每秒75°．
∵AC与DB所在直线此时垂直，
∴①DB相对于AC与DB所在直线第一次垂直时的位置旋转180°，AC与DB所在直线会再次垂直．
∴所用时间为：180°÷75°=2.4(s)；
②DB相对于AC与DB所在直线第一次垂直时的位置旋转360°，AC与DB所在直线再次垂直．
∴所用时间为：360°÷75°=4.8(s)；
③射线DB还未绕点D旋转够一周，所以DB相对于AC与DB所在直线第一次垂直时的位置旋转540°，AC与DB所在直线再次垂直．
∴所用时间为：540°÷75°=7.2(s)；
故答案为：2.4或4.8或7.2．
(1)当射线CB第一次转至与AC垂直时，所用时间为：90°÷30°=3(s).那么PC长=速度×时间；
(2)有一个点是另外两个点构成的线段的中点时，点A、P、C在同一条直线上，那么射线CB开始绕点C按顺时针方向旋转180°或360°，分别求得射线CB旋转的时间，判断出哪个点是中点，点P运动的路程，求得相应的速度即可；
(3)射线CB的速度是每秒30°，射线DB开始绕点D按顺时针方向以每秒45°的速度一同旋转，那么射线DB的旋转速度为每秒75°.根据AC与DB所在直线此时垂直，射线DB绕点D旋转一周才停止，可得DB相对于AC与DB所在直线第一次垂直时的位置还需要旋转180°，360°，540°，AC与DB所在直线会再次垂直，所以除以速度即可得到相应时间．
本题考查了一元一次方程的应用．找到能解决问题的相等关系是解决本题的关键．