2022-2023学年湖北省黄冈市、黄石市、鄂州市三市联考高二（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2022-2023学年湖北省黄冈市、黄石市、鄂州市三市联考高二（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={0,2}，B={1,2,3}，C={ab|a∈A,b∈B}，则集合C中元素的个数为( )
A. 6B. 5C. 4D. 3
2.已知随机变量ξ∼N(2,σ2)，且P(0≤ξ≤2)+P(ξ>m)=0.5，则m=( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
3.已知函数f(x)=32f′(12)lnx+1x(f′(x)是f(x)的导函数)，则f′(12)=( )
A. 2B. −18C. −2D. −116
4.已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(x+2)=f(x)+1f(x)−1，f(−1)=2，则f(2023)=( )
A. 0B. 1C. 2D. 4
5.“绿水青山，就是金山银山”，黄冈别山革命老区生态环境越来越好，慕名来黄旅游的人越来越多.现有两位游客分别从“黄州遗爱湖公园、麻城龟峰山、浠水三角山、黄梅五祖东山问梅村、罗田天堂寨”这5个景点中随机选择1个景点游玩，记事件A为“两位游客中至少有一人选择黄州遗爱湖公园”，事件B为“两位游客选择的景点不同”，则P(B|A)=( )
A. 89B. 1011C. 49D. 45
6.函数y=(2x−2−x)csx在区间[−2,2]上的图象大致为( )
A. B.
C. D.
7.包含甲同学在内的5个学生去观看滑雪、马术、气排球3场比赛，每场比赛至少有1名学生且至多有2名学生前往观看，则甲同学不去观看气排球的方案种数有( )
A. 120B. 72C. 60D. 54
8.已知实数a>0，b>0，且满足(a−1)3+(b−1)3≥3(2−a−b)恒成立，则a2+b2的最小值为( )
A. 2B. 1C. 14D. 4
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下列说法正确的有( )
A. 若随机变量X∼N(μ,σ2)，则σ越大，该正态分布对应的正态密度曲线越矮胖
B. 如果散点图中所有散点都落在一条斜率为非零的直线上，那么决定系数R2一定为1
C. 若变量y和x之间的样本相关系数为r=−0.9882，则变量y和x之间的负线性相关性很强
D. 若样本数据x1，x2，…，xn的方差为2，则3x1+1，3x2+1，…，3xn+1的方差为6
10.定义在R上的偶函数f(x)满足f(x−1)图像关于坐标原点对称，且x∈[0,1]时，f(x)=−x2+1，则下列说法正确的有( )
A. f(−1)=0
B. f(x)的最小正周期为2
C. f(x)在(−4,−2)上单调递减
D. x∈[3,4]时，f(x)=−x2+8x−15
11.已知(x+15y)n的展开式中，所有项的系数和为1024，则下列说法正确的是( )
A. C19n=C19n+1
B. 奇数项的系数和为512
C. 展开式中有理项仅有两项
D. Cn1+2Cn2+3Cn3+⋅⋅⋅+nCnn=5120
12.已知随机变量X∼B(10,p)，随机变量Y∼B(10,1−p)，p∈(0,12],则下列说法正确的有( )
A. p=12时，P(X≤1)=5512
B. D(X)+D(Y)的最大值为5
C. p=12时，P(X=k)取最大值时k=5
D. [P(X=k−1)−P(Y=k−1)](k−6)≤0
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且f′(2)=t，Δx→0lim f(2+Δx)−f(2)Δx=3−t，则实数t的值为______.
14.若随机变量ξ服从两点分布，则2D(ξ)−1E(ξ)的最大值为______.
15.已知(x+m)x4=a0+a1(x−1)+a2(x−1)2+a3(x−1)3+a4(x−1)4+a5(x−1)5，若a1+a3=39，则实数m的值为______.
16.已知奇函数f(x)=eax−ex+2tx(t>0)，有三个零点，则t的取值范围为______.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知1是函数f(x)=ax3+bx+c(a,b,c∈R)的极值点，f(x)在x=0处的切线与直线y=13x垂直.
(1)求a，b的值；
(2)若函数f(x)在[−2,2]上有最大值2，在(−2,m)上有最小值也有最大值，求实数m的取值范围.
18.(本小题12分)
已知足球教练对球员的选拔使用是依据平常训练及参加比赛的大数据分析.为了考查球员甲对球队的贡献，作如下数据统计(假设球员甲参加过的比赛都决出了胜负).
(1)依据小概率值α=0.01的独立性检验能否认为球队胜负与球员甲参赛有关联？
(2)根据以往的数据统计，球员乙能够胜任边锋，中锋，后腰及中后卫四个位置，且出场概率分别为0.2，0.3，0.4，0.1，当球员乙出任边锋，中锋，后腰及中后卫时，球队赢球的概率依次为0.6，0.7，0.6，0.8，则当球员乙参加比赛时，球队某场比赛赢球的概率是多少？
参考数据及公式：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
临界值表：
19.(本小题12分)
现统计了近五年(2018年用x=1表示，2019年用x=2表示，其它年份依次类推)来黄冈东坡赤壁游玩的人次y(单位：万人次)相关数据如表所示：
(1)若y关于x具有较强的线性相关关系，求y关于x的经验回归方程y =b x+a ，并预测2023年来东坡赤壁游玩的人次.
(2)为了维持景区交通秩序，现从甲乙丙三人中选派若干志愿者去东坡赤壁景区协助执勤，已知甲，乙两人去执勤的概率均为34，丙去执勤的概率为14，且每位是否去相互不影响，用X表示3人中去执勤的人数，求X的分布列与数学期望.
参考公式：b =i=1n(xi−x−)(yi−y−)i=1n(xi−x−)2，a =y−−b x−，参考数据：y−=57.
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=lg2x2⋅lg4x264，记函数g(x)=f(2ax)(a>0).
(1)若g(x)<0成立的必要条件为1(2)若f(x1)=f(x2)，且x1>x2，求x12−3x22+64x12+x22的取值范围.
21.(本小题12分)
已知函数f(x)=14x2−(a+1)x+a2+34(a∈R)，g(x)=sin(πx−πa).
(1)若函数G(x)=ln(f(x)−74)的定义域为R，求实数a的取值范围；
(2)设a>0，记函数H(x)=g(x),x22.(本小题12分)
已知函数f(x)=alnx−x+1(a∈R).
(1)讨论f(x)的单调区间；
(2)若曲线f(x)在x=3处的切线方程为y=−13x+2ln3−1.
(ⅰ)求实数a的值；
(ⅱ)关于x的不等式f(x)≤k(x−1)对任意的x>0恒成立，求正实数k的值.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：因为A={0,2}，a∈A，b∈B，所以ab=0或ab=2或ab=4或ab=6，
故C={ab|a∈A,b∈B}={0,2,4,6}，即集合C中含有4个元素．
故选：C.
由列举法列出集合C的所有元素，即可得答案．
本题主要考查元素与集合的关系，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：∵ξ∼N(2,σ2)，∴P(0≤ξ≤2)+P(ξ<0)=0.5，∴P(ξ<0)=P(ξ>m)，
∴0+m2=2，解得：m=4.
故选：B.
根据正态分布曲线性质知P(ξ<0)=P(ξ>m)，由对称性可构造方程求得结果．
本题主要考查正态分布曲线，考查运算求解能力，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：f(x)=32f′(12)lnx+1x，有f′(x)=32xf′(12)−1x2，
则f′(12)=3f′(12)−4，解得f′(12)=2.
故选：A.
先求导函数f′(x)，代入法求f′(12)的值．
本题主要考查了导数的计算，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：∵f(x+2)=f(x)+1f(x)−1，∴f(x+4)=f(x+2)+1f(x+2)−1=f(x)+1f(x)−1+1f(x)+1f(x)−1−1=2f(x)f(x)−12f(x)−1=f(x)，
∴f(x)是以4为周期的周期函数，∴f(2023)=f(4×506−1)=f(−1)=2.
故选：C.
由已知关系式可推导得到f(x+4)=f(x)，从而利用周期性得到f(2023)=f(−1).
本题主要考查抽象函数及其应用，考查运算求解能力，属于中档题．
5.【答案】A
【解析】解：由题可得P(A)=5×5−4×45×5=925，P(AB)=2×45×5=825，
所以P(B|A)=P(AB)P(A)=825925=89.
故选：A.
根据古典概型的概率公式求出P(A)，P(AB)，然后利用条件概率公式即得．
本题考查条件概率相关知识，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：因为x∈[−2,2]，关于原点对称，
f(−x)=(2−x−2x)cs(−x)=−(2x−2−x)csx=−f(x)，
所以函数f(x)为奇函数，故D错误；
因为0<1<π2，所以cs1>0，所以f(1)=(2−2−1)cs1=32cs1>0，故A错误；
因为π2<2<π，所以cs2<0，所以f(2)=(4−2−2)cs2=154cs2<0，故B错误．
故选：C.
根据奇偶性排除D，再取特值x=1，x=2排除AB.
本题主要考查了函数图象的变换，考查了函数奇偶性的判断，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】解：甲同学去观看滑雪比赛时，共有C41C32A22+C42C22A22A22=30种；
甲同学去观看马术比赛时，也有30种；
则甲同学不去观看气排球的方案种数有30+30=60种．
故选：C.
分甲同学去去观看滑雪比赛和甲同学去观看马术比赛两种情况进行讨论，结合排列组合知识求解．
本题考查排列组合相关知识，属于基础题．
8.【答案】A
【解析】解：依题意(a−1)3+(b−1)3≥3(2−a−b)=3(1−a)+3(1−b)，
即(a−1)3+3(a−1)≥−[(b−1)3+3(b−1)]=(1−b)3+3(1−b)，
设f(x)=x3+3x，f(x)是奇函数且f(x)在R上递增，
所以f(a−1)≥f(1−b)，即a−1≥1−b，a+b≥2，
由基本不等式得a2+b2≥(a+b)22≥222=2，当且仅当a=b=1时等号成立，
所以a2+b2的最小值为2.
故选：A.
化简已知不等式，利用构造函数法，结合函数的单调性、奇偶性求得a+b的取值范围，利用基本不等式求得a2+b2的最小值．
本题主要考查了利用函数的单调性和奇偶性求解不等式恒成立问题，关键点是根据题目所给不等式进行化简，转化为“规范”的形式，如本题中(a−1)3+3(a−1)≥(1−b)3+3(1−b)，结构一致，从而可利用构造函数法来对问题进行求解．
9.【答案】ABC
【解析】解：对于A：随机变量X∼N(μ,σ2)，若σ越大，所以数据越分散，
则该正态分布对应的正态密度曲线越矮胖，故A正确；
对于B：如果散点图中所有散点都落在一条斜率为非零的直线上，
所以变量与预报变量是线性函数关系，那么决定系数R2=1，故B正确；
对于C：若变量y和x之间的样本相关系数为r=−0.9882，即|r|=0.9882非常接近1，
则变量y和x之间的负线性相关性很强，故C正确；
对于D：若样本数据x1，x2，…，xn的方差为2，则3x1+1，3x2+1，…，3xn+1的方差为32×2=18，故D错误．
故选：ABC.
根据正态分布的性质判断A；根据决定系数的定义判断B；根据相关系数的定义判断C；根据方差的性质判断D.
本题主要考查了正态分布曲线的对称性，考查了相关系数的性质，以及方差的计算，属于基础题．
10.【答案】ACD
【解析】解：对A，因为函数f(x)为R上的偶函数，
所以f(−1)=f(1)=−12+1=0，故A正确；
对B，由题意可得，f(x−1)=−f(−x−1)，
f(−x)=f(x)，所以f[(x−1)−1]=−f[−(x−1)−1]=−f(−x)=−f(x)，
即f(x−2)=−f(x)，所以f[(x−2)−2]=−f(x−2)=−[−f(x)]=f(x)，
所以f(x−4)=f(x)，即函数f(x)的最小正周期为4，故B错误；
对C，根据题意作出该函数的图像如下图所示，由图可知，
函数f(x)在(−4,−2)上单调递减，故C正确；
对D，因为函数f(x)为R上的偶函数，x∈[0,1]时，f(x)=−x2+1，
所以x∈[−1,0]时，f(x)=−x2+1，又因为函数f(x)的最小正周期为4，
设x∈[3,4]，则(x−4)∈[−1,0]，
所以f(x)=f(x−4)=−(x−4)2+1=−x2+8x−15，故D正确．
故选：ACD.
对A，利用偶函数的定义求解；对B，结合函数f(x)的对称性与奇偶性列式化简可得函数的最小正周期；对C，根据题意作出函数f(x)的图像即可判断；对D，先得x∈[−1,0]时的解析式，设x∈[3,4]，然后利用周期，f(x)=f(x−4)代入x∈[−1,0]时的解析式即可求解．
本题主要考查函数的性质，考查运算求解能力，属于中档题．
11.【答案】BD
【解析】解：在(x+15y)n中，令x=y=1，由题意可知：2n=1024⇒n=10，
因为C19n=C1910=C199≠C1911，故A不正确；
在(x+15y)n中，令x=1，y=−1，可得0=C100−C101+C102−C103+⋯+C1010，
而1024=C100+C101+C102+C103+⋯+C1010，所以C100+C102+⋯+C1010=512，故B正确；
二项式(x+15y)10的通项公式为Tr+1=C10r⋅x10−r⋅(15y)r=C10r⋅x10−r⋅y−15r，
当−15r=0,−1,−2时，才是有理项，故C不正确；
设S=C100+C101+2C102+3C103+⋅⋅⋅+10C1010−1(1)，
所以有S=10C1010+9C109+8C108+7C107+⋅⋅⋅+C100−1(2)，
(1)+(2)得：2S=10(C1010+C109+C108+C107+⋅⋅⋅+C100)⇒S=10×10242=5120，故D正确．
故选：BD.
利用赋值法，结合二项式的通项公式、组合数的性质逐一判断即可．
本题考查二项式定理相关知识，属于中档题．
12.【答案】BCD
【解析】解：A选项：当p=12时，P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1)=C100(1−p)10+C101p(1−p)9=111024，故A错误；
B选项：D(X)+D(Y)=20p(1−p)≤20×[p+(1−p)2]2=5，当且仅当p=12时，等号成立，故B正确；
C选项：p=12时，P(X=k)=C10k(12)k(12)10−k=C10k1024，由二项式系数的性质可知当k=5时，P(X=k)取得最大值；
D选项：P(X=k−1)−P(Y=k−1)=C10k−1pk−1(1−p)11−k−C10k−1(1−p)k−1p11−k，
当k<6时，P(X=k−1)−P(Y=k−1)=C10k−1pk−1(1−p)k−1[(1−p)12−k−p12−k]，因为p∈(0,12],所以(1−p)12−k−p12−k>0，则[P(X=k−1)−P(Y=k−1)](k−6)<0；
当k>6时，P(X=k−1)−P(Y=k−1)=C10k−1p11−k(1−p)11−k[p2k−12−(1−p)2k−12]，因为p∈(0,12],所以p2k−12−(1−p)2k−12<0，所以[P(X=k−1)−P(Y=k−1)](k−6)<0；
当k=6时，[P(X=k−1)−P(Y=k−1)](k−6)=0，综上所述，D正确．
故选：BCD.
A选项，利用二项分布的概率公式求概率即可判断；B选项，利用二项分布的方差公式计算，结合基本不等式可求出最值；C选项，求出x=k时的概率，结合二项式系数的性质可求出概率最大时k的值；D选项，计算P(X=k−1)−P(Y=k−1)，分别讨论k<6，k>6以及k=6时的正负，即可判断结果．
本题主要考查离散型随机变量期望的求解，考查转化能力，属于中档题．
13.【答案】32
【解析】解：依题意f′(2)=Δx→0lim f(2+Δx)−f(2)Δx，
即t=3−t，解得t=32.
故答案为：32.
根据导数的知识列方程，化简求得t的值．
本题主要考查导数的几何意义，属于基础题．
14.【答案】2−2 2
【解析】解：∵ξ服从两点分布，设成功的概率为p，
可得E(ξ)=p，D(ξ)=p(1−p)，其中0∴2D(ξ)−1E(ξ)=2p(1−p)−1p=2−(2p+1p)≤2−2 2p⋅1p=2−2 2(当且仅当2p=1p，即p= 22时取等号)，
∴2D(ξ)−1E(ξ)的最大值为2−2 2.
故答案为：2−2 2.
根据两点分布期望和方差公式可将所求式子化为2−(2p+1p)，利用基本不等式可求得结果．
本题考查两点分布期望和方差公式以及基本不等式相关知识，属于中档题．
15.【答案】3
【解析】解：令t=x−1，则x=t+1，
所以(t+m+1)(t+1)4=a0+a1t+a2t2+a3t3+a4t4+a5t5，
(t+1)4展开式的各项依次为t4,C41t3,C42t2,C43t,1，即t4，4t3，6t2，4t，1，
所以a1=1+(m+1)×4=4m+5，
a3=1×6+(m+1)×4=4m+10，
所以a1+a3=8m+15=39，
解得m=3.
故答案为：3.
先进行换元，然后根据二项式定理相关知识进行计算即可．
本题主要考查二项式定理，属于基础题．
16.【答案】(1,+∞)
【解析】解：若a=1，f(x)=2tx(t>0)，函数没有三个零点，所以a≠1，
f(x)为奇函数，则f(x)+f(−x)=0，即eax−ex+2tx+e−ax−e−x−2tx=0，
得eax+e−ax=ex+e−x，
设g(x)=ex+e−x，函数定义域为R，g(x)=g(−x)，g(x)为偶函数，
g′(x)=ex−e−x，g′(x)是R上的增函数，且g′(0)=0，
则g′(x)<0，解得x<0；g′(x)>0，解得x>0，
即g(x)在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增，
g(ax)=g(x)，由a≠1，则有a=−1，
所以f(x)=e−x−ex+2tx(t>0)，f′(x)=−e−x−ex+2t，
由e−x+ex≥2，当且仅当x=0时等号成立，则−e−x−ex≤−2，
若0若t>1，令ex=m，则方程−1m−m+2t=0，即m2−2tm+1=0，
判别式Δ=4t2−4>0，方程有两个不相等实数根，
设两根为m1，m2且m1则有m1+m2=2t>0，m1m2=1，所以0令ex1=m1，ex2=m2，由m1m2=1，则x1<0f′(x)>0，即−1m−m+2t>0，
即m2−2tm+1<0，解得m1f′(x)<0，即−1m−m+2t<0，
即m2−2tm+1>0，解得mm2，得xx2，
所以f(x)在(−∞,x1)和(x2,+∞)上单调递减，在(x1,x2)上单调递增，
由f(0)=0，则有f(x1)<0，f(x2)>0，
由函数y=ex的单调性和递增速度可知，x>0时，存在f(x)<0，f(x)的图像如图所示，
此时奇函数f(x)有三个零点．
综上可知，t的取值范围为(1,+∞).
故答案为：(1,+∞).
由f(x)为奇函数求出a的值，再利用导数研究函数和单调性和极值点，由f(x)有三个零点，求t的取值范围．
本题考查导数的综合应用，利用导数解决含参函数的单调性问题，恒成立问题，分类讨论和数形结合思想的应用，属难题．
17.【答案】解：(1)依题意，f(x)在x=0处的切线的斜率为−3，
f′(x)=3ax2+b，f′(1)=3a+b=0，f′(0)=b=−3，
所以a=1，b=−3；
(2)由(1)得f(x)=x3−3x+c，f′(x)=3x2−3=3(x+1)(x−1)，
x∈[−2,2]，f′(x)，f(x)的变化情况如下表所示
所以f(x)在(−2,−1)上单调递增，在(−1,1)上单调递减，(1,2)上单调递增，
所以f(x)max=max{f(−1),f(2)}=c+2=2，所以c=0，
所以f(1)=f(−2)=−2，又f(x)在(−2,m)上有最大值和最小值，
所以1【解析】(1)根据极值点和切线的斜率列方程即可求出a，b.
(2)利用导数求得f(x)的单调区间，根据f(x)的最大值求出c，根据f(x)在(−2,m)上有最小值也有最大值求出m的取值范围．
本题主要考查利用导数研究函数的极值与最值，利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查运算求解能力，属于中档题．
18.【答案】解：(1)H0：球队胜负与球员甲没有关联．
χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=50(29×7−3×11)240×10×32×18=72251152≈6.272<6.635，
根据小概率值α=0.01的独立性检验，没有充分依据推断H0不成立，
因此可以认为H0不成立，即认为球队胜负与球员甲参赛无关联．
(2)记A1，A2，A3，A4分别为事件“球员乙出任边锋、中锋、后腰、及中后卫”，B为事件“球队赢球”，
则P(A1)=0.2，P(A2)=0.3，P(A3)=0.4，P(A4)=0.1.
P(B|A1)=0.6，P(B|A2)=0.7，P(B|A3)=0.6，P(B|A4)=0.8，
所以P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)+P(A4)P(B|A4)=0.2×0.6+0.3×0.7+0.4×0.6+0.1×0.8=0.65.
【解析】(1)计算χ2，与临界值比较下结论；
(2)利用条件概率和全概率公式计算所求概率．
本题考查独立性检验相关知识，属于中档题．
19.【答案】解：(1)易知x−=1+2+3+4+55=3，y−=46+54+58+62+655=57，
所以i=15(xi−x−)(yi−y−)=(1−3)(46−57)+(2−3)(54−57)+(3−3)(58−57)+(4−3)(62−57)+(5−3)(65−57)=46，
i=15(xi−x−)2=(1−3)2+(2−3)2+(3−3)2+(4−3)2+(5−3)2=10，
所以b =i=15(xi−x−)(yi−y−)i=15(xi−x−)2=4610=4.6，
此时a =57−4.6×3=43.2，
则y =4.6x+43.2，
当x=6时，y =70.8，
故预测2023年来东坡赤壁游玩的人次为70.8万；
(2)易知X的所有取值为0，1，2，3，
因为甲，乙两人去执勤的概率均为34，丙去的概率为14，且每位是否去相互不影响，
所以P(X=0)=C20(1−34)2(1−14)=364，P(X=1)=C2134(1−34)(1−14)+C20(1−34)214=1964，
P(X=2)=C22(34)2(1−14)+C2134(1−34)14=3364，P(X=3)=C22(34)2×14=964，
则X的分布列为：
所以E(X)=0×364+1×1964+2×3364+3×964=74.
【解析】(1)由题意，根据平均数的计算公式求出x−=3，y−=57，再利用公式分别求得b ，a ，从而得到回归方程，将x=6代入回归方程中即可求解；
(2)得到X的所有取值，求出相对应的概率，列出分布列，代入期望公式中即可求解．
本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查了逻辑推理和运算能力．
20.【答案】解：(1)∵f(x)=lg2x2⋅lg4x264，∴x>0，
∴f(x)=(lg2x−1)(2lg4x−lg464)=(lg2x−1)(lg2x−3)，
∴g(x)=(lg22ax−1)(lg22ax−3)=(ax−1)(ax−3)，
又a>0，∴g(x)<0的解集为(1a,3a)，
∵g(x)<0成立的必要条件为1∴1≤1a4≥3aa>0，解得：34≤a≤1，即实数a的取值范围为[34,1].
(2)∵f(x)=(lg2x−1)(lg2x−3)=(lg2x)2−4lg2x+3，
设t=lg2x，则h(t)=t2−4t+3，
∵f(x1)=f(x2)，∴t1=lg2x1与t2=lg2x2关于t=2对称，
∴t1+t2=lg2x1+lg2x2=lg2(x1x2)=4，∴x1x2=16，
设m=x1x2，∵x1>x2>0，∴m>1，
∴x12−3x22+64x12+x22=x12−3x22+4x1x2x12+x22=(x1x2)2+4x1x2−3(x1x2)2+1=m2+4m−3m2+1=1+4(m−1)m2+1，
令n=m−1，则n>0，设H(n)=1+4n(n+1)2+1=1+4nn2+2n+2=1+4n+2n+2，
由对勾函数性质知：y=n+2n在(0, 2)上单调递减，在( 2,+∞)上单调递增，
∴n+2n≥2 2，∴0<1n+2n+2≤12 2+2= 2−12，∴1<1+4n+2n+2≤2 2−1，
即H(n)∈(1,2 2−1],
∴x12−3x22+64x12+x22的取值范围为(1,2 2−1].
【解析】(1)结合对数运算性质可求得g(x)<0的解集，由必要条件定义可得包含关系，进而构造不等式组求得结果；
(2)由二次函数的对称性可确定x1x2=16，将所求式子化为(x1x2)2+4x1x2−3(x1x2)2+1，令m=x1x2，n=m−1，通过分离常数的方式将所求取值范围转化为H(n)=1+4n+2n+2值域的求解问题，结合对勾函数性质可求得结果．
本题考查对数函数性质、二次函数对称性、函数的单调性、充分条件、必要条件等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
21.【答案】解：(1)由题意y=14x2−(a+1)x+a2−1>0恒成立
所以Δ=(a+1)2−(a2−1)<0，所以a<−1，即实数a的取值范围是(−∞,−1).
(2)当0所以x=a+k∈(0,a)，所以−a当0当1当2当x≥a时，f(x)图像的对称轴为x=2(a+1)>a，Δ=2a+14>0(a>0)，
则f(x)在[a,+∞)上有1个或2个零点，
若f(x)在[a,+∞)上有1个零点，则a>0f(a)<0，解得1若f(x)在[a,+∞)上有2个零点，则a>0f(a)≥0，解得0若H(x)在(0,+∞)内有2个零点，则{0解得0【解析】(1)由对数函数的性质可得y=14x2−(a+1)x+a2−1>0恒成立求得结果；
(2)先讨论当0a，Δ=2a+14>0(a>0)，
则f(x)在[a,+∞)上有1个或2个零点，从而可求实数a的取值范围．
本题主要考查不等式恒成立问题，函数定义域的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
22.【答案】解：(1)f(x)的定义域为(0,+∞)，
f′(x)=ax−1=a−xx=−(x−a)x，
当a≤0时，f′(x)<0，所以f(x)的单调递减区间为(0,+∞)，无单调递增区间；
当a>0时，x∈(0,a)，f′(x)>0，f(x)的单调递增区间为(0,a)，
x∈(a,+∞)，f′(x)<0，f(x)的单调递减区间为(a,+∞).
综上：当a≤0时，f(x)的单调递减区间为(0,+∞)，无单调递增区间；
当a>0时，f(x)的单调递增区间为(0,a)，f(x)的单调递减区间为(a,+∞).
(2)由题意f′(3)=a3−1=−13，所以a=2，
记F(x)=2lnx−x+1−k(x−1)(x>0)，且F(1)=0，
所以F′(x)=2x−(k+1)=−(k+1)(x−2k+1)x，
①k+1≤0，F′(x)>0，则x∈(1,+∞)，F(x)>F(1)=0，不合题意；
②k+1>0，令F′(x)=0，则x=2k+1，
当x∈(0,2k+1)，F′(x)>0，x∈(2k+1,+∞)，F′(x)<0，
所以F(x)max=F(2k+1)=2ln2k+1−(k+1)−k+1k+1≤0，
所以2ln2k+1+k−1≤0，令t=2k+1，t>0，则lnt+1t−1≤0，
记φ(t)=lnt+1t−1，则φ(t)≤0，
又φ′(t)=t−1t2，所以当01时，φ′(t)>0，所以φ(t)≥φ(1)=0，
所以φ(t)=0，所以t=1，所以k=1.
【解析】(1)求出f′(x)，分a≤0、a>0讨论可得答案；
(2)由题意f′(3)=−13求出a，记F(x)=2lnx−x+1−k(x−1)(x>0)，求出 F′(x)=−(k+1)(x−2k+1)x，可得k+1≤0不合题意；k+1>0时利用导数可得F(x)max=2ln2k+1−(k+1)−k+1k+1≤0，令t=2k+1构造函数φ(t)=lnt+1t−1，由φ(t)≤0可得答案．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查运算求解能力，属于中档题．甲参加
甲未参加
总计
球队胜
29
11
40
球队负
3
7
10
总计
32
18
50
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
χa
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
x
1
2
3
4
5
y
46
54
58
62
65
x
−2
(−2,−1)
−1
(−1,1)
1
(1,2)
2
f′(x)
+
0
-
0
+
f(x)
c−2
递增
c+2
递减
c−2
递增
c+2
X
0
1
2
3
P
364
1964
3364
964