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2020高考数学分类题库
展开选择题
1.(2020·全国卷Ⅲ理科·T6)已知向量a,b满足a=5,b=6,a·b=-6,则cs=( )
A.-1335B.-1935C.1735D.1935
【命题意图】本题考查平面向量夹角余弦值的计算,同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计算,考查计算能力,属于中等题.
【解析】选D.由a·(a+b)=a2+a·b=25-6=19,
又a+b=a2+2a·b+b2=7,
所以cs=a·(a+b)aa+b=195×7=1935.
2.(2020·全国卷Ⅲ文科·T6)在平面内,A,B是两个定点,C是动点.若·=1,则点C的轨迹为( )
A.圆B.椭圆C.抛物线D.直线
【命题意图】本题主要考查平面向量及其数量积的坐标运算,轨迹方程的求解等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
【解析】选A.设AB=2aa>0,以AB中点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系,
则:A-a,0,Ba,0,设Cx,y,
可得:=x+a,y,=x-a,y,
从而:·=x+ax-a+y2,
结合题意可得:x+ax-a+y2=1,
整理可得:x2+y2=a2+1,即点C的轨迹是以AB中点为圆心,a2+1为半径的圆.
3.(2020·新高考全国Ⅰ卷)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点,则·的取值范围是( )
A.(-2,6)B.(-6,2)C.(-2,4)D.(-4,6)
【命题意图】本题考查向量的坐标运算,考查数形结合思想和运算能力,体现了直观想象和逻辑推理等核心素养.
【解析】选A.设P(x,y),建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0),B(2,0),=(x,y),=(2,0),所以·=2x,由题意可得点C的横坐标为3,点F的横坐标为-1,所以-1
二、填空题
4.(2020·全国卷Ⅰ高考文科·T14)设向量a=(1,-1),b=(m+1,2m-4),若a⊥b,则m= .
【命题意图】该题考查的是有关向量的问题,涉及的知识点有向量垂直的坐标表示,属于基础题目.
【解题指南】根据向量垂直,结合题中所给的向量的坐标,利用向量垂直的坐标表示,求得结果.
【解析】由a⊥b可得a·b=0,
又因为a=(1,-1),b=(m+1,2m-4),
所以a·b=1·(m+1)+(-1)·(2m-4)=0,即m=5.
答案:5
5.(2020·全国卷Ⅱ文科·T5)已知单位向量a,b的夹角为60°,则在下列向量中,与b垂直的是( )
A.a+2bB.2a+bC.a-2bD.2a-b
【命题意图】本题考查平面向量数量积的定义及运算性质、两个平面向量互相垂直的条件,意在考查学生的运算求解能力.
【解析】选D.由已知可得:a·b=a·b·cs60°=1×1×12=12.
A:因为(a+2b)·b=a·b+2b2=12+2×1=52≠0,
所以本选项不符合题意;
B:因为(2a+b)·b=2a·b+b2=2×12+1=2≠0,
所以本选项不符合题意;
C:因为(a-2b)·b=a·b-2b2=12-2×1=-32≠0,
所以本选项不符合题意;
D:因为(2a-b)·b=2a·b-b2=2×12-1=0,
所以本选项符合题意
6.(2020·全国卷Ⅱ理科·T13) 已知单位向量a,b的夹角为45°,ka-b与a垂直,则k=
【命题意图】本题考查平面向量的数量积定义与运算法则,向量垂直的充要条件等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
【解析】由题意可得:a·b=1×1×cs 45°=22,由向量垂直的充要条件可得(ka-b)·a=0,
即:ka2-a·b=k-22=0,解得k=22.
答案:22
7.(2020·北京高考·T13)已知正方形ABCD的边长为2,点P满足=12(+),则||= ;·= .
【命题意图】考查平面向量的加法、模、数量积等.
【解析】如图建系,则A(0,0),B(2,0),C(2,2),D(0,2),所以=(2,0),=(2,2),=(2,1),P(2,1),=(-2,1),||=5,又=(0,-1),所以·=-1.
答案:5 -1
检索号14,16
8.(2020·北京高考·T14)若函数f(x)=sin(x+φ)+cs x的最大值为2,则常数φ的一个取值为 .
【命题意图】考查三角函数的图象与性质,三角恒等变换.
【解析】因为f(x)的最大值为2,说明sin(x+φ)和cs x可同时取得最大值1,可知sin(x+φ)=cs x,所以φ可以为π2+2kπ,k∈Z.
答案:π2(答案不唯一)
9.(2020·天津高考·T15)如图,在四边形ABCD中,∠B=60°,AB=3,BC=6,且=λ,·=-32,则实数λ的值为 ,若M,N是线段BC上的动点,且||=1,则·的最小值为 .
【命题意图】本题考查平面向量数量积的计算,考查平面向量数量积的定义与坐标运算,考查计算能力,属于中等题.
【解题指南】由题可得∠BAD=120°,利用平面向量数量积的定义求得λ的值,然后以点B为坐标原点,BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系,设点M(x,0),则点N(x+1,0)(其中0≤x≤5),得出·关于x的函数表达式,利用二次函数的性质求得·的最小值.
【解析】因为=λ,所以AD∥BC,所以∠BAD=180°-∠ABC=120°,
·=λ·=λ·cs 120°=λ×6×3×-12=-9λ=-32,解得λ=16.
以点B为坐标原点,BC所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系,
因为BC=6,所以C(6,0),因为AB=3,∠ABC=60°,
所以A的坐标为32,332,
又因为=16,则D52,332,
设Mx,0,则Nx+1,0(其中0≤x≤5),
=x-52,-332,=x-32,-332,
·=x-52x-32+-3322=x2-4x+212=x-22+132,
所以当x=2时,·取得最小值132.
答案:16 132
10.(2020·浙江高考·T17)设e1,e2为单位向量,满足|2e1-e2|≤2,a=e1+e2,b=3e1+e2,设a,b的夹角为θ,则cs2θ的最小值为 .
【命题意图】本题主要考查平面向量的数量积及其运算律,考查化归与转化的能力,体现了逻辑推理与数学运算等核心素养.
【解析】(a·b)2=|a|2·|b|2·cs2θ=(e1+e2)2(3e1+e2)2cs2θ
=(2+2e1·e2)(10+6e1·e2)cs2θ=[(e1+e2)·(3e1+e2)]2=(3e21+e22+4e1·e2)2=(4+4e1·e2)2,
所以cs2θ=(4+4e1·e2)2(2+2e1·e2)(10+6e1·e2)
=16(1+e1·e2)22(1+e1·e2)(10+6e1·e2)=8(1+e1·e2)10+6e1·e2
(10+6e1·e2)cs2θ=8(1+e1·e2),(6cs2θ-8)e1·e2=8-10cs2θ,
又因为4e12+e22-4e1·e2≤2,5-4e1·e2≤2,所以e1·e2≥34,
所以e1·e2=8-10cs2θ6cs2θ-8≥34,8-10cs2θ6cs2θ-8-34≥0,29cs2θ-284(3cs2θ-4)≤0,
2829≤cs2θ<43,所以cs2θ的最小值为2829.
答案:2829
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