专题03 三角恒等变换与解三角形-2024届高考数学二轮专题复习考点分层与专项检测（新高考专用）

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一、注意基础知识的整合、巩固。二轮复习要注意回归课本，课本是考试内容的载体，是高考命题的依据。浓缩课本知识，进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度
二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，对自己的薄弱环节要加强学习，平衡发展，加强各章节知识之间的横向联系，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。在高考中运算占很大比例，一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度，同时，要规范解答过程及书写。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
专题03 三角恒等变换与解三角形（新高考）
目录
【备考指南】2
【真题在线】3
【基础考点】5
【基础考点一】三角函数同角关系5
【基础考点二】三角函数和差角公式6
【基础考点三】三角函数倍角公式7
【基础考点四】三角函数辅助角公式7
【基础考点五】正弦定理、余弦定理8
【综合考点】9
【综合考点一】三角恒等变换应用（给角求值、给值求值、给值求角）9
【综合考点二】三角形中线模型10
【综合考点三】三角形角平分线模型11
【综合考点四】三角形中的范围、最值模型（对边对角）12
【培优考点】13
【培优考点一】三角形中的范围、最值模型（异边异角）13
【培优考点二】三角形中的结构不良型14
【总结提升】15
【专项检测】15
备考指南
预测： 三角函数的化简与求值是高考的命题热点，其中同角三角函数的基本关系、诱导公式是解决计算问题的工具；三角恒等变换是利用三角恒等式(两角和与差、二倍角的正弦、余弦、正切公式)进行变换，“角”的变换是三角恒等变换的核心.正弦定理与余弦定理以及解三角形是高考的必考内容，主要考查边、角、面积、周长等的计算. 以三角函数、三角形为背景的最值及范围问题是高考的热点，常用的方法主要有：函数的性质(如有界性、单调性)、基本不等式、数形结合等.全国卷近三年三角恒等变换与解三角形的考察注意以基础性题型为主.建议在二轮复习时抓好查缺补漏，巩固好基础知识，掌握好基本方法，同时要加强锻炼学生的逻辑思维能力.要关注如2022年新高考Ⅱ卷T18结构不良型试题.
真题在线
一、单选题
1．（2023·全国·统考高考真题）在中，内角的对边分别是，若，且，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全国·统考高考真题）已知，则（ ）．
A．B．C．D．
3．（2023·全国·统考高考真题）已知为锐角，，则（ ）．
A．B．C．D．
4．（2023·全国·统考高考真题）已知四棱锥的底面是边长为4的正方形，，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·全国·统考高考真题）若，则（ ）
A．B．
C．D．
6．（2021·全国·统考高考真题）若，则（ ）
A．B．C．D．
7．（2021·全国·统考高考真题）（ ）
A．B．C．D．
8．（2021·全国·统考高考真题）函数的最小正周期和最大值分别是（ ）
A．和B．和2C．和D．和2
9．（2016下·上海金山·高三华东师范大学第三附属中学校考期中）若，则（ ）
A．B．C．D．
10．（2021·全国·统考高考真题）魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点，，在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，称为“表距”，和都称为“表目距”，与的差称为“表目距的差”则海岛的高（ ）
A．表高B．表高
C．表距D．表距
二、填空题
11．（2023·全国·统考高考真题）在中，，的角平分线交BC于D，则 ．
三、解答题
12．（2023·全国·统考高考真题）记的内角的对边分别为，已知．
(1)求；
(2)若，求面积．
13．（2023·全国·统考高考真题）已知在中，．
(1)求；
(2)设，求边上的高．
14．（2023·全国·统考高考真题）在中，已知，，.
(1)求；
(2)若D为BC上一点，且，求的面积.
15．（2022·全国·统考高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知．
(1)求的面积；
(2)若，求b．
16．（2022·全国·统考高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知．
(1)若，求C；
(2)证明：
17．（2022·全国·统考高考真题）记的内角的对边分别为，已知．
(1)证明：；
(2)若，求的周长．
18．（2022·全国·统考高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)若，求B；
(2)求的最小值．
基础考点
【考点一】三角函数同角关系
【典例精讲】（多选）（2023·广东佛山·华南师大附中南海实验高中校考模拟预测）下列化简正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练】
一、单选题
1．（2023·全国·模拟预测）若，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·上海金山·统考一模）已知角的终边不在坐标轴上，则下列一定成等比数列的是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
（2022上·江西吉安·高二江西省吉水县第二中学校考开学考试）已知 ，，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
4．（2023·广东汕头·校考一模）已知，则 .
【考点二】三角函数和差角公式
【典例精讲】（多选）（2023·河南信阳·信阳高中校考模拟预测）已知，为坐标原点，终边上有一点.则（ ）
A．B．
C．D．
【变式训练】
一、单选题
1．（2023·全国·模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全国·模拟预测）若，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
3．（2023·全国·镇海中学校联考模拟预测）已知为坐标原点，点，，，则下列说法中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
4．（2023·安徽·池州市第一中学校联考模拟预测）已知锐角满足，则 .
【考点三】三角函数倍角公式
【典例精讲】（多选）（2023·浙江·模拟预测）下列化简正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练】
一、单选题
1．（2023·湖南·湖南师大附中校联考一模）已知，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全国·模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
3．（2023·重庆·统考三模）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的最小正周期是 B．，使
C．在 内有4个零点D．函数的图像是中心对称图形
三、填空题
4．（2023·全国·模拟预测）已知角满足，则 ．
【考点四】三角函数辅助角公式
【典例精讲】（多选）（2023·辽宁鞍山·鞍山一中校考二模）关于函数，下列说法正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数的最大值为2
C．直线是的图像的一条对称轴
D．点是的图像的一个对称中心
【变式训练】
一、单选题
1．（2023·四川泸州·四川省叙永第一中学校校考一模）在锐角中，若，且，则能取到的值有（ ）
A．2B．C．D．4
2．（2022上·山东淄博·高三统考期末）（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
3．（2017·安徽蚌埠·高二蚌埠二中阶段练习）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则sinA+sinC的最大值是 ．
三、解答题
4．（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）已知向量，，．函数．
(1)求函数的单调增区间；
(2)设，，求的零点组成的集合A．
【考点五】正弦定理、余弦定理
【典例精讲】（多选）（2023下·安徽合肥·高一统考期中）的内角的对边分别为，若，则（ ）
A．B．
C．角A的最大值为D．面积的最小值为
【变式训练】
一、单选题
1．（2023·湖南·校联考模拟预测）在中，，，且的面积为，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·山东·统考一模）已知的内角的对边分别是，面积为S，且，则角的值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
3．（2023·贵州·校联考模拟预测）在中，内角，，所对的边分别为，，，其中，且，若边上的中点为，则（ ）
A．B．的最大值为
C．的最小值为D．的最小值为
三、填空题
4．（2023·四川宜宾·统考一模）已知的三个内角A、B、C所对应的边分别是a、b、c，其中A、C、B成等差数列，，，则的面积为 ．
综合考点
【考点一】三角恒等变换应用（给角求值、给值求值、给值求角）
【典例精讲】（多选）（2023·海南·校联考模拟预测）已知函数，则（ ）
A．的最小正周期为
B．的图象关于直线对称
C．的零点是
D．的单调递增区间为
【变式训练】
一、单选题
1．（2023·重庆·统考模拟预测）式子化简的结果为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全国·校联考模拟预测）若，且满足，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
3．（2023·云南曲靖·校考三模）已知函数，以下说法中，正确的是（ ）
A．函数关于点对称
B．函数在上单调递增
C．当时，的取值范围为
D．将函数的图像向左平移个单位长度，所得图像的解析式为
三、填空题
4．（2023·全国·模拟预测）若，则 ．
【考点二】三角形中线模型
【典例精讲】（多选）（2021下·江苏苏州·高一统考期中）《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边a，b，c求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即.现有满足，且的面积，请运用上述公式判断下列命题正确的是（ ）
A．周长为
B．三个内角A，C，B满足关系
C．外接圆半径为
D．中线CD的长为
【变式训练】
一、单选题
1．（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）在锐角中，，，则中线的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·山西吕梁·统考二模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，为边上的中线，，且，则的面积为( )
A．2B．C．D．
二、多选题
3．（2022·湖北·荆门市龙泉中学校联考一模）中，，BC边上的中线，则下列说法正确的有（ ）
A．为定值B．
C．D．的最大值为30°
三、填空题
4．（2023·新疆阿勒泰·统考三模）在中，，为边上的中线且，则的取值范围是 ．
【考点三】三角形角平分线模型
【典例精讲】（2023·河南郑州·统考二模）在△ABC中，角所对的边分别是，其中，，.若B的角平分线BD交AC于点D，则 .
【变式训练】
一、单选题
1．（2023·江西上饶·统考二模）在中，的角平分线交于点，，，，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·青海玉树·统考模拟预测）在中，角、、所对的边分别为、、，若，为的角平分线，且，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
3．（2021下·江苏南京·高一金陵中学校考期末）在中，角所对的边分别为，角的角平分线交于点，若，且，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
4．（2023·安徽·池州市第一中学校联考模拟预测）已知中，，的角平分线交于点，且，则的面积为 .
【考点四】三角形中的范围、最值模型（对边对角）
【典例精讲】（多选）（2022·辽宁·抚顺市第二中学校联考三模）在①，②，③这三个条件中，任选一个，补充在下面问题中，
问题：在中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，，_______．
(1)求角B﹔
(2)求的范围．
【变式训练】
一、解答题
1．（2023·贵州贵阳·校联考模拟预测）记内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求C；
(2)若为锐角三角形，，求周长范围．
2．（2023·山东潍坊·统考一模）在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答.
问题：在中，角所对的边分别为，且__________.
(1)求角的大小；
(2)已知，且角有两解，求的范围.
3．（2023·江西上饶·校联考模拟预测）的内角的对边分别为，已知．
(1)求角；
(2)设，当的值最大时，求的面积．
4．（2022上·福建厦门·高三厦门外国语学校校考阶段练习）在中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，，
(1)求角B﹔
(2)求的范围．
培优考点
【考点一】三角形中的范围、最值模型（异边异角）
【典例精讲】（多选）（2022·陕西·统考模拟预测）已知锐角中，角所对的边分别为，满足.
(1)求；
(2)若，当的面积最大时求.
【变式训练】
一、单选题
1．（2023·浙江·模拟预测）在中，角所对的边分别为.若，且该三角形有两解，则的范围是（ ）
A．B．
C．D．
二、解答题
2．（2022·全国·模拟预测）已知在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，，．
(1)求角A的值；
(2)若，求面积的范围．
3．（2022上·浙江温州·高三苍南中学校联考阶段练习）记的内角的对边分别为，已知.
(1)的值;
(2)若b=2，当角最大时，求的面积.
4．（2022·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）如图，平面四边形中，，，，.
(1)若，求的值；
(2)试问为何值时，平面四边形的面积最大？
【考点二】三角形中的结构不良型
【典例精讲】（多选）（2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考一模）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求A；
(2)已知，，边BC上有一点D满足，求AD．
【变式训练】
一、单选题
1．（2023·全国·模拟预测）已知锐角三角形ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，外接圆半径为，，D为BC上一点且AD为的平分线，则AD的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全国·河南省实验中学校考模拟预测）已知三角形中，，角的平分线交于点，若，则三角形面积的最大值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、多选题
3．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考三模）已知的三个内角所对边的长分别为，若，则下列正确的是（ ）
A．的取值范围是
B．若是边上的一点，且，，则的面积的最大值为
C．若是锐角三角形，则的取值范围是
D．若平分交点，且，则的最小值为
4．（2022下·辽宁锦州·高一统考期末）已知，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列条件一定能够使为等腰三角形的是（ ）
A．B．
C．D．
总结提升
1.同角三角函数的基本关系：sin2α＋cs2α＝1，eq \f(sin α,cs α)＝tan αeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)).
2.诱导公式的记忆口诀：在eq \f(kπ,2)＋α，k∈Z的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”.
3.熟记三角函数公式的两类变形：(1)和差角公式的变形；(2)倍角公式的变形.
4.正弦定理：在△ABC中，eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝2R(R为△ABC的外接圆半径).
5.余弦定理：在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccs A.
变形：b2＋c2－a2＝2bccs A，cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc).
6.求三角函数式的最值或范围问题，首先把函数式化为一个角的同名三角函数形式，接着利用三角函数的有界性或单调性求解.
7.三角形中的最值、范围问题的解题策略
(1)定基本量：根据题意画出图形，找出三角形中的边、角，利用正弦、余弦定理求出相关的边、角，并选择边、角作为基本量，确定基本量的范围.
(2)构建函数：根据正弦、余弦定理或三角恒等变换，将所求范围的变量表示成函数形式.
(3)求最值：利用基本不等式或函数的单调性等求函数的最值.
专项检测
一、单选题
1．（2023·海南·校联考模拟预测）若，且，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全国·模拟预测）已知角满足，则的值为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·全国·模拟预测）在中，若，则（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023上·河南·高三校联考阶段练习）若，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·全国·模拟预测）在，角的对边分别为，若，且，则的最小值为（ ）
A．B．2C．D．
6．（2023·全国·模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，则当的面积最大时，（ ）
A．B．
C．D．
7．（2023·全国·模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，且，则BD的最小值为（ ）
A．B．2C．D．
8．（2023·河南洛阳·校联考模拟预测）（ ）
A．16B．32C．48D．52
二、多选题
9．（2023·辽宁鞍山·鞍山一中校考二模）已知，则（ ）
A．，使得
B．若，则
C．若，则
D．若，，则的最大值为
10．（2023·全国·模拟预测）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的最大值为1
B．的图象关于点对称
C．在上单调递增
D．存在，使得对任意的都成立
11．（2023下·四川·高一统考期末）已知函数，，则正确的是（ ）
A．B．是函数的零点
C．函数是非奇非偶函数D．为图象的一条对称轴
12．（2023·广东广州·统考模拟预测）在锐角中，角所对的边为，若，且，则c2a+b的可能取值为（ ）
A．B．2C．D．
三、填空题
13．（2023·全国·模拟预测）已知，则 ．
14．（2023·全国·模拟预测）已知函数的图像关于点成中心对称，则函数在上的单调递增区间为 .
15．（2023·海南省直辖县级单位·校考模拟预测）若，且，则 ．
16．（2023·四川宜宾·四川省宜宾市南溪第一中学校校考模拟预测）在中，内角的对边分别为，已知是和的等比中项.则的取值范围为 .
四、解答题
17．（2023·四川资阳·统考模拟预测）记△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知．
(1)求角B的大小；
(2)若点D在边AC上，BD平分∠ABC，，，求线段BD长．
18．（2023·全国·模拟预测）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知.
(1)求角的大小；
(2)若，求的最小值.
19．（2023·全国·模拟预测）在锐角三角形中，内角A，，所对的边分别为，，，且．
(1)求角的值．
(2)求的取值范围．
20．（2023·全国·模拟预测）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．
问题：在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，______．
(1)判断的形状，并给出证明；
(2)若点D在边AB上，且，求面积的最大值．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
21．（2022上·广东珠海·高三统考期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)求B；
(2)已知，D为边上的一点，若，，求的长．
22．（2023上·上海宝山·高三上海市行知中学校考开学考试）已知函数的最小正周期为．
(1)求的值，并写出的对称轴方程；
(2)在中角的对边分别是满足，求函数的取值范围．
考点
考情分析
考频
三角恒等变换
2023年新高考Ⅰ卷T8
2023年新高考Ⅱ卷T7
2022年新高考Ⅱ卷T6
2021年新高考Ⅰ卷T6
2021年全国甲卷T9
3年5考
三角函数的图象与性质
2023年新高考Ⅰ卷T15
2023年新高考Ⅱ卷T16
2023年全国乙卷T6
2022年新高考Ⅰ卷T6
2022年新高考Ⅱ卷T9
2022年全国甲卷T11
2022年全国乙卷T15
2021年新高考Ⅰ卷T4
2021年全国甲卷T16
3年9考
解三角形及应用
2023年新高考Ⅰ卷T17
2023年新高考Ⅱ卷T17
2023年全国乙卷T18
2022年新高考Ⅰ卷T18
2022年新高考Ⅱ卷T18
2022年全国甲卷T16
2022年全国乙卷T17
2021年新高考Ⅰ卷T19
2021年新高考Ⅱ卷T18
3年9考
三角函数的图象变换与解析式
2023年全国甲卷T10
2021年全国乙卷T7
2年2考
同角三角函数的基本关系
2023年全国甲卷T7
三角函数的诱导公式
2023年全国甲卷T13